还剩19页未读，
继续阅读
2024年广东省佛山市禅城区中考数学二模试卷（含解析）
展开
这是一份2024年广东省佛山市禅城区中考数学二模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2024的相反数是( )
A. 2024B. |2024|C. 12024D. −2024
2.鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构.如图是鲁班锁的其中一个部件，从正面看到的平面图形是( )
A. B.
C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. a2÷a2=a4B. (a2)3=a6
C. (a+b)2=a2+b2D. a(a−b)=a2−b
4.不等式组x+2<0x−2≥0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面AB与水平地面的夹角∠CAB为61°，小明将它扶起(将畚箕绕点A顺时针旋转)后平放在地面，箕面AB绕点A旋转的度数为( )
A. 119°B. 120°C. 61°D. 121°
6.《墨子⋅天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆”.度方知圆，感悟数学之美.如图，以面积为1的正方形ABCD的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若AB：A′B′=1：2，则四边形A′B′C′D′的面积为( )
A. 9
B. 6
C. 4
D. 3
7.如图，在⊙O中，直径DE⊥弦AB，C是圆上一点，若∠ACD=26°，则∠AOB的度数为( )
A. 104°
B. 103°
C. 102°
D. 52°
8.阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.若某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，则它的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
9.若实数b，c满足c−b+2=0，则关于x的方程x2+bx+c=0根的情况是( )
A. 有两个相等实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
10.在题目“甲、乙两地相距300km，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，…，求汽车实际行驶的时间？”中，若设汽车原计划需行驶x h，可得方程(1+25%)⋅300x=300x−1，则题目中“…”表示的条件是( )
A. 速度比原计划增加25%，结果提前1h到达
B. 速度比原计划增加25%，结果晚1h到达
C. 速度比原计划减少25%，结果提前1h到达
D. 速度比原计划减少25%，结果晚1h到达
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.佛山市联合图书馆搭建由市中心馆、镇街分馆、邻里图书馆、智能图书馆、学校图书馆等多维公共图书馆服务体系，推动了城乡公共文化服务一体建设.截止2023年馆藏图书总量已超1625万册.“1625万”用科学记数法可表示为______．
12.不透明口袋中有5个完全相同的小球，标号分别为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，则摸到的小球的标号是偶数的概率是______．
13.6个全等的小正方形如图放置在△ABC中，则tanB的值是______．
14.如图，在矩形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME=15°，则∠ABE=______．
15.如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿着A→B→C的方向运动，到达点C后停止.设P点的运动时间为x，AP的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解方程：2x2−3x+1=0；
(2)化简：a−2a+a2+4a+4a2⋅aa+2．
17.(本小题6分)
已知：如图，点D在△ABC内部，连接AD，BD，CD.若AB=AC，∠BAD=∠CAD.求证：∠DBC=∠DCB．
18.(本小题8分)
已知如图，▱ABCD中．
(1)尺规作图：作∠ABC的平分线交AD于点F，在BC上取点E，使得BE=BA(不写作法，保留作图痕迹)．
(2)在(1)的条件下，连接EF，证明：四边形ABEF是菱形．
19.(本小题9分)
2024年佛山50公里徒步活动期间，约40万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山，见证城市高质量发展.小红所在的学习小组为了解参加活动的市民年龄情况，随机调查了部分参加活动的市民，根据调查结果绘制成如下两幅统计图(不完整)．
(1)单选题：采取下列措施中的______，可以使调查样本更具有广泛性和代表性．
A.在不同时间、不同途经点增加随机调查的人数
B.在中午12：00进行调查
C.在起点进行调查
D.在终点进行调查
(2)补全条形统计图；
(3)被调查的市民的年龄的中位数，在年龄段______岁中；
(4)你能根据调查样本，估计参加活动的市民中，年龄段为18～24岁的人数吗？
20.(本小题9分)
如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx+m相交于点A(0,−4)，B(5,6)，直线AB与x轴相交于点C．
(1)求抛物线与直线的表达式；
(2)点D是抛物线在直线AB下方部分的一个动点，过点D作DE//x轴交AB于点E，过点D作DF//y轴交AB于点F，求DF−DE的最大值．
21.(本小题9分)
综合与实践
素材一：某款遮阳棚(图1)，图2、图3是它的侧面示意图，点A，C为墙壁上的固定点，摇臂CB绕点C旋转过程中长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整.CA=CB=CD=1.5米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α的正切值：
【问题解决】
(1)如图2，当∠ACB=90°时，这天12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
(2)如图3，旋转摇臂CB，使得点B离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时−14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
