还剩21页未读，
继续阅读
2023-2024学年四川省成都市金牛区铁路中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）
展开
这是一份2023-2024学年四川省成都市金牛区铁路中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知aA. ac3.下列从左到右的变形，是因式分解的是( )
A. m2−1=(m+1)(m−1)B. 2(a−b)=2a−2b
C. x2−2x+1=x(x−2)+1D. a(a−b)(b+1)=(a2−ab)(b+1)
4.下列说法中，错误的是( )
A. 角平分线上的点到角两边的距离相等
B. 到线段两端点距离相等的点，在线段的中垂线上
C. 三角形的三边分别为a、b、c，若满足a2−b2=c2，则三角形是直角三角形
D. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形一定成中心对称
5.若分式x−1x−3有意义，则x满足的条件是( )
A. x=1B. x=3C. x≠1D. x≠3
6.在平面直角坐标系中，将点A(−1,2)向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的点坐标为( )
A. (1,−1)
B. (−1,5)
C. (−3,−1)
D. (−3,5)
7.下列运算中，错误的是( )
A. ab=acbc(c≠0)B. x−yx+y=−y−xy+x
C. 0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3bD. −a+ba+b=−1
8.如图，将直角三角形ABC沿点B到点C的方向平移3cm得到三角形DEF.DE交AC于点H，已知AB=6cm，BC=9cm，DH=2cm，那么图中阴影部分的面积为( )
A. 42cm2B. 30cm2C. 21cm2D. 15cm2
二、非选择题（共118分）
9.分解因式：m2−4= ．
10.若不等式m−4x>m−4的解集为x<1，则m的取值范围是__________．
11.等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 ．
12.如图，在△ABC中，∠BAC=130°，∠C=15°.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α度得到△AB′C′.若点B刚好落在BC边上，则α=______．
13.如图，在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB=10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD=6，则三角形MCD的面积为______．
14.(1)分解因式：(a+b)2+6(a+b)+9；
(2)解不等式：x−13≥x−22+1；
(3)计算：a+2a−2⋅1a2+2a．
15.解不等式组2x−1316.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．
(1)请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1并写出点C1的坐标；
(2)请画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的△AB2C2；
(3)在△ABC旋转到△AB2C2的过程中，点C经过的路径长度为______．
17.已知直线y=kx+b经过点A(5,0)，B(1,4)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若直线y=2x−4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
(3)根据图象，写出关于x的不等式2x−418.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．
(1)如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；
(2)如图②，当CQ在∠ACB外部时，求证：AD−BE=DE；
(3)在(1)的条件下，若CD=18，S△BCE=2S△ACD，求AE的长．(直接写结果)
19.若ab=3，a−b=15，则a2b−ab2= ______．
20.对于任意非零实数a，b，定义运算“☆”如下：a☆b=a−b2ab，则2☆1+3☆2+4☆3+…+1021☆1020= ______．
21.若关于x的不等式3x+a≤2只有1个正整数解，则a的取值范围为______．
22.如图，在△ABC中，点D是BC上边一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED.DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F，若DG=GE，AF=4，BF=2，△ADG的面积为5.则点F到直线BC的距离为______．
23.Rt△ABC中，AB=AC=3 2,BO=13AB，点M为BC边上一动点，将线段CM绕点O按逆时针方向旋转90°至ON，连接AN，CN，则△CAN周长的最小值为______．
24.某地脱贫攻坚，大力发展有机农业，种植了甲、乙两种蔬菜.某超市花430元可购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克；花212元可购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克．
(1)求该超市购进甲、乙两种蔬菜的单价分别为多少元？
(2)若该超市每天购进甲、乙两种蔬菜共计100千克(甲、乙两种蔬菜重量均为整数)，且花费资金不少于1160元又不多于1200元，问该超市有多少种购进方案？
(3)已知甲种蔬菜市场销售价为每千克16元，乙种蔬菜市场销售价为每千克18元.在(2)的条件下，该超市决定按能获得最大利润的方案进货并销售(每天所进蔬菜均能卖完)，同时将获得的利润按甲种蔬菜每千克2a元，乙种蔬菜每千克a元的标准捐献给当地政府作为扶贫基金.若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
25.如图，直线AB：y= 33x+b，其中B(−1,0)，点A横坐标为4，点C(3,0)，直线FG垂直平分线段BC．
(1)求b的值与直线AC的函数表达式；
(2)D是直线FG上一点，且位于x轴上方，将△BCD翻折得到△BC′D′，若C′恰好落在线段FG上，求C′和点D的坐标；
(3)设P是直线AC上位于FG右侧的一点，点Q在直线FG上，当△CPQ为等边三角形时，求BP的函数表达式．
26.如图1，在△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD=CE，连接DE，AE，BD，过点C作CF⊥AE，垂足为H，CF与BD交于点F．
(1)求证：DF=BF；
(2)将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，(1)的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若CD=4，CB=6，将△CDE绕点C逆时针旋转一周，当A，E，D三点共线时，求CF的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】B
【解析】解：A.当c≤0时，不能从aB.∵a∴a+cC.如a=−3，b=−2，此时ab2，故本选项不符合题意；
D.∵a∴−a>−b，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】A
【解析】解：A、是因式分解，故本选项符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4.【答案】D
【解析】解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，说法正确，故本选项不符合题意
B.到线段两端点距离相等的点，在线段的中垂线上，说法正确，故本选项不符合题意
C.三角形的三边分别为a、b、c，若满足a2−b2=c2，则三角形是直角三角形，说法正确，故本选项不符合题意
D.如果两个三角形全等，这两个三角形不一定成中心对称，原说法错误，符合题意．
故选：D．
根据角平分线的性质可判断选项A；根据垂直平分线的性质可判断选项B；根据勾股定理的逆定理可得判断选项C；根据全等三角形的性质以及中心对称的定义可判断选项D．
本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，中心对称，勾股定理的逆定理，全等三角形的性质等知识，解题关键是熟练掌握基本知识．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了分式有意义的条件，掌握“分母不为零时分式有意义”是解题关键。
【解答】
解：分式x−1x−3有意义，得：
x−3≠0
解得x≠3
故选D。
6.【答案】C
【解析】将点(−1,2)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后得到的点是(−1−2,2−3)，即(−3,−1)，故选C．
【分析】
本题考查坐标与图形变化−平移；用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
根据平移中，点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．即可得出平移后点的坐标．
【解答】
解：将点(−1,2)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
则平移后得到的点是(−1−2,2−3)，即(−3,−1)，
故选C．
7.【答案】D
【解析】解：A、分式ab的分子分母同时乘以不为零的c，分式的值不变，即ab=acbc(c≠0).故本选项正确；
B、分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变，即x−yx+y=−y−xy+x.故本选项正确；
C、分式的分子、分母同时乘以10，分式的值不变，即0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3b.故本选项正确；
D、−a+ba+b=−a−ba+b≠−1.故本选项错误；
故选：D．
根据分式的基本性质进行解答．注意：分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变．
本题考查了分式的基本性质．无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘(除)分子、分母中的任何一项，且扩大(缩小)的倍数不能为0．
8.【答案】D
【解析】解：由平移的性质知，DE=AB=6cm，HE=DE−DH=4cm，CF=BE=3cm，HC//DF，∠DEF=∠B=90°，
∴EC=6cm，
∴S四边形HDFC=S△EFD−S△ECH=12DE⋅EF−12EH⋅EC=15(cm2).
