江苏省南京师范大学附属中学2024届高三下学期5月模拟数学试题

这是一份江苏省南京师范大学附属中学2024届高三下学期5月模拟数学试题，共25页。试卷主要包含了若，则等于等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，（其中为虚数单位，）. 若是纯虚数，则（ ）
A．B．C．1D．4
2．设实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（ ）
A．第28项B．第29项C．第30项D．第32项
4．若，则等于（ ）
A．49B．55C．120D．165
5．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
6．已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（ ）
A．
B．
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上单调递增
7．已知椭圆的离心率为，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点都落在边上，记为；折痕与交于点，点满足关系式．以点为坐标原点建立坐标系，若曲线是由点的轨迹及其关于边对称的曲线组成的，等腰梯形的分别与曲线切于点P、Q、，且在x轴上．则梯形的面积最小值为（ ）
A．6B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件表示“从甲盒中取出的是红球”；用事件表示“从甲盒中取出的是白球”，再从乙盒中随机取出一球，用事件表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论中正确的是（ ）
A．事件与是互斥事件B．事件与事件不相互独立
C． D．
10．的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．B．
C．角A的最大值为D．面积的最大值为
11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ）
A．当时，平面
B．任意，三棱锥的体积是定值
C．存在，使得与平面所成的角为
D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，，则中元素的个数为 ．
13．已知有两个极值点，则实数的取值范围为 ．
14．如图，在矩形中，，，，，分别为，，，的中点，与交于点，现将，，，分别沿，，，把这个矩形折成一个空间图形，使与重合，与重合，重合后的点分别记为，，为的中点，则多面体的体积为 ；若点是该多面体表面上的动点，满足时，点的轨迹长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
四、解答题
15．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)若，点为的重心，且，求的面积．
16．为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性.
(1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；
(2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；有二项分布中（即男性员工的人数）男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：）
17．在三棱柱中，是和的公垂线段，与平面成角，，．

(1)求证：平面；
(2)求到平面的距离；
(3)求二面角的大小．
18．已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)是否存在，且依次成等比数列，使得，，依次成等差数列？请证明；
(3)当时，函数有两个零点，是否存在的关系？若存在，请证明；若不存在，请写出正确的关系．
19．点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知．
(1)求数列、的通项公式；
(2)记点到直线（即直线）的距离为，
（I）求证：；
（II）求证：，若值与（I）相同，则求此时的最小值．
参考答案：
1．A
【分析】求出的代数形式，再根据实部为零，虚部不为零列式计算.
【详解】,
因为是纯虚数，
所以，解得.
故选：A.
2．B
【分析】根据题意进行转化，利用完全平方式的性质即可得解.
【详解】由可得：
，
当时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
3．C
【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组求出首项和公差，再求出，进而根据通项公式可得项数.
【详解】设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，
令，
得，即是中的第30项.
故选：C.
4．D
【分析】依题意可得，再根据组合数的性质计算可得.
【详解】因为二项式展开式的通项为（且），
又，
所以
.
故选：D
5．A
【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案.
【详解】，
则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，
故选：A.
6．D
【分析】赋值：令代入可得，令代入可得函数为奇函数，再根据函数单调性定义可以证明函数在的单调性.
【详解】对A，令，则，
，即，
故，所以A不正确；
对B，取代入：，
即，即在上为奇函数，
设，
所以，且，
故：
即：，故B错误；
对C，由B知函数在上单调递增，故C错误；
对D，由C结合函数为奇函数且，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：D.
7．D
【分析】由椭圆离心率为列式求得参数，进一步将抛物线方程化为标准方程即可得焦点坐标.
【详解】因为椭圆的离心率为，所以，解得，
则抛物线的标准方程为，它的焦点坐标为.
故选：D.
