广西壮族自治区河池市十校联体2023-2024学年高二下学期第二次联考（5月）数学试题

这是一份广西壮族自治区河池市十校联体2023-2024学年高二下学期第二次联考（5月）数学试题，共10页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0，2 B，已知函数，则的大小关系为，下列说法中正确的是，已知随机变量的分布列如下表等内容，欢迎下载使用。

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数在处的导数（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.2名男生和3名女生站成一排照相，不同的站法为（ ）
A.10种 B.12种 C.24种 D.120种
3.已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A.2 B.1 C.-2 D.-5
4.已知随机变量服从正态分布，鄀，则（ ）
A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.6
5.在一次投篮测试中小明投篮投中的概率是，且每次投篮相互独立，则在5次投篮中恰好投中2次的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7.桨校组织部分班级参观博物馆，现已安排了5个班级参观，并且已经确定了5个班级的参观顺序，参观前临时增加了2个班级参观博物馆，现将增加的2个班级插入5个班级之问，要求原5个班级顺序不变，插入的班级即不排在首位，也不排在末位，则不同的插入方法数为（ ）
A.12 B.18 C.20 D.60
8.下列说法中正确的是（ ）
①设随机变量，则；
②甲､乙､丙､丁四人到4个景点游玩，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则；
③已知变量，则.
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知随机变量的分布列如下表：
若，则（ ）
A. B. C. D.
10.下列关于展开式的判断中正确的有（ ）
A.第四项的系数是160 B.各项系数之和等于64
C.各二项式系数之和等于64 D.常数项等于1
11.一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数在上的最大值为__________.
13.三个车间生产同样的零件，其中1号车间生产的占号车间生产的占号车间生产的占.已知1号车间，2号车间，3号车间生产的零件分别有和不合格.现有一批由1号车间，2号车间，3号车间生产的零件，从中随机地抽取一个零件，则取到的是不合格零件的概率为__________.
14.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律（如图所示），则“杨辉三角”中第30行中第12个数与第13个数之比为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）函数在定义域上为增函数，求的取值范围.
16.（15分）甲､乙两名同学在一次答题比赛中答对题数的概率分布分别如下表所示.
（1）求甲､乙两名同学答题答对题数的期望；
（2）试分析甲､乙两名同学谁的成绩好一些.
17.（15分）某班有10名同学计划参加学科竞赛，每个同学只参加一个科目的学科竞寒，在这10名同学中，4名同学计划参加物理竞寒，其余6名同学计划参加化学竞赛，现从这10名同学中随机选取3名为班级做学法指导（每位同学被选到的可能性相同）.
（1）求选出的3名同学中参加竞寒科目一样的概率；
（2）设为选出的3名同学中参加物理竞赛的人数，求随机变量的分布列.
18.（17分）某学校为了丰富学生的课外活动，利用了课余时间举行了课外趣味投篮.在投篮活动中，每位学生投篮若干次，每一次投篮的计分方法如下：第1次投篮，投中得2分，不中得1分，从第2次投篮开始，投中则获得上一次投篮所得分数两倍的得分，不中得1分，学生参加了投篮活动，该同学每次投篮投中的概率都为，每次投篮是否投中互不影响.
（1）设表示学生前2次投篮的得分之和，求的分布列；
（2）记学生第次投篮所得分数的数学期望为，求，并猜想当时，与之间的关系式.（不必写推导过程）
19.（17分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：.
2024年春季学期高二年级校联体第二次联考
数学科参考答案及评分标准
1.【答案】C
【详解】由，得，所以.故选：C.
2.【答案】D
【详解】根据题意，2名男生和3名女生站成一排拍照，不同的站法为种.故选：D.
3.【答案】D
【详解】因为函数在点处的切线方程为，
所以，且，所以.故选：D.
4.【答案】B
【详解】，
.
随机变量服从正态分布，
曲线关于对称，
.故选：B.
5.【答案】A
【详解】由题意，各次投篮相互独立，则在5次投篮中恰好投中2次的概率为.故选：A.
6.【答案】A
【详解】由得，所以在上单调递增，，所以，即，故选A.
7.【答案】C
【详解】要保持原5个班级顺序不变，并且新插入的2个班级不能在首位也不能在末位，则只需将新加入的2个班级插入原来的5个班级的中间，新的2个班级分开插入的方法数有：种，新的2个班级捆绑一起再插入的方法数有：种，综上，总的方法数为种.故选C.
8.【答案】D
【详解】对于①：随机变量，
则，故①正确；
对于②：事件“4个人去的景点互不相同”，事件“甲独自去一个景点”，
则，所以，故②正确；
对于③：，故③正确；故选：D.
9.【答案】AD
【详解】依题意，解得.故选：AD.
10.【答案】ACD
【详解】二项式展开式的通项为（其中且），则第四项的系数为，故A正确；
令可得展开式各项系数和等于，故B不正确；
各二项式系数之和等于，故C正确；
令，即，所以展开式中常数项为，故D正确.
故选：ACD
11.【答案】ACD
【详解】由题得，
根据条件概率公式，得，
，故正确，错误.
对选项，
所以，
故C正确.
对选项D，，
，故D正确.故选ACD.
12.【答案】9
【详解】因为，可得，
所以在单调递增，.
故答案为：9.
13.【答案】0.025
【详解】取到的是不合格零件的概率为：.
14.【答案】
【详解】第30行中第12个数与第13个数之比为
.
15.（13分）【详解】（1）由题意可知函数定义域为：
当时，..
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以，无极小值.
（2）函数定义域为：，
由函数在定义域上为增函数可知在上恒成立，
，即，
令而，
当且仅当时取等号，的取值范围是.
16.（15分）【详解】（1）甲､乙两人成绩的均值分别为
（2）方差分别为
由上面的数据，可知.
这表示甲､乙两人答对题目的均值相等，但两人答对题的稳定程度不同，甲同学较稳定，乙同学波动较大，所以甲同学的成绩较好.
17.（15分）【详解】（1）设“选出的3名同学中参加竞赛科目一样”为事件A，事件A分三人都参加物理竞赛和三人都参加化学竞赛两类：
三人都参加物理竞赛的概率：.
三人都参加化学竞赛的概率：.
.
（2）随机变量的所有可能值为.
的分布列为
18.（17分）【详解】（1）解：由题意，的可能取值有.
所以的分布列为：
（2）学生A第1次投篮得分2分，1分的概率分别都为，
则，
学生第2次投篮得分4分，2分，1分的概率分别为，
则，
学生第3次投篮得分8分，4分，2分，1分的概率分别为，
则，
可猜想：
19.（17分）解析：（1）由已知条件得函数的定义域为，
.
因为，
所以①当时，在上恒成立，故在上单调递增.
②当时，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）证明：当时，，
要证原不等式成立，需证成立，即需证成立.
令，则
令，则，故在上单调递增，
，由函数零点存在定理可知，
存在，使得，
则在上，在上，
即在上，在上，
则在上单调递减，在上单调递增，
因此在处取得最小值.
由可得，即，
两边同时取对数得，即，
因此的最小值，即成立，故当时，成立.-1
0
1
2
甲
答对题数
0
1
2
3
概率
0.1
0.2
0.4
0.3
乙
答对题数
0
1
2
3
概率
0.2
0.1
0.3
0.4
0
1
2
3
2
3
6