2023-2024学年辽宁省沈阳市五校协作体高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市五校协作体高一（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知(12)sin2θ<1，则θ是( )
A. 第一或第二象限的角B. 第二或第四象限的角
C. 第一或第三象限的角D. 第二或第三象限的角
2.对于任意非零向量a,b,c，若a,b在c上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是( )
A. (a−b)//cB. (a+b)//cC. (a−b)⊥cD. (a+b)⊥c
3.2024年2月4日，“龙行中华——甲展龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案.出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”(图1)就是这样一件珍宝.玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美.现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图2)：AB≈8cm，AD≈2cm，AO≈5cm，若sin37°≈35，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为( )
A. 6.8cm2B. 9.8cm2C. 14.8cm2D. 22.4cm2
4.已知向量a=(sinθ,csθ),b=( 2,1)，若a⋅b=|b|，则tanθ=( )
A. 22B. 2C. 3D. 32
5.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△ABC是等腰直角三角形，其中A，B两点为图象与x轴的交点，C为图象的最高点，且|OB|=3|OA|，则f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2024)=( )
A. 22B. − 22C. 2D. 0
6.若tan2α=43，则2+2cs2α−3sin2α1−cs2α=( )
A. −12或2B. −2或12C. 2D. −12
7.剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折.将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD的边长为4，点P在四段圆弧上运动，则AP⋅AB的取值范围为( )
A. [−4,12]B. [−8,24]C. [−12,36]D. [−12,24]
8.已知a=1718，b=cs13，c=3tan13，则下列不等式成立的是( )
A. b>a>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.四边形ABCD内接于圆O，AB=CD=5，AD=3，∠BCD=60°，下列结论正确的有( )
A. 四边形ABCD为梯形
B. 四边形ABCD的面积为55 34
C. 圆O的直径为7
D. △ABD的三边长度满足AD+BD=2AB
10.下列命题正确的是( )
A. 向量a在向量b(b≠0)上的投影为c，则c=|a||b|cs〈a,b〉b
B. 已知m=(1,2),n=(3,t)，若m与m+2n的夹角不为锐角，则t的取值范围为(−∞,−114]
C. 点H在△ABC所在的平面内，且满足HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA，则点H是△ABC的垂心
D. 在平面直角坐标系xOy中，A(x1,y1)，B(x2,y2)，而且O，A，B三点不共线，则S△OAB=12|x1y2−x2y1|
11.已知函数f(x)=csx+|sinx2|，则( )
A. f(x)在区间(0,π6)单调递增
B. f(x)的图象关于直线x=π对称
C. f(x)的值域为[0,98]
D. 关于x的方程f(x)=a在区间[0,2π]有实数根，则所有根之和组成的集合为{π,2π,4π}
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，sinA：sinB：sinC= 3：4： 31，则A+B−C= ______．
13.设a,b,c是单位向量，且|a+b|=|a−b|，则(a−c)⋅(b−c)的范围为______．
14.已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)的部分图象，如图所示，则满足条件(f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0的最小正整数x为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，已知AB=2 2,AC=2 3,C=π4．
(1)求B的大小；
(2)若BC>AC，求函数f(x)=sin(2x−B)−sin(2x+A+C)在[−π,π]上的单调递增区间．
16.(本小题15分)
已知向量a=(2csx,sinx+ 2sinθ)，b=(2sinx,−csx+ 2csθ)．
(1)若a/​/b，求cs(x+θ)．
(2)若θ=π4，函数f(x)=a⋅b(x∈[0,π])；
(ⅰ)求f(x)的值域．
(ⅱ)当f(x)取最小值时，求与a垂直的单位向量c的坐标．
17.(本小题15分)
如图所示，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M，N在线段DE(含端点)上，且点M在点N的右下方，经测量得知，AD=6m，AE=6m，AP=2m，∠MPN=π4.记∠EPM=θ(rad)，监控摄像头的可视区域△PMN的面积为Sm2．
(1)求S关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；(参考数据：tan54≈3)
(2)求S的最小值．
18.(本小题17分)
在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且bcsA+acsB=2，CB⋅CA=2 33S．
(1)求△ABC的面积S最大值．
(2)求AC⋅AB的取值范围．
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs2B+cs2C−cs2A=1．
(1)求A；
(2)若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；
(3)设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由(12)sin2θ<1=(12)0，
得sin2θ>0，
∴2kπ<2θ<π+2kπ，
即kπ<θ<π2+kπ,k∈Z，
∴θ是第一或第三象限的角．
故选：C．
求解指数不等式可得sin2θ>0，进一步得到kπ<θ<π2+kπ,k∈Z，则答案可求．
本题考查指数不等式的解法，考查了三角函数的象限符号，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：a在c上的投影为a⋅c|c|，b在c上的投影为b⋅c|c|，
a,b在c上的投影向量互为相反向量，
则a⋅c|c|+b⋅c|c|=0，即(a+b)⋅c=0，即(a+b)⊥c．
故选：D．
根据已知条件，结合投影的定义，以及向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查投影的公式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：过点O作OM⊥AB于点M，则OM垂直平分AB，
∴AM=BM=4，
又∵OA=5，∴OM=3，
∴sin∠OAM=OMOA=35，
∴∠OAM≈37°，∴∠AOM≈53°，
∴∠AOB=106°，
∴璜身(即曲边四边形ABCD)面积S≈S扇形AOB−S扇形DOC=106°360∘×3.14×52−106°360∘×3.14×(5−2)2≈14.8(cm2).