故选：D．
根据平移的性质可得到相等的边与角，利用平行线分线段成比例可求出EC，再根据S四边形HDFC=S△EFD−S△ECH即可得到答案．
此题主要考查了平行线截线段对应成比例和平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
9.【答案】(m+2)(m−2)
【解析】【分析】
本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项都是平方项；符号相反．
直接利用平方差公式分解则可．
【解答】
解：m2−4=(m+2)(m−2)．
故答案为：(m+2)(m−2)．
10.【答案】m<4
【解析】解：∵不等式(m−4)x>m−4的解集为x<1，
∴m−4<0，
解得m<4，
故答案为：m<4．
根据不等式的基本性质3求解可得．
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的基本性质3．
11.【答案】80°
【解析】本题给出了一个底角为50°，根据等腰三角形两底角相等，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．
解：∵等腰三角形两底角相等，
∴180°−50°×2=80°，
∴顶角为80°．
故答案为80°．
本题考查等腰三角形的性质．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键．
12.【答案】110°
【解析】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，
∴AB=AB′，∠C′B′A=∠B，
∴∠AB′B=∠B，
∵∠BAC=130°，∠C=15°，
∴∠B=35°，
∴∠BAB′=180°−2×35°=110°，
∴α=110°，
故答案为：110°．
根据旋转的性质得到AB=AB′，∠C′B′A=∠B，由等腰三角形的性质得到∠AB′B=∠B，然后根据∠BAC=130°，∠C=15°算出∠B即可得α．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，判断得出∠AB′B=∠B是解决此题的关键．
13.【答案】12
【解析】解：过点M作ME⊥CD，垂足为E，
∵∠ACB=∠ADB=90°，AB=10，M是AB的中点，
∴CM=12AB=5，DM=12AB=5，
∴CM=DM，
∵ME⊥CD，
∴CE=DE=12CD=3，
在Rt△CEM中，EM= CM2−CE2= 52−32=4，
∴△CDM的面积=12CD⋅EM
=12×6×4
=12，
故答案为：12．
过点M作ME⊥CD，垂足为E，根据直角三角形斜边上的中线可得CM=DM=12AB=5，从而利用等腰三角形的三线合一性质可以求出CE的长，然后在Rt△CEM中，利用勾股定理求出EM的长，最后利用三角形的面积进行计算即可解答．
本题考查了三角形的面积，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14.【答案】解：(1)原式=(a+b)2+6(a+b)+32
=(a+b+3)2；
(2)x−13≥x−22+1，
2(x−1)≥3(x−2)+6，
2x−2≥3x−6+6，
2x−3x≥2−6+6，
−x≥2，
x≤−2；
(3)原式=a+2a−2⋅1a(a+2)
=1a(a−2)
=1a2−2a．
【解析】(1)根据完全平方公式把多项式分解因式即可；
(2)按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，最后把x的系数化成1，进行解答即可；
(3)先把分式的分子和分母分解因式，然后约分即可．
本题主要考查了分式的混合运算和解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤、常见的几种分解因式的方法、分式的通分和约分．
15.【答案】解：解不等式①，得：x<5，
解不等式②，得：x≥−2，
则不等式组的解集为−2≤x<5，
所以不等式组所有整数解的和为−2−1+0+1+2+3+4=7．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】 132π
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标(−3,−4)；
(2)如图，△AB2C2即为所求；
(3)∵AC= 22+32= 13
∴点C经过的路径长度=90π⋅ 13190= 132π.
故答案为： 132π.