22.(本小题12分)
综合探究
已知点E是边长为2的正方形ABCD内部一个动点，始终保持∠AED=90°．
【初步探究】(1)如图，延长DE交边BC于点F.当点F是BC的中点时，求DEAE的值；
【深入探究】(2)如图，连接CE并延长交边AD于点M.当点M是AD的中点时，求DEAE的值；
【延伸探究】(3)如图，连接BE并延长交边CD于点G.当DG取得最大值时，求DEAE的值．
23.(本小题12分)
综合运用
如图，直线y= 3x+6与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C的坐标为(6,0)，点P是线段BC上一点且点P与点O不重合.过A、O、P三点的圆与直线y= 3x+6交于点D.连接AC交圆于点E．
(1)求∠BAC的度数；
(2)当△ADE和△ABC相似时，求点P的坐标；
(3)设点P的横坐标为m， 2AD+AE的值是定值吗？若是，求出该定值；若不是，用含m的式子表示．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2024的相反数是−2024，
故选：D．
根据相反数的定义即可求得答案．
本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：从正面看到的平面图形是：．
故选：D．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.【答案】B
【解析】解：A、a2÷a2=1，故A不符合题意；
B、(a2)3=a6，故B符合题意；
C、(a+b)2=a2+2ab+b2，故C不符合题意；
D、a(a−b)=a2−ab，故D不符合题意；
故选：B．
利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，完全平方公式，单项式乘多项式的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】C
【解析】解：x+2<0①x−2≥0②，
解不等式①得：x<−2，
解不等式②得：x≥2，
∴原不等式组无解，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：C．
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵AB与地面的夹角∠CAB为61°，
∴∠BAB′=180°−∠CAB−∠C=180°−61°=119°，
即旋转角为99°，
∴箕面AB绕点A旋转的度数为119°．
故选：A．
根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解．
本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由角的和差关系得到∠BAB′的度数．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
6.【答案】C
【解析】解：∵正方形ABCD的面积为1，AB：A′B′=1：2，
∴正方形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积=1：4．
∴四边形A′B′C′D′的面积=4．
故选：C．
根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方作答．
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
7.【答案】A
【解析】解：∵∠ACD=26°，∠AOD=2∠ACD，
∴∠AOD=52°，
∵直径DE⊥弦AB，
∴AD=BD，
∴∠AOD=∠BOD=52°，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=104°，
故选：A．
根据圆周角定理求出∠AOD=52°，再根据垂径定理及推论求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，
∴动力F关于动力臂l的函数解析式为：1000×0.6=Fl，
即F=600l，是反比例函数，
又∵动力臂l>0，
反比例函数F=600l的图象是双曲线，且在第一象限．
故选：B．
直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可．
本题考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵实数b，c满足c−b+2=0，
∴c=b−2，
∴Δ=b2−4c
=b2−4(b−2)
=(b−2)2+4>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
根据条件得到c=b−2，根据判别式求根的情况即可判断．
本题考查了根的判别式，掌握当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵汽车原计划需行驶x h，
∴(x−1)表示汽车实际行驶时间，
∴实际比原计划提前1h到达．
∵甲、乙两地相距300km，
∴300x表示原计划的行驶速度，300x−1表示实际的行驶速度，
又∵所列方程为(1+25%)⋅300x=300x−1，
∴实际行驶速度比原计划增加25%，
∴题目中“…”表示的条件是速度比原计划增加25%，结果提前1h到达．
故选：A．
由汽车原计划需行驶x h，可得出(x−1)表示汽车实际行驶时间，进而可得出实际比原计划提前1h到达，由速度=路程÷时间，结合所列方程，可得出实际行驶速度比原计划增加25%，进而可得出题目中“…”表示的条件．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据所列方程，找准题干缺失条件是解题的关键．
11.【答案】1.625×107
【解析】解：1625万=16250000=1.625×107．
故答案为：1.625×107．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数，确定a与n的值是解题的关键．
12.【答案】25
【解析】解：由概率的定义可知，摸到的小球的标号是偶数的概率是2÷5=25．
故答案为：25．
根据5个完全相同的小球中标号为偶数的有2个，即可求出所求概率．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】12
【解析】解：由题意，知OF//BC，OE//AC．
∴∠EOF=∠C=90°，∠B=∠OFE．
在Rt△OEF中，
tanB=tan∠OFE
=OEOF
=12．
