2023-2024学年广东省河源市东源县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省河源市东源县七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算(−2024)0=( )
A. 1B. 0C. −1D. −2024
2.水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C=2πr.下列判断正确的是( )
A. 2是变量B. π是变量C. r是变量D. C是常量
3.如图，直线AB，CD交于点O，若∠1=50°，则∠2等于( )
A. 130°
B. 40°
C. 60°
D. 50°
4.下列运算正确的是( )
A. a⋅a2=a2B. 5a⋅5b=5abC. a5÷a3=a2D. 2a+3b=5ab
5.已知弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间有如表关系，则( )
A. y随x的增大而增大B. 质量每增加1kg，长度增加0.5cm
C. 不挂物体时，长度为6cmD. 质量为6kg时，长度为8.5cm
6.如图，计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是( )
A. 两点之间线段最短
B. 垂线段最短
C. 过一点只能作一条直线
D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7.有一游泳池注满水，现按一定的速度将水排尽，然后进行清扫，再按相同的速度注满清水，使用一段时间后，又按相同的速度将水排尽，则游泳池的存水量V(立方米)随时间t(小时)变化的大致图象可以是( )
A. B.
C. D.
8.如图，m/​/n，△ABC的顶点C在直线m上，∠B=70°，∠1=20°，则∠2的度数为( )
A. 50°
B. 40°
C. 45°
D. 60°
9.若a+b=−4，ab=1，则a2+b2=( )
A. −14B. 14C. 7D. −7
10.现定义一种新运算“※”，对任意有理数m，n都有m※n=mn(m−n)，则(a+b)※(a−b)=( )
A. 2ab2−2b2B. 2a2b−2b3C. 2ab2+2b2D. 2ab−2ab2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.比较大小：(−3)0 ______3−2．
12.谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是______．
13.石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为 ．
14.已知∠α=65°，则∠α的余角等于______°.
15.一个长方形的周长为14，其中它的长x为自变量，宽y为因变量，则y与x之间的关系式为______．
16.如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有______个白色圆片(用含n的代数式表示)．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：(−1)2024+|−2|−(12)−1．
18.(本小题4分)
计算：(2x2y+6xy3)÷2xy．
19.(本小题6分)
已知：如图，点P为∠AOB的边OB上一点．
(1)求作：过点P作∠CPB，使得∠CPB=∠AOB；(要求保留作图痕迹)
(2)直线CP和OA的位置关系是______．
20.(本小题6分)
如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示：
(1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)用h(cm)表示这摞碗的高度，用x(只)表示这摞碗的数量，请用含有x的代数式表示h；
(3)若这摞碗的高度为11.2cm，求这摞碗的数量．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：(x+y)2+x(y−2x)+(x+y)(x−y)，其中x=1，y=2．
22.(本小题10分)
如图1，点A、O、B在同一条直线上，∠BOC=40°，OD平分∠AOC.从点O出发画一条射线OE，使得∠COE=90°.请画出满足条件的射线OE，并求出∠DOE的度数．
(1)如图2，已画出射线OE的第一种位置，请将解题过程补充完整：
解：因为∠AOB=180°，∠BOC=40°
所以∠AOC=∠ ______−∠ ______= ______°
因为OD平分∠AOC
所以∠COD=12∠ ______= ______°
因为∠COE=90°
所以∠DOE=∠ ______−∠ ______= ______°
(2)请在图3中画出射线OE的第二种位置．
23.(本小题10分)
“天宫课堂”开讲，传播普及空间科学知识，激发了广大青少年不断追求“科学梦”的热情.小明在周末从家骑自行车到本市科技馆探索科技的奥秘，他骑行了一段时间后，在某路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向科技馆方向骑行，在快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，然后继续前往科技馆.小明离科技馆的距离(m)与离家的时间(min)的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小明家到本市科技馆的距离是______m；
(2)小明等待红绿灯所用的时间为______min；
(3)图中点C表示的意义是______；