(1)利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B2，C2即可；
(3)利用弧长公式求解．
本题考查作图−旋转变换，弧长公式等知识，解题关键是掌握旋转变换的性质，记住弧长公式l=nπr180．
17.【答案】解：(1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵一次函数的图象经过点A(5,0)和B(1,4)两点，
∴5k+b=0k+b=4．
解得k=−1b=5．
∴一次函数的表达式为y=−x+5；
(2)联立方程组y=−x+5y=2x−4，
解得x=3y=2，
∴点C的坐标(3,2)；
(3)不等式2x−4【解析】(1)利用待定系数法求出直线AB的解析式；
(2)解方程组求出点C的坐标；
(3)利用数形结合思想解答．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图①，延长DA到F，连接CF，使DF=DE，
∵CD⊥AE，
∴CE=CF，
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，
∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°，
又∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，
∴∠ACD+∠BCE=90°−45°=45°，
∴∠ACF=∠BCE，
在△ACF和△BCE中，
∵CF=CE∠ACF=∠BCEAC=BC,
∴△ACF≌△BCE(SAS)，
∴AF=BE，
∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，
即AD+BE=DE；
(2)如图②，在AD上截取DF=DE，
∵CD⊥AE，
∴CE=CF，
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，
∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°，
∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠ACF=∠BCE，
∵在△ACF和△BCE中，
CF=CE∠ACF=∠BCEAC=BC,
∴△ACF≌△BCE(SAS)，
∴AF=BE，
∴AD=AF+DF=BE+DE，
即AD−BE=DE；
(3)∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，
∴∠ECF=45°+45°=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴CD=DF=DE=18，
∵S△BCE=2S△ACD，
∴AF=2AD，
∴AD=11+2×18=6，
∴AE=AD+DE=6+18=24．
【解析】(1)延长DA到F，连接CF，使DF=DE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的性质即可证明AF=BE，从而得证；
(2)在AD上截取DF=DE，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的性质即可证明AF=BE，从而得到AD=BE+DE；
(3)根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD，然后求出AD的长，再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
19.【答案】35
【解析】解：∵ab=3，a−b=15，
∴a2b−ab2
=ab(a−b)
=3×15
=35，
故答案为：35．
先将原式变形为ab(a−b)，再将ab=3，a−b=15代入计算即可．
本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
20.【答案】5101021
【解析】解：由题意得：2☆1+3☆2+4☆3+…+1021☆1020
=2−12×2×1+3−22×3×2+4−32×4×3+…+1021−10202×1021×1020
=12×2×1+12×3×2+12×4×3+…+12×1021×1020
=12×(1−12+12−13+13−14+…+11020−11021)
=12×(1−11021)
=12×10201021
=5101021，
故答案为：5101021．
利用定义的新运算进行计算，即可解答．
本题考查了规律型：数字的变化类，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】−4【解析】解：由3x+a≤2可得x≤2−a3，
∵关于x的不等式3x+a≤2只有个正整数解，
∴1≤2−a3<2，
解得−4故答案为：−4先求出不等式3x+a≤2的解集，再根据关于x的不等式3x+a≤2只有1个正整数解，可以得到关于a的不等式组，然后求解即可．
本题考查一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确有两个正整数解，一定是1和2．
22.【答案】3 105
【解析】解：∵DG=GE，
∴S△ADG=S△AEG=5，
∴S△ADE=10，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD=S△ADE=10，∠BFD=90°，
∴12⋅(AF+DF)⋅BF=10，
∴12⋅(4+DF)⋅2=10，
∴DF=6，
∴DB= BF2+DF2= 22+62=2 10，
设点F到BD的距离为ℎ，则有12⋅BD⋅ℎ=12⋅BF⋅DF，
∴ℎ=3 105，
故答案为：3 105．
先求出△ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为ℎ，根据12⋅BD⋅ℎ=12⋅BF⋅DF，求出BD即可解决问题．
本题考查翻折变换的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
23.【答案】3 2+3 5
【解析】解：如图，作OH⊥BC于H，NJ⊥OH于J．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∵OH⊥BC于H，
∴OH=BH，
∴AB=AC=3 2，BO=13AB，
∴OB= 2，BC=6，
∴OH=BH=1，
∵OH⊥BC，NJ⊥OH，
∴∠OHM=∠OJN=90°，
∴∠OMH+∠MOH=∠NOJ+∠MOH=90°，
∴∠OMH=∠NOJ，
在△OHM和△NJO中，
∠OMH=∠NOJ∠OHM=∠NJO=90°OM=ON，
∴△OHM≌△NJO(AAS)，
∴JN=OH=1，
∴点N的运动轨迹是直线(该直线与直线OH平行，在OH的右侧，与OH的距离是1，
作点C关于该直线的对称点C′，连接AC′交该直线于N′，连接CN′，此时△ACN′的周长最小，作AG⊥BC于G．
∴CG=BG=3=AG，
∴C′G=6，
在Rt△AGC′中，AC′= AG2+C′G2= 9+36=3 5，
∴△ACN的周长的最小值为3 2+3 5．
故答案为：3 2+3 5．
如图，作OH⊥BC于H，NJ⊥OH于J.由“AAS”可证△OHM≌△NJO，推出JN=OH=1，推出点N的运动轨迹是直线(该直线与直线OH平行，在OH的右侧，与OH的距离是1，作点C关于该直线的对称点C′，连接AC′交该直线于N′，连接CN′，此时△ACN′的周长最小．
本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
24.【答案】解：(1)设甲单价x元，乙单价y元，
根据题意，得15x+20y=43010x+8y=212，
解得x=10y=14，
∴甲种蔬菜的单价为10元，乙种蔬菜的单价为14元；
(2)设购进甲m千克，则购进乙(100−m)千克，
由题意得：1160≤10m+14(100−m)≤1200，
解得：50≤m≤60，
∴共有11种方案；
(3)∵16−10=6(元)，18−14=4(元)，
∴总利润为：6m+4(100−m)=400+2m，
当m取最大值60时，总利润最大=520(元)，
此时成本=10×60+14×(100−60)=1160(元)，
由题意得，(6−2a)×60+(4−a)×40≥1160×20%，
解得：a≤1.8，
∴a最大为1.8．
【解析】(1)设甲单价x元，乙单价y元，根据题意列出方程计算即可；
