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第02讲 基本初等函数、函数与方程（3大考点+强化训练）-2024年高考数学重难点培优精讲
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这是一份第02讲 基本初等函数、函数与方程（3大考点+强化训练）-2024年高考数学重难点培优精讲，文件包含第2讲基本初等函数函数与方程3大考点+强化训练原卷版docxdocx、第2讲基本初等函数函数与方程3大考点+强化训练解析版docxdocx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
第2讲 基本初等函数、函数与方程（3大考点+强化训练）
【知识导图】
【考点分析】
考点一 基本初等函数的图象与性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分01两种情况，着重关注两种函数图象的异同．
1．（2024·全国·模拟预测）已知，则实数的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到，得到，求出，根据单调性得到，从而得到答案．
【详解】令，其在R上单调递减，
又，
由零点存在性定理得，
则在上单调递减，
画出与的函数图象，
可以得到，
又在R上单调递减，画出与的函数图象，
可以看出，
因为，故，故，
因为，故，
由得，．
综上，．
故选：D．
【点睛】指数和对数比较大小的方法有：（1）画出函数图象，数形结合得到大小关系；
（2）由函数单调性，可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；
（3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0（1）的关系，从而确定所比两值的大小关系．
考点二 函数的零点
判断函数零点个数的方法
(1)利用函数零点存在定理判断．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
1．单选题（2024·全国·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】作出当时函数与的图象，数形结合确定此时函数的零点，再根据奇函数的性质确定以及时的零点，即可得答案．
【详解】依题意，作出函数与的图象，如图，
可知两个函数的图象有两个不同交点，即此时有两个零点；
又函数是定义域为的奇函数，故当时，也有两个零点，
函数是定义域为的奇函数，所以，即也是函数的1个零点，
综上所述，共有5个零点．
故选：D．
2．（单选题）如图，偶函数的图象形如字母M（图1），奇函数的图象形如字母N（图2），若方程，的实根个数分别为a，b，则（ ）
A．18B．21C．24D．27
【答案】A
【分析】结合函数图象把方程根的个数转化为函数图象的交点个数，可分别求得a，b进而可得答案．
【详解】解：由图象知，有3个根，0，，其中，
有3个根，0，，其中，
由，得或，
由图象可知所对每一个值都能有3个根，因而；
由，知或，
由图象可以看出，有3个根，
有4个根，
有2个根，加在一起也是9个，
即，，
故选：A.
3．多选题（2024·全国·模拟预测）设函数，函数．则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有3个零点
B．当时，函数只有1个零点
C．当时，函数有5个零点
D．存在实数，使得函数没有零点
【答案】ABC
【分析】当时，得或，当时，，问题转为，的交点个数，结合图象可得答案．
【详解】函数的零点个数即方程异根的个数，
当时，，则，，
由，有，所以或，
当时，，则，，
由，有，所以，
所以问题转为，的交点个数，
作出函数图象可知：
当，即时，有3个交点，即函数有4个零点，
当，即时，有4个交点，函数有5个零点，
当时，只有，函数只有1个零点，
当或即或时，有2个交点，函数有3个零点，
无论实数取何值，使得函数总有零点．
故选：ABC．
4．多选题（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若函数无极值点，则没有零点
B．若函数无零点，则没有极值点
C．若函数恰有一个零点，则可能恰有一个极值点
D．若函数有两个零点，则一定有两个极值点
【答案】AD
【分析】画出可能图象，结合图象判断选项即可．
【详解】
，设
若函数无极值点则，则，
此时，即，所以，没有零点，如图①；
若函数无零点，则有，此时，
当时，先正再负再正，原函数先增再减再增，故有极值点，如图②；
若函数恰有一个零点，则，
此时，先正再负再正，原函数先增再减再增，有两个极值点，如图③；
若函数有两个零点，则，此时，先正再负再正，
函数先增再减再增，有两个极值点，如图④；
所以AD正确．
故选：AD.
5．填空题 （2024上·江苏淮安期末）函数的零点所在的区间为，则正整数的值为 ．
【答案】
【分析】根据零点存在性定理和的单调性求解即可．
【详解】因为函数在上单调递增，
且，，
所以的零点所在的区间为，
所以正整数的值为，
故答案为：
考向1 函数零点个数的判断
一、单选题
1．（2023·陕西安康·校联考模拟预测）已知函数，则在区间内的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意求出函数时可得，然后根据三角函数的性质求出，即可求解．
【详解】由题意知求在区间内的零点，
所以令，得，
又因为，
所以只能是，得，
在区间内，当时，有，
所以共有个零点，故D正确．
故选：D.
二、多选题
2．（2023上·山东泰安校考阶段练习）给出下列结论，其中不正确的是（ ）
A．函数的最大值为.
B．已知函数且在上单调递减，则实数的取值范围是
C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D．已知定义在上的奇函数在内有1011个零点，则函数的零点个数为2023
【答案】AB
【分析】选项A，换元法求值域；选项B，由复合函数单调性可知；选项C，两函数互为反函数，则图象关于直线对称；选项D，由奇函数定义可得，再由对称性可得在内的零点个数．
【详解】A选项，函数中，
若令，即有，故A错误；
B选项，函数且在上单调递减，
由单调递减，由复合函数单调性知，故B错误；
选项，函数与互为反函数，
所以图象关于直线对称，故C正确；
选项，定义在上的奇函数在内有1011个零点，
由函数的对称性可知在内有1011个零点，
且，所以是函数的个零点，
即函数的零点个数为2023，故D正确．
故选：AB.