故选：C．
过点O作OM⊥AB于点M，则AM=4，OA=5，OM=3，所以sin∠OAM=35，即∠OAM≈37°，进而得到∠AOB=106°，再利用扇形的面积公式求解即可．
本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为a=(sinθ,csθ),b=( 2,1)，
所以a⋅b= 2sinθ+csθ，|b|= 2+1= 3，
因为a⋅b=|b|，
所以 2sinθ+csθ= 3，
所以3=2sin2θ+cs2θ+2 2sinθcsθ=1+sin2θ+2 2sinθcsθ，
所以2=sin2θ+2 2sinθcsθ=sin2θ+2 2sinθcsθsin2θ+cs2θ=tan2θ+2 2tanθtan2θ+1，
所以tan2θ−2 2tanθ+2=0，
所以tanθ= 2．
故选：B．
由平面向量数量积的坐标表示可得 2sinθ+csθ= 3，再由三角恒等变换知识化简即可．
本题考查平面向量数量积的坐标表示和三角恒等变换，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：过C作CD⊥轴于D，则|CD|=1，
因为△ABC是等腰直角三角形，所以|AB|=2，
故T=4，ω=π2，
因为|OB|=3|OA|，
所以|OB|=3|OA|=32，
所以A(−12,0)，B(32,0)，C(12,1)，
所以12×π2+φ=π2+2kπ，k∈Z，
因为0<φ<π，
所以φ=π4，f(x)=sin(π2x+π4)，
则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)= 22− 22− 22+ 22=0，
故f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2024)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0．
故选：D．
由已知结合等腰三角形性质先求出A，B，C的坐标，代入可求f(x)，然后结合正弦函数的周期性即可求解．
本题主要考查了函数性质在y=Asin(ωx+φ)解析式求解中的应用，还考查了函数的周期性在函数求值中的应用，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：tan2α=2tanα1−tan2α=43，解得tanα=12或−2，
故2+2cs2α−3sin2α1−cs2α=2sin2α+2cs2α+2−2sin2α−6sinαcsα2sin2α=2tan2α−3tanα=2．
故选：C．
直接利用三角函数关系式的变换求出三角函数的值．
本题考查的知识点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，
设点P(x,y)，
由题意可得：点P的横坐标x的取值范围是[−2,6]，
又因为AP=(x,y)，AB=(4,0)，
所以AB⋅AP=4x∈[−8,24]．
故选：B．
以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，求出点P的横坐标的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算可求得AP⋅AB的取值范围．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的坐标运算，属中档题．
8.【答案】D
【解析】解：因为13∈(0,π2)，所以tan13>13，可得c=3tan13>1，结合a=1718，b=cs13均小于1，可知c最大．
由0因此ab>a，D项的结论正确．
故选：D．
当α∈(0,π2)时，sinα<α本题主要考查三角函数的性质、二倍角的三角函数公式、作差法比较大小等知识，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：四边形ABCD内接于圆O，AB=CD=5，AD=3，∠BCD=60°，
∴∠DAB=120°，连接AC，BD，如图，
在△ABD中，BD2=AD2+AB2−2⋅AD⋅AB⋅cs120°=9+25+15=49，
∴BD=7，
在△BCD中，BD2=CD2+BC2−2⋅CD⋅BC⋅cs60°，
整理得49=BC2+25−2×5×BC×12，解得BC=8或BC=−3(舍)，
∵四边形ABCD内接于圆O，
设∠ADC=θ，则∠ABC=π−θ，
在△ACD中，AC2=AD2+CD2−2⋅AD⋅CD⋅csθ，
在△ABC中，AC2=AB2+CB2−2⋅AB⋅CB⋅cs(π−θ)，