(2)设购进甲m千克，则购进乙(100−m)千克，根据题意列出不等式，求解即可；
(3)先算出总利润的表达式，得出当m取最大值60时，有最大总利润，再根据题意列出不等式求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找准等量关系．
25.【答案】(1)把点B(−1,0)代入直线AB：y= 33x+b中，
得 33×(−1)+b=0，
∴b= 33，
∴AB的函数关系式：y= 33x+ 33，
当x=4时y=53 3，
∴点A的坐标为(4,53 3)，
设AC的函数关系式为：y=mx+n，
把A(4,53 3)，C(3,0)两点坐标代入，
得4k+b=53 33k+b=0，
∴k=53 3，b=5 3，
∴直线AC的函数表达式为：y=53 3x−5 3；
(2)过点A作AF⊥x轴于点F，
由点A(4,53 3)，B(−1,0)得，
tan∠ABF=AFBF=53 35= 33，
∴∠ABF=30°，
由翻折得∠C′BC=60°，BC=BC′=4，
在Rt△BGC′中，BG=2，GC′=2 3，
∴点C′的坐标为(1,2 3)，
在Rt△BDG中，∠DBG=30°，
∴DG=BG 3=2 3=23 3，
∴点D坐标为(1,23 3)；
(3)∵直线FG垂直平分线段BC，在FG上取(2)中的C′，
∴BC=BC′，QB=QC，
由(2)知∠CBC′=60°，∠CBD=∠C′BD，
∴△BCC′是等边三角形，AB垂直平分CC′，
①点P在x轴上方，如图2，
∵△BCC′和△PQC都是等边三角形，
∴CC′=CB，CP=CQ，∠PCQ=∠BCC′=60°，
∴∠PCC′=∠QCB，
∴△PCC′≌△QCB(SAS)，
∴PC′=QB，
∵QB=QC，CP=CQ，
∴PC=PC′，
∵BC=BC′，
∴PB垂直平分CC′，
∴点P与点A重合，
∴PA的函数关系式就是AB的函数关系式：y= 33x+ 33；
②点P在x轴下方，如图3，
∵△BCC′和△PQC都是等边三角形，
∴CC′=CB，CP=CQ，∠PCQ=∠BCC′=60°，
∴∠PCCB∠QCBC′，
∴△PCB≌△QCC′(SAS)，
∴∠CBP=∠CC′Q=30°，
在Rt△BHO中，BO=1，
∴HO=tan∠OBH⋅BO= 33，
∴点H的坐标为(0,− 33)，
设BP的函数关系式为y=mx+n，
把点B(−1,0)，H(0,− 33)代入得，
−k+b=0b=− 33，
解得k=− 33，b=− 33，
∴PA的函数关系式y=− 33x− 33，
综上所述PA的函数关系式y= 33x+ 33或y=− 33x− 33．
【解析】(1)把点B(−1,0)代入直线AB：y= 33x+b中，可得 33×(−1)+b=0，得b= 33，写出AB的函数关系式：y= 33x+ 33，当x=4时y=53 3，设AC的函数关系式为：y=mx+n，把A，C两点坐标代入即可求解；
(2)由点A，B的坐标可以求出∠ABC=30°，再△BCD翻折得到△BC′D′，若C′恰好落在线段FG上，得BC=BC′，∠CBC′=60°，用锐角三角函数知识即可求解；
(3)分类讨论，利用全等三角形知识探索直线BP的特征．
本题主要考查了一次函数关系式求法，三角形全等知识，锐角三角函数知识，解题关键是综合解题能力．
26.【答案】(1)证明：在△CAE和△CBD中，
CE=CD∠ACE=∠BCDAC=BC，
∴△CAE≌△CBD(SAS)，
∴∠CAE=∠CBD，
∵CF⊥AE，
∴∠AHC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AHC=∠ACB=90°，
∴∠CAH+∠ACH=∠ACH+∠BCF=90°，
∴∠CAH=∠BCF，
∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD，
∴∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，
∴CF=DF，CF=BF，
∴DF=BF；
(2)解：(1)的结论仍然成立．理由如下：
作BP//CD交直线CF于点P，如图2，
∴∠PBC+∠BCD=180°，
又∠ACE+∠BCD=360°−∠ACB−∠DCE=360°−90°−90°=180°，
∴∠PBC=∠ACE，
又∵CF⊥AE，
∴∠AHC=90°，
∴∠ACH+∠CAH=90°，
又∵∠ACH+∠PCB=180°−∠ACB=180°−90°=90°，
∴∠CAH=∠PCB，
又∵CA=CB，
∴△CAE≌△BCP(ASA)，
∴CE=BP，
又∵CE=CD，
∴CD=BP，
又∵BP//CD，
∴∠CDF=∠PBF，∠DCF=∠P，
∴△CDF≌△PBF(ASA)，
∴DF=BF．
(3)解：①当点E在AD的延长线上时，过点B作BG⊥CF于点G，
∵CD=CE，CH⊥DE，CD=4，
∴CH= 22，CD=2 2，
∴HE=2 2，
∴AH= AC2−CH2=2 7，
∵∠BCG=∠CAH，∠BGC=∠AHC，BC=AC，
∴△BCG≌△CAH(AAS)，
∴CG=AH=2 7，
由(2)知DF=BF，
又∵∠DHF=∠BGF=90°，∠DFH=∠BFG，
∴△DHF≌△BGF(AAS)，
∴HF=GF，
∴GH=CG−CH=2 7−2 2，
∴HF=12GH= 7− 2，
∴CF=CH+HF=2 2+ 7− 2= 7+ 2；
②当点E在AD的上时，过点B作BG⊥CF于点G，如图4，
同理可得AH=CG=2 7，CH=2 2，HF=FG，
∴GH=CH+CG=2 2+2 7，
∴HF=12GH= 7+ 2，
∴CF=HF−CH= 7+ 2−2 2= 7− 2，
综上所述，CF的长为 7+ 2或 7− 2．
【解析】(1)证明△CAE≌△CBD(SAS)，由全等三角形的性质得出∠CAE=∠CBD，由直角三角形的性质证出∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，得出CF=DF，CF=BF，则可得出结论；
(2)作BP//CD交直线CF于点P，证明△CAE≌△BCP(ASA)，由全等三角形的性质得出CE=BP，证明△CDF≌△PBF(ASA)，由全等三角形的性质得出DF=BF．
(3)分两种情况画出图形，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，图形旋转变化的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知a
A. m2−1=(m+1)(m−1)B. 2(a−b)=2a−2b
C. x2−2x+1=x(x−2)+1D. a(a−b)(b+1)=(a2−ab)(b+1)
4.下列说法中，错误的是( )
A. 角平分线上的点到角两边的距离相等
B. 到线段两端点距离相等的点，在线段的中垂线上
C. 三角形的三边分别为a、b、c，若满足a2−b2=c2，则三角形是直角三角形
D. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形一定成中心对称
5.若分式x−1x−3有意义，则x满足的条件是( )
A. x=1B. x=3C. x≠1D. x≠3
6.在平面直角坐标系中，将点A(−1,2)向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的点坐标为( )
A. (1,−1)
B. (−1,5)
C. (−3,−1)
D. (−3,5)
7.下列运算中，错误的是( )
A. ab=acbc(c≠0)B. x−yx+y=−y−xy+x
C. 0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3bD. −a+ba+b=−1
8.如图，将直角三角形ABC沿点B到点C的方向平移3cm得到三角形DEF.DE交AC于点H，已知AB=6cm，BC=9cm，DH=2cm，那么图中阴影部分的面积为( )
A. 42cm2B. 30cm2C. 21cm2D. 15cm2
二、非选择题（共118分）
9.分解因式：m2−4= ．
10.若不等式m−4x>m−4的解集为x<1，则m的取值范围是__________．
11.等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 ．
12.如图，在△ABC中，∠BAC=130°，∠C=15°.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α度得到△AB′C′.若点B刚好落在BC边上，则α=______．
