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浙江省杭州市富阳区2023-2024学年九年级下学期期中数学试题
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这是一份浙江省杭州市富阳区2023-2024学年九年级下学期期中数学试题，共10页。试卷主要包含了若点，，都在反比例等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本试卷满分120分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号.
3.必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效。答题方式详见答题纸上的说明.
4.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑.
5.考试结束后，试题卷和答题纸一并上交.
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列实数中，最小的是（ ）
A.-1B.0C.1D.3
2.下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）
A.B.
C.D.
3.在正方形网格中的位置如图所示，则的值为（ ）
A.B.C.D.
4.下列计算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
5.如图，将一块含有60°的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1=40°，则∠2为（ ）
A.60°B.40°C.30°D.20°
6.如图，四边形OABC为菱形若，，则点B的坐标为（ ）
A.B.
C.D.
7.在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为.根据这个规则，方程的解是（ ）
A.B.C.或D.或
8.如图，在等腰三角形ABC中，，，以AB为直径的交BC于D，连接OD，AD，则图中阴影部分面积为（ ）
A.B.C.D.
9.若点，，都在反比例（k为实数）的图象上，则a，b，c大小关系正确的是（ ）
A.B.C.D.
10.如图，有一批直角三角形形状且大小相同的不锈钢片，，米，米，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，则面积最大的正方形不锈钢片的边长为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11.因式分解：__________.
12.在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同.从袋中随机取出一个球是黄球的概率为0.4，若袋中有12个白球，则布袋中黄球可能有_________个.
13.如图，AB是半圆O的直径，弦，，弦CD与直径AB之间的距离为3，则___________.
14.小健原有存款50元，小康原有存款80元；从这个月开始，小健每个月存18元零花钱，小康每个月存12元零花钱，设经过x个月后，小健的存款超过小康.可列不等式为__________.
15.如图，在中，，，点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将沿DE折叠，点B的对应点为点.若点刚好落在边AC上，且，，则BC的长为__________.（用含m的代数式表示）
16.已知抛物线经过，两点，若点A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则n的取值范围是___________.
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分6分）
计算：（1）
（2）
18.（本题满分6分）
先阅读下列解题过程，再回答问题.
解方程：
解：两边同乘得：①
去括号得：②
移项得：③
解得：④
（1）以上解答有错误，错误步骤的序号是________.
（2）请给出正确的解答过程.
19.（本题满分8分）
某学校随机抽取部分学生，调查每个月的零花钱消费额，数据整理成如下的统计表和统计图.已知图1中，A，E两组对应的小长方形高度之比为2：1.
请回答以下问题
（1）本次调查样本的容量是__________；
（2）补全频数分布直方图，并标明各组的频数；
（3）若该校有2500名学生，试估计月消费零花钱不少于300元的学生的数量.
20.（本题满分8分）
如图，已知，，.
（1）求证：
（2）连结AB，CD，那么AB，CD相等吗?请说明理由.
21.（本题满分10分）
食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐.经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列。食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐。每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示,
（1）求a的值.
（2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数.
（3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口?
22.（本题满分10分）
已知二次函数图象过点，.
（1）若，求a的值.
（2）若，求p的取值范围.
（3）求证：.
23.（本题满分12分）综合与实践
【问题情境】如图，在四边形ABCD中，点P是线段BC上一点，，.
【性质初探】如图1，当时，猜想AB，CD，BC三条线段存在的数量关系并证明.
【类比再探】如图2，延长BA，CD交于点E，当，时，求的值.
【问题解决】如图2，延长BA，CD交于点E，当，时，用含的代数式表示的值.
24.（本题满分12分）
如图，AB是的直径，点C是直线AB上方的上一点.点M是的内心.连结AM，BM，CM，延长CM交于点D.
（1）若，，求BC的长.
（2）求的度数.
（3）当点C在直线AB上方的上运动时，
求证：.
2023学年第二学期九年级期中抽测数学参考答案及评分建议
一、选择题
1-5：ABCCD 6-10：DCCBC
二、填空题
11. 12.8 13.10 14. 15. 16.
三、解答题
17.（1）解原式
（2）解原式
18.（1）①；
（2）解
经检验，是原方程的解.
19.（1）100
（2）
（3）名.
20.（1）∵，∴，即
∵，∴，
∵，
∴且
∴
（2）相等
理由如下：∵
∴，，∴
∴四边形ABCD是平行四边形
∴.
21.（1） 解得：
（2）设直线BC为，将点，
得：解得：
∴
当时，
∴此时排队人数为160人；
（2）设至少需要同时开放窗口个，
得
解得
∴至少需要同时开放6个窗口.
22.（1）将（4，1）代入得：∴
（2）有题可知：，
∵∴
∴且
解得：或
（3）
∵∴，
∴
23.（1）∵，∴
∵，∴∴
∵ ∴
∴ ∴
（2）作，垂足分别为，
由（1）得，，
∵，，∴
∴，，，
∴，
∴
（3）
24.（1）∵AB是直径，∴
∴
解得：
∵∴
（2）∵M是的内心
∴不妨设，，
∵，∴
即
∴
∴
（3）∵CM平分
∴∴
以D为圆心，AD为半径作圆，
∵弧ANB为270°，
∴点M在圆D上，
∴
组别
月零花钱消费额/元
A
B
C
D
E
考生须知：
1.本试卷满分120分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号.
