2023-2024学年广东省云浮市罗定市高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省云浮市罗定市高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足z(1+i)=|1−i|，i为虚数单位，则z=( )
A. iB. 22− 22iC. 12+12iD. 22+ 22i
2.已知向量a=(1,2),b=(1,−1),c=(4,5).若a与b+λc平行，则实数λ的值为( )
A. 114B. −114C. 1D. −1
3.下列说法正确的是( )
A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
4.如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的三等分点，则AF=( )
A. 13BA+23BC
B. 43BA+23BC
C. −56BA+16BC
D. −23BA+13BC
5.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C′D′=2，则下列说法正确的是( )
A. AB=2
B. A′D′=2 2
C. 四边形ABCD的周长为4+2 2+2 3
D. 四边形ABCD的面积为6 2
6.已知平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，AB⋅AD=4，点P在线段CD上(不包含端点)，则PA⋅PB的取值范围是( )
A. [−1,8)B. (0,8)C. [1,10)D. (0,10)
7.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，DC的中点，则异面直线MN和BC1所成角的余弦值为( )
A. 36
B. 34
C. 33
D. 32
8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若EF=2，sin∠ACF=3 314，则AC=( )
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.A，B，C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列说法错误的是( )
A. 若α∩β=l，n/​/α，n/​/β，则n/​/l
B. 若A，B∈l，A，B∉α，则l/​/α
C. 若A，B∈α，A，B，C∈β，α∩β=l，则C∈l
D. 若α/​/β，l⊂α，n⊂β，则l/​/n
10.欧拉公式exi=csx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是( )
A. e2i对应的点位于第二象限B. eπi为纯虚数
C. exi 3+i的模长等于12D. eπ3i的共轭复数为12− 32i
11.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个命题中正确的命题是( )
A. 若acsA=bcsB=ccsC，则△ABC一定是等边三角形
B. 若acsA=bcsB，则△ABC一定是等腰三角形
C. 若a2+b2−c2>0，则△ABC一定是锐角三角形
D. 若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC一定是锐角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(0,5)，b=(1,2)，则a在b的投影向量的坐标为______．
13.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=16.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为______．
14.已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠ABC=π3，∠ABC的角平分线交AC于点D，且BD= 3，则a+c的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a=(1,2),b=(−3,−2)．
(1)若c⊥(2a+b)，且|c|= 5，求c的坐标；
(2)若a与a+λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
16.(本小题15分)
如图是一个奖杯的直观图，它由球、长方体和正四棱台构成.已知球的半径为4cm，长方体的长、宽和高分别为8cm，6cm，18cm，正四棱台的上、下底面边长和高分别为11cm，15cm，5cm．
(1)求下部分正四棱台的侧面积；
(2)求奖杯的体积.(结果取整数，π取3)
17.(本小题15分)
如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE=EB，BF=3FC，连接ED、AF，交点为G．
(1)设AG=tAF，求t的值；
(2)求∠EGF的余弦值．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是矩形．
(1)设M为OA上靠近A的三等分点，N为BC上靠近B的三等分点．求证：MN/​/平面OCD；
(2)设E是OD上靠近点D的一个三等分点，试问：在OD上是否存在一点F，使BF/​/平面ACE成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
如图，已知|OA|=1,|OB|=2,OA与OB的夹角为2π3，点C是△ABO的外接圆优弧AB上的一个动点(含端点A，B)，记OA与OC的夹角为θ．
(1)求△ABO外接圆的直径2R；
(2)试将|OC|表示为θ的函数；
(3)设点M满足AM=13AB，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，求OC⋅OM的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可知：|1−i|= 12+(−1)2= 2，
由z(1+i)=|1−i|= 2，
可得z= 21+i= 2(1−i)(1+i)(1−i)= 22− 22i．
故选：B．
根据模长公式结合复数的四则运算求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：b=(1,−1)，c=(4,5)，
则b+λ c=(4λ+1,5λ−1)，
a=(1,2)，
a与b+λc平行，
则2(4λ+1)=5λ−1，解得λ=−1．
故选：D．
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：对于A：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，
所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；
对于B：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；
对于C：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，
以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误；
对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误．
故选：B．
根据几何体的结构特征逐项分析判断．
本题主要考查空间几何体的结构特征，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：AF=AE+EF=12AC+23EB=12AC+23(AB−AE)
=12AC+23AB−13AC=16AC−23BA
=16(BC−BA)−23BA=−56BA+16BC．
故选：C．
根据平面向量的线性运算结合图像将AF用BA、BC表示，即可得出答案．
本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：如图过D′作DE⊥O′B′，
由等腰梯形A′B′C′D′可得：△A′D′E是等腰直角三角形，
即A′D′= 2A′E=12×(4−2)× 2= 2，即B错误；
还原平面图为下图，
即AB=4=2CD,AD=2 2，即A错误；
过C作CF⊥AB，由勾股定理得CB=2 3，
故四边形ABCD的周长为：4+2+2 2+2 3=6+2 2+2 3，即C错误；
四边形ABCD的面积为：12×(4+2)×2 2=6 2，即D正确．
故选：D．
根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：如图，设DP=xDC=xAB(0