13.如图，在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB=10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD=6，则三角形MCD的面积为______．
14.(1)分解因式：(a+b)2+6(a+b)+9；
(2)解不等式：x−13≥x−22+1；
(3)计算：a+2a−2⋅1a2+2a．
15.解不等式组2x−13
(1)请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1并写出点C1的坐标；
(2)请画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的△AB2C2；
(3)在△ABC旋转到△AB2C2的过程中，点C经过的路径长度为______．
17.已知直线y=kx+b经过点A(5,0)，B(1,4)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若直线y=2x−4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
(3)根据图象，写出关于x的不等式2x−4
(1)如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；
(2)如图②，当CQ在∠ACB外部时，求证：AD−BE=DE；
(3)在(1)的条件下，若CD=18，S△BCE=2S△ACD，求AE的长．(直接写结果)
19.若ab=3，a−b=15，则a2b−ab2= ______．
20.对于任意非零实数a，b，定义运算“☆”如下：a☆b=a−b2ab，则2☆1+3☆2+4☆3+…+1021☆1020= ______．
21.若关于x的不等式3x+a≤2只有1个正整数解，则a的取值范围为______．
22.如图，在△ABC中，点D是BC上边一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED.DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F，若DG=GE，AF=4，BF=2，△ADG的面积为5.则点F到直线BC的距离为______．
23.Rt△ABC中，AB=AC=3 2,BO=13AB，点M为BC边上一动点，将线段CM绕点O按逆时针方向旋转90°至ON，连接AN，CN，则△CAN周长的最小值为______．
24.某地脱贫攻坚，大力发展有机农业，种植了甲、乙两种蔬菜.某超市花430元可购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克；花212元可购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克．
(1)求该超市购进甲、乙两种蔬菜的单价分别为多少元？
(2)若该超市每天购进甲、乙两种蔬菜共计100千克(甲、乙两种蔬菜重量均为整数)，且花费资金不少于1160元又不多于1200元，问该超市有多少种购进方案？
(3)已知甲种蔬菜市场销售价为每千克16元，乙种蔬菜市场销售价为每千克18元.在(2)的条件下，该超市决定按能获得最大利润的方案进货并销售(每天所进蔬菜均能卖完)，同时将获得的利润按甲种蔬菜每千克2a元，乙种蔬菜每千克a元的标准捐献给当地政府作为扶贫基金.若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
25.如图，直线AB：y= 33x+b，其中B(−1,0)，点A横坐标为4，点C(3,0)，直线FG垂直平分线段BC．
(1)求b的值与直线AC的函数表达式；
(2)D是直线FG上一点，且位于x轴上方，将△BCD翻折得到△BC′D′，若C′恰好落在线段FG上，求C′和点D的坐标；
(3)设P是直线AC上位于FG右侧的一点，点Q在直线FG上，当△CPQ为等边三角形时，求BP的函数表达式．
26.如图1，在△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD=CE，连接DE，AE，BD，过点C作CF⊥AE，垂足为H，CF与BD交于点F．
(1)求证：DF=BF；
(2)将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，(1)的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若CD=4，CB=6，将△CDE绕点C逆时针旋转一周，当A，E，D三点共线时，求CF的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】B
【解析】解：A.当c≤0时，不能从a
D.∵a
故选：B．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】A
【解析】解：A、是因式分解，故本选项符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4.【答案】D
【解析】解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，说法正确，故本选项不符合题意
B.到线段两端点距离相等的点，在线段的中垂线上，说法正确，故本选项不符合题意
C.三角形的三边分别为a、b、c，若满足a2−b2=c2，则三角形是直角三角形，说法正确，故本选项不符合题意
D.如果两个三角形全等，这两个三角形不一定成中心对称，原说法错误，符合题意．
故选：D．
根据角平分线的性质可判断选项A；根据垂直平分线的性质可判断选项B；根据勾股定理的逆定理可得判断选项C；根据全等三角形的性质以及中心对称的定义可判断选项D．
本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，中心对称，勾股定理的逆定理，全等三角形的性质等知识，解题关键是熟练掌握基本知识．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了分式有意义的条件，掌握“分母不为零时分式有意义”是解题关键。
【解答】
解：分式x−1x−3有意义，得：
x−3≠0
解得x≠3
故选D。
6.【答案】C
【解析】将点(−1,2)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后得到的点是(−1−2,2−3)，即(−3,−1)，故选C．
【分析】
本题考查坐标与图形变化−平移；用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
根据平移中，点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．即可得出平移后点的坐标．
【解答】
解：将点(−1,2)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
则平移后得到的点是(−1−2,2−3)，即(−3,−1)，
故选C．
7.【答案】D
【解析】解：A、分式ab的分子分母同时乘以不为零的c，分式的值不变，即ab=acbc(c≠0).故本选项正确；
B、分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变，即x−yx+y=−y−xy+x.故本选项正确；
C、分式的分子、分母同时乘以10，分式的值不变，即0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3b.故本选项正确；
D、−a+ba+b=−a−ba+b≠−1.故本选项错误；
故选：D．
根据分式的基本性质进行解答．注意：分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变．
本题考查了分式的基本性质．无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘(除)分子、分母中的任何一项，且扩大(缩小)的倍数不能为0．
8.【答案】D
【解析】解：由平移的性质知，DE=AB=6cm，HE=DE−DH=4cm，CF=BE=3cm，HC//DF，∠DEF=∠B=90°，
∴EC=6cm，
∴S四边形HDFC=S△EFD−S△ECH=12DE⋅EF−12EH⋅EC=15(cm2).