(4)小明在整个途中，哪个时间段骑车速度最快？
24.(本小题12分)
如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形(如图②所示)．
(1)上述操作能验证的等式是______.(请选择正确的一个)
A.a2−b2=(a+b)(a−b)
B.a2−2ab+b2=(a−b)2
C.a2+ab=a(a+b)
(2)请应用(1)中的等式完成下列各题：
①已知a2−b2=28，a+b=7，则a−b= ______；
②计算：502−492+482−472+⋯42−32+22−12；
③计算：(1−122)×(1−132)×(1−142)×⋯×(1−1492)(1−1502)．
25.(本小题12分)
问题情景：如图1，AB/​/CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
(1)天天同学看过图形后立即口答出：∠APC=110°，请你补全他的推理依据．
如图2，过点P作PE/​/AB，
∵AB/​/CD，
∴PE//AB//CD.(______)
∴∠A+∠APE=180°．
∠C+∠CPE=180°.(______)
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.(______)
问题迁移：
(2)如图3，AD//BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
(3)在(2)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(−2024)0=1，
故选：A．
根据任何非零数的0指数幂都为1即可求解．
本题主要考查了零指数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意可得，
在C=2πr中．2、π为常量，r是自变量，C是因变量．
故选：C．
根据变量与常量的定义进行求解即可得出答案．
本题主要考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义进行求解是解决本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∠2=∠1=50°
故选：D．
根据对顶角相等，即可求解．
本题考查了对顶角的性质，正确认识对顶角是关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、a⋅a2=a3，故此选项错误；
B、5a⋅5b=25ab，故此选项错误；
C、a5÷a3=a2，正确；
D、2a+3b，无法计算，故此选项错误．
故选：C．
直接利用单项式乘以单项式以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．
此题主要考查了单项式乘以单项式以及同底数幂的乘除运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：A.当x≥4时，y是一个定值，故本选项不合题意；
B.当0≤x≤4时，质量每增加1kg，长度增加0.5cm，故本选项不合题意；
C.不挂物体时，长度为6cm，正确；
D.质量为6kg时，长度为8cm，故本选项不合题意．
故选：C．
根据题意可知y=0.5x+6(0≤x≤4)，据此判断即可．
本题考查了函数的表示方法，解答本题的关键是能读懂表格，根据表格信息得到我们解题需要的条件．
6.【答案】B
【解析】解：计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，
这样设计的依据是垂线段最短，
故选：B．
根据垂线段最短，可得答案．
本题考查了垂线段的性质，利用了垂线段的性质．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意分析可得：存水量V的变化有几个阶段：
1、减小为0，并持续一段时间；
2、增加至最大，并持续一段时间；
3、减小为0．
故选：C．
依题意，注满水的游泳池以一定的速度把水放尽，打扫一段时间再以相同的速度加满，然后过一段时间又以相同的速度放尽，由此可得出答案．
本题要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
8.【答案】A
【解析】解：作BD//m，如图，
∴∠DBC=∠1=20°，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=70°−20°=50°，
∵m/​/n，BD//m，
∴BD//n，
∴∠2=∠ABD=50°．
故选：A．
作BD//m，由平行线的性质得出∠DBC=∠1=20°，由平行公理推出BD//n，由平行线的性质得出∠2=∠ABD=50°即可．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴16=a2+b2+2，
∴a2+b2=14．
故选：B．
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
10.【答案】B
【解析】解：∵m※n=mn(m−n)，
∴(a+b)※(a−b)
=(a+b)(a−b)[(a+b)−(a−b)]
=(a2−b2)(a+b−a+b)
=(a2−b2)⋅2b
=2a2b−2b3．
故选：B．
根据新定义列出算式，再计算即可．
本题考查整式的混合运算，涉及新定义，解题的关键是掌握整式相关的运算法则．
11.【答案】>
【解析】解：(−3)0=1，3−2=19，
∵1>19，
∴(−3)0>3−2．
故答案为：>．
