2023-2024学年江西省九江市瑞昌市八年级(下)期中数学试卷(含解析)
展开这是一份2023-2024学年江西省九江市瑞昌市八年级(下)期中数学试卷(含解析),共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.下列航天图标,其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. 中国探火B. 中国火箭
C. 中国行星探测D. 航天神舟
2.下面四个选项中的图案,能通过图平移得到的是( )
A. B. C. D.
3.用反证法证明,“在△ABC中,∠A、∠B对边是a、b.若∠A<∠B,则a
A. m−5
5.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=40°,则∠C的度数为( )
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 45°
6.将等腰直角三角形AOB按如图所示方式放置,然后将其绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置.若点B的横坐标为2,则点A′的坐标为( )
A. (1,1)
B. (− 2,2)
C. (−1,1)
D. ( 2,2)
二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。
7.“x的2倍与3的差大于零”用不等式表示为______.
8.若一个等腰三角形的腰长为10,底边长为12,则其底边上的高为______.
9.在平面直角坐标系中,将点A(−1,1)向右平移______个单位长度可得到点B(4,1).
10.如图,△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1,则∠ABB1= ______.
11.一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象如图所示,当y1
三、解答题:本题共11小题,共84分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
求不等式4(x+1)≤24的正整数解.
14.(本小题6分)
解不等式组5x−3≥2x①2x−13
如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,且BE=CF.求证:AB=AC.
16.(本小题6分)
如图,将Rt△ABC沿BC方向平移得到Rt△DEF,其中AB=8,BE=8,DM=5,求阴影部分的面积.
17.(本小题6分)
如图,已知直线及其两侧两点A、B.
(1)在图1中直线l上求作一点P,使PA=PB;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在图2中直线l画一点Q,使l平分∠AQB.(不写画法,保留画图痕迹)
18.(本小题8分)
已知AD是△ABC的角平分线,AB=8,△ABD的面积为16,△ACD的面积为12,求AC的长.
19.(本小题8分)
如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(3,2),C(1,4).将△ABC先向下平移4个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到△A1B1C1.
(1)画出平移后的△A1B1C1;
(2)若△A1B1C1看成是△ABC经过一次平移得到的,则平移的距离是______个单位长度.
(3)以点O为旋转中心,将△A1B1C1逆时针旋转90°,得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2.
20.(本小题8分)
如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解,那么称一元一次不等式①是一元一次不等②的“蕴含不等式”.例如不等式x>3的解都是不等式x>1的解,则称不等式x>3是不等式x>1的“蕴含不等式”.
(1)在不等式①x<−1,②x>4,③x<−3中,是x<−2的“蕴含不等式”的是______(填序号).
(2)若不等式x<−6是不等式3(x−1)<2x+m的“蕴含不等式”,求m的取值范围,
(3)已知x<−2n+4是x<2的“蕴含不等式”,试判断x>n+3是不是x>2的“蕴含不等式”,并说明理由.
21.(本小题9分)
如图,点O是等边△ABC内一点,将△BOC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA,连接OD.
(1)求证:△BOD是等边三角形;
(2)若AD=AO,∠AOC=100°时,求∠BOC的度数.
22.(本小题9分)
某中学组织学生前往瓷都景德镇研学.若只租用可坐乘客45人的A种客车若干辆,则有30人没有座位;若只租用可坐乘客60人的B种客车,则可少租6辆,且恰好坐满.
(1)这次研学一共有多少人?
(2)若该校计划租用A,B两种客车共25辆,要求B种客车不超过7辆,且每人都有座位,则有哪几种租车方案?
23.(本小题12分)
如图,BC为等边△ABM的高,AB=5 2,点P为射线BC上的动点(不与点B、C重合),连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转60°,得到线段PD,连接MD,BD.
(1)如图①,当点P在线段BC上时,且D在射线BC上时,求证:BP=DP.
(2)如图②,当点P在线段BC的延长线上时,求证:BP=MD.
(3)若点P在线段BC的延长线上,且∠BDM=30°时,请直接写出线段AP的长度.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:A、中国探火图标旋转180°后,不能与原图形重合,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
B、中国火箭图标旋转180°后,能与原图形重合,是中心对称图形,故此选项符合题意;
C、中国行星探测图标旋转180°后,不能与原图形重合,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
D、航天神舟图标旋转180°后,不能与原图形重合,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
故选:B.
根据中心对称图形的定义逐个判定即可.
本题考查中心对称图形的概念.熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键如果一个图形绕着某点旋转180°后,能与原来图形完全重合,则这个图形叫中心对称图形,这点叫对称中心.
