十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）专题04 函数解答题（3类题型 理科）

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目录
题型一：函数概念及其性质
题型二：函数的零点问题
题型三：函数的应用
题型一：函数概念及其性质
(2020江苏高考·第19题)
已知关于x的函数与在区间D上恒有．
（1）若，求h(x)的表达式；
（2）若，求k的取值范围；
（3）若求证：．
(2014高考数学上海理科·第20题)
设常数，函数．
（1）若，求函数的反函数；
（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．
(2014高考数学广东理科·第21题)
设函数，其中.
（1）求函数的定义域（用区间表示）；
（2）讨论函数在上的单调性；
（3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）.
(2015高考数学浙江理科·第18题)
已知函数，记是在区间上的最大值.
（1）证明：当时，；
（2）当，满足，求的最大值.
(2015高考数学上海理科·第23题)
对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，，.
（1）验证是以为周期的余弦周期函数；
（2）设．证明对任意，存在，使得；
（3）证明：“为方程在上得解”的充要条件是“为方程在上有解”，并证明对任意都有.
(2017年高考数学上海(文理科)·第21题)
设定义在上的函数满足：对于任意的、，当时，都有.
（1）若，求的取值范围；
（2）若为周期函数，证明：是常值函数；
（3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.
函数. 证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.
(2016高考数学浙江理科·第18题)
已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，
其中min{p，q}=
（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；
（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；
（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.
已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
题型二：函数的零点问题
(2020年浙江省高考数学试卷·第22题)
已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
(2019·上海·第18题)
已知.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若时，有零点，求的范围.
(2016高考数学江苏文理科·第19题)
已知函数.
（1）设.
①求方程=2的根；
②若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；
（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.
题型三：函数的应用
(2020江苏高考·第17题)
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米.
（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?
(2018年高考数学上海·第19题)
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
(2015高考数学上海理科·第20题)
如图，， ，三地有直道相通， 千米，千米， 千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往 地，经过小时，他们之间的距离为 （单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.
（1）求与 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当 时，求的表达式，并判断 在上得最大值是否超过？说明理由.