首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，分别求出(−3)0、3−2的值，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．
此题主要考查了零指数幂、负整数指数幂的运算及有理数大小比较．
12.【答案】冰的厚度
【解析】解：谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是冰的厚度．
故答案为：冰的厚度．
根据变量与常量的定义进行判定即可得出答案．
本题主要考查了变量与常量，熟练掌握变量与常量的定义进行求解是解决本题的关键．
13.【答案】3.4×10−10
【解析】解：0.00000000034=3.4×10−10．
故答案为：3.4×10−10．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14.【答案】25
【解析】解：∵∠α=65°，
∴∠A的余角=90°−∠α=90°−65°=25°．
故答案为：25．
根据互余两角之和等于90°即可得出答案．
本题考查了余角的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟记互余两角之和等于90°．
15.【答案】y=7−x
【解析】解：∵长方形的周长为14，长为x，宽为y，
∴2(y+x)=14，
∴y=7−x，
故答案为：y=7−x．
根据等腰三角形的周长为14列出等式，移项使y在等号左边，其余在等号右边即可．
本题主要考查列关系式，能列出方程是解题的关键．
16.【答案】(2+2n)
【解析】解：第1个图形中有2+2×1=4个白色圆片；
第2个图形中有2+2×2=6个白色圆片；
第3个图形中有2+2×3=8个白色圆片；
⋅⋅⋅⋅⋅
第n个图形中有(2+2n)个白色圆片；
故答案为：(2+2n)．
每增加一个图案增加2个白色圆片，据此解答．
本题考查了图形的变化类问题，找到图形变化的规律是解答本题的关键．
17.【答案】解：原式=1+2−2
=1．
【解析】利用有理数的乘方法则，绝对值的意义和负整数指数幂的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，有理数的乘方法则，绝对值的意义和负整数指数幂的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
18.【答案】解：原式=2x2y÷2xy+6xy3÷2xy
=x+3y2．
【解析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19.【答案】平行
【解析】解：(1)如图，∠CPB即为所求．
(2)∵∠CPB=∠AOB，
∴CP//OA，
∴直线CP和OA的位置关系是平行．
故答案为：平行．
(1)根据作一个角等于已知角的方法作图即可．
(2)根据平行线的判定可得答案．
本题考查作图—基本作图、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定、作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)通过表格所列举的变量可知，
碗的数量是自变量，高度是因变量，
(2)由表格中两个变量的变化关系可得，
h=4+1.2(x−1)=1.2x+2.8，
答：h=1.2x+2.8；
(3)当h=11.2cm时，即1.2x+2.8=11.2，
解得x=7，
答：当这摞碗的高度为11.2cm，碗的数量为7只．
【解析】(1)根据表格中所列举的两个变量即可得出答案；
(2)根据表格中数据变化规律得出答案；
(3)根据函数关系式，当h=11.2cm时，求出相应的x的值即可．
本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解变量与常量的意义，根据表格中两个变量的变化规律得出函数关系式是得出答案的关键．
21.【答案】解：原式=x2+2xy+y2+xy−2x2+x2−y2
=3xy，
当x=1，y=2时，
原式=3×1×2
=6．
【解析】用完全平方公式，平方差公式和单项式乘多项式法则，把所求式子化简，再将x=1，y=2代入计算即可．
本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式，平方差公式和单项式乘多项式法则，把所求式子化简．
22.【答案】AOB BOC 140 AOC 70 COE COD 20
【解析】解：(1)∵∠AOB=180°，∠BOC=40°，
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=12∠AOC=70°，
∵∠COE=90°，
∴∠DOE=∠COE−∠COD=20°，
故答案为：AOB，BOC，140，AOC，70，COE，COD，20；
(2)，
∵∠AOB=180°，∠BOC=40°，
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=12∠AOC=70°，
∵∠COE=90°，
∴∠DOE=∠COE+∠COD=160°．
(1)因为∠AOB=180°，∠BOC=40°，所以∠AOC=∠AOB−∠BOC=140°，因为OD平分∠AOC，所以∠COD=12∠AOC=70°，因为∠COE=90°，可得∠DOE=∠COE−∠COD=20°；
(2)射线OE在直线AB的下方时，因为∠AOB=180°，∠BOC=40°，所以∠AOC=∠AOB−∠BOC=140°，因为OD平分∠AOC，所以∠COD=12∠AOC=70°，因为∠COE=90°，可得∠DOE=∠COE+∠COD=160°．
本题考查了角的计算，关键是掌握角平分线的定义．
23.【答案】3000 2 小明在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，继续前往科技馆，此时小明离家12min，离科技馆的距离为600m