2.【答案】C
【解析】解:根据平移不改变图形的形状、大小和方向,
将题图所示的图案通过平移后可以得到的图案是C,
其它三项皆改变了方向,故错误.
故选:C.
根据平移的特征分析各图特点,只要符合“图形的形状、大小和方向都不改变”即为答案.
本题考查了利用平移设计图案,图形的平移只改变图形的位置,而不改变图形的形状、大小和方向,学生易混淆图形的平移与旋转或翻转.
3.【答案】D
【解析】解:根据反证法的步骤,得:
第一步应假设a故选:D.
根据反证法的步骤,直接选择即可.
本题考查了反证法,熟知反证法的步骤是解答本题的关键.
4.【答案】D
【解析】解:A、∵m>n,
∴m−5>n−5,
故A不符合题意;
B、∵m>n,
∴−12m<−12n,
故B不符合题意;
C、∵m>n,
∴2m>2n,
∴2m−2m>2n−2m,
∴2n−2m<0,
故C不符合题意;
D、∵m>n,
∴−3m<−3n,
1−3m<1−3n,
故D符合题意;
故选:D.
根据不等式的性质进行计算,逐一判断即可解答.
本题考查了不等式的性质,熟练掌握不等式的性质是解题的关键.
5.【答案】B
【解析】解:∵AB=AD,∠BAD=40°,
∴∠B=12(180°−∠BAD)=12(180°−40°)=70°,
∵AD=DC,
∴∠C=∠CAD,
在△ABC中,∠BAC+∠B+∠C=180°,
即40°+∠C+∠C+70°=180°,
解得∠C=35°,
故选:B.
根据等腰三角形两底角相等求出∠B,根据等边对等角可得∠C=∠CAD,然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解.
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质,等边对等角的性质,熟记性质是解题的关键.
6.【答案】C
【解析】解:分别过点A和点A′作x轴和y轴的垂线,垂足分别为M和N,
由旋转可知,
OA=OA′,∠AOA′=90°,
∴∠A′ON+∠AON=∠AON+∠AOM=90°,
∴∠A′ON=∠AOM.
在△A′ON和△AOM中,
∠A′ON=∠AOM∠A′NO=∠AMOOA′=OA,
∴△A′ON≌△AOM(AAS),
∴A′N=AM,NO=MO,
∵点B的横坐标为2,
∴AM=OM=MB=1,
∴A′N=AM=1,NO=MO=1,
∴点A′的坐标为(−1,1).
故选:C.
分别过点A和点A′作x轴和y轴的垂线,根据图形旋转的性质,结合全等三角形的性质即可解决问题.
本题考查坐标与图形变化−旋转,熟知图形旋转的性质是解题的关键.
7.【答案】2x−3>0
【解析】解:由题意,2x−3>0.
故答案为:2x−3>0.
根据“x的2倍与3的差大于零”,构建不等式即可.
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式,读懂题意,抓住关键词语,弄清运算的先后顺序和不等关系,才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式.
8.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质以及勾股定理的应用.等腰三角形的高也是等腰三角形的中线.
在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中,根据勾股定理即可求得等腰底边上的高.
【解答】
解:如图:BC=12,AB=AC=10,
在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
则BD=DC=12BC=6.
Rt△ABD中,AB=10,BD=6,
由勾股定理,得AD= AB2−BD2=8.
故答案是:8.
9.【答案】5
【解析】解:将点A(−1,1)向右平移5个单位长度可得到点B(4,1).
故答案为:5.
利用点A和B点的横坐标特征可得到平移的距离.
本题考查了作图−平移变换:作图时要先找到图形的关键点,分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后,再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.
10.【答案】65°
【解析】解:∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1,
∴∠BAB1=50°,AB=AB1,
∴∠AB1B=∠ABB1=65°,
故答案为65°.
由旋转的性质可得∠BAB1=50°,AB=AB1,由等腰三角形的性质可求解.
本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质,掌握旋转的性质是解决本题的关键.
11.【答案】x>3
【解析】解:由所给函数图象可知,
当x>3时,一次函数y1=ax+b的图象在一次函数y2=cx+d图象的下方,即y1
故答案为:x>3.
利用数形结合的数学思想即可解决问题.
本题考查一次函数与一元一次不等式及一次函数的图象和性质,数形结合数学思想的巧妙运用是解题的关键.