故选：D．
根据平移的性质可得到相等的边与角，利用平行线分线段成比例可求出EC，再根据S四边形HDFC=S△EFD−S△ECH即可得到答案．
此题主要考查了平行线截线段对应成比例和平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
9.【答案】(m+2)(m−2)
【解析】【分析】
本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项都是平方项；符号相反．
直接利用平方差公式分解则可．
【解答】
解：m2−4=(m+2)(m−2)．
故答案为：(m+2)(m−2)．
10.【答案】m<4
【解析】解：∵不等式(m−4)x>m−4的解集为x<1，
∴m−4<0，
解得m<4，
故答案为：m<4．
根据不等式的基本性质3求解可得．
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的基本性质3．
11.【答案】80°
【解析】本题给出了一个底角为50°，根据等腰三角形两底角相等，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．
解：∵等腰三角形两底角相等，
∴180°−50°×2=80°，
∴顶角为80°．
故答案为80°．
本题考查等腰三角形的性质．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键．
12.【答案】110°
【解析】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，
∴AB=AB′，∠C′B′A=∠B，
∴∠AB′B=∠B，
∵∠BAC=130°，∠C=15°，
∴∠B=35°，
∴∠BAB′=180°−2×35°=110°，
∴α=110°，
故答案为：110°．
根据旋转的性质得到AB=AB′，∠C′B′A=∠B，由等腰三角形的性质得到∠AB′B=∠B，然后根据∠BAC=130°，∠C=15°算出∠B即可得α．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，判断得出∠AB′B=∠B是解决此题的关键．
13.【答案】12
【解析】解：过点M作ME⊥CD，垂足为E，
∵∠ACB=∠ADB=90°，AB=10，M是AB的中点，
∴CM=12AB=5，DM=12AB=5，
∴CM=DM，
∵ME⊥CD，
∴CE=DE=12CD=3，
在Rt△CEM中，EM= CM2−CE2= 52−32=4，
∴△CDM的面积=12CD⋅EM
=12×6×4
=12，
故答案为：12．
过点M作ME⊥CD，垂足为E，根据直角三角形斜边上的中线可得CM=DM=12AB=5，从而利用等腰三角形的三线合一性质可以求出CE的长，然后在Rt△CEM中，利用勾股定理求出EM的长，最后利用三角形的面积进行计算即可解答．
本题考查了三角形的面积，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14.【答案】解：(1)原式=(a+b)2+6(a+b)+32
=(a+b+3)2；
(2)x−13≥x−22+1，
2(x−1)≥3(x−2)+6，
2x−2≥3x−6+6，
2x−3x≥2−6+6，
−x≥2，
x≤−2；
(3)原式=a+2a−2⋅1a(a+2)
=1a(a−2)
=1a2−2a．
【解析】(1)根据完全平方公式把多项式分解因式即可；
(2)按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，最后把x的系数化成1，进行解答即可；
(3)先把分式的分子和分母分解因式，然后约分即可．
本题主要考查了分式的混合运算和解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤、常见的几种分解因式的方法、分式的通分和约分．
15.【答案】解：解不等式①，得：x<5，
解不等式②，得：x≥−2，
则不等式组的解集为−2≤x<5，
所以不等式组所有整数解的和为−2−1+0+1+2+3+4=7．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】 132π
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标(−3,−4)；
(2)如图，△AB2C2即为所求；
(3)∵AC= 22+32= 13
∴点C经过的路径长度=90π⋅ 13190= 132π.
故答案为： 132π.