【解析】解：(1)根据题意和函数图象可知小明家到本市科技馆的距离为3000m．
故答案为：3000；
(2)根据函数图象可知线段AB，路程没有发生变化，
小明等待红绿灯所用的时间为8−6=2(min)，
故答案为：2；
(3)由图象可知C点表示小明在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，然后继续前往科技馆，此时小明离家12min，离科技馆的距离为600m，
故答案为：小明在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，继续前往科技馆，此时小明离家12min，离科技馆的距离为600m；
(4)由图可知，
小明在0～6min时间段内速度为：(3000−1560)6=240 (m/min)，
小明在8～12min时间段内速度为：(1560−600)÷(12−8)=240 (m/min)，
小明在12～15min时间段内速度为：(1560−600)÷(15−12)=320 (m/min)，
小明在15～21min时间段内速度为：1560÷(21−15)=260 (m/min)，
所以小明在12～15min时间段内速度最快．
(1)根据题意和函数图象可以得到小明家到本市科技馆的距离；
(2)根据函数图象可知线段AB，路程没有发生变化，此时在等红绿灯；
(3)根据题意，可知C点表示，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，然后继续前往科技馆，横坐标为12，纵坐标为600，据此即可求解：
(4)分别求得各时段的速度即可求解．
本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息，明白图中各个点的意义是解题的关键．
24.【答案】A 4
【解析】解：(1)图①中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，拼成的图②是长为a+b，宽为a−b的长方形，因此面积为(a+b)(a−b)，
所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，
故答案为：A；
(2)①∵a2−b2=28，即(a+b)(a−b)=28，而a+b=7，
∴a−b=4，
故答案为：4；
②原式=(50+49)(50−49)+(48+47)(48−47)+…+(4+3(4−3)+(2+1)(2−1)
=50+49+48+47+…+4+3+2+1
=50×(1+50)2
=1275；
③原式=(1−12)×(1+12)×(1−13)×(1+13)×…×(1−149)×(1+149)×(1−150)×(1+150)
=12×32×23×43×…×4849×5049×4950×5150
=12×5150
=51100．
(1)根据图形中阴影部分面积的计算方法进行计算即可；
(2)①由(1)的结论，代入计算即可；
②利用平方差公式将原式化为(50+49)(50−49)+(48+47)(48−47)+…+(4+3(4−3)+(2+1)(2−1)，进而得到50+49+48+47+…+4+3+2+1，再进行计算即可；
③利用平方差公式将原式化为(1−12)×(1+12)×(1−13)×(1+13)×…×(1−149)×(1+149)×(1−150)×(1+150)进而得到12×32×23×43×…×4849×5049×4950×5150即可．
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
25.【答案】(1)平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行同旁内角互补，等量代换；
(2)∠CPD=∠α+∠β，
理由是：如图3，过P作PE//AD交CD于E，
∵AD/​/BC，
∴AD/​/PE/​/BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
(3)当P在BA延长线时，
过P作PE//AD交CD于E，
同(2)可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠β−∠α；
当P在AB延长线时，
同(2)可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠α−∠β．
【解析】解：(1)过点P作PE/​/AB，
∵AB/​/CD，
∴PE//AB//CD.(平行于同一条直线的两条直线平行)
∴∠A+∠APE=180°．
∠C+∠CPE=180°.(两直线平行同旁内角互补)
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.(等量代换)
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行同旁内角互补；等量代换．
(2)见答案；
(3)见答案．
【分析】
(1)根据平行线的判定与性质填写即可；
(2)过P作PE//AD交CD于E，推出AD/​/PE/​/BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
(3)画出图形(分两种情况①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上)，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，难度适中．x(kg)
0
1
2
3
4
5
y(cm)
6
6.5
7
7.5
8
8
碗的数量(只)
1
2
3
4
5
…
高度(cm)
4
5.2
6.4
7.6
8.8
…