8．B
【分析】设出M的坐标，根据两点关于直线对称时两点连线与对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上，再根据平行四边形的对角线对应的向量等于两邻边对应向量的和得到点M的轨迹方程；利用函数在切点处的导数值为曲线的切线斜率，求出腰的方程，分别令和求出与两底的交点横坐标，利用梯形的面积公式表示出梯形面积，利用基本不等式求出其最小值．
【详解】建立如图所示坐标系，设，
显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为，
由题意得B与关于直线l对称 ，所以，
又的中点在直线l上，故，①
由于，得，
将代入①得，
由每次翻折后点都落在边上，所以，即，
所以点M的轨迹方程，（），
所以曲线的方程为，，
设梯形的面积为S，
点P的坐标为，
根据等腰梯形和抛物线的对称性得，点Q的坐标为，直线的方程为．
对于，则，所以，
所以直线的方程为，
即：，令，得，所以，
令，得，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号且，
所以时，梯形的面积最小值为，
故选：B
【点睛】关键点点睛：把梯形的面积表示为关于t的函数，利用基本不等式求函数的最值．
9．BCD
【分析】对于A：根据互斥事件的概念判断；对于B：求出，判断是否相等即可；对于C：分从甲盒中取出的是红球和从甲盒中取出的是白球两种情况来求概率；对于D：根据条件概率的公式求解.
【详解】对于A，事件与不是互斥事件，A错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确；
对于B，因为，，则，所以事件E与事件G不相互独立，故B正确．
故选：BCD.
10．BCD
【分析】首先将向量的数量积转化为，再根据余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，即可求解.
【详解】，故A错误；
根据余弦定理，则，故B正确；
由A知，，，则，故C正确；
，，当时，面积的最大值为，故D正确.
故选：BCD
11．ACD
【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，时，与重合，故只需验证面是否成立即可，对于B，由不与平面平行，即点到面的距离不为定值，由此即可推翻B，对于C，考虑两种极端情况的线面角，由于是连续变化的，故与平面所成的角也是连续变化的，由此即可判断；对于D，求出平面的法向量，而显然球心坐标为，求出球心到平面的距离，然后结合球的半径、勾股定理可得截面圆的半径，进一步可得截面圆的面积.
【详解】如图所示建系，，
所以，
从而，
所以，
又面，
所以面，
时，与重合，平面为平面，
因为面，平面，A对.
不与平面平行，到面的距离不为定值，
三棱锥的体积不为定值，B错.
设面的法向量为，
则，令，解得，
即可取，
而，
所以与平面所成角的正弦值为，
又，
所以，
所以，
又面，
所以面，
当在时，与平面所成角的正弦值为，此时与平面所成角小于，
当在时，与平面所成角为，
所以存在使与平面所成角为，C正确.
，
设平面的法向量为，
不妨设，则.
，则，平面的法向量，显然球心，
到面的距离，外接球半径，
截面圆半径的平方为，所以，D对.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是利用向量法求出球心到截面的距离，由此即可顺利得解.
12．
【分析】
根据题意，利用直线与圆的位置关系的判定，即可求解.
【详解】
由圆，可得圆心，半径为，
则圆心到直线的距离，
可得直线与圆相交于两个公共点，所以的元素的个数为2.
故答案为：.
13．
【分析】经求导转化可知，函数有两个极值点，等价于函数与的图象有两个交点.，故只需研究函数的图象即可求得参数范围.
【详解】由求导，，由可得：，
因不满足此式，故可得：，
则函数有两个极值点，即函数与的图象有两个交点.
由求导，，则当时，，当时，，当时，
则函数在和上是减函数，在上是增函数，故时，取得极小值.
且当时，，当从0的左边趋近于0时，，当从0的右边趋近于0时，，当时，.
故可作出函数的图象如图.

由图可知：函数与的图象有两个交点等价于.
故答案为：.
14．
【分析】根据给定的几何体，证明平面，求出四棱锥的体积即可；证明点所在平面平行于平面，作出过点与平面平行的几何体的截面，求出其周长作答.
