2023-2024学年北京161中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京161中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是( )
A. 1，1，1B. 2，3，4C. 1, 2, 3D. 1，2，3
2.下列各式中是最简二次根式的是( )
A. 15B. 15C. 0.1D. 8
3.下列y关于x的函数中，是正比例函数的为( )
A. y=x2B. y=x2C. y=2xD. y=x+12
4.如图，在▱ABCD中，AB=AC，∠CAB=40°，则∠D的度数是( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
5.如图，四边形ABCD是菱形，其中A，B两点的坐标为A(0,3)，B(4,0)，则点D的坐标为( )
A. (0,−1)
B. (0,−2)
C. (0,−3)
D. (0,−4)
6.如图，在桌面上放置一个正方体，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是( )
A. − 37cm
B. 2 5cm
C. 17cm
D. 15cm
7.已知P1(−2,m)，P2(1,n)是函数y=−2x+1图象上的两个点，则m与n的大小关系是( )
A. m>nB. m8.如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若二次根式 x+7在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
10.如图，在▱ABCD中，BC=6，DE=2，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则AB= ______．
11.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AB=6，BC=2，则AC= ______，CD= ______．
12.已知一次函数y=kx+b的函数图象不经过第四象限，请写出一组符合题意的k和b的值：k= ______，b= ______．
13.如图，直线y1=2x与y2=−x+a交于点P(1,2)则不等式2x>−x+a的解集为 ．
14.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”
译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．
设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为______．
15.若直角三角形两条直角边的边长之和为17，面积是30，则该直角三角形的斜边长为______．
16.△ABC中，AB=2a+1，BC=2a−3，BD平分∠ABC，过点C作CD⊥BD于点D，E是AC的中点，连接DB，则DE= ______．
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：(1) 32+ 45− 8+ 20；
(2) 5× 15+ 27÷ 3−6 13．
18.(本小题4分)
如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF与BD交于点O.求证：OE=OF．
19.(本小题4分)
已知a，b分别是 5的整数部分和小数部分．
(1)直接写出a和b的值；
(2)求b2+2ab的值．
20.(本小题4分)
已知：在△ABC中，∠ABC=90°．
求作：矩形ABCD．
作法：如下，
①分别以点A，C为圆心，大于12AC的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；
②作直线MN，交边AC于点O；
③作射线BO，以点O为圆心，以BO长为半径作弧，与射线BO的另一个交点为D，连接CD，AD；
所以四边形ABCD就是所求作的矩形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵直线MN是AC的垂直平分线，
∴AO=OC．
∵BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形(______)(填推理的依据)．
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形(______)(填推理的依据)．
21.(本小题4分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，AD=1，CD=3．
(1)求∠DAB的度数．
(2)求四边形ABCD的面积．
22.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，AE/​/BC，CE/​/AD．
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)连接BE，若∠ABC=30°，AC=2，求BE的长．
23.(本小题6分)
为了探究函数y=|x+2|−1的图象与性质，甲同学根据学习一次函数的经验，借助函数y=|x+2|−1的图象与性质进行了探究.下面是甲同学的探究过程：
第一步：y=|x+2|−1的自变量x的取值范围是全体实数；
第二步：x与y的几组对应值：
第三步：建立平面直角坐标系xOy，画出函数图象；
第四步：借助函数图象研究该函数的性质．
(1)补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)观察y=|x+2|−1的函数图象，可得以下结论：
①当x= ______时，函数有最小值为______；
②当x ______时，y随x的增大而增大；
③若直线y=kx+1与y=|x+2|−1的图象有且只有一个交点，则k的取值范围是______．
24.(本小题7分)
甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同.节日期间两家草莓采摘园均推出优惠促销方案：
甲采摘园：游客进园需购买100元的门票，采摘的草莓按照六折计费；
乙采摘园：游客进园不需购买门票，采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算.设游客在乙采摘园采摘的草莓重量为x千克，所花的费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示．
