2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高一（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知m=(1,x)，n=(4,2)，若m/​/n，则x=( )
A. 2B. 4C. 12D. 14
2.如图，△O′A′B′是△OAB的直观图，则△OAB是( )
A. 正三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
3.若复数z满足z(1+2i)=5，则z=( )
A. 1+iB. 1−iC. 1+2iD. 1−2i
4.《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积(单位：平方丈)为( )
A. 5 1+π24πB. 5 1+4π24πC. 5 1+π22πD. 5 1+4π22π
5.在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且AE=13EC，则ED=( )
A. 12AB+14ACB. 12AB−23ACC. −12AB+14ACD. −12AB+23AC
6.已知在△ABC中，AB=3，AC=4，csA=58，则AB⋅BC=( )
A. −34B. −32C. 32D. 34
7.已知棱长均相等的四面体A−BCD的外接球的半径为 6，则这个四面体的棱长为( )
A. 3B. 2 2C. 2 3D. 4
8.已知A(1,−1)，B(4,0)，C(2,2)，平面区域D为由所有满足AP=λAB+μAC的点P(x,y)组成的区域(其中10)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的重心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，若b2+c2−a2=bc，则A=______．
13.如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的两点C，D，测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为______km．
14.已知平面向量a，b，c满足a⋅b=−3，|a−b|=4，c−a与c−b的夹角为π3，则|c−a−b|的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a，b满足|a|=5，|b|=4，(a+b)⊥b．
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)求|2a+b|．
16.(本小题15分)
已知复数z=3+mi(m∈R)，z1=(1+3i)z，且z1为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)设z、z2在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点.求向量OA在向量OB上的投影向量的坐标．
17.(本小题15分)
如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R=2，设圆柱的底面半径为r．
(1)以r为变量，表示圆柱的表面积S柱和体积V柱；
(2)当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AB=AC，BD=2，sin∠BADsin∠CAD=23
(1)求DC的长；
(2)若AD=2，求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
如图，△ABC中AB=1，AC=3，∠BAC=60°，AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且线段AE与线段AF的长度乘积为1．
(1)已知AF=2，请用AB,AC表示AG；
(2)求AG⋅EF的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：m=(1,x)，n=(4,2)，m/​/n，
∴14=x2，
则x=12．
故选：C．
利用向量平行的性质直接求解．
本题考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，因为线段A′B′与y′轴相交，设交点为C′，如图(1)所示，
在直角坐标系xOy中，点A在x轴上，可得OA=O′A′，点C在y轴上，可得OC=2O′C′，
如图(2)所示，因此点B必在线段AC的延长线上，所以∠BOA>∠COA=90°，
所以△OAB是钝角三角形．
故选：C．
根据斜二测画法的规则，画出△O′A′B′的直观图△OAB，结合图形，即可求解．
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算，主要考查了复数的除法运算法则的运用，属于基础题．
利用复数的除法运算法则，求解即可．
【解答】
解：因为z(1+2i)=5，
所以z=51+2i=5(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5(1−2i)5=1−2i．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，
则有2πr=2，2πR=3，
解得r=1π,R=32π，
又圆台的高为1丈，
所以圆台的母线长为l= 12+(R−r)2= 4π2+12π，
所以圆台的侧面积为S=π(R−r)⋅l=π×(1π+32π)× 4π2+12π=5 1+4π24π．
故选：B．
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，由已知周长求出r和R，然后由圆台的侧面积公式求解即可．
本题考查了圆台的几何性质的运用，圆台的侧面积公式的运用，解题的关键是求出圆台的上下底面半径，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：如图所示：
因为D为BC的中点，
所以AD=12AB+12AC．
又因为，AE=13EC，
所以AE=14AC．
所以，ED=AD−AE=12AB+12AC−14AC=12AB+14AC．
故选：A．
根据已知可推得AD=12AB+12AC，AE=14AC.然后根据ED=AD−AE，即可得出答案．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量数量积，属基础题．
将问题转化为向量AB,AC的数量积，即可快速求解．
【解答】
解：AB⋅BC=AB⋅(AC−AB)=AB⋅AC−(AB)2=3×4×58−9=−32，
故选：B．
7.【答案】D
【解析】解：棱长均相等的四面体A−BCD的外接球的半径为 6，
正四面体的外接球是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径为正方体的体对角线的长，
则体对角线的长为2 6，
设正方体的棱长为a，
则 a2+a2+a2=2 6，解得a=2 2，
故这个四面体的棱长为 2a=4．
故选：D．
先求出正方体的体对角线长，再结合球的特征，即可求解．
本题主要考查棱锥的结构特征，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的基本定理，向量线性运算的坐标表示，平行四边形的面积公式，向量夹角的余弦公式，基本不等式，考查了计算能力，属于较难题．
以AB，AC为邻边作▱ABCD，作CE=λAB,BF=μAC，从而得出点P形成的平面区域为▱DEQF，可得出DE=(λ−1)AB,DF=(μ−1)AC，根据A，B，C的坐标即可求出sin=45，根据区域D的面积为8即可得出λμ=λ+μ，进而求出λ+μ≥4，设P(x,y)，根据AP=λAB+μAC即可得出x+y=4(λ+μ)≤4(a+b)，从而可得出a+b的最小值．
【解答】
【解答】
解：如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD，
分别作CE=λCD=λAB，BF=μBD=μAC，
则由所有满足AP=λAB+μAC(1