∴9+25−30csθ=25+64+2×5×8csθ，整理得csθ=−12，
∴θ=120°，∴∠ADC=120°，
∴AD/​/BC，且AB不平行于CD，
∴四边形ABCD为梯形，故A正确；
四边形ABCD的面积为S=12×AD×AB×sin120°+12×CD×CB×sin60°=55 34，故B正确；
圆O的直径即△ABD外接圆直径为2R=BDsin120∘=7 32=14 33，故C错误；
∵AB=5，AD=3，BD=7，∴△ABD的三边长度满足AD+BD=2AB，故D正确．
故选：ABD．
利用余弦定理、三角形面积公式的应用、圆的内接四边形的应用、正弦定理能求出结果．
本题考查余弦定理、正弦定理、三角形面积公式、圆的内接四边形等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对A选项，∵向量a在向量b(b≠0)上的投影为|a|cs|b|⋅b，∴A选项正确；
对B选项，∵m=(1,2),n=(3,t)，∴m+2n=(7,2+2t)，
若m与m+2n的夹角不为锐角，
则m⋅(m+2n)≤0或m//(m+2n)，
∴7+4+4t≤0或1×(2+2t)=2×7，
∴t≤−114或t=6，∴B选项错误；
对C选项，∵H在△ABC所在的平面内，且满足HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA，
∴HB⋅(HA−HC)=0，∴HB⋅CA=0，∴HB⊥CA，
同理可得HA⊥BC，HC⊥AB，∴点H是△ABC的垂心，∴C选项正确；
对D选项，根据题意可得S△ABC=12|OA||OB|sin
=12|OA||OB| 1−cs2
=12|OA||OB| 1−(OA⋅OB)2|OA|2|OB|2
=12 |OA|2|OB|2−(OA⋅OB)2
=12 (x12+y12)(x22+y22)−(x1x2+y1y2)2
=12|x1y2−x2y1|，∴D选项正确．
故选：ACD．
根据投影向量的定义，向量数量积的性质，三角形面积公式及向量夹角公式，即可分别求解．
本题考查投影向量的定义，向量数量积的性质，三角形面积公式及向量夹角公式，属中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，当x∈(0,π6)时，sinx2>0，
所以f(x)=csx+sinx2=1−2sin2x2+sinx2，
因为y=sinx2在(0,π6)上单调递增，
又sinπ12= 1−csπ62= 2− 32= 6− 24，
所以sinx2∈(0, 6− 24)，
因为4916>3，即74> 3，
所以2− 3−14=74− 3>0，
即2− 3>14，
所以 2− 3>12，
所以sinπ12= 2− 32>14，
又y=−2x2+x+1在(−∞,14)上单调递增，在(14,+∞)上单调递减，
所以y=1−2sin2x2+sinx2在(0,π6)上不单调，
即f(x)在区间(0,π6)不单调，故A错误；
对于B，因为f(2π−x)=cs(2π−x)+|sin2π−x2|=csx+|sinx2|=f(x)，
所以f(x)的图象关于直线x=π对称，故B正确；
对于C，因为f(x)=csx+|sinx2|=1−2sin2x2+|sinx2|=1−2|sinx2|2+|sinx2|，
令t=|sinx2|，则t∈[0,1]，令h(t)=1−2t2+t，t∈[0,1]，
则h(t)在[0,14]上单调递增，在[14,1]上单调递减，
又h(0)=1，h(1)=0，h(14)=98，
所以h(t)∈[0,98]，
所以f(x)的值域为[0,98]，故C正确；
对于D，当x∈[0,2π]时，sinx2≥0，
所以f(x)=csx+sinx2=1−2sin2x2+sinx2，
由A选项可令α∈[0,π6]且sinα2=14，
则当x∈[0,α]时f(x)单调递增，
令a2所以f(x)在(α,π)上单调递减，
又sin2π−α2=sinα2=14，
令π2y=sinx2在(π,2π−α)上单调递减，且14所以f(x)在(π,2 π−α)上单调递增，
当2π−α2y=sinx2在(2π−α,2π)上单调递减，且0所以f(x)在(2π−α,2π)上单调递减，
又f(0)=f(2x)=1，f(πx)=0，f(α)=f(2π−α)=98，
所以f(x)在0，2π]上的函数图象如下所示：
由图可知：①当a=0时，y=f(x)与y=a有且仅有一个交点，
即关于x的方程f(x)=a在区间[0,2π]的实数根为π；
②当0即关于x的方程f(x)=a在区间[0,2π]有两个实数根，且两根关于x=π对称，所以两根之和为2π；