故答案为：12．
先利用平行线的性质说明∠B=∠OFE，再利用直角三角形的边角间关系求出∠OFE的正切值，
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及平行线的性质是解决本题的关键，
14.【答案】40°
【解析】解：如图，延长BE交AD于点N，设BN交AM于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=90°，AD=BC，
点M为CD中点，
∴DM=MC，
∴△ADM≌△BCM(SAS)，
∴∠DAM=∠CBM，
∵△BME是由△MBC翻折得到，
∴∠CBM=∠EBM=12(90°−∠ABE)，
∵∠DAM=∠MBE，∠AON=∠BOM，
∴∠OMB=∠ANB=90°−∠ABE，
在△MBE中，∠EMB+∠EBM=90°，
∴∠AME+(90°−∠ABE)+12(90°−∠ABE)=90°，
得：3∠ABE−2∠AME=90°，
即3∠ABE=90°+2×15°，
∴∠ABE=40°，
故答案为：40°．
延长BE交AD于点N，设BN交AM于点O，△ADM≌△BCM(SAS)，出∠DAM=∠CBM，由△BME是由△MBC翻折得到，推出∠CBM=∠EBM=12(90°−∠ABE)，由∠DAM=∠MBE，∠AON=∠BOM，推出∠OMB=∠ANB=90°−∠ABE，最后根据∠EMB+∠EBM=90°，即可得出结果．
本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
15.【答案】9 32+6
【解析】解：作AH⊥BC，如图，
当点P到点B处时，y=5，即AB=5，
当点P到点H处时AP最短，y=3，即AH=3，
当点P到点C处时，y=6，即AC=6，
在Rt△ABH中，BH= 52−32=4，
在Rt△ACH中，CH= 62−32=3 3，
∴S△ABC=12BC⋅AH=9 32+6．
分析出当点P到点B处时，y=5，即AB=5，当点P到点H处时AP最短，y=3，即AH=3，当点P到点C处时，y=6，即AC=6，再根据勾股定理分别求出BH和CH，即可求出三角形的面积．
本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
16.【答案】解：(1)2x2−3x+1=0，
(2x−1)(x−1)=0，
∵2x−1=0或x−1=0，
∴x1=12，x2=1；
(2)a−2a+a2+4a+4a2⋅aa+2
=a−2a+(a+2)2a2⋅aa+2
=a−2a+a+2a
=2aa
=2．
【解析】(1)方程利用因式分解法求出解即可；
(2)利用分式混合运算的法则进行计算即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，分式的混合运算，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键．
17.【答案】证明：如图，延长AD交BC于点G，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，
∴AG⊥BC，BG=CG，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB．
【解析】延长AD交BC于点G，由等腰三角形的性质可得AG⊥BC，BG=CG，则BD=CD，可得∠DBC=∠DCB．
此题考查角等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质可得AG⊥BC，BG=CG解答．
18.【答案】(1)解：如图，BF和点E即为所求．
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠AFB=∠EBF．
∵BF为∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠EBF，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AB=AF．
∵AB=BE，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF为平行四边形．
∵AB=BE，
∴四边形ABEF为菱形．
【解析】(1)根据角平分线的作图方法作图可得BF；以点B为圆心，AB的长为半径画弧，与BC的交点即为点E．
(2)根据角平分线的定义、平行四边形的性质、菱形的判定即可证明．
本题考查作图—复杂作图、角平分线的定义、平行四边形的性质、菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
19.【答案】A 30～39
【解析】解：(1)∵使调查样本更具有广泛性和代表性，
∴应在不同时间、不同途经点增加随机调查的人数，
故答案为：A；
(2)∵样本容量为200÷10%=2000，
∴年龄段为25～29岁的人数为：2000−(200+300+700+300+100)=400(人)，
补全条形统计图如下：
(3)∵中位数是年龄由小到大排列第1000，第1001个数据的平均数，
而200+300+400=900，200+300+400+700=1600，
∴被调查的市民的年龄的中位数，在年龄段30～39岁中，
故答案为：30～39；
(4)3002000×40万=6万(人)，
答：估计参加活动的市民中，年龄段为18～24岁的人数约为6万人．
(1)根据抽样调查样本应具有广泛性和代表性可作出选择；
(2)先求出样本容量，再用样本容量减去其他5个年龄段的人数，可求出年龄段为25～29岁的人数，再补全条形统计图即可；
(3)将样本中年龄段为18～24岁的人数所占比乘以40万，即可作出估计．
本题考查条形统计图，扇形统计图，抽样调查的可靠性，中位数，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由题意，将A(0,−4)，B(5,6)代入y=x2+bx+c得，
c=−425+5b+c=6，
∴b=−3c=−4．
∴抛物线的表达式为y=x2−3x−4．
又将A(0,−4)，B(5,6)代入y=kx+m得，
m=−45k+m=6，
∴m=−4k=2．
∴直线的表达式为y=2x−4．
(2)由题意，设D为(m,m2−3m−4)(0令y=2x−4=m2−3m−4，则x=12(m2−3m)，
∴E(12m2−32m,m2−3m−4)．
令x=m，则y=2m−4，
∴F(m,2m−4)．
∴DF−DE=2m−4−(m2−3m−4)−[m−(12m2−32m)]
=−12m2+52m
=−12(m−52)2+258．
∴当m=52时，DF−DE取最大值为258．
【解析】(1)依据题意，将A(0,−4)，B(5,6)代入y=x2+bx+c得方程组后，进而计算可得抛物线的表达式；又将A(0,−4)，B(5,6)代入y=kx+m得，求出k，m可得直线的表达式；