(1)优惠前草莓的销售价格为______元/千克；
(2)当x≥10时，求y与x的函数解析式；
(3)当游客采摘草莓的重量为15千克时，在哪家草莓园采摘更划算，并说明理由．
25.(本小题6分)
在正方形ABCD中，F是线段BC上一动点(不与点B，C重合)，连接AF，AC，分别过点F，C作AF、AC的垂线交于点Q．
(1)依题意补全图1，并证明AF=FQ；
(2)过点Q作NQ/​/BC，交AC于点N，连接FN.若正方形ABCD的边长为1，写出一个BF的值，使四边形FCQN为平行四边形，并证明．
26.(本小题6分)
对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P(点P在M内部或M上)，给出如下定义：如果图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤2，那么称点P为图形M的和谐点．已知点A(−4,3)，B(−4,−3)，C(4,−3)，D(4,3)．
(1)在点P₁(−2,1)，P2(−1,0)，P3(3,3)中，矩形ABCD的和谐点是______；
(2)如果直线y=12x+32上存在矩形ABCD的和谐点P，直接写出点P的横坐标t的取值范围；
(3)如果直线y=12x+b上存在矩形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点(含端点)都是矩形ABCD的和谐点，且EF>2 5，直接写出b的取值范围．
27.(本小题3分)
学习完二次根式后，杨老师给甲同学出了这样一道思考题：求 3+ 5+ 3− 5的值．
甲同学认真分析了式子的结构，做出如下解答：
设x= 3+ 5+ 3− 5，两边平方得：
x2=( 3+ 5)2+( 3− 5)2+2 (3− 5)(3+ 5)，即x2=3+ 5+3− 5+4，
∴x2=10，
∴x=± 10
∵ 3+ 5+ 3− 5>0，
∴ 3+ 5+ 3− 5= 10，
请你参考上述方法，求 6+ 11+ 6− 11的值．
28.(本小题7分)
对于平面直角坐标系xOy中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“近距离”，记作d(M,N)．
在▱ABCD中，点A(4,8)，B(−4,0)，C(−4,−8)，D(4,0)，如图1．
(1)直接写出d(点O，▱ABCD)= ______；
(2)若点P在y轴正半轴上，d(点P，▱ABCD)=4，求点P坐标；
(3)已知点E(a,−a)，F(a+2,−a)，G(a+1,−a−1)，H(a+3,−a−1)，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形W(包括边界)．
①当a=−1时，在图2中画出图形W，直接写出d(W，▱ABCD)的值；
②若0≤d(W，▱ABCD)<1，直接写出a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.∵12+12≠12，
∴以1，1，1为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵22+32≠42，
∴以2，3，4边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵12+( 2)2=( 3)2，
∴以1， 2， 3为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵1+2=3，
∴以1，2，3为边不能组成三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
2.【答案】B
【解析】解：A、 15= 55，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 15是最简二次根式，符合题意；
C、 0.1= 110= 1010，被开方数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 8=2 2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
3.【答案】B
【解析】解：A、该函数属于二次函数，故本选项错误；
B、该函数符合正比例函数的定义，故本选项正确；
C、该函数属于反比例函数，故本选项错误；
D、该函数是y与(x+1)成正比，故本选项错误；
故选：B．
根据正比例函数的定义来判断．
主要考查正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数，那么y就叫做x的正比例函数．
4.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，∠CAB=40°，
∴∠B=∠ACB=70°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=70°，
故选：D．
由等腰三角形的性质可求∠B=∠ACB=70°，由平行四边形的性质可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵A(0,3)，B(4,0)，
∴OA=3，OB=4，
∴AB= AO2+BO2= 9+16=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=5，
∴OD=2，
∵点D在y轴负半轴，
∴点D坐标为(0,−2)，
故选：B．
由勾股定理可求AB的长，由菱形的性质可得AD=AB=5，即可求解．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：如图，
它运动的最短路程AB= (2+2)2+(22)2= 17(cm)．
故选：C．
正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长．
本题考查平面展开−最短路径问题，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出答案．
7.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=−2x+1中，k=−2<0，
∴y随着x的增大而减小．
∵P1(−2,m)，P2(1,n)是函数y=−2x+1图象上的两个点，−2<1，