③当1≤a<98时，y=f(x)与y=a有四个交点，
即关于x的方程f(x)=a在区间[0,2π]有四个实数根，
不妨设为x1x2，x3，x4且x1所以x1与x4关于x=π对称，x2与x3关于x=π对称，
所以x1+x2+x3+x4=4π；
④当a<0或a>98时，
y=f(x)与y=a无交点，
即关于x的方程f(x)=a在区间[0,2π]无实数根；
综上可得，若关于x的方程f(x)=a在区间[0,2π]有实数根，
则所有根之和组成的集合为{π,2π,4π}，故D正确．
故选：BCD．
对于A，由题意可得f(x)=csx+sinx2=1−2sin2x2+sinx2，根据二次函数y=−2x2+x+1的性质及sinx2∈[−1,1]，即可判断；
对于B，只需判断f(2π−x)=f(x)是否成立即可；
对于C，由题意可得f(x)=csx+|sinx2|=1−2sin2x2+|sinx2|=1−2|sinx2|2+|sinx2|，t=|sinx2|，则t∈[0,1]，令h(t)=1−2t2+t，t∈[0,1]，结合二次函数的性质求解即可；
对于D，由题意可得f(x)=csx+sinx2=1−2sin2x2+sinx2，令α∈[0,π6]且sinα2=14，可得f(x)在0，2π]上的函数图象，结合图象求解即可．
本题考查了三角函数的性质、三角恒等变化、转化思想、分类讨论思想及数形结合思想，属于中档题．
12.【答案】−2π3
【解析】解：因为sinA：sinB：sinC= 3：4： 31，
由正弦定理得a：b：c= 3：4： 31，
不妨设a= 3，则b=4，c= 31，
由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab=( 3)2+42−( 31)22× 3×4=− 32，
因C∈(0,π)，所以C=5π6，
A+B−C=π−2C=π−2×5π6=−2π3，
故答案为：−2π3．
先根据正弦定理得到三边的比例，再根据余弦定理求出角C，进一步求出结果．
本题考查的知识点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
13.【答案】[1− 2,1+ 2]
【解析】解：由|a+b|=|a−b|，可得(a+b)2=(a−b)2，
即a2+2a⋅b+b2=a2−2a⋅b+b2，
又a,b是单位向量，则有a⋅b=0，故|a+b|= 2，
设=θ，θ∈[0,π]，
则(a−c)⋅(b−c)=a⋅b−c⋅(a+b)+c2=1−1× 2×csθ，
当c与a+b同向时，(a−c)⋅(b−c)取得最小值1− 2，
当c与a+b反向时，(a−c)⋅(b−c)取得最大值1+ 2．
故答案为：[1− 2,1+ 2]．
根据|a+b|=|a−b|，可得a⋅b=0，设=θ，θ∈[0,π]，根据数量积运算即可求得所求式的范围．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
14.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查余弦函数的图象与性质，属于中档题．
利用余弦函数的图象与性质求解即可．
【解答】
解：由题意可知，函数的周期为T=(13π12−π3)÷34=π，
所以ω=2πT=2ππ=2，
所以f(x)=2cs(2x+φ)，
因为f(13π12)=2cs(13π6+φ)=2，
所以13π6+φ=2π+2kπ(k∈Z)，
所以φ=−π6+2kπ(k∈Z)，
所以f(x)=2cs(2x−π6)，所以f(−7π4)=2cs(−7π2−π6)=2csπ3=1，
f(4π3)=2cs(8π3−π6)=2cs5π2=0，
所以原式可化简为(f(x)−1)⋅f(x)>0，
所以f(x)>1或f(x)<0，
所以2cs(2x−π6)<0或2cs(2x−π6)>1．
①当2cs(2x−π6)<0时，
得到π2+2kπ<2x−π6<3π2+2kπ(k∈Z)，
解得π3+kπ此种情况下正整数x的最小值为2．
②当2cs(2x−π6)>1，即cs(2x−π6)>12时，
得到−π3+2kπ<2x−π6<π3+2kπ(k∈Z)，
解得−π12+kπ此种情况下正整数x的最小值为3．
综上所述，正整数x的最小值为2．
故答案为2．
15.【答案】解：(1)由正弦定理得，ACsinB=ABsinC，
因此sinB=AC⋅sinCAB=2 3× 222 2，
由于B∈(0,π)，则B=π3或B=2π3，
因此角B的大小为π3或2π3；
(2)因为BC>AC，根据大边对大角，则A>B，根据(1)可知，B=π3或2π3，
