2023-2024学年湖南省永州市东安县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省永州市东安县七年级（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，是二元一次方程的是( )
A. xy=3B. x+y=5C. 3x+y2=1D. 1x+y=2
2.下列运算正确的是( )
A. x⋅x4=x5B. (a2)3=a5C. 3x2−x2=3D. (2x2)3=6x6
3.如果ax=4，ay=5，则ax+y=( )
A. 9B. 20C. 1D. 54
4.已知x=1y=2是方程ax+y=3的解，则a的值为( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
5.用加减消元法解方程组2x+y=3①x−y=4②，适合的方法是( )
A. ①−②B. ①+②C. ①×2+②D. ②×2+①
6.如果(x−2)(x+3)=x2+px+q，那么p、q的值是( )
A. p=5，q=6B. p=1，q=−6C. p=1，q=6D. p=5，q=−6
7.若x2+kx+64为一个完全平方式，则k的值为( )
A. 16B. ±16C. 8D. ±8
8.如图，根据阴影部分面积和图形的面积关系可以得到的数学公式是( )
A. a(a+b)=a2+ab
B. a(a−b)=a2−ab
C. (a+b)2=a2+2ab+b2
D. (a−b)2=a2−2ab+b2
9.根据(x−1)(x+1)=x2−1，(x−1)(x2+x+1)=x3−1，(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1，(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−1⋯的规律，则22022+22021+22020+⋯+23+22+2+1的末位数字是( )
A. 7B. 5C. 3D. 1
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
10.把方程3x+y=1改写成用含x的式子表示y的形式是：y= ______．
11.若(m−2)xm2−3+y=0是关于x，y的二元一次方程，则m的值是______．
12.计算：(−8)2021×(0.125)2020= ______．
13.计算：2m2⋅3m3= ______．
14.若x+y=2，x2−y2=10，则x−y=______．
15.若方程组x+y=73x−5y=−3，则3(x+y)−(3x−5y)的值是______．
16.已知x2−x−1=0，则代数式−x3+2x2+2022的值为______．
17.请看杨辉三角(1)，并观察下列等式(2)：

根据前面各式的规律，则(a+b)40的第三项系数是多少______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
18.分解因式
(1)x2−9；
(2)2x2−8x+8．
四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
用加减法解下列方程组：
(1)m+2n=13m+3n=−12；
(2)4x−y=30x−2y=−10．
20.(本小题6分)
计算：
(1)1042
(2)(a+b)2−(a−b)2
21.(本小题6分)
先化简再求值：a(a−2b)+2(a+b)(a−b)−(a−b)2，其中a=−2，b=3．
22.(本小题8分)
甲、乙两位同学在解方程组ax+3y=9bx−4y=4时，甲把字母a看错了得到方程组的解为x=4y=1；乙把字母b看错了得到方程组的解为x=3y=2．
(1)求a，b的正确值；
(2)求原方程组的解．
23.(本小题10分)
某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，怎样设计运输方案？请你列出所有的运输方案．
24.(本小题10分)
(1)已知(x+y)2=25，(x−y)2=81，求x2+y2和xy的值．
(2)已知a+b=4，ab=−3，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
25.(本小题14分)
把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式：a2+6a+8．
原式=a2+6a+9−1=(a+3)2−1=(a+3+1)(a+3−1)=(a+4)(a+2)．
②利用配方法求最小值：求a2+6a+8最小值．
解：a2+6a+8=a2+2a⋅3+32−32+8=(a+3)2−1.因为不论x取何值，(a+3)2总是非负数，即(a+3)2≥0.所以(a+3)2−1≥−1，所以当x=−3时，a2+6a+8有最小值，最小值是−1．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：x2−8x+______=(x−______)2；
(2)将x2−10x+2变形为(x+m)2+n的形式，并求出x2−10x+2的最小值；
(3)若M=6a2+19a+10，N=5a2+25a，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、xy=3是二元二次方程，故本选项错误；
B、x+y=5是二元一次方程，故本选项正确；
C、3x+y2=1是二元二次方程，故本选项错误；
D、不是整式方程，故本选项错误．
故选B．
根据二元一次方程的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
2.【答案】A
【解析】解：A.x⋅x4=x5，计算正确，符合题意；
B.(a2)3=a6，计算错误，不符合题意；
C.3x2−x2=2x2，计算错误，不符合题意；
D.(2x2)3=8x6，计算错误，不符合题意；
故选：A．
直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．