∴m>n．
故选：A．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据−2<1即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由题意可知，
铁块露出水面以前，F拉+F浮=G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，
当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，
当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，
故选：D．
根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答．
9.【答案】x≥−7
【解析】解：由题意知，x+7≥0，
解得，x≥−7，
故答案为：x≥−7．
根据二次根式有意义的条件得出x+7≥0，计算求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10.【答案】4
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=6．
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=BC−DE=6−2=4，
故答案为：4．
由平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC=6，由平行线的性质和角平分线的性质可求AB=AE，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，求出AB=AE的长是解答本题的关键．
11.【答案】4 2 4 23
【解析】解：∵∠ACB=90°，AB=6，BC=2，
∴AC= AB2−BC2=4 2，
∵△ABC的面积=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴6CD=2×4 2，
∴CD=4 23，
故答案为：4 2，4 23．
由勾股定理即可求出AC的长，由三角形面积公式得到6CD=2×4 2，求出CD=4 23．
本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是掌握勾股定理，由三角形面积公式得到AB⋅CD=AC⋅BC．
12.【答案】1 2
【解析】解：∵一次函数y=kx+b的函数图象不经过第四象限，
∴k>0，b≥0，
∴k=1，b=2．
故答案为：1，2(答案不唯一)．
根据函数图象不经过第四象限判断出k，b的符号，进而可得出结论．
本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
13.【答案】x>1
【解析】解：∵直线y1=2x与y2=−x+a交于点P(1,2)，
∴不等式2x>−x+a的解集为x>1．
故答案是：x>1．
写出直线y1=2x在直线y2=−x+a上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14.【答案】x2=102+(x−4)2
【解析】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：
x2=102+(x−4)2，
故答案为：x2=102+(x−4)2．
设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=(x−4)尺，利用勾股定理可得x2=102+(x−4)2．
此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AB、AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
15.【答案】13
【解析】解：设直角三角形较短的直角边长为x，则较长的直角边长为(17−x)，
根据题意得：12x(17−x)=30，
整理得：x2−17x+60=0，
解得：x1=5，x2=12(不符合题意，舍去)，
∴该直角三角形的斜边长为 x2+(17−x)2= 52+(17−5)2=13．
故答案为：13．
设直角三角形较短的直角边长为x，则较长的直角边长为(17−x)，根据该直角三角形的面积是30，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入 x2+(17−x)2中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】2
【解析】解：如图，延长CD交AB于F，
∵BD平分∠ABC，过点C作CD⊥BD于点D，
∴BD是△BFC的中线，BF=BC=2a−3．
∴点D是CF的中点．
∵E是AC的中点，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE=12AF．
∵AF=AB−BF=2a+1−(2a−3)=4．
∴DE=2．
故答案为：2．
如图，延长CD交AB于F，构造等腰三角形BFC和△AFC的中位线，利用等腰三角形的性质和三角形中位线定理作答．
本题主要考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质，解题的巧妙之处在于作辅助线．
17.【答案】解：(1) 32+ 45− 8+ 20
=4 2+3 5−2 2+2 5
=2 2+5 5；
(2) 5× 15+ 27÷ 3−6 13
= 5×15+ 27÷3−2 3
=5 3+3−2 3
=3 3+3．
【解析】(1)先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2)先算乘除，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠OBF=∠ODE，
∵AE=CF，
∴DE=BF，
∵∠EOD=∠FOB，
在△BOF和△DOE中，
∠FOB=∠EOD∠OBF=∠ODEBF=DE，
∴△BOF≌△DOE(AAS)，
∴OE=OF．
【解析】根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD//BC，由对顶角相等可得∠EOD=∠FOB，再根据平行线的性质可得∠OBF=∠ODE，从而可证△BOF≌△DOE(AAS)，即可得出结论．