12.【答案】4 33或4 3
【解析】解:分两种情况:
①如图,AB是等腰△ABP的底,则BP=AP,
∵∠ABC=30°,AB=4,
过点P作PD⊥AB于点D,
∴BD=12AB=12×4=2,csB=BDBP,
∴BP=BDcsB=2cs30∘=4 33;
②如图,AB是等腰△ABP的腰,则AP=AB=4,
∵∠ABC=30°,AB=4,
过点A作AD⊥BP于点D,
∴BD=PD=12BP,csB=BDAB,
∴BD=AB⋅csB=4×cs30°=4× 32=2 3,
∴BP=2BD=4 3;
综上所述,BP的长为4 33或4 3.
故答案为:4 33或4 3.
根据等腰三角形的三线合一性质,分两种情况讨论即可.
本题考查锐角三角函数的应用,等腰三角形的三线合一性质,通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键.
13.【答案】解:去括号,得:4x+4≤24,
移项、合并,得:4x≤20,
系数化为1,得:x≤5,
则不等式的正整数解为1、2、3、4、5.
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得.
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力,严格遵循解不等式的基本步骤是关键,尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.
14.【答案】解:解不等式①得x≥1,
解不等式②得x<2,
故不等式组的解集为1≤x<2.
把解集在数轴上表示出来为:
【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等式的解集表示在数轴上即可.
本题考查了解一元一次不等式,在数轴上表示不等式的解集,主要考查学生的计算能力.
15.【答案】证明:∵D是BC的中点,
∴BD=CD,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△BED和△CFD都是直角三角形,
在△BED和△CFD中,BD=CDBE=CF,
∴△BED≌△CFD(HL),
∴∠B=∠C,
∴AB=AC(等角对等边).
【解析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质,等角对等边的性质,证明得到∠B=∠C是解题的关键.
利用“HL”证明△BED和△CFD全等,再根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C,然后根据等角对等边即可得证.
16.【答案】解:∵直角△ABC沿BC方向平移得到直角△DEF,
∴DE=AB=8,
∵DM=5,
∴ME=DE−DM=8−5=3,
由平移可得:
S阴影=S△DEF−S△MEC
=S△ABC−S△MEC
=S梯形ABEM
=12×(3+8)×8,
=44.
【解析】根据平移的性质可得DE=AB,然后求出ME,再求出S阴影=S梯形ABEM,然后根据梯形的面积公式列式计算即可得解.
本题考查平移的基本性质:平移不改变图形的形状和大小;经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.
17.【答案】解:(1)如图所示,点P即为所求;
(2)如图所示,点Q即为所求.
【解析】(1)作线段AB的垂直平分线交直线l于点P,点P即为所求;
(2)作点B关于l的对称点B′,连接AB′并延长B′A交直线l于点Q,点Q即为所求.
本题考查作图−复杂作图、线段的垂直平分线、轴对称最短问题等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
18.【答案】解:如图,
过点D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴DE=DF,
∵△ABD的面积为16,AB=8,
∴12AB⋅DE=12×8⋅DE=16,
∴DE=4,
∴DF=DE=4,
∵△ACD的面积为12,
∴12AC⋅DF=12⋅AC⋅4=12,
∴AC=6.
【解析】过点D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,先利用角平分线的性质判断出DE=DF,再根据△ABD的面积与△ACD的面积,即可得出答案.
本题考查了角平分线的性质,三角形的面积公式,根据角平分线的性质判断出DE=DF是解本题的关键.
19.【答案】 17
【解析】解:(1)如图,△A1B1C1为所作;
(2)平移的距离是 42+12= 17.
故答案为: 17;
(3)如图,△A2B2C2为所作.
(1)利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标,然后描点即可;
(2)根据勾股定理求出;
(3)利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2,从而得到△A2B2C2.
本题考查了作图−平移变换,旋转变换,解决本题的关键是掌握平移的性质和旋转的性质.
20.【答案】③
【解析】解:(1)在不等式①x<−1,②x>4,③x<−3中,是x<−2的“蕴含不等式的是③x<−3.
故答案为:③;
(2)解不等式3(x−1)<2x−m可得x
解得m≥−9.
故m的取值范围是m≥−9;
(3)是,理由:
依题意有−2n+4≤2,解得n≥1,
∴x>n+3的范围是x>4,
故x>n+3是x>2的蕴含不等式.
(1)直接根据“蕴含不等式”的定义解答即可;
(2)先用m表示出不等式的解集,再由“蕴含不等式”的定义得出关于m的不等式,求出m的取值范围即可;
(3)根据题意得出关于n的不等式,求出n的取值范围,进而可得出结论.