(2)依据题意，设D为(m,m2−3m−4)(0本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
21.【答案】解：(1)如图1，过B作BM⊥DE于M，
∴CD=BM=1.5，BC=DM=1.5，
在Rt△BEM中，tan∠BEM=BMEM，
即5=1.5EM，
∴EM=0.3，
∴DE=DM−EM=1.5−0.3=1.2．
答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为1.2m．
(2)过B作BF⊥AC于F，过B作BM⊥DE于M，
则BF=DM=1.2，
∴CF= BC2−BF2= 1.52−1.22=0.9，
∴BM=DF=CD−CF=1.5−0.9=0.6，
由表格可知，在12时−14时，
角a的正切值逐渐减小，即∠BEM逐渐较小，
∴当14时，点E最靠近墙角，
此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
在Rt△BEM中，tan∠BEM=BMEM，
即1.25=0.6EM，
∴EM=0.48，
∴DE=DM−EM=1.2−0.48=0.72．
答：绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是0.72m．
【解析】(1)过B作BMLDE于M，在Rt△BEM中，解直角三角形求出EM，进而解答即可；
(2)过B作BF⊥AC于F，过B作BM⊥DE于M，在Rt△BEM中，解直角三角形求出EM，进而解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当作辅助线，构建直角三角形解决问题．
22.【答案】解：(1)如图1，在正方形ABCD中，∠AED=∠ADC=∠C=90°，AB=BC=CD=AD=2，
∴∠2=∠1=90°−∠3，
∴tan∠2=tan∠1，
∴DEAE=CFCD=CFCB．
∵点F是BC的中点，
∴DEAE=CFCB=12；
(2)延长DE交边BC于点F，如图2，
∵点M是AD的中点时，∠AED=90°，
∴AM=MD=ME=12AD=1，
∴∠2=∠1，
在Rt△MDC中，MC= MD2+CD2= 12+22= 5，
∴CE=MC−ME= 5−1，
在正方形ABCD中，AD//BC，
∴∠2=∠4，
∵∠1=∠3，
∴∠4=∠3，
∴CF=CE= 5−1，
与(1)同理可得：DEAE=CFCB= 5−12；
(3)延长DE交边BC于点F，如图3，
∵AD=2，∠AED=90°，
∴点E在以AD为直径的半圆上运动，
取AD中点O，连接OE，OB，
∴当BE与半圆相切时，DG有最大值．
∵∠BAD=90°且OA为半径，
∴BA也为半圆的切线，
∴AB=BE，
∴点B在线段AE的垂直平分线上，
同理：点O在线段AE的垂直平分线上，
∴OB是线段AE的垂直平分线，
∴∠1=∠AED=90°，
∴BO//FD，
又∵BC//AD，
∴四边形BODF是平行四边形．
∴OD=BF=1，
∴FC=BC−BF=1．
与(1)同理可得：DEAE=CFCB=12．
【解析】(1)如图1，首先推导出∠2=∠1=90°−∠3，由tan∠2=tan∠1推导出DEAE=CFCD=CFCB，结合点F是BC的中点，得到DEAE=CFCB=12；
(2)延长DE交边BC于点F，如图2，利用勾股定理求得MC= MD2+CD2= 12+22= 5，CE=MC−ME= 5−1，继而推导出CF=CE= 5−1，与(1)同理可得：DEAE=CFCB= 5−12；
(3)延长DE交边BC于点F，如图3，取AD中点O，连接OE，OB，当BE与半圆相切时，DG有最大值．同时推导出BA也为半圆的切线，点B在线段AE的垂直平分线上，同理：点O在线段AE的垂直平分线上，所以OB是线段AE的垂直平分线，推导出BO//FD，结合BC//AD，得到四边形BODF是平行四边形，求得OD=BF=1，FC=BC−BF=1，与(1)同理可得：DEAE=CFCB=12．
本题属于相似形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及勾股定理．
23.【答案】解：(1)∵直线y= 3x+6，
∴点A(0,6)，
∴OA=6，
令y=0，得x=−2 3，
∴OB=2 3，
∴tan∠OAB=PB：OA= 33，
∵tan30°= 33，
∴∠OAB=30°．
∵OA=OC=6，
∴∠OAC=45°，
∴∠BAC=75°；
(2)连接DP，如图，
当△ADE和△ABC相似时，且当∠ADE=∠ABC时，DE//BC，
∵点C(6,0)，
∴OC=6=OA，
∴∠ACO=∠OAC=45°=∠DEA，
∵AD=AD，
∴∠APD=∠AED=45°，
∵AP为直径，
∴∠ADP=90°，
设点P横坐标为x，
∴BP=x−(−2 3)=x+2 3，
∵∠ABO=60°，
∴BD=12BP=x2+ 3，DP= BP2−BD2= 3x2+3=AD，
∵OB=2 3，
∴AB=2BO=4 3，
∴BD+AD=4 3，即x2+ 3+ 3x2+3=4 3，
∴x=6−3 3，
∴点P(6−3 3,0)；
当△ADE和△ABC相似时，且当∠AED=∠ABC=60°时，
∵∠DPD=30°，
∴∠APB=90°，
∵∠AOB=90°，
∴点P与点O重合，不符合题意，
故点P(6−3 3,0)；
(3) 2AD+AE的值是定值，为3 6+3 3．
如图，
∵点P的横坐标为m，
∴AD=3 3−m2，
∵AP为直径，
∴∠PEC=90°，
∵OC=6，
∴PC=6−m，
∵∠ACB=45°，
∴EC=3 2− 2m2，
∵OA=OC=6，
∴AC=6 2，
∴AE=AC−EC=3 2+ 2m2，
∴ 2AD+AE= 2(3 3−m2)+3 3−m2=3 6+3 3，
∴ 2AD+AE的值是定值，为3 6+3 3．
【解析】(1)求出点A和点B处坐标，即可求出∠OAB，再由OA=OC，求出∠OAC，即可解答；
(2)连接DP，分析出当△ADE和△ABC相似时，且当∠ADE=∠ABC时，DE//BC，设点P横坐标为x，表示出BD和AD，利用和为2 3，列出算式计算即可；
(3)用m表示出AD和EC，计算 2AD+AE的值，结果与m无关，即可判断为定值．
本题考查了圆的综合应用，圆的相关知识点的掌握和应用及勾股定理的应用是本题的解题关键．时刻(时)
12
13
14
15
角α的正切值
5
2.5
1.25
1
1.2024的相反数是( )
A. 2024B. |2024|C. 12024D. −2024
2.鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构.如图是鲁班锁的其中一个部件，从正面看到的平面图形是( )