【详解】连接，有，而，为中点，则有，
，则平面，同理平面，又平面与平面有公共点，
于是点共面，而，即有，，
因为，，平面，则平面，
又平面，即有，则，同理，
即，从而，即四边形为平行四边形，，，
等腰梯形中，高，其面积，
显然平面，所以多面体的体积；
因为平面，同理可得平面，又，则平面，
依题意，动点所在平面与垂直，则该平面与平面平行，而此平面过点，
令这个平面与几何体棱的交点依次为，则,
又为的中点，则点为所在棱的中点，即点的轨迹为五边形，
长度为：
.
故答案为：；
【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解;（2）根据重心的性质可得，进而根据余弦定理可得，由面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
整理得，由余弦定理可得．
又因为，所以．
（2）设的延长线交于点，因为点为的重心，所以点为中点，
又因为，所以．
在中，由和，可得．
在和中，有，
由余弦定理可得
故，所以，
所以的面积为．
16．(1)分布列见解析，数学期望为
(2)N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布
【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望；
（2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解.
【详解】（1）当时，男性员工有8人，女性员工有12人.
服从超几何分布，，
，，
，，
∴的分布列为
数学期望为.
（2），
，
由于，则，
即，
即，
由题意易知，
从而，
化简得，
又，于是.
由于函数在处有极小值，
从而当时单调递增，
又，.
因此当时，符合题意，
而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍，于是.
即N至少为145，
我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.
17．(1)证明见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得；
（2）由已知，作于，则可得即为到平面的距离，计算可得；
（3）过作，则为二面角平面角，由三角函数定义可得二面角的大小．
【详解】（1）三棱柱中是与的公垂线段，
，．又，平面．
（2）
平面，平面
平面平面，
作垂足为，则平面，
为与平面所成角，即，
在中，，
，，为中点，
即到平面的距离为．
（3）过作，垂足为，连接，由三垂线定理可得，
为二面角平面角，
在中解得，在中解得，
二面角大小为．
18．(1)1
(2)答案见解析，证明见解析
(3)存在，证明见解析
【分析】（1）代入，再对求导，并研究其单调性，可得答案；
（2）利用等差中项建立等式，结合等比中项以及对数运算律化简等式，根据分类讨论思想，可得答案；
（3）先分析的单调性，结合零点存在定理得到，再构造函数，利用导数研究其单调性，建立关于的不等式，整理可即可得解.
【详解】（1）当时，，，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以．
（2）要证，，依次成等差数列，只需证，
整理可得，由依次成等比数列，则，
所以
①当时，上式显然成立；
②当时，则，整理可得，
由依次成等比数列可得，则，
代入得：与题意矛盾，故此时不存在；
综上：当时，存在满足要题意的；
当时，不存在满足要题意的.
（3）因为，，，
所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又当时，恒成立，
当趋于0时，趋于无穷小；当趋于无穷大时，趋于无穷小；
所以在上各有一个零点，不妨设，
则，．
设函数，则，，
所以在上单调递增，
故当时，，即，
当时，，即，
所以，，
所以，
整理可得：，
即，所以．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
19．(1)，；
(2)（I）证明见解析；（II）证明见解析
【分析】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与曲线方程求出切点的坐标，进而可得出数列、的通项公式；
（2）（I）求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出，再利用等比数列秀和公式求解即得；
（II）根据（I）再结合指数函数的性质即可得解.
【详解】（1）曲线上点处的切线的斜率为，
故得到的方程为，
联立方程，消去y得：，
化简得：，所以：或，
由得到点的坐标，
由就得到点的坐标，
所以：，
故数列为首项为1，公比为的等比数列，
所以：，；
（2）（I）由（1）知：，，
所以直线的方程为：，
化简得：，，
所以，
；
（II）
，
与（I）中相同，当时，此时最小值为．
【点睛】思路点睛：利用导数求函数在其上一点处的切线方程的基本步骤如下：
（1）对函数求导得；
（2）计算切线的斜率；
（3）利用点斜式写出切线方程.
0
1
2
3