本题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算，掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵ax=4，ay=5，
∴ax+y=ax⋅ay=4×5=20，
故选：B．
利用同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案．
本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：将x=1y=2代入原方程得：a+2=3，
解得：a=1，
∴a的值为1．
故选：A．
将x=1y=2代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：①+②得：3x=7；
或①−②×2得：3y=−5；
故选：B．
利用加减消元法计算即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出p与q的值即可．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【解答】
解：∵(x−2)(x+3)=x2+x−6=x2+px+q，
∴p=1，q=−6，
故选：B．
7.【答案】B
【解析】解：∵x2+kx+64是一个完全平方式，
∴kx=±2⋅x⋅8，
解得：k=±16．
故选：B．
根据完全平方式得出kx=±2⋅x⋅8，再求出k即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2−2ab+b2．
8.【答案】D
【解析】解：阴影部分正方形的边长为a−b，
阴影部分的面积为(a−b)2，
根据题意可得，
(a−b)2=a2−2(a−b)×b−b2=a2−2ab+b2．
故选：D．
阴影部分的面积等于边长为a的正方形面积减去2个长为(a−b)宽为b的长方形面积和边长为b的正方形面积，
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景计算方法进行求解是解决本题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：由题中的规律可知，(x−1)(x2022+x2021+⋯+x2+x+1)=x2023−1，
将x=2代入得：(2−1)×(22022+22021+⋯+22+2+1)=22023−1，
则22022+22021+⋯+22+2+1=22023−1，
因为21−1=1，22−1=3，23−1=7，24−1=15，25−1=31，⋯，
所以2n−1的末位数字是按1，3，7，5为一个循环的，
因为2023=4×505+3，
所以22023−1的末位数字与23−1的末位数字相同，即为7．
故选：A．
由题意可发现规律(x−1)(x2022+x2021+⋯+x2+x+1)=x2023−1，再将x=2代入进行计算可得22022+22021+⋯+22+2+1=22023−1，然后根据2n−1的末位数字的规律即可解答．
本题主要考查了多项式乘法相关的规律、数字类规律探索等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
10.【答案】1−3x
【解析】解：3x+y=1，
y=1−3x．
故答案为：1−3x．
根据等式的性质移项即可．
本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
11.【答案】−2
【解析】解：∵(m−2)xm2−3+y=0是关于x，y的二元一次方程，
∴m−2≠0且m2−3=1，
解得m=−2，
故答案为：−2．
从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑．
本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：
(1)方程中只含有2个未知数；
(2)含未知数项的最高次数为一次；
(3)方程是整式方程．
12.【答案】−8
【解析】解：(−8)2021⋅(−0.125)2020
=(−8)2020×0.1252020×(−8)
=82020×0.1252020×(−8)
=(8×0.125)2020×(−8)
=12020×(−8)
=1×(−8)
=−8．
故答案为：−8．
积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此计算即可．
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
13.【答案】6m5
【解析】解：原式=6m5，
故答案为：6m5．
利用单项式乘单项式法则计算即可．
本题考查单项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：因为x2−y2=10，
所以(x−y)(x+y)=10，
因为x+y=2，
所以x−y=5．
故答案为：5．
利用平方差公式解答即可．
此题主要考查了平方差公式，能够熟练运用平方差公式是解题的关键．
15.【答案】24
【解析】解：∵x+y=73x−5y=−3，
∴3(x+y)−(3x−5y)=3×7−(−3)=21+3=24．
故答案为：24．
把(x+y)、(3x−5y)分别看作一个整体，代入进行计算即可得解．
本题考查了解二元一次方程组，计算时不要盲目求解，利用整体思想代入计算更加简单．
16.【答案】2023
【解析】解：∵x2−x−1=0，
∴x2−x=1，
∴原式=−x(x2−2x)+2022
=−x(x2−x−x)+2022
=−x(1−x)+2022
=x2−x+2022
=1+2022
=2023．
故答案为：2023．
根据条件得到x2−x=1，整体代入代数式中即可求得代数式的值．
本题考查了因式分解的应用，把x2−x=1整体代入到代数式中是解题的关键．
17.【答案】780
【解析】解：(a+b)2的第三项系数为：1；