(1)利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B2，C2即可；
(3)利用弧长公式求解．
本题考查作图−旋转变换，弧长公式等知识，解题关键是掌握旋转变换的性质，记住弧长公式l=nπr180．
17.【答案】解：(1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵一次函数的图象经过点A(5,0)和B(1,4)两点，
∴5k+b=0k+b=4．
解得k=−1b=5．
∴一次函数的表达式为y=−x+5；
(2)联立方程组y=−x+5y=2x−4，
解得x=3y=2，
∴点C的坐标(3,2)；
(3)不等式2x−4
(2)解方程组求出点C的坐标；
(3)利用数形结合思想解答．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图①，延长DA到F，连接CF，使DF=DE，
∵CD⊥AE，
∴CE=CF，
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，
∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°，
又∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，
∴∠ACD+∠BCE=90°−45°=45°，
∴∠ACF=∠BCE，
在△ACF和△BCE中，
∵CF=CE∠ACF=∠BCEAC=BC,
∴△ACF≌△BCE(SAS)，
∴AF=BE，
∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，
即AD+BE=DE；
(2)如图②，在AD上截取DF=DE，
∵CD⊥AE，
∴CE=CF，
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，
∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°，
∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠ACF=∠BCE，
∵在△ACF和△BCE中，
CF=CE∠ACF=∠BCEAC=BC,
∴△ACF≌△BCE(SAS)，
∴AF=BE，
∴AD=AF+DF=BE+DE，
即AD−BE=DE；
(3)∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，
∴∠ECF=45°+45°=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴CD=DF=DE=18，
∵S△BCE=2S△ACD，
∴AF=2AD，
∴AD=11+2×18=6，
∴AE=AD+DE=6+18=24．
【解析】(1)延长DA到F，连接CF，使DF=DE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的性质即可证明AF=BE，从而得证；
(2)在AD上截取DF=DE，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的性质即可证明AF=BE，从而得到AD=BE+DE；
(3)根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD，然后求出AD的长，再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
19.【答案】35
【解析】解：∵ab=3，a−b=15，
∴a2b−ab2
=ab(a−b)
=3×15
=35，
故答案为：35．
先将原式变形为ab(a−b)，再将ab=3，a−b=15代入计算即可．
本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
20.【答案】5101021
【解析】解：由题意得：2☆1+3☆2+4☆3+…+1021☆1020
=2−12×2×1+3−22×3×2+4−32×4×3+…+1021−10202×1021×1020
=12×2×1+12×3×2+12×4×3+…+12×1021×1020
=12×(1−12+12−13+13−14+…+11020−11021)
=12×(1−11021)
=12×10201021
=5101021，
故答案为：5101021．
利用定义的新运算进行计算，即可解答．
本题考查了规律型：数字的变化类，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】−4
∵关于x的不等式3x+a≤2只有个正整数解，
∴1≤2−a3<2，
解得−4
本题考查一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确有两个正整数解，一定是1和2．
22.【答案】3 105
【解析】解：∵DG=GE，
∴S△ADG=S△AEG=5，
∴S△ADE=10，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD=S△ADE=10，∠BFD=90°，
∴12⋅(AF+DF)⋅BF=10，
∴12⋅(4+DF)⋅2=10，
∴DF=6，
∴DB= BF2+DF2= 22+62=2 10，
设点F到BD的距离为ℎ，则有12⋅BD⋅ℎ=12⋅BF⋅DF，
∴ℎ=3 105，
故答案为：3 105．
先求出△ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为ℎ，根据12⋅BD⋅ℎ=12⋅BF⋅DF，求出BD即可解决问题．
本题考查翻折变换的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
23.【答案】3 2+3 5
【解析】解：如图，作OH⊥BC于H，NJ⊥OH于J．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∵OH⊥BC于H，
∴OH=BH，
∴AB=AC=3 2，BO=13AB，
∴OB= 2，BC=6，
∴OH=BH=1，
∵OH⊥BC，NJ⊥OH，
∴∠OHM=∠OJN=90°，
∴∠OMH+∠MOH=∠NOJ+∠MOH=90°，
∴∠OMH=∠NOJ，
在△OHM和△NJO中，
∠OMH=∠NOJ∠OHM=∠NJO=90°OM=ON，
∴△OHM≌△NJO(AAS)，
∴JN=OH=1，
∴点N的运动轨迹是直线(该直线与直线OH平行，在OH的右侧，与OH的距离是1，
作点C关于该直线的对称点C′，连接AC′交该直线于N′，连接CN′，此时△ACN′的周长最小，作AG⊥BC于G．
∴CG=BG=3=AG，
∴C′G=6，
在Rt△AGC′中，AC′= AG2+C′G2= 9+36=3 5，
∴△ACN的周长的最小值为3 2+3 5．
故答案为：3 2+3 5．
如图，作OH⊥BC于H，NJ⊥OH于J.由“AAS”可证△OHM≌△NJO，推出JN=OH=1，推出点N的运动轨迹是直线(该直线与直线OH平行，在OH的右侧，与OH的距离是1，作点C关于该直线的对称点C′，连接AC′交该直线于N′，连接CN′，此时△ACN′的周长最小．
本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
24.【答案】解：(1)设甲单价x元，乙单价y元，
根据题意，得15x+20y=43010x+8y=212，
解得x=10y=14，
∴甲种蔬菜的单价为10元，乙种蔬菜的单价为14元；
(2)设购进甲m千克，则购进乙(100−m)千克，
由题意得：1160≤10m+14(100−m)≤1200，
解得：50≤m≤60，
∴共有11种方案；
(3)∵16−10=6(元)，18−14=4(元)，