本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、对顶角相等、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质证得△BOF≌△DOE是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵2< 5<3，
∴ 5的整数部分是2，小数部分是 5−2，
即a=2，b= 5−2；
(2)由(1)题所得a=2，b= 5−2，
∴b2+2ab
=( 5−2)2+2×2×( 5−2)
=5−4 5+4+4 5−8
=1．
【解析】(1)运用算术平方根知识进行估算、求解；
(2)将(1)题所求结果代入、计算．
此题考查了实数的计算和对无理数大小的估算能力，关键是能准确运算方法进行正确地计算．．
20.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 有一个角是直角的平行四边形是矩形
【解析】(1)解：如图，四边形ABCD即为所求．
(2)证明：∵直线MN是AC的垂直平分线，
∴AO=OC．
∵BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
(1)根据要求作出图形即可．
(2)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是正确作出点D，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)连结AC，
∵∠B=90°，AB=BC=2，
∴AC=2 2，∠BAC=45°，
∵AD=1，CD=3，
∴AD2+AC2=12+(2 2)2=9，CD2=9，
∴AD2+AC2=CD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC=90°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135°．
(2)在Rt△ABC中，S△ABC=12⋅BC⋅AB=12×2×2=2，
在Rt△ADC中，S△ADC=12⋅AD⋅AC=12×1×2 2= 2．
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2+ 2．
【解析】(1)由于∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=3，DA=1，易得AC2+DA2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，从而易求∠BAD；
(2)连接AC，则可以计算△ABC的面积，根据AD，CD可以计算△ACD的面积，四边形ABCD的面积为△ABC和△ADC面积之和．
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．
22.【答案】解：(1)证明：∵AE//BC，CE/​/AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵∠BAC=90°，AD是斜边BC边上的中线．
∴AD=CD．
∴平行四边形ADCE是菱形．
(2)连接BE，过点E作EF垂直BA，垂足为F，如图：
∵∠ABC=30°，AC=2．
∴BC=4，AB= BC2−AC2=2 3．
∵∠BAC=90°，AD是斜边BC边上的中线．
∴AD=BD=CD．
∴∠DAB=∠DBA．
∵∠ABC=30°．
∴∠CDA=60°．
∴△ADC的等边三角形．
∵AC=2．
∴AD=AE=2
∵四边形ADCE是菱形．
∴∠ECA=∠CAD=60°．
∴∠EAF=30°．
∴EF=12AE=1．
∴AF= AE2−EF2= 3．
∴BF=3 3．
∴BE= EF2+BF2=2 7．
【解析】(1)先证明四边形ADCE是平行四边形，再证明AD=DC，即可求证是菱形．
(2)连接BE，过点E作EF垂直BA，垂足为F，根据已知求出EF的长度，利用勾股定理即可求BE．
本题考查了菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，直角三角形中线性质，勾股定理等，关键在于利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
23.【答案】−2 −1 ≥−2 k≤−1或k>1
【解析】解：(1)补全表格：
画出函数图象：
(2)观察y=|x+2|−1的函数图象，可得以下结论：
①当x=−2时，函数有最小值为−1；
②当x≥−2时，y随x的增大而增大；
③若直线y=kx+1与y=|x+2|−1的图象有且只有一个交点，则k的取值范围是k≤−1或k>1．
故答案为：①−2，−1；②≥−2；③k≤−1或k>1．
(1)根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；
(2)①根据图象即可求得最小值，②根据题目中的函数解析式及图象，可知x的取值范围；③函数图象即可求得点的坐标；④根据函数图象的特征即可求解．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】30
【解析】解：(1)根据题意得，甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格：300÷10=30(元/千克)．
∴y甲=30×0.6x+100=1.8x+100；
故答案为：30；
(2)当x≥10时，设y乙=kx+b，
由题意的：10k+b=30025k+b=480，
解得k=12b=180，
∴y乙=12x+180，
∴y乙与x之间的函数关系式为：yz=12x+180(x≥10)；
(3)当x=15时，y甲=18×15+100=370，y乙=12×15+180=360，
∴y甲>y乙，
∴他在乙家草莓园采摘更划算．
(1)根据题意得出草莓销售价格；
(2)根据函数图象待定系数法求得乙的解析式；
(3)将x=15千克代入(1)中解析式，即可求解．
本题考查了一次函数的应用，根据题意求得函数关系式是解题的关键．
25.【答案】解：(1)根据题意，作图如下：
证明：在AB上截取BM=BF，如下图，
∵∠CFQ+∠AFB=90°，∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠CFQ，
∵BF=BM，则BC−BF=AB−BM，
∴CF=AM，