(a+b)3的第三项系数为：3=1+2；
(a+b)4的第三项系数为：6=1+2+3；
…
(a+b)40的第三项系数=1+2+3+…+38+39=(1+39)×392=780，
故答案为：780．
从数字找规律进行计算，即可解答．
本题考查了规律型：数字的变化类，完全平方公式，数学常识，从数字找规律是解题的关键．
18.【答案】解：(1)原式=(x+3)(x−3)；
(2)原式=2(x2−4x+4)
=2(x−2)2．
【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
(1)原式利用平方差公式分解即可；
(2)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
19.【答案】解：(1)m+2n=13①m+3n=−12②，
②−①得：n=−25，
把n=−25代入①得：m=63，
∴方程组的解集为m=63n=−25；
(2)4x−y=30①x−2y=−10②，
②×4得：4x−8y=−40③，
①−③得：7y=70，
解得：y=10，
把y=10代入①得：x=10，
∴方程组的解集为x=10y=10．
【解析】(1)用加减消元法，求解即可；
(2)用加减消元法，求解即可．
本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
20.【答案】解：(1)1042
=(100+4)2
=10000+800+16
=10816；
(2)(a+b)2−(a−b)2
=a2+2ab+b2−(a2−2ab+b2)
=a2+2ab+b2−a2+2ab−b2
=4ab．
【解析】(1)变形为(100+4)2，再根据完全平方公式计算求解；
(2)先根据完全平方公式展开，再去括号合并同类项即可求解．
本题考查了完全平方公式，完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
21.【答案】解：a(a−2b)+2(a+b)(a−b)−(a−b)2
=a2−2ab+2(a2−b2)−(a2−2ab+b2)
=a2−2ab+2a2−2b2−a2+2ab−b2
=2a2−3b2，
当a=−2，b=3时，原式=2×(−2)2−3×32=−19．
【解析】根据单项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式进行计算，然后合并同类项，最后将a、b的值代入进行计算即可．
本题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式和平方差公式的应用．
22.【答案】解：(1)由题意，将x=4y=1代入bx−4y=4，得4b−4=4，
∴b=2，
将x=3y=2代入ax+3y=9，得3a+6=9，
∴a=1；
(2)x+3y=9amp;①2x−4y=4amp;②，
①×2−②，得y=1.4，
将y=1.4代入①得，x=4.8，
∴方程组的解为x=4.8y=1.4．
【解析】(1)由题意将x=4y=1代入bx−4y=4，将x=3y=2代入ax+3y=9，分别求解a、b即可；
(2)由(1)得方程组x+3y=9amp;①2x−4y=4amp;②，再由加减消元法解二元一次方程组即可．
本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，
根据题意可得：3x+2y=905x+4y=160，
解得：x=20y=15，
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；
(2)设安排A型车m辆，B型车n辆，
依题意得：20m+15n=190，即m=38−3n4，
又∵m，n均为正整数，
∴m=8n=2或m=5n=6或m=2n=10，
∴共有3种运输方案，
方案1：安排A型车8辆，B型车2辆；
方案2：安排A型车5辆，B型车6辆；
方案3：安排A型车2辆，B型车10辆．
【解析】(1)设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨，y吨，然后根据3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨列出方程组求解即可；
(2)设安排A型车m辆，B型车n辆，根据题意列出方程20m+15n=190，根据m、n都为正整数进行求解即可．
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程和方程组是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵(x+y)2=x2+y2+2xy=25，
(x−y)2=x2+y2−2xy=81，
∴2(x2+y2)=106，4xy=56，
∴x2+y2=53，xy=14；
(2)∵a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2，
∴a3b+2a2b2+ab3=(−3)×42=−48．
【解析】由完全平方公式，即可求解．
本题考查完全平方公式，关键是掌握完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
25.【答案】解：(1)16，4；
(2)x2−10x+2=x2−10x+25−23
=(x−5)2−23．
∵(x−5)2≥0，
∴当x=5时，原式有最小值−23．
(3)M−N
=6a2+19a+10−5a2−25a
=a2−6a+10
=a2−6a+9+1
=(a−3)2+1．
∵(a−3)2≥0，∴(a−3)2+1≥1>0，
∴M−N>0．
∴M>N．
【解析】解：(1)∵x2−8x+16=(x−4)2，
故答案为：16，4．
(2)见答案；
(3)见答案；
【分析】
(1)根据完全平方公式的特征求解．
(2)先配方，再求最小值．
(3)作差后配方比较大小．
本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键．