A. B.
C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. a2÷a2=a4B. (a2)3=a6
C. (a+b)2=a2+b2D. a(a−b)=a2−b
4.不等式组x+2<0x−2≥0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面AB与水平地面的夹角∠CAB为61°，小明将它扶起(将畚箕绕点A顺时针旋转)后平放在地面，箕面AB绕点A旋转的度数为( )
A. 119°B. 120°C. 61°D. 121°
6.《墨子⋅天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆”.度方知圆，感悟数学之美.如图，以面积为1的正方形ABCD的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若AB：A′B′=1：2，则四边形A′B′C′D′的面积为( )
A. 9
B. 6
C. 4
D. 3
7.如图，在⊙O中，直径DE⊥弦AB，C是圆上一点，若∠ACD=26°，则∠AOB的度数为( )
A. 104°
B. 103°
C. 102°
D. 52°
8.阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.若某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，则它的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
9.若实数b，c满足c−b+2=0，则关于x的方程x2+bx+c=0根的情况是( )
A. 有两个相等实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
10.在题目“甲、乙两地相距300km，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，…，求汽车实际行驶的时间？”中，若设汽车原计划需行驶x h，可得方程(1+25%)⋅300x=300x−1，则题目中“…”表示的条件是( )
A. 速度比原计划增加25%，结果提前1h到达
B. 速度比原计划增加25%，结果晚1h到达
C. 速度比原计划减少25%，结果提前1h到达
D. 速度比原计划减少25%，结果晚1h到达
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.佛山市联合图书馆搭建由市中心馆、镇街分馆、邻里图书馆、智能图书馆、学校图书馆等多维公共图书馆服务体系，推动了城乡公共文化服务一体建设.截止2023年馆藏图书总量已超1625万册.“1625万”用科学记数法可表示为______．
12.不透明口袋中有5个完全相同的小球，标号分别为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，则摸到的小球的标号是偶数的概率是______．
13.6个全等的小正方形如图放置在△ABC中，则tanB的值是______．
14.如图，在矩形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME=15°，则∠ABE=______．
15.如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿着A→B→C的方向运动，到达点C后停止.设P点的运动时间为x，AP的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解方程：2x2−3x+1=0；
(2)化简：a−2a+a2+4a+4a2⋅aa+2．
17.(本小题6分)
已知：如图，点D在△ABC内部，连接AD，BD，CD.若AB=AC，∠BAD=∠CAD.求证：∠DBC=∠DCB．
18.(本小题8分)
已知如图，▱ABCD中．
(1)尺规作图：作∠ABC的平分线交AD于点F，在BC上取点E，使得BE=BA(不写作法，保留作图痕迹)．
(2)在(1)的条件下，连接EF，证明：四边形ABEF是菱形．
19.(本小题9分)
2024年佛山50公里徒步活动期间，约40万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山，见证城市高质量发展.小红所在的学习小组为了解参加活动的市民年龄情况，随机调查了部分参加活动的市民，根据调查结果绘制成如下两幅统计图(不完整)．
(1)单选题：采取下列措施中的______，可以使调查样本更具有广泛性和代表性．
A.在不同时间、不同途经点增加随机调查的人数
B.在中午12：00进行调查
C.在起点进行调查
D.在终点进行调查
(2)补全条形统计图；
(3)被调查的市民的年龄的中位数，在年龄段______岁中；
(4)你能根据调查样本，估计参加活动的市民中，年龄段为18～24岁的人数吗？
20.(本小题9分)
如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx+m相交于点A(0,−4)，B(5,6)，直线AB与x轴相交于点C．
(1)求抛物线与直线的表达式；
(2)点D是抛物线在直线AB下方部分的一个动点，过点D作DE//x轴交AB于点E，过点D作DF//y轴交AB于点F，求DF−DE的最大值．
21.(本小题9分)
综合与实践
素材一：某款遮阳棚(图1)，图2、图3是它的侧面示意图，点A，C为墙壁上的固定点，摇臂CB绕点C旋转过程中长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整.CA=CB=CD=1.5米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α的正切值：
【问题解决】
(1)如图2，当∠ACB=90°时，这天12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
(2)如图3，旋转摇臂CB，使得点B离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时−14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
22.(本小题12分)
综合探究
已知点E是边长为2的正方形ABCD内部一个动点，始终保持∠AED=90°．
【初步探究】(1)如图，延长DE交边BC于点F.当点F是BC的中点时，求DEAE的值；
【深入探究】(2)如图，连接CE并延长交边AD于点M.当点M是AD的中点时，求DEAE的值；