3．（2023上·辽宁大连西南大学附中校考期末）函数的零点个数可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】AB
【分析】根据分段函数的解析式，结合零点的定义，建立方程，利用方程与函数的关系，作图看交点个数，可得答案．
【详解】由函数，
当时，令，
则与的交点个数即为函数的零点个数，如图所示：
由图可知，有1个交点，∴当时，只有1个零点；
当时，令，
则与直线的交点个数即为函数的零点个数，
显然当时，函数与直线的图象无交点，即函数的零点个数为0个，
当时，函数与直线的图象有1个交点，
综上所述，当时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点；
故选：AB．
三、填空题
4．（2024上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）若函数满足，且 时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为
【答案】
【分析】由题意可知是周期为2的周期函数，作出函数图象，数形结合求解即可．
【详解】因为，
所以，即是周期为2的周期函数，
又因为当时，，所以作出和的图象如下图所示，
由图象可知与在区间内共有个交点，
所以函数在区间内共有个零点，
故答案为：
考向2 求参数的值或范围
一、单选题
1．（2023上·上海曹杨二中校考期末）已知函数满足，且当时，．若在区间上关于的方程有且仅有一解，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数在上的解析式，作出函数与的图象，数形结合即可求解．
【详解】依题得：，
当时，，
则，
则函数在区间的解析式为，
在区间上关于的方程有且仅有一解，
即函数与函数在区间内有一个公共点，
在同一平面直角坐标系作出与的图象，
当直线经过点时，代入有，，
由图可知.
故选：D
二、多选题
2．（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）已知函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】由函数的图象与的图象有两个不同的交点，转化为方程有两个不同的根，构造函数，分类讨论求出 的范围，判断选项．
【详解】函数的图象与的图象有两个不同的交点，则方程有两个不同的根，
即有两个不同的根，
构造函数，
则.
①若，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
又，取实数满足且，则有，所以有两个零点．
②若，当时，在上单调递增，
当时，，故，故不存在两个零点，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
又当时，故，故不存在两个零点，综上得，
故选：CD
【点睛】关键点点睛：当时，在时恒小于0，一定不存在零点，可减少讨论情况．
三、解答题
3．（2023上·吉林·高一吉林一中校考期末）定义在上的奇函数，已知当时，．
(1)求的值；
(2)若使不等式成立，求实数m的取值范围；
(3)设，若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由该函数在原点有定义，借助奇函数，即可求解;
（2）代入整理，分离参数转化为能成立问题，借助该函数的单调性，找到最值，求出实数m的取值范围即可;
（3）利用函数与方程的知识，借助换元法，通过图象找到满足三个不同的交点的情况，进而求得实数k的取值范围．
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，时，，
所以，解得，
所以时，，
经检验，满足题意．
（2）因为时，，
所以可化为，整理得，
令，，易知在单调递减，．
（3）原方程化为，
令，则有两个实数解,
，
作出函数的图象，如图:
原方程有三个不同的实数解，则，
则，k的取值范围是．
规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
考点三 函数模型及其应用
1．解答题（2024上·上海松江期末）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元/件）关于第天的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）关于第天的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为459元．
(1)求的值；
(2)给出以下四种函数模型：①;② ；③ ；④. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式：
(3)设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元），求该函数的最小值．
【答案】(1)1
(2)选择模型②，
(3)441
【分析】（1）根据题意直接代入求值即可；
（2）根据题中几个函数模型的相关概念直接选择合适的模型，通过代入求值即可得到函数表达式；
（3）通过讨论和的最小值并比较即可．
【详解】（1）因为第10天的日销售收入为459元，
所以，解得
（2）由表可知，随的增加先增加后减小，
模型①③④均为单调函数，所以②模型符合题意，
所以代入，解得，
所以
（3）由（1）知，，
由（2）知，，
所以，
所以，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
当时，在单调递减，
所以，
因为，所以函数的最小值为441
2．解答题（2024上·广东揭阳·高一统考期末）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，已知用1个单位量的水清洗一次可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为．
(1)试确定的值，并解释其实际意义；
(2)设．
方案1：用3个单位量的水，清洗一次；
方案2：每次用1.5个单位量的水，清洗两次；
方案3：每次用1个单位量的水，清洗三次．
试问用哪个方案清洗后蔬菜上残留的农药量最少，说明理由．
【答案】(1)答案见解析；
(2)方案2，理由见解析；
【分析】（1）根据题意直接可得，表示未冲洗时残留的农药量保持不变；
（2）分别计算出每种方案清洗后的残留量，比较出大小即可得出结论．
【详解】（1）由题意可得，
实际意义：表示未用清水冲洗蔬菜时蔬菜上残留的农药量保持原样；
（2）设清洗前残留的农药量为，用第套方案清洗后残留的农药量为，
则；
；
，
易知，所以，
即用方案2清洗后蔬菜上残留的农药量最少；
解函数应用题的步骤
(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．
易错提醒 构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型．
(2)构建的函数模型有误．
(3)忽视函数模型中变量的实际意义．
【强化训练】
一、单选题
1．已知函数，若不相等的正实数满足，且恰为函数的两个零点，则k=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先判断为R上的奇函数和减函数，由，可得；
再由得到，解出ab，即可求出k.
【详解】由，可得
所以为奇函数．
又为R上的减函数，又正实数满足，
所以.