3.必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效。答题方式详见答题纸上的说明.
4.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑.
5.考试结束后，试题卷和答题纸一并上交.
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列实数中，最小的是（ ）
A.-1B.0C.1D.3
2.下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）
A.B.
C.D.
3.在正方形网格中的位置如图所示，则的值为（ ）
A.B.C.D.
4.下列计算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
5.如图，将一块含有60°的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1=40°，则∠2为（ ）
A.60°B.40°C.30°D.20°
6.如图，四边形OABC为菱形若，，则点B的坐标为（ ）
A.B.
C.D.
7.在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为.根据这个规则，方程的解是（ ）
A.B.C.或D.或
8.如图，在等腰三角形ABC中，，，以AB为直径的交BC于D，连接OD，AD，则图中阴影部分面积为（ ）
A.B.C.D.
9.若点，，都在反比例（k为实数）的图象上，则a，b，c大小关系正确的是（ ）
A.B.C.D.
10.如图，有一批直角三角形形状且大小相同的不锈钢片，，米，米，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，则面积最大的正方形不锈钢片的边长为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11.因式分解：__________.
12.在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同.从袋中随机取出一个球是黄球的概率为0.4，若袋中有12个白球，则布袋中黄球可能有_________个.
13.如图，AB是半圆O的直径，弦，，弦CD与直径AB之间的距离为3，则___________.
14.小健原有存款50元，小康原有存款80元；从这个月开始，小健每个月存18元零花钱，小康每个月存12元零花钱，设经过x个月后，小健的存款超过小康.可列不等式为__________.
15.如图，在中，，，点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将沿DE折叠，点B的对应点为点.若点刚好落在边AC上，且，，则BC的长为__________.（用含m的代数式表示）
16.已知抛物线经过，两点，若点A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则n的取值范围是___________.
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分6分）
计算：（1）
（2）
18.（本题满分6分）
先阅读下列解题过程，再回答问题.
解方程：
解：两边同乘得：①
去括号得：②
移项得：③
解得：④
（1）以上解答有错误，错误步骤的序号是________.
（2）请给出正确的解答过程.
19.（本题满分8分）
某学校随机抽取部分学生，调查每个月的零花钱消费额，数据整理成如下的统计表和统计图.已知图1中，A，E两组对应的小长方形高度之比为2：1.
请回答以下问题
（1）本次调查样本的容量是__________；
（2）补全频数分布直方图，并标明各组的频数；
（3）若该校有2500名学生，试估计月消费零花钱不少于300元的学生的数量.
20.（本题满分8分）
如图，已知，，.
（1）求证：
（2）连结AB，CD，那么AB，CD相等吗?请说明理由.
21.（本题满分10分）
食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐.经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列。食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐。每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示,
（1）求a的值.
（2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数.
（3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口?
22.（本题满分10分）
已知二次函数图象过点，.
（1）若，求a的值.
（2）若，求p的取值范围.
（3）求证：.
23.（本题满分12分）综合与实践
【问题情境】如图，在四边形ABCD中，点P是线段BC上一点，，.
【性质初探】如图1，当时，猜想AB，CD，BC三条线段存在的数量关系并证明.
【类比再探】如图2，延长BA，CD交于点E，当，时，求的值.
【问题解决】如图2，延长BA，CD交于点E，当，时，用含的代数式表示的值.
24.（本题满分12分）
如图，AB是的直径，点C是直线AB上方的上一点.点M是的内心.连结AM，BM，CM，延长CM交于点D.
（1）若，，求BC的长.
（2）求的度数.
（3）当点C在直线AB上方的上运动时，
求证：.
2023学年第二学期九年级期中抽测数学参考答案及评分建议
一、选择题
1-5：ABCCD 6-10：DCCBC
二、填空题
11. 12.8 13.10 14. 15. 16.
三、解答题
17.（1）解原式
（2）解原式
18.（1）①；
（2）解
经检验，是原方程的解.
19.（1）100
（2）
（3）名.
20.（1）∵，∴，即
∵，∴，
∵，
∴且
∴
（2）相等
理由如下：∵
∴，，∴
∴四边形ABCD是平行四边形
∴.
21.（1） 解得：
（2）设直线BC为，将点，
得：解得：
∴
当时，
∴此时排队人数为160人；
（2）设至少需要同时开放窗口个，
得
解得
∴至少需要同时开放6个窗口.
22.（1）将（4，1）代入得：∴
（2）有题可知：，
∵∴
∴且
解得：或
（3）
∵∴，
∴
23.（1）∵，∴
∵，∴∴
∵ ∴
∴ ∴
（2）作，垂足分别为，
由（1）得，，
∵，，∴
∴，，，
∴，
∴
（3）
24.（1）∵AB是直径，∴
∴
解得：
∵∴
（2）∵M是的内心
∴不妨设，，
∵，∴
即
∴
∴
（3）∵CM平分
∴∴
以D为圆心，AD为半径作圆，
∵弧ANB为270°，
∴点M在圆D上，
∴
组别
月零花钱消费额/元
A
B
C
D
E
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