【延伸探究】(3)如图，连接BE并延长交边CD于点G.当DG取得最大值时，求DEAE的值．
23.(本小题12分)
综合运用
如图，直线y= 3x+6与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C的坐标为(6,0)，点P是线段BC上一点且点P与点O不重合.过A、O、P三点的圆与直线y= 3x+6交于点D.连接AC交圆于点E．
(1)求∠BAC的度数；
(2)当△ADE和△ABC相似时，求点P的坐标；
(3)设点P的横坐标为m， 2AD+AE的值是定值吗？若是，求出该定值；若不是，用含m的式子表示．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2024的相反数是−2024，
故选：D．
根据相反数的定义即可求得答案．
本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：从正面看到的平面图形是：．
故选：D．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.【答案】B
【解析】解：A、a2÷a2=1，故A不符合题意；
B、(a2)3=a6，故B符合题意；
C、(a+b)2=a2+2ab+b2，故C不符合题意；
D、a(a−b)=a2−ab，故D不符合题意；
故选：B．
利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，完全平方公式，单项式乘多项式的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】C
【解析】解：x+2<0①x−2≥0②，
解不等式①得：x<−2，
解不等式②得：x≥2，
∴原不等式组无解，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：C．
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵AB与地面的夹角∠CAB为61°，
∴∠BAB′=180°−∠CAB−∠C=180°−61°=119°，
即旋转角为99°，
∴箕面AB绕点A旋转的度数为119°．
故选：A．
根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解．
本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由角的和差关系得到∠BAB′的度数．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
6.【答案】C
【解析】解：∵正方形ABCD的面积为1，AB：A′B′=1：2，
∴正方形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积=1：4．
∴四边形A′B′C′D′的面积=4．
故选：C．
根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方作答．
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
7.【答案】A
【解析】解：∵∠ACD=26°，∠AOD=2∠ACD，
∴∠AOD=52°，
∵直径DE⊥弦AB，
∴AD=BD，
∴∠AOD=∠BOD=52°，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=104°，
故选：A．
根据圆周角定理求出∠AOD=52°，再根据垂径定理及推论求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，
∴动力F关于动力臂l的函数解析式为：1000×0.6=Fl，
即F=600l，是反比例函数，
又∵动力臂l>0，
反比例函数F=600l的图象是双曲线，且在第一象限．
故选：B．
直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可．
本题考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵实数b，c满足c−b+2=0，
∴c=b−2，
∴Δ=b2−4c
=b2−4(b−2)
=(b−2)2+4>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
根据条件得到c=b−2，根据判别式求根的情况即可判断．
本题考查了根的判别式，掌握当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵汽车原计划需行驶x h，
∴(x−1)表示汽车实际行驶时间，
∴实际比原计划提前1h到达．
∵甲、乙两地相距300km，
∴300x表示原计划的行驶速度，300x−1表示实际的行驶速度，
又∵所列方程为(1+25%)⋅300x=300x−1，
∴实际行驶速度比原计划增加25%，
∴题目中“…”表示的条件是速度比原计划增加25%，结果提前1h到达．
故选：A．
由汽车原计划需行驶x h，可得出(x−1)表示汽车实际行驶时间，进而可得出实际比原计划提前1h到达，由速度=路程÷时间，结合所列方程，可得出实际行驶速度比原计划增加25%，进而可得出题目中“…”表示的条件．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据所列方程，找准题干缺失条件是解题的关键．
11.【答案】1.625×107
【解析】解：1625万=16250000=1.625×107．
故答案为：1.625×107．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数，确定a与n的值是解题的关键．
12.【答案】25
【解析】解：由概率的定义可知，摸到的小球的标号是偶数的概率是2÷5=25．
故答案为：25．
根据5个完全相同的小球中标号为偶数的有2个，即可求出所求概率．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】12
【解析】解：由题意，知OF//BC，OE//AC．
∴∠EOF=∠C=90°，∠B=∠OFE．
在Rt△OEF中，
tanB=tan∠OFE
=OEOF
=12．
故答案为：12．
先利用平行线的性质说明∠B=∠OFE，再利用直角三角形的边角间关系求出∠OFE的正切值，
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及平行线的性质是解决本题的关键，
14.【答案】40°