因为恰为函数的两个零点，
所以，，
则即(舍去)，或，
故，可得或，
故.
故选：D.
【点睛】（1）灵活应用函数性质解抽象函数型方程（不等式）；
（2）求函数零点（方程）类问题分为两大类：①零点直接解出来：方程可解；②方程不可解：二分法估计近似值．
2．已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在同一坐标系中作出的图象，根据有4个零点求解．
【详解】解：令，得，
在同一坐标系中作出的图象，如图所示：
由图象知：若有4个零点，
则实数a的取值范围是，
故选：A
3．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式画出图像，利用换元法令，可知；结合函数图像及解析式可求得的值，再结合图像即可确定方程解的个数，即为函数零点的个数．
【详解】函数，
对，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减，
且趋向负无穷时，，时，，
故结合对数函数图象，可画出函数图像如下图所示：
函数的零点，即，令，代入可得，
由图像可知，即，
结合函数图像可知，有1个解，
综合可知，函数的零点有1个，
故选：A.
4．若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出函数的图象，由图求出的范围，结合韦达定理分别求出，构造函数，利用导数求出此函数的值域即可．
【详解】解：由方程有四个不同的实数根，
即为函数图象交点的横坐标，
如图，作出函数的图象，
则，
是方程的两个根，是方程的两个根，
则，
则，
所以，
令，
则，
令，得，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
又，
所以，
即的取值范围是.
故选：B.
【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查了利用导数求函数的单调区间及最值问题，考查了转化思想及数形结合思想，有一定的难度．
5．已知，函数，，若函数有6个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，由题意画出函数的图象，利用与的图象最多有3个零点，可知要使函数有6个零点，则中每一个的值对应2个的值，则的值不能取最小值，求出与交点横坐标的最小值，由其绝对值大于，结合求得实数的取值范围．
【详解】函数的图象如图所示，
令，与的图象最多有3个零点，
当有3个零点，则，从左到右交点的横坐标依次，
由于函数有6个零点，，
则每一个的值对应2个的值，则的值不能取最小值，
函数对称轴，则的最小值为，
由图可知，，则，
由于是交点横坐标中最小的，满足①，
又②，
联立①②得．
实数的取值范围是．
故选：A
【点睛】本题主要考查零点的存在性及根的个数判断，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，属有一定难度题目．
6．若，当时，，若在区间，内有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出区间内的解析式，将问题转化为有两个解，作出的图像，利用数形结合的思想即可求解．
【详解】，
，
当时，，
当时，
，
若在区间，内有两个零点，
有两个解，
即有两个解，
令，
作出的大致图像：
，
，与有个交点时，，
有两个零点，
则实数的取值范围是.
故选：D
【点睛】本题考查了求分段函数解析式、由函数的零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题．
二、多选题
7．（2023上·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）已知函数，其中，则（ ）
A．不等式对恒成立
B．若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为
C．方程共有4个实根
D．若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围为
【答案】ACD
【分析】对函数求导，判断其单调性，求出其最小值，可判断A选项；作出曲线与直线图像，根据图像可判断B选项；令，且，有两解分别为:，，或，数形结合可判断C选项；由直线过原点，再结合图像分析即可判断D选项．
【详解】对于选项A，，
当或时，，当时，，
所以在，上单调递减，在上单调递增，
在出取得极小值，，
在处取得极大值，，
而时，恒有成立，
的最小值是，即，对恒成立，故A正确；
对于B选项，方程有且只有两个实根，
即曲线与直线有且只有两个交点，
由A选项分析，曲线与直线图像如下，
由图知，当或时，曲线与直线有且只有两个交点，
故B错误；
对于C选项，由得：，解得，
令，且，由图像知，有两解分别为:
，，
所以或，而，则有两解，
，也有两解，
综上，方程共有4个根，C正确；
对于D选项，直线过原点，且，，，
记，，，
易判断，，
不等式恰有1个正整数解，即曲线在上对应的值恰有1个正整数，由图像可得，，即，故D正确．
故选：ACD.
8．（2023上·浙江温州乐清市知临中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．若函数定义域为，则函数的定义域为.
B．若函数值域为，则函数的值域为.
C．用二分法求方程在内近似解的过程中，设，计算知，，，则下次应计算的函数值为.
D．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，函数解析式为.
【答案】AC
【分析】利用抽象函数的定义域与值域判断AB；利用二分法的计算方法判断C；利用函数奇偶性求解析式判断D，从而得解．
【详解】对于A，因为定义域为，
所以对于，有，解得，
所以的定义域为，故A正确；
对于B，因为函数的定义域为，值域为，
所以的定义域也为，故其值域也为，故B错误；
对于C，因为，，，则，
故下次计算应是，即，故C正确；
对于D，因为当时，，
所以当时，，所以，
又是定义在上的奇函数，
所以，故D错误．
故选：AC.
三、填空题
9．若是方程的解，是方程的解，则 ．
【答案】
【分析】由题意可得，是函数的图象与函数的图象交点的横坐标，设.是函数的图象与函数的图象交点的横坐标，设．又函数的图象关于直线对称，函数与互为反函数，其图象关于直线对称，故点与点关于直线对称，即得的值．
【详解】是方程的解，是方程的解，
是方程的解，是方程的解，
即是函数的图象与函数的图象交点的横坐标，设.
是函数的图象与函数的图象交点的横坐标，设.