因此要使A>B成立，则B不能为钝角，
所以B=π3，
因此f(x)=sin(2x−B)−sin(2x+A+C)
=sin(2x−B)−sin(2x+π−B)
=sin(2x−B)−sin(2x−B+π)
=sin(2x−B)−[−sin(2x−B)]
=sin(2x−B)+sin(2x−B)
=2sin(2x−B)
=2sin(2x−π3)，
令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，
因为x∈[−π,π]，故f(x)在[−π,π]上单调递增区间为[−π12,5π12]，[11π12,π]，[−π,−7π12].
【解析】(1)由已知结合正弦定理即可求解B；
(2)先化简已知函数解析式，然后结合正弦函数单调性即可求解．
本题主要考查了正弦定理的应用，还考查了和差角公式的应用，正弦函数单调性的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)向量a=(2csx,sinx+ 2sinθ)，b=(2sinx,−csx+ 2csθ)，
由a/​/b可得：2csx(−csx+ 2csθ)=2sinx(sinx+ 2sinθ)，
整理得 2cs(x+θ)=1，
解得cs(x+θ)= 22；
(2)∵θ=π4，∴a=(2csx,sinx+1)，b=(2sinx,−csx+1)，
所以f(x)=a⋅b=4sinxcsx+(sinx+1)(−csx+1)
=3sinxcsx+(sinx−csx)+1
=−32(sinx−csx)2+(sinx−csx)+52，
设t=sinx−csx= 2sin(x−π4)，由x∈[0,π]，可得t∈[−1, 2]，
(ⅰ)设g(t)=−32t2+t+52,t∈[−1, 2]，
由二次函数性质可得：
g(t)max=g(13)=83，g(t)min=g(−1)=0，
故f(x)的值域为[0,83]；
(ⅱ)当f(x)取最小值时，即t=−1，f(x)min=0，
此时x=0，a=(2,1)，设c=(x,y)，
则由题意有2x+y=0x2+y2=1，解得c=( 55,−2 55)或(− 55,2 55)．
【解析】(1)由向量平行的坐标表示，得2 2(csxcsθ−sinxsinθ)=2(sin2x+cs2x)，再根据和角公式化简即可；
(2)(i)利用数量积的坐标运算及三角恒等变换化简得f(x)=−32(sinx−csx)2+(sinx−csx)+52，再利用换元法及二次函数的性质求得值域；
(ii)当f(x)取最小值时，得a=(2,1)，设c=(x,y)，列方程组即可求解．
本题考查平面向量的坐标运算及三角恒等变换，属中档题．
17.【答案】解：(1)在△PME中，∠EPM=θ，PE=AE−AP=4m，∠PEM=π4，∠PME=3π4−θ，
由正弦定理得PMsin∠PEM=PEsin∠PME，
所以PM=PE×sin∠PEMsin∠PME=2 2sin(3π4−θ)=4sinθ+csθ，
同理，在△PNE中，由正弦定理得PNsin∠PEN=PEsin∠PNE，
所以PN=PE×sin∠PENsin∠PNE=2 2sin(π2−θ)=2 2csθ．
所以△PMN的面积S=12PM×PN×sin∠MPN=4cs2θ+sinθcsθ=41+cs2θ2+12sin2θ=8sin2θ+cs2θ+1=8 2sin(2θ+π4)+1，
当M与E重合时，θ=0，
当N与D重合时，tan∠APD=3，即∠APD=54，θ=3π4−54，所以0≤θ≤3π4−54，
综上，可得S=8sin2θ+cs2θ+1=8 2sin(2θ+π4)+1，θ∈[0,3π4−54]．
(2)当2θ+π4=π2，即θ=π8∈[0,3π4−54]时，S取得最小值为8 2+1=8( 2−1)．
所以可视区域△PMN面积的最小值为8( 2−1)m2．
【解析】(1)根据已知条件，结合正弦定理，分别求出PM，PN，再结合三角形的面积公式，即可求解．
(2)根据已知条件，结合(2)的结论，以及正弦型函数的性质，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为bcsA+acsB=2，
所以由余弦定理得：b⋅b2+c2−a22bc+a⋅a2+c2−b22ac=c=2，
因为CB⋅CA=2 33S，所以abcsC=2 33⋅12absinC，
所以tanC= 3，因为C∈(0,π)，所以C=π3．
(1)由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab，即a2+b2−42ab=12，
所以a2+b2=ab+4，