又∵∠AMF=180°−45°=135°，∠FCQ=90°+45°=135°，
∴∠AMF=∠FCQ，
在△AMF和△FCQ中，
∠MAF=∠CFQAM=FC∠AMF=∠FCQ，
∴△AMF≌△FCQ(ASA)，
∴AF=FQ；
(2)当BF=13时，四边形FCQN为平行四边形，
证明：如图，在AB上截取BM=BF，连接MF，
∵BF=13，BC=1，
∴FC=23，
由(1)可得△BMF为等腰三角形，且△AMF≌△FCQ，
∴CQ=MF= 23，
∵NQ/​/BC，
∴∠FCQ+∠NQC=180°，
∵∠FCQ=135°，
∴∠NQC=45°，
∵∠NCQ=90°，
∴∠NQC=45°=∠QNC，
∴QC=NC= 23，NQ=23，
∴NQ=FC且NQ//FC，
∴四边形FCQN为平行四边形．
【解析】(1)先根据题意画出图象，再作辅助线，使AF所在的三角形和QF所在的三角形全等即可得出AF=QF；
(2)取BF为13，算出FC的长，然后根据AC⊥CQ推导NQ=FC，用平行四边形的判定即可证明四边形FCQN是平行四边形．
本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，关键是要能作出适当的辅助线FM来证明△AMF≌△FCQ，再利用全等三角形的性质得出对应边相等．当题目中出现正方形时，要想到正方形的四边相等，四个内角相等．
26.【答案】解：(1)P1，P3；
(2)−4≤t≤−2或−1≤t≤3；
(3)2≤b<3或−3【解析】解：(1)如图1中，根据点P为图形M的和谐点的定义，观察图象可知P1，P3是矩形ABCD的和谐点．
故答案为：P1，P3．
(2)如图2中，
当直线y=12x+32上的点P到直线AB的距离为2时，可得P2(−2,12)，同时P4(−4,−12)也满足条件
由题意此时P1，P4是矩形的和谐点，
观察图象可知：当−4≤t≤−2时，点P是矩形的和谐点，
当直线y=12x+32上的点P到直线AD的距离为2时，可得P3(−1,1)，同时P1(3,3)也满足条件，
观察图象可知：当−1≤t≤3时，点P是矩形的和谐点．
综上所述，满足条件的t的值为−4≤t≤−2或−1≤t≤3．
(3)如图3中，
当b=3时，图中线段EF上的点都是和谐点，且EF=2 5．
当b=2时，图中线段E′F′上的点都是和谐点，且EF>2 5．
观察图象可知：满足条件的b的值为2≤b<3．
根据对称性，同法可证，当−3综上所述，满足条件的b的值为：2≤b<3或−3(1)如图1中，根据点P为图形M的和谐点的定义，观察图象可知P1，P3是矩形ABCD的和谐点．
(2)如图2中，求出满足条件的点P1，P2，P3，P4的坐标即可判断．
(3)当b=3时，图中线段EF上的点都是和谐点，且EF=2 5.当b=2时，图中线段E′F′上的点都是和谐点，且EF>2 5.观察图象可知：满足条件的b的值为2≤b<3.根据对称性，同法可证，当−3本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的应用，待定系数法，点P为图形M的和谐点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会性质特殊点解决问题的，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
27.【答案】解：设x= 6+ 11+ 6− 11，两边平方得：
x2=( 6+ 11+ 6− 11)2，
x2=( 6+ 11)2+( 6− 11)2+2 (6+ 11)(6− 11)，
x2=6+ 11+6− 11+2 36−11，
x2=22，
x=± 22，
∵ 6+ 11+ 6− 11>0，
∴ 6+ 11+ 6− 11= 22．
【解析】先设x= 6+ 11+ 6− 11，再两边同时平方，利用完全平方公式计算出x2的值，在求出x，从而进行解答即可．
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是理解并熟练运用已知条件中的解题方法．
28.【答案】2 2
【解析】解：(1)如图1中，过点O作OT⊥AB于点T，
∵A(4,8)，B(−4,0)，
∴OB=OD=4，AD=8，
∴AD=DB=8，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°，
∵OT⊥BT，
∴OT=BT=2 2，
∴d(点O，▱ABCD)=2 2，
故答案为：2 2；
(2)如图1中，过点P作PH⊥AB于点H，设AB交y轴于点Q．
∵d(点P，▱ABCD)=4，
∴PH=4，
∵∠PQH=∠BQO=45°，
∴PH=HQ=4，
∴PQ= 42+42=4 2，
∵OB=OQ=4，
∴OP=OQ+QP=4+4 2，
∴P(0,4+4 2)；
(3)①如图2中，过点H作HJ⊥CD于点J，延长OE交AB于点K．
∵E(−1,1)，
∴∠EOB=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠BKO=90°，
∵OK=2 2，OE= 2，
∴EK=OK−OE= 2，
在Rt△DJH中，DH=2，∠JDH=45°，
∴HJ=DJ= 2，
∴EK=HJ= 2，
∴d(W，▱ABCD)= 2；
②如图2−1中，由题意点E，G值直线y=−x上运动，点FH，在直线y=−x+2上运动，
当点H在AB的上方且到直线AB的距离为1时，H(− 22−1,3+ 22)，此时a= 22−4，
当点E在直线AB的下方，且到直线AB距离为1时，E( 22−2,2− 22)，此时a= 22−2，
当点H在CD的上方且到直线CD的距离为1时，H(2+ 22, 22−1)，此时a= 22−1，
当点E在直线CD的下方，且到直线CD距离为1时，E( 22+2,−2− 22)，此时a= 22+2，
观察图象可知，满足条件的a的值为： 22−4(1)如图1中，过点O作OT⊥AB于点T，求出OT的值，可得结论；
(2)如图1中，过点P作PH⊥AB于点H，设AB交y轴于点Q.求出PQ，可得结论；
(3)①如图2中，过点H作HJ⊥CD于点J，延长OE交AB于点K.求出EK，HJ的值，可得结论；
②如图2−1中，由题意点E，G值直线y=−x上运动，点FH，在直线y=−x+2上运动，求出四种特殊情形a的值，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．x
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