本题考查解一元一次不等式,熟练掌握解一元一次不等式的技能是解题的关键.
21.【答案】(1)证明:∵将△BOC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA,
∴OB=OD,∠OBD=60°,
∴△BOD是等边三角形;
(2)解:∵△BOC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA,
∴△BOC≌△BDA,
∴∠ADB=∠BOC,
设∠ADB=∠BOC=α,
∵△BOD是等边三角形,
∴∠BDO=∠BOD=60°,
∴∠ADO=α−60°,
∠AOD=360°−α−100°−60°=200°−α,
当AD=AO时,∠AOD=∠ADO,即200°−α=α−60°,
解得,α=130°,
∴∠BOC=130°.
【解析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
(1)由旋转的性质得出OB=OD,∠OBD=60°,则可得出结论;
(2)由旋转的性质得出∠ADB=∠BOC,设∠ADB=∠BOC=α,易得∠ADO=α−60°,由等腰三角形的性质得出∠AOD=∠ADO,即200°−α=α−60°,则可得出答案.
22.【答案】解:(1)设原计划租用A种客车x辆,则这次研学去了(45x+30)人,
根据题意得:45x+30=60(x−6),
解得:x=26,
∴45x+30=45×26+30=1200.
答:这次研学去了1200人;
(2)设租用B种客车y辆,则租用A种客车(25−y)辆,
根据题意得:45(25−y)+60y≥1200y≤7,
解得:5≤y≤7,
又∵y为正整数,
∴y可以为5,6,7,
∴该学校共有3种租车方案,
方案1:租用5辆B种客车,20辆A种客车;
方案2:租用6辆B种客车,19辆A种客车;
方案3:租用7辆B种客车,18辆A种客车.
【解析】(1)设原计划租用A种客车x辆,则这次研学去了(45x+30)人,根据这次去研学的人数不变,可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论;
(2)设租用B种客车y辆,则租用A种客车(25−y)辆,根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人,且租用的B种客车不超过7辆”,可得出关于y的一元一次不等式组,解之可得出y的取值范围,再结合y为正整数,即可得出各租车方案.
本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元一次方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组.
23.【答案】(1)证明:∵BC为等边△ABM的高,
∴∠ABM=∠BAM=∠BMA=60°,∠ABC=∠CBM=12∠ABM=30°,BC⊥AM,
∵线段AP绕点P逆时针旋转60°,
∴∠APD=60°=∠ABP+∠BAP,
∴∠BAP=∠ABP=30°,
∴BP=AP=PD,
∴BP=DP;
(2)证明:如图②所示,连接AD,
∵△ABM是等边三角形,
∴AB=AM,∠BAM=60°=∠AMB,
根据旋转的性质,AP=DP,∠APD=60°,
∴△APD是等边三角形,
∴PA=PD=AD,∠PAD=∠BAM=60°,
∴∠BAP=∠BAC+∠CAP,∠MAD=∠PAD+∠CAP,
∴∠BAP=∠MAD,
在△BAP和△MAD中,
BA=MA∠BAP=∠MADAP=AD,
∴△BAP≌△MAD(SAS),
∴BP=MD;
(3)解:根据题意画图如下,
∵BC为等边△ABM的高,
∴∠ABM=∠BAM=∠BMA=60°,∠ABC=∠CBM=12∠ABM=30°,
由(2)可知,△BAP≌△MAD,
∴∠ABP=∠AMD=30°,
∴∠BMD=∠AMB+∠AMD=90°,
∴∠DBM=60°,
∴点D在BA的延长线上,
∵∠BDM=30°,∠BMD=90°,
∴BD=2BM=10 2,
∴AD=BD−AB=5 2,
∵PA=PD=AD,
∴AP=AD=5 2.
【解析】(1)BC为等边△ABM的高,得∠ABC=∠CBM=12∠ABM=30°,线段AP绕点P逆时针旋转60°,根据三角形的外角的性质即可求解;
(2)如图所(见详解),连接AD,根据旋转的性质,得AP=DP,∠APD=60°,△APD是等边三角形,∠BAP=∠MAD,由此证明△BAP≌△MAD(SAS),即可求解;
(3)由(1),(2)的结论可知,△BAP≌△MAD(SAS),∠ABP=∠AMD=30°,∠BMD=∠AMB+∠AMD=90°,∠DBM=60°,点D在BA的延长线上,再根据直角三角形的性质,等边三角形的性质即可求解.
本题主要考查几何变换,等边三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,掌握和理解这些性质进行推理是解题的关键.
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