设点是函数图象上任一点，它关于直线的对称点也在函数的图象上，
函数的图象关于直线对称．
又与互为反函数，其图象关于直线对称，
点与点关于直线对称，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数与方程，属于中档题．
10．函数的零点的个数为 .
【答案】
【分析】函数的零点的个数即为的交点的个数，在同一直角坐标系中画出两个函数图像，数形结合即得解．
【详解】由题意，
即函数的零点的个数即为的交点的个数，在同一直角坐标系中画出两个函数图像
数形结合可知，两个函数有3个交点
故函数的零点的个数是3
故答案为：3
11．对于函数的叙述，正确的有 （写出序号即可）．
①若，则；②若有一个零点，则；③在上为减函数．
【答案】①②
【分析】利用对数函数的性质判断①；将函数的零点转化为函数图象的交点，进而判断②；取，得出，进而判断③．
【详解】对①，，
当时，由于，则，则①正确；
对②，由①可知，当时，，此时函数无零点
当时，令，得，即
函数的图象，如下图所示
若函数有一个零点，则函数与的图象有一个交点
由图象可知，，则②正确；
对③，当时，，，则
即当时，函数在上不是减函数，则③错误；
故答案为：①②
【点睛】本题主要考查了求分段函数的值域以及求函数零点的个数，属于中档题．
12．某校甲､乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份 （填“甲”或“乙”）食堂的营业额较高．
【答案】甲
【分析】甲食堂营业额每月增加，乙食堂营业额每月增加百分率为x，则，计算，得到答案．
【详解】设甲､乙两食堂1月份的营业额均为m，
甲食堂的营业额每月增加，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，
由题意可得，，
则5月份甲食堂的营业额，
乙食堂的营业额为.
因为，所以，
故本年5月份甲食堂的营业额较高．
故答案为：甲．
四、解答题
13．设函数，且．
(1)作出函数的大致图像，并指出它的单调区间；
(2)当实数a变化时，讨论关于x的方程的解的个数．
【答案】(1)函数的图像见解析，递减区间为，，递增区间是，；
(2)关于x的方程的解的个数见解析．
【分析】(1)根据给定条件结合二次函数，借助图象变换作出的大致图像，再利用图象写出函数的单调区间．
(2)把方程的解转化为直线与函数图像的交点即可作答．
【详解】（1）函数的图象可视为函数的图象向下平移1个单位而得，而函数的图象是
二次函数的图象在x轴上方的不动，把x轴下方图象沿x轴向上翻折而得，
的大致图像，如图：
观察函数的图象得：函数的递减区间为，，递增区间是，.
（2）依题意，关于x的方程的解就是直线与函数的图像交点的横坐标，如图，
当时，直线与函数的图像无公共点，即方程的解的个数为0，
当或时，直线与函数的图像有2个公共点，即方程的解的个数为2，
当时，直线与函数的图像有4个公共点，即方程的解的个数为4，
当时，直线与函数的图像有3个公共点，即方程的解的个数为3，
综上得：当时，方程的解的个数为0，当或时，方程的解的个数为2，
当时，方程的解的个数为3，当时，方程的解的个数为4.
14．2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环万只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为万元，且．当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．
(1)求出的值并写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)，
(2)当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．
【分析】（1）由题意可得，由可求出，然后可得的解析式；
（2）利用二次函数的知识求出当时的最大值，利用基本不等式求出当时的最大值，然后作比较可得答案．
【详解】（1）由题意可得
当时，所以
解得
所以
（2）当时，，其对称轴为
所以当时取得最大值万元
当时，万元
当且仅当即时等号成立
因为
所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．
15．已知函数在上的最大值为.
（1）求的解析式；
（2）讨论的零点的个数．
【答案】（1）（2）有且仅有个零点
【解析】（1）由，求导得到，根据函数在上的最大值为，利用唯一的极值点为最值点求解．
（2）由（1）得到，求导，设，分，， ， 四种情况用导数法结合零点存在定理求解．
【详解】（1）由，得，
令，得；令，得，
∴的单调递增区间是，单调递减区间是.
故在处有极大值，也是的最大值，
所以，∴，
故.
（2）∵，
∴，
设，
（i）当时，∴，所以单调递减．
又，，从而在上存在唯一零点．也即在上存在唯一零点．
（ii）当时，，所以在上单调递减，
因为，，
所以存在，，且在上，在上，
所以为在上的最大值，
又因为，，
所以在上恒大于零，无零点．
（iii）当时，，所以在上单调递减．
，所以在上单调递增．
又，，
所以在上存在唯一零点．
（iiii）当时，，
设，
∴，
所以在上单调递减，所以，即.