由基本不等式得：a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立，
故ab+4≥2ab，解得ab≤4，
所以S△ABC=12absinC= 34ab≤ 3，
所以当且仅当a=b时，S的最大值为 3；
(2)由正弦定理得：asinA=bsinB=csinC=2 32=4 33，
所以b=4 33sinB，
所以AC⋅AB=|AC|⋅|AB|csA=bccsA=2bcsA=8 33sinBcsA
=8 33sin(A+π3)csA=8 33(12sinA+ 32csA)csA
=4 33sinAcsA+4cs2A=2 33sin2A+2cs2A+2
=4 33sin(2A+π3)+2，
因为△ABC为锐角三角形，所以A∈(0,π2)，B=2π3−A∈(0,π2)，
解得A∈(π6,π2)，
则2A+π3∈(2π3,4π3)，sin(2A+π3)∈(− 32, 32)，
AC⋅AB=4 33sin(2A+π3)+2∈(0,4)，
所以AC⋅AB的取值范围为(0,4)．
【解析】由条件及余弦定理，数量积的应用，三角形的面积公式计算可得c=2，C=π3．
(1)由余弦定理与基本不等式计算可得ab≤4，再由三角形的面积公式计算即可求得；
(2)由正弦定理得b=4 33sinB，再由平面向量数量积的定义及三角恒等变换知识化简后求三角函数的值域即可．
本题考查平面向量的数量积运算与解三角形知识的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由已知△ABC中cs2B+cs2C−cs2A=1，即1−2sin2B+1−2sin2C−1+2sin2A=1，
故sin2A=sin2B+sin2C，由正弦定理可得a2=b2+c2，
故△ABC直角三角形，
即A=π2；
(2)由(1)可得A=π2，所以三角形ABC的三个角都小于120°，
则由费马点定义可知：∠APB=∠BPC=∠APC=120°，
设|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z，
由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC，得12xy⋅ 32+12yz⋅ 32+12xz⋅ 32=12×2，
整理得xy+yz+xz=4 33，
则PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC=xy⋅(−12)+yz⋅(−12)+xz⋅(−12)=−12×4 33=−2 33；
(3)点P为△ABC的费马点，则∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，
设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，m>0，n>0，x>0，
则由|PB|+|PC|=t|PA|，得m+n=t；
由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2−2mx2cs2π3=(m2+m+1)x2，
|AC|2=x2+n2x2−2nx2cs2π3=(n2+n+1)x2，
|BC|2=m2x2+n2x2−2mnx2cs2π3=(m2+n2+mn)x2，
故由|AC|2+|AB|2=|BC|2，得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2，
即m+n+2=mn，而m>0，n>0，故m+n+2=mn≤(m+n2)2，
当且仅当m=n，结合m+n+2=mn，解得m=n=1+ 3时，等号成立，
又m+n=t，即有t2−4t−8≥0，解得t≥2+2 3或t≤2−2 3(舍去)．
故实数t的最小值为2+2 3．
【解析】(1)根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cs2B+cs2C−cs2A=1可得a2=b2+c2，即可求得答案；
(2)利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；
(3)由(1)结论可得∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，推出m+n=t，利用余弦定理以及勾股定理即可推出m+n+2=mn，再结合基本不等式，即可求得答案．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，利用基本不等式的应用，属于中档题．