【解析】解：如图，延长BE交AD于点N，设BN交AM于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=90°，AD=BC，
点M为CD中点，
∴DM=MC，
∴△ADM≌△BCM(SAS)，
∴∠DAM=∠CBM，
∵△BME是由△MBC翻折得到，
∴∠CBM=∠EBM=12(90°−∠ABE)，
∵∠DAM=∠MBE，∠AON=∠BOM，
∴∠OMB=∠ANB=90°−∠ABE，
在△MBE中，∠EMB+∠EBM=90°，
∴∠AME+(90°−∠ABE)+12(90°−∠ABE)=90°，
得：3∠ABE−2∠AME=90°，
即3∠ABE=90°+2×15°，
∴∠ABE=40°，
故答案为：40°．
延长BE交AD于点N，设BN交AM于点O，△ADM≌△BCM(SAS)，出∠DAM=∠CBM，由△BME是由△MBC翻折得到，推出∠CBM=∠EBM=12(90°−∠ABE)，由∠DAM=∠MBE，∠AON=∠BOM，推出∠OMB=∠ANB=90°−∠ABE，最后根据∠EMB+∠EBM=90°，即可得出结果．
本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
15.【答案】9 32+6
【解析】解：作AH⊥BC，如图，
当点P到点B处时，y=5，即AB=5，
当点P到点H处时AP最短，y=3，即AH=3，
当点P到点C处时，y=6，即AC=6，
在Rt△ABH中，BH= 52−32=4，
在Rt△ACH中，CH= 62−32=3 3，
∴S△ABC=12BC⋅AH=9 32+6．
分析出当点P到点B处时，y=5，即AB=5，当点P到点H处时AP最短，y=3，即AH=3，当点P到点C处时，y=6，即AC=6，再根据勾股定理分别求出BH和CH，即可求出三角形的面积．
本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
16.【答案】解：(1)2x2−3x+1=0，
(2x−1)(x−1)=0，
∵2x−1=0或x−1=0，
∴x1=12，x2=1；
(2)a−2a+a2+4a+4a2⋅aa+2
=a−2a+(a+2)2a2⋅aa+2
=a−2a+a+2a
=2aa
=2．
【解析】(1)方程利用因式分解法求出解即可；
(2)利用分式混合运算的法则进行计算即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，分式的混合运算，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键．
17.【答案】证明：如图，延长AD交BC于点G，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，
∴AG⊥BC，BG=CG，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB．
【解析】延长AD交BC于点G，由等腰三角形的性质可得AG⊥BC，BG=CG，则BD=CD，可得∠DBC=∠DCB．
此题考查角等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质可得AG⊥BC，BG=CG解答．
18.【答案】(1)解：如图，BF和点E即为所求．
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠AFB=∠EBF．
∵BF为∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠EBF，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AB=AF．
∵AB=BE，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF为平行四边形．
∵AB=BE，
∴四边形ABEF为菱形．
【解析】(1)根据角平分线的作图方法作图可得BF；以点B为圆心，AB的长为半径画弧，与BC的交点即为点E．
(2)根据角平分线的定义、平行四边形的性质、菱形的判定即可证明．
本题考查作图—复杂作图、角平分线的定义、平行四边形的性质、菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
19.【答案】A 30～39
【解析】解：(1)∵使调查样本更具有广泛性和代表性，
∴应在不同时间、不同途经点增加随机调查的人数，
故答案为：A；
(2)∵样本容量为200÷10%=2000，
∴年龄段为25～29岁的人数为：2000−(200+300+700+300+100)=400(人)，
补全条形统计图如下：
(3)∵中位数是年龄由小到大排列第1000，第1001个数据的平均数，
而200+300+400=900，200+300+400+700=1600，
∴被调查的市民的年龄的中位数，在年龄段30～39岁中，
故答案为：30～39；
(4)3002000×40万=6万(人)，
答：估计参加活动的市民中，年龄段为18～24岁的人数约为6万人．
(1)根据抽样调查样本应具有广泛性和代表性可作出选择；
(2)先求出样本容量，再用样本容量减去其他5个年龄段的人数，可求出年龄段为25～29岁的人数，再补全条形统计图即可；
(3)将样本中年龄段为18～24岁的人数所占比乘以40万，即可作出估计．
本题考查条形统计图，扇形统计图，抽样调查的可靠性，中位数，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由题意，将A(0,−4)，B(5,6)代入y=x2+bx+c得，
c=−425+5b+c=6，
∴b=−3c=−4．
∴抛物线的表达式为y=x2−3x−4．
又将A(0,−4)，B(5,6)代入y=kx+m得，
m=−45k+m=6，
∴m=−4k=2．
∴直线的表达式为y=2x−4．
(2)由题意，设D为(m,m2−3m−4)(0
∴E(12m2−32m,m2−3m−4)．
令x=m，则y=2m−4，
∴F(m,2m−4)．
∴DF−DE=2m−4−(m2−3m−4)−[m−(12m2−32m)]
=−12m2+52m
=−12(m−52)2+258．
∴当m=52时，DF−DE取最大值为258．
【解析】(1)依据题意，将A(0,−4)，B(5,6)代入y=x2+bx+c得方程组后，进而计算可得抛物线的表达式；又将A(0,−4)，B(5,6)代入y=kx+m得，求出k，m可得直线的表达式；
(2)依据题意，设D为(m,m2−3m−4)(0
21.【答案】解：(1)如图1，过B作BM⊥DE于M，
∴CD=BM=1.5，BC=DM=1.5，
在Rt△BEM中，tan∠BEM=BMEM，
即5=1.5EM，
∴EM=0.3，