∴在上单调递减，
因为，所以在上单调递增，
因为，，
所以在无零点，
综上，有且仅有个零点．
【点睛】本题主要考查导数与函数的最值，导数与函数的零点以及零点存在定理的应用，还考查了分类讨论和运算求解的能力，属于难题．
16．已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)，，单调递减；当，，单调递增
(2)
【分析】（1），分，两种情况讨论；
（2）根据（1）的情况，分，两种情况讨论，当时，不符题意，当时，利用零点存在定理讨论2个零点存在的情况即可
【详解】（1）由已知得，，，
当时，，单调递增；
当时，令，，因为
所以，当，，单调递减；
当，，单调递增
（2）由（1）得，时，，单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当时，，为使有2个零点，必有，即，又；
令，则，明显可见，时，，在单调递增，故，即，
根据零点存在定理，存在，使得，
又，根据零点存在定理，存在，使得，综上，时，有2个零点
【点睛】关键点睛：解题的难点在于根据零点存在定理，满足题意的情况下，必有，得到的范围，进而讨论在此范围下，是否满足题中要求的有2个零点，属于难题
10
15
20
25
30
90
95
100
95
90
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
第2讲 基本初等函数、函数与方程（3大考点+强化训练）
【知识导图】
【考点分析】
考点一 基本初等函数的图象与性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0
1．（2024·全国·模拟预测）已知，则实数的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到，得到，求出，根据单调性得到，从而得到答案．
【详解】令，其在R上单调递减，
又，
由零点存在性定理得，
则在上单调递减，
画出与的函数图象，
可以得到，
又在R上单调递减，画出与的函数图象，
可以看出，
因为，故，故，
因为，故，
由得，．
综上，．
故选：D．
【点睛】指数和对数比较大小的方法有：（1）画出函数图象，数形结合得到大小关系；
（2）由函数单调性，可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；
（3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0（1）的关系，从而确定所比两值的大小关系．
考点二 函数的零点
判断函数零点个数的方法
(1)利用函数零点存在定理判断．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
1．单选题（2024·全国·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】作出当时函数与的图象，数形结合确定此时函数的零点，再根据奇函数的性质确定以及时的零点，即可得答案．
【详解】依题意，作出函数与的图象，如图，
可知两个函数的图象有两个不同交点，即此时有两个零点；
又函数是定义域为的奇函数，故当时，也有两个零点，
函数是定义域为的奇函数，所以，即也是函数的1个零点，
综上所述，共有5个零点．
故选：D．
2．（单选题）如图，偶函数的图象形如字母M（图1），奇函数的图象形如字母N（图2），若方程，的实根个数分别为a，b，则（ ）
A．18B．21C．24D．27
【答案】A
【分析】结合函数图象把方程根的个数转化为函数图象的交点个数，可分别求得a，b进而可得答案．
【详解】解：由图象知，有3个根，0，，其中，
有3个根，0，，其中，
由，得或，
由图象可知所对每一个值都能有3个根，因而；
由，知或，
由图象可以看出，有3个根，
有4个根，
有2个根，加在一起也是9个，
即，，
故选：A.
3．多选题（2024·全国·模拟预测）设函数，函数．则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有3个零点
B．当时，函数只有1个零点
C．当时，函数有5个零点
D．存在实数，使得函数没有零点
【答案】ABC
【分析】当时，得或，当时，，问题转为，的交点个数，结合图象可得答案．
【详解】函数的零点个数即方程异根的个数，
当时，，则，，
由，有，所以或，
当时，，则，，
由，有，所以，
所以问题转为，的交点个数，
作出函数图象可知：
当，即时，有3个交点，即函数有4个零点，
当，即时，有4个交点，函数有5个零点，
当时，只有，函数只有1个零点，
当或即或时，有2个交点，函数有3个零点，
无论实数取何值，使得函数总有零点．
故选：ABC．
4．多选题（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若函数无极值点，则没有零点
B．若函数无零点，则没有极值点
C．若函数恰有一个零点，则可能恰有一个极值点
D．若函数有两个零点，则一定有两个极值点
【答案】AD
【分析】画出可能图象，结合图象判断选项即可．
【详解】
，设
若函数无极值点则，则，
此时，即，所以，没有零点，如图①；
若函数无零点，则有，此时，
当时，先正再负再正，原函数先增再减再增，故有极值点，如图②；
若函数恰有一个零点，则，
此时，先正再负再正，原函数先增再减再增，有两个极值点，如图③；
若函数有两个零点，则，此时，先正再负再正，
函数先增再减再增，有两个极值点，如图④；
所以AD正确．
故选：AD.
5．填空题 （2024上·江苏淮安期末）函数的零点所在的区间为，则正整数的值为 ．
【答案】
【分析】根据零点存在性定理和的单调性求解即可．
【详解】因为函数在上单调递增，
且，，
所以的零点所在的区间为，
所以正整数的值为，
故答案为：
考向1 函数零点个数的判断
一、单选题
1．（2023·陕西安康·校联考模拟预测）已知函数，则在区间内的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意求出函数时可得，然后根据三角函数的性质求出，即可求解．
【详解】由题意知求在区间内的零点，
所以令，得，
又因为，
所以只能是，得，
在区间内，当时，有，
所以共有个零点，故D正确．
故选：D.
二、多选题
2．（2023上·山东泰安校考阶段练习）给出下列结论，其中不正确的是（ ）
A．函数的最大值为.
B．已知函数且在上单调递减，则实数的取值范围是
C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D．已知定义在上的奇函数在内有1011个零点，则函数的零点个数为2023
【答案】AB
【分析】选项A，换元法求值域；选项B，由复合函数单调性可知；选项C，两函数互为反函数，则图象关于直线对称；选项D，由奇函数定义可得，再由对称性可得在内的零点个数．
【详解】A选项，函数中，
若令，即有，故A错误；
B选项，函数且在上单调递减，
由单调递减，由复合函数单调性知，故B错误；
选项，函数与互为反函数，
所以图象关于直线对称，故C正确；
选项，定义在上的奇函数在内有1011个零点，
由函数的对称性可知在内有1011个零点，
且，所以是函数的个零点，
即函数的零点个数为2023，故D正确．
故选：AB.