∴总利润为：6m+4(100−m)=400+2m，
当m取最大值60时，总利润最大=520(元)，
此时成本=10×60+14×(100−60)=1160(元)，
由题意得，(6−2a)×60+(4−a)×40≥1160×20%，
解得：a≤1.8，
∴a最大为1.8．
【解析】(1)设甲单价x元，乙单价y元，根据题意列出方程计算即可；
(2)设购进甲m千克，则购进乙(100−m)千克，根据题意列出不等式，求解即可；
(3)先算出总利润的表达式，得出当m取最大值60时，有最大总利润，再根据题意列出不等式求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找准等量关系．
25.【答案】(1)把点B(−1,0)代入直线AB：y= 33x+b中，
得 33×(−1)+b=0，
∴b= 33，
∴AB的函数关系式：y= 33x+ 33，
当x=4时y=53 3，
∴点A的坐标为(4,53 3)，
设AC的函数关系式为：y=mx+n，
把A(4,53 3)，C(3,0)两点坐标代入，
得4k+b=53 33k+b=0，
∴k=53 3，b=5 3，
∴直线AC的函数表达式为：y=53 3x−5 3；
(2)过点A作AF⊥x轴于点F，
由点A(4,53 3)，B(−1,0)得，
tan∠ABF=AFBF=53 35= 33，
∴∠ABF=30°，
由翻折得∠C′BC=60°，BC=BC′=4，
在Rt△BGC′中，BG=2，GC′=2 3，
∴点C′的坐标为(1,2 3)，
在Rt△BDG中，∠DBG=30°，
∴DG=BG 3=2 3=23 3，
∴点D坐标为(1,23 3)；
(3)∵直线FG垂直平分线段BC，在FG上取(2)中的C′，
∴BC=BC′，QB=QC，
由(2)知∠CBC′=60°，∠CBD=∠C′BD，
∴△BCC′是等边三角形，AB垂直平分CC′，
①点P在x轴上方，如图2，
∵△BCC′和△PQC都是等边三角形，
∴CC′=CB，CP=CQ，∠PCQ=∠BCC′=60°，
∴∠PCC′=∠QCB，
∴△PCC′≌△QCB(SAS)，
∴PC′=QB，
∵QB=QC，CP=CQ，
∴PC=PC′，
∵BC=BC′，
∴PB垂直平分CC′，
∴点P与点A重合，
∴PA的函数关系式就是AB的函数关系式：y= 33x+ 33；
②点P在x轴下方，如图3，
∵△BCC′和△PQC都是等边三角形，
∴CC′=CB，CP=CQ，∠PCQ=∠BCC′=60°，
∴∠PCCB∠QCBC′，
∴△PCB≌△QCC′(SAS)，
∴∠CBP=∠CC′Q=30°，
在Rt△BHO中，BO=1，
∴HO=tan∠OBH⋅BO= 33，
∴点H的坐标为(0,− 33)，
设BP的函数关系式为y=mx+n，
把点B(−1,0)，H(0,− 33)代入得，
−k+b=0b=− 33，
解得k=− 33，b=− 33，
∴PA的函数关系式y=− 33x− 33，
综上所述PA的函数关系式y= 33x+ 33或y=− 33x− 33．
【解析】(1)把点B(−1,0)代入直线AB：y= 33x+b中，可得 33×(−1)+b=0，得b= 33，写出AB的函数关系式：y= 33x+ 33，当x=4时y=53 3，设AC的函数关系式为：y=mx+n，把A，C两点坐标代入即可求解；
(2)由点A，B的坐标可以求出∠ABC=30°，再△BCD翻折得到△BC′D′，若C′恰好落在线段FG上，得BC=BC′，∠CBC′=60°，用锐角三角函数知识即可求解；
(3)分类讨论，利用全等三角形知识探索直线BP的特征．
本题主要考查了一次函数关系式求法，三角形全等知识，锐角三角函数知识，解题关键是综合解题能力．
26.【答案】(1)证明：在△CAE和△CBD中，
CE=CD∠ACE=∠BCDAC=BC，
∴△CAE≌△CBD(SAS)，
∴∠CAE=∠CBD，
∵CF⊥AE，
∴∠AHC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AHC=∠ACB=90°，
∴∠CAH+∠ACH=∠ACH+∠BCF=90°，
∴∠CAH=∠BCF，
∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD，
∴∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，
∴CF=DF，CF=BF，
∴DF=BF；
(2)解：(1)的结论仍然成立．理由如下：
作BP//CD交直线CF于点P，如图2，
∴∠PBC+∠BCD=180°，
又∠ACE+∠BCD=360°−∠ACB−∠DCE=360°−90°−90°=180°，
∴∠PBC=∠ACE，
又∵CF⊥AE，
∴∠AHC=90°，
∴∠ACH+∠CAH=90°，
又∵∠ACH+∠PCB=180°−∠ACB=180°−90°=90°，
∴∠CAH=∠PCB，
又∵CA=CB，
∴△CAE≌△BCP(ASA)，
∴CE=BP，
又∵CE=CD，
∴CD=BP，
又∵BP//CD，
∴∠CDF=∠PBF，∠DCF=∠P，
∴△CDF≌△PBF(ASA)，
∴DF=BF．
(3)解：①当点E在AD的延长线上时，过点B作BG⊥CF于点G，
∵CD=CE，CH⊥DE，CD=4，
∴CH= 22，CD=2 2，
∴HE=2 2，
∴AH= AC2−CH2=2 7，
∵∠BCG=∠CAH，∠BGC=∠AHC，BC=AC，
∴△BCG≌△CAH(AAS)，
∴CG=AH=2 7，
由(2)知DF=BF，
又∵∠DHF=∠BGF=90°，∠DFH=∠BFG，
∴△DHF≌△BGF(AAS)，
∴HF=GF，
∴GH=CG−CH=2 7−2 2，
∴HF=12GH= 7− 2，
∴CF=CH+HF=2 2+ 7− 2= 7+ 2；
②当点E在AD的上时，过点B作BG⊥CF于点G，如图4，
同理可得AH=CG=2 7，CH=2 2，HF=FG，
∴GH=CH+CG=2 2+2 7，
∴HF=12GH= 7+ 2，
∴CF=HF−CH= 7+ 2−2 2= 7− 2，
综上所述，CF的长为 7+ 2或 7− 2．
【解析】(1)证明△CAE≌△CBD(SAS)，由全等三角形的性质得出∠CAE=∠CBD，由直角三角形的性质证出∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，得出CF=DF，CF=BF，则可得出结论；
(2)作BP//CD交直线CF于点P，证明△CAE≌△BCP(ASA)，由全等三角形的性质得出CE=BP，证明△CDF≌△PBF(ASA)，由全等三角形的性质得出DF=BF．
(3)分两种情况画出图形，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，图形旋转变化的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
相关试卷
2022-2023学年四川省成都市金牛区八年级（下）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年四川省成都市金牛区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了 分解因式等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市金牛区八年级（下）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年四川省成都市金牛区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省成都市铁路中学中考数学模拟试卷（含详细解析）： 这是一份四川省成都市铁路中学中考数学模拟试卷（含详细解析），共35页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。