∴DE=DM−EM=1.5−0.3=1.2．
答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为1.2m．
(2)过B作BF⊥AC于F，过B作BM⊥DE于M，
则BF=DM=1.2，
∴CF= BC2−BF2= 1.52−1.22=0.9，
∴BM=DF=CD−CF=1.5−0.9=0.6，
由表格可知，在12时−14时，
角a的正切值逐渐减小，即∠BEM逐渐较小，
∴当14时，点E最靠近墙角，
此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
在Rt△BEM中，tan∠BEM=BMEM，
即1.25=0.6EM，
∴EM=0.48，
∴DE=DM−EM=1.2−0.48=0.72．
答：绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是0.72m．
【解析】(1)过B作BMLDE于M，在Rt△BEM中，解直角三角形求出EM，进而解答即可；
(2)过B作BF⊥AC于F，过B作BM⊥DE于M，在Rt△BEM中，解直角三角形求出EM，进而解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当作辅助线，构建直角三角形解决问题．
22.【答案】解：(1)如图1，在正方形ABCD中，∠AED=∠ADC=∠C=90°，AB=BC=CD=AD=2，
∴∠2=∠1=90°−∠3，
∴tan∠2=tan∠1，
∴DEAE=CFCD=CFCB．
∵点F是BC的中点，
∴DEAE=CFCB=12；
(2)延长DE交边BC于点F，如图2，
∵点M是AD的中点时，∠AED=90°，
∴AM=MD=ME=12AD=1，
∴∠2=∠1，
在Rt△MDC中，MC= MD2+CD2= 12+22= 5，
∴CE=MC−ME= 5−1，
在正方形ABCD中，AD//BC，
∴∠2=∠4，
∵∠1=∠3，
∴∠4=∠3，
∴CF=CE= 5−1，
与(1)同理可得：DEAE=CFCB= 5−12；
(3)延长DE交边BC于点F，如图3，
∵AD=2，∠AED=90°，
∴点E在以AD为直径的半圆上运动，
取AD中点O，连接OE，OB，
∴当BE与半圆相切时，DG有最大值．
∵∠BAD=90°且OA为半径，
∴BA也为半圆的切线，
∴AB=BE，
∴点B在线段AE的垂直平分线上，
同理：点O在线段AE的垂直平分线上，
∴OB是线段AE的垂直平分线，
∴∠1=∠AED=90°，
∴BO//FD，
又∵BC//AD，
∴四边形BODF是平行四边形．
∴OD=BF=1，
∴FC=BC−BF=1．
与(1)同理可得：DEAE=CFCB=12．
【解析】(1)如图1，首先推导出∠2=∠1=90°−∠3，由tan∠2=tan∠1推导出DEAE=CFCD=CFCB，结合点F是BC的中点，得到DEAE=CFCB=12；
(2)延长DE交边BC于点F，如图2，利用勾股定理求得MC= MD2+CD2= 12+22= 5，CE=MC−ME= 5−1，继而推导出CF=CE= 5−1，与(1)同理可得：DEAE=CFCB= 5−12；
(3)延长DE交边BC于点F，如图3，取AD中点O，连接OE，OB，当BE与半圆相切时，DG有最大值．同时推导出BA也为半圆的切线，点B在线段AE的垂直平分线上，同理：点O在线段AE的垂直平分线上，所以OB是线段AE的垂直平分线，推导出BO//FD，结合BC//AD，得到四边形BODF是平行四边形，求得OD=BF=1，FC=BC−BF=1，与(1)同理可得：DEAE=CFCB=12．
本题属于相似形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及勾股定理．
23.【答案】解：(1)∵直线y= 3x+6，
∴点A(0,6)，
∴OA=6，
令y=0，得x=−2 3，
∴OB=2 3，
∴tan∠OAB=PB：OA= 33，
∵tan30°= 33，
∴∠OAB=30°．
∵OA=OC=6，
∴∠OAC=45°，
∴∠BAC=75°；
(2)连接DP，如图，
当△ADE和△ABC相似时，且当∠ADE=∠ABC时，DE//BC，
∵点C(6,0)，
∴OC=6=OA，
∴∠ACO=∠OAC=45°=∠DEA，
∵AD=AD，
∴∠APD=∠AED=45°，
∵AP为直径，
∴∠ADP=90°，
设点P横坐标为x，
∴BP=x−(−2 3)=x+2 3，
∵∠ABO=60°，
∴BD=12BP=x2+ 3，DP= BP2−BD2= 3x2+3=AD，
∵OB=2 3，
∴AB=2BO=4 3，
∴BD+AD=4 3，即x2+ 3+ 3x2+3=4 3，
∴x=6−3 3，
∴点P(6−3 3,0)；
当△ADE和△ABC相似时，且当∠AED=∠ABC=60°时，
∵∠DPD=30°，
∴∠APB=90°，
∵∠AOB=90°，
∴点P与点O重合，不符合题意，
故点P(6−3 3,0)；
(3) 2AD+AE的值是定值，为3 6+3 3．
如图，
∵点P的横坐标为m，
∴AD=3 3−m2，
∵AP为直径，
∴∠PEC=90°，
∵OC=6，
∴PC=6−m，
∵∠ACB=45°，
∴EC=3 2− 2m2，
∵OA=OC=6，
∴AC=6 2，
∴AE=AC−EC=3 2+ 2m2，
∴ 2AD+AE= 2(3 3−m2)+3 3−m2=3 6+3 3，
∴ 2AD+AE的值是定值，为3 6+3 3．
【解析】(1)求出点A和点B处坐标，即可求出∠OAB，再由OA=OC，求出∠OAC，即可解答；
(2)连接DP，分析出当△ADE和△ABC相似时，且当∠ADE=∠ABC时，DE//BC，设点P横坐标为x，表示出BD和AD，利用和为2 3，列出算式计算即可；
(3)用m表示出AD和EC，计算 2AD+AE的值，结果与m无关，即可判断为定值．
本题考查了圆的综合应用，圆的相关知识点的掌握和应用及勾股定理的应用是本题的解题关键．时刻(时)
12
13
14
15
角α的正切值
5
2.5
1.25
1
相关试卷
2023年广东省佛山市禅城区中考数学二模试卷（含解析）： 这是一份2023年广东省佛山市禅城区中考数学二模试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省佛山市禅城区华英学校中考数学一模试卷（含解析）： 这是一份2023年广东省佛山市禅城区华英学校中考数学一模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省佛山市禅城区中考数学一模试卷（含解析）： 这是一份2023年广东省佛山市禅城区中考数学一模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