3．（2023上·辽宁大连西南大学附中校考期末）函数的零点个数可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】AB
【分析】根据分段函数的解析式，结合零点的定义，建立方程，利用方程与函数的关系，作图看交点个数，可得答案．
【详解】由函数，
当时，令，
则与的交点个数即为函数的零点个数，如图所示：
由图可知，有1个交点，∴当时，只有1个零点；
当时，令，
则与直线的交点个数即为函数的零点个数，
显然当时，函数与直线的图象无交点，即函数的零点个数为0个，
当时，函数与直线的图象有1个交点，
综上所述，当时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点；
故选：AB．
三、填空题
4．（2024上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）若函数满足，且 时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为
【答案】
【分析】由题意可知是周期为2的周期函数，作出函数图象，数形结合求解即可．
【详解】因为，
所以，即是周期为2的周期函数，
又因为当时，，所以作出和的图象如下图所示，
由图象可知与在区间内共有个交点，
所以函数在区间内共有个零点，
故答案为：
考向2 求参数的值或范围
一、单选题
1．（2023上·上海曹杨二中校考期末）已知函数满足，且当时，．若在区间上关于的方程有且仅有一解，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数在上的解析式，作出函数与的图象，数形结合即可求解．
【详解】依题得：，
当时，，
则，
则函数在区间的解析式为，
在区间上关于的方程有且仅有一解，
即函数与函数在区间内有一个公共点，
在同一平面直角坐标系作出与的图象，
当直线经过点时，代入有，，
由图可知.
故选：D
二、多选题
2．（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）已知函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】由函数的图象与的图象有两个不同的交点，转化为方程有两个不同的根，构造函数，分类讨论求出 的范围，判断选项．
【详解】函数的图象与的图象有两个不同的交点，则方程有两个不同的根，
即有两个不同的根，
构造函数，
则.
①若，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
又，取实数满足且，则有，所以有两个零点．
②若，当时，在上单调递增，
当时，，故，故不存在两个零点，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
又当时，故，故不存在两个零点，综上得，
故选：CD
【点睛】关键点点睛：当时，在时恒小于0，一定不存在零点，可减少讨论情况．
三、解答题
3．（2023上·吉林·高一吉林一中校考期末）定义在上的奇函数，已知当时，．
(1)求的值；
(2)若使不等式成立，求实数m的取值范围；
(3)设，若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由该函数在原点有定义，借助奇函数，即可求解;
（2）代入整理，分离参数转化为能成立问题，借助该函数的单调性，找到最值，求出实数m的取值范围即可;
（3）利用函数与方程的知识，借助换元法，通过图象找到满足三个不同的交点的情况，进而求得实数k的取值范围．
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，时，，
所以，解得，
所以时，，
经检验，满足题意．
（2）因为时，，
所以可化为，整理得，
令，，易知在单调递减，．
（3）原方程化为，
令，则有两个实数解,
，
作出函数的图象，如图:
原方程有三个不同的实数解，则，
则，k的取值范围是．
规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
考点三 函数模型及其应用
1．解答题（2024上·上海松江期末）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元/件）关于第天的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）关于第天的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为459元．
(1)求的值；
(2)给出以下四种函数模型：①;② ；③ ；④. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式：
(3)设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元），求该函数的最小值．
【答案】(1)1
(2)选择模型②，
(3)441
【分析】（1）根据题意直接代入求值即可；
（2）根据题中几个函数模型的相关概念直接选择合适的模型，通过代入求值即可得到函数表达式；
（3）通过讨论和的最小值并比较即可．
【详解】（1）因为第10天的日销售收入为459元，
所以，解得
（2）由表可知，随的增加先增加后减小，
模型①③④均为单调函数，所以②模型符合题意，
所以代入，解得，
所以
（3）由（1）知，，
由（2）知，，
所以，
所以，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
当时，在单调递减，
所以，
因为，所以函数的最小值为441
2．解答题（2024上·广东揭阳·高一统考期末）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，已知用1个单位量的水清洗一次可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为．
(1)试确定的值，并解释其实际意义；
(2)设．
方案1：用3个单位量的水，清洗一次；
方案2：每次用1.5个单位量的水，清洗两次；
方案3：每次用1个单位量的水，清洗三次．
试问用哪个方案清洗后蔬菜上残留的农药量最少，说明理由．
【答案】(1)答案见解析；
(2)方案2，理由见解析；
【分析】（1）根据题意直接可得，表示未冲洗时残留的农药量保持不变；
（2）分别计算出每种方案清洗后的残留量，比较出大小即可得出结论．
【详解】（1）由题意可得，
实际意义：表示未用清水冲洗蔬菜时蔬菜上残留的农药量保持原样；
（2）设清洗前残留的农药量为，用第套方案清洗后残留的农药量为，
则；
；
，
易知，所以，
即用方案2清洗后蔬菜上残留的农药量最少；
解函数应用题的步骤
(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．
易错提醒 构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型．
(2)构建的函数模型有误．
(3)忽视函数模型中变量的实际意义．
【强化训练】
一、单选题
1．已知函数，若不相等的正实数满足，且恰为函数的两个零点，则k=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先判断为R上的奇函数和减函数，由，可得；
再由得到，解出ab，即可求出k.
【详解】由，可得
所以为奇函数．
又为R上的减函数，又正实数满足，
所以.
因为恰为函数的两个零点，
所以，，
则即(舍去)，或，
故，可得或，
故.
故选：D.
【点睛】（1）灵活应用函数性质解抽象函数型方程（不等式）；
（2）求函数零点（方程）类问题分为两大类：①零点直接解出来：方程可解；②方程不可解：二分法估计近似值．
2．已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在同一坐标系中作出的图象，根据有4个零点求解．
【详解】解：令，得，
在同一坐标系中作出的图象，如图所示：
由图象知：若有4个零点，
则实数a的取值范围是，
故选：A
3．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式画出图像，利用换元法令，可知；结合函数图像及解析式可求得的值，再结合图像即可确定方程解的个数，即为函数零点的个数．
【详解】函数，
对，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减，
且趋向负无穷时，，时，，
故结合对数函数图象，可画出函数图像如下图所示：
函数的零点，即，令，代入可得，
由图像可知，即，
结合函数图像可知，有1个解，
综合可知，函数的零点有1个，
故选：A.
4．若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出函数的图象，由图求出的范围，结合韦达定理分别求出，构造函数，利用导数求出此函数的值域即可．
【详解】解：由方程有四个不同的实数根，
即为函数图象交点的横坐标，
如图，作出函数的图象，
则，
是方程的两个根，是方程的两个根，
则，
则，
所以，
令，
则，
令，得，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
又，
所以，
即的取值范围是.
故选：B.
【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查了利用导数求函数的单调区间及最值问题，考查了转化思想及数形结合思想，有一定的难度．
5．已知，函数，，若函数有6个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，由题意画出函数的图象，利用与的图象最多有3个零点，可知要使函数有6个零点，则中每一个的值对应2个的值，则的值不能取最小值，求出与交点横坐标的最小值，由其绝对值大于，结合求得实数的取值范围．
【详解】函数的图象如图所示，
令，与的图象最多有3个零点，
当有3个零点，则，从左到右交点的横坐标依次，
由于函数有6个零点，，
则每一个的值对应2个的值，则的值不能取最小值，
函数对称轴，则的最小值为，
由图可知，，则，
由于是交点横坐标中最小的，满足①，
又②，
联立①②得．
实数的取值范围是．
故选：A
【点睛】本题主要考查零点的存在性及根的个数判断，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，属有一定难度题目．
6．若，当时，，若在区间，内有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出区间内的解析式，将问题转化为有两个解，作出的图像，利用数形结合的思想即可求解．
【详解】，
，
当时，，
当时，
，
若在区间，内有两个零点，
有两个解，
即有两个解，
令，
作出的大致图像：
，
，与有个交点时，，
有两个零点，
则实数的取值范围是.
故选：D
【点睛】本题考查了求分段函数解析式、由函数的零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题．
二、多选题
7．（2023上·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）已知函数，其中，则（ ）
A．不等式对恒成立
B．若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为
C．方程共有4个实根
D．若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围为
【答案】ACD
【分析】对函数求导，判断其单调性，求出其最小值，可判断A选项；作出曲线与直线图像，根据图像可判断B选项；令，且，有两解分别为:，，或，数形结合可判断C选项；由直线过原点，再结合图像分析即可判断D选项．
【详解】对于选项A，，
当或时，，当时，，
所以在，上单调递减，在上单调递增，
在出取得极小值，，
在处取得极大值，，
而时，恒有成立，
的最小值是，即，对恒成立，故A正确；
对于B选项，方程有且只有两个实根，
即曲线与直线有且只有两个交点，
由A选项分析，曲线与直线图像如下，
由图知，当或时，曲线与直线有且只有两个交点，
故B错误；
对于C选项，由得：，解得，
令，且，由图像知，有两解分别为:
，，
所以或，而，则有两解，
，也有两解，
综上，方程共有4个根，C正确；
对于D选项，直线过原点，且，，，
记，，，
易判断，，
不等式恰有1个正整数解，即曲线在上对应的值恰有1个正整数，由图像可得，，即，故D正确．
故选：ACD.
8．（2023上·浙江温州乐清市知临中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．若函数定义域为，则函数的定义域为.
B．若函数值域为，则函数的值域为.
C．用二分法求方程在内近似解的过程中，设，计算知，，，则下次应计算的函数值为.
D．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，函数解析式为.
【答案】AC
【分析】利用抽象函数的定义域与值域判断AB；利用二分法的计算方法判断C；利用函数奇偶性求解析式判断D，从而得解．
【详解】对于A，因为定义域为，
所以对于，有，解得，
所以的定义域为，故A正确；
对于B，因为函数的定义域为，值域为，
所以的定义域也为，故其值域也为，故B错误；
对于C，因为，，，则，
故下次计算应是，即，故C正确；
对于D，因为当时，，
所以当时，，所以，
又是定义在上的奇函数，
所以，故D错误．
故选：AC.
三、填空题
9．若是方程的解，是方程的解，则 ．
【答案】
【分析】由题意可得，是函数的图象与函数的图象交点的横坐标，设.是函数的图象与函数的图象交点的横坐标，设．又函数的图象关于直线对称，函数与互为反函数，其图象关于直线对称，故点与点关于直线对称，即得的值．
【详解】是方程的解，是方程的解，
是方程的解，是方程的解，
即是函数的图象与函数的图象交点的横坐标，设.
是函数的图象与函数的图象交点的横坐标，设.
设点是函数图象上任一点，它关于直线的对称点也在函数的图象上，
函数的图象关于直线对称．
又与互为反函数，其图象关于直线对称，
点与点关于直线对称，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数与方程，属于中档题．
10．函数的零点的个数为 .
【答案】
【分析】函数的零点的个数即为的交点的个数，在同一直角坐标系中画出两个函数图像，数形结合即得解．
【详解】由题意，
即函数的零点的个数即为的交点的个数，在同一直角坐标系中画出两个函数图像
数形结合可知，两个函数有3个交点
故函数的零点的个数是3
故答案为：3
11．对于函数的叙述，正确的有 （写出序号即可）．
①若，则；②若有一个零点，则；③在上为减函数．
【答案】①②
【分析】利用对数函数的性质判断①；将函数的零点转化为函数图象的交点，进而判断②；取，得出，进而判断③．
【详解】对①，，
当时，由于，则，则①正确；
对②，由①可知，当时，，此时函数无零点
当时，令，得，即
函数的图象，如下图所示
若函数有一个零点，则函数与的图象有一个交点
由图象可知，，则②正确；
对③，当时，，，则
即当时，函数在上不是减函数，则③错误；
故答案为：①②
【点睛】本题主要考查了求分段函数的值域以及求函数零点的个数，属于中档题．
12．某校甲､乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份 （填“甲”或“乙”）食堂的营业额较高．
【答案】甲
【分析】甲食堂营业额每月增加，乙食堂营业额每月增加百分率为x，则，计算，得到答案．
【详解】设甲､乙两食堂1月份的营业额均为m，
甲食堂的营业额每月增加，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，
由题意可得，，
则5月份甲食堂的营业额，
乙食堂的营业额为.
因为，所以，
故本年5月份甲食堂的营业额较高．
故答案为：甲．
四、解答题
13．设函数，且．
(1)作出函数的大致图像，并指出它的单调区间；
(2)当实数a变化时，讨论关于x的方程的解的个数．
【答案】(1)函数的图像见解析，递减区间为，，递增区间是，；
(2)关于x的方程的解的个数见解析．
【分析】(1)根据给定条件结合二次函数，借助图象变换作出的大致图像，再利用图象写出函数的单调区间．
(2)把方程的解转化为直线与函数图像的交点即可作答．
【详解】（1）函数的图象可视为函数的图象向下平移1个单位而得，而函数的图象是
二次函数的图象在x轴上方的不动，把x轴下方图象沿x轴向上翻折而得，
的大致图像，如图：
观察函数的图象得：函数的递减区间为，，递增区间是，.
（2）依题意，关于x的方程的解就是直线与函数的图像交点的横坐标，如图，
当时，直线与函数的图像无公共点，即方程的解的个数为0，
当或时，直线与函数的图像有2个公共点，即方程的解的个数为2，
当时，直线与函数的图像有4个公共点，即方程的解的个数为4，
当时，直线与函数的图像有3个公共点，即方程的解的个数为3，
综上得：当时，方程的解的个数为0，当或时，方程的解的个数为2，
当时，方程的解的个数为3，当时，方程的解的个数为4.
14．2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环万只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为万元，且．当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．
(1)求出的值并写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)，
(2)当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．
【分析】（1）由题意可得，由可求出，然后可得的解析式；
（2）利用二次函数的知识求出当时的最大值，利用基本不等式求出当时的最大值，然后作比较可得答案．
【详解】（1）由题意可得
当时，所以
解得
所以
（2）当时，，其对称轴为
所以当时取得最大值万元
当时，万元
当且仅当即时等号成立
因为
所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．
15．已知函数在上的最大值为.
（1）求的解析式；
（2）讨论的零点的个数．
【答案】（1）（2）有且仅有个零点
【解析】（1）由，求导得到，根据函数在上的最大值为，利用唯一的极值点为最值点求解．
（2）由（1）得到，求导，设，分，， ， 四种情况用导数法结合零点存在定理求解．
【详解】（1）由，得，
令，得；令，得，
∴的单调递增区间是，单调递减区间是.
故在处有极大值，也是的最大值，
所以，∴，
故.
（2）∵，
∴，
设，
（i）当时，∴，所以单调递减．
又，，从而在上存在唯一零点．也即在上存在唯一零点．
（ii）当时，，所以在上单调递减，
因为，，
所以存在，，且在上，在上，
所以为在上的最大值，
又因为，，
所以在上恒大于零，无零点．
（iii）当时，，所以在上单调递减．
，所以在上单调递增．
又，，
所以在上存在唯一零点．
（iiii）当时，，
设，
∴，
所以在上单调递减，所以，即.
∴在上单调递减，
因为，所以在上单调递增，
因为，，
所以在无零点，
综上，有且仅有个零点．
【点睛】本题主要考查导数与函数的最值，导数与函数的零点以及零点存在定理的应用，还考查了分类讨论和运算求解的能力，属于难题．
16．已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)，，单调递减；当，，单调递增
(2)
【分析】（1），分，两种情况讨论；
（2）根据（1）的情况，分，两种情况讨论，当时，不符题意，当时，利用零点存在定理讨论2个零点存在的情况即可
【详解】（1）由已知得，，，
当时，，单调递增；
当时，令，，因为
所以，当，，单调递减；
当，，单调递增
（2）由（1）得，时，，单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当时，，为使有2个零点，必有，即，又；
令，则，明显可见，时，，在单调递增，故，即，
根据零点存在定理，存在，使得，
又，根据零点存在定理，存在，使得，综上，时，有2个零点
【点睛】关键点睛：解题的难点在于根据零点存在定理，满足题意的情况下，必有，得到的范围，进而讨论在此范围下，是否满足题中要求的有2个零点，属于难题
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