浙江省金华市永康市三中教育集团 2023 -2024学年下学期七年级期中考试数学试题卷

这是一份浙江省金华市永康市三中教育集团 2023 -2024学年下学期七年级期中考试数学试题卷，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图，属于同位角的是（ ）
A．∠1和∠2B．∠1和∠3C．∠1和∠4D．∠2和∠3
3．（3分）下列是二元一次方程的是（ ）
A．x2+y＝0B．C．D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5B．（x2）3＝x5C．x2•x3＝x5D．x6÷x2＝x3
5．（3分）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（3x+5y）（5y﹣3x）B．（m﹣n）（n﹣m）
C．（p+q）（﹣p﹣q）D．（2a+3b）（3a﹣2b）
6．（3分）如果x2﹣2mx+9是关于x的完全平方式，则m的值为（ ）
A．6B．±6C．±3D．3
7．（3分）下列四组值中，不是二元一次方程x﹣2y＝1的解的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）若a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值是（ ）
A．2B．0C．4D．6
9．（3分）如图，长方形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝30°，则∠BMC的度数为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．105°
10．（3分）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长（x＞y）．则①x﹣y＝n；②xy＝；③x2﹣y2＝mn；④x2+y2＝中，正确的是（ ）
A．①③④B．②④C．①③D．①②③④
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：x2﹣4＝ ．
12．（4分）已知二元一次方程2x+y＝5，若用含x的代数式表示y，则y＝ ．
13．（4分）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是 ．
14．（4分）已知am＝3，an＝7，则a2m+n＝ ．
15．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺．依题意，列方程组得 ．
16．（4分）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成．在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行．
（1）当∠EFH＝56°，BC∥EF时，∠ABC＝ 度；
（2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝70°，此时∠ABC＝ 度．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算．
（1）﹣12020﹣2﹣1+（π﹣4）0；
（2）x•（x2）3•（x3）2．
18．（6分）解方程组．
（1）；
（2）．
19．（6分）先化简，再求值：（2a﹣3）（2a+3）﹣4a（a﹣2）+9，其中a＝3．
20．（8分）如图，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，DF∥AC，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明：DE∥AB；
（2）若∠C＝60°，DF平分∠BDE，求∠1的度数．
21．（8分）如图是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上，将△ABC先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，按要求回答问题．
（1）画出平移后的△A′B′C′．
（2）平移后，AB和A′B′两条线段之间的关系 ．
（3）在平移过程中，求出线段AB扫过的面积．
22．（10分）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金7600元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
23．（10分）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ；
（2）利用（1）中的结论解决以下问题：已知a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）如图3，由正方形ABCD边长为a，正方形CEFG边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接BD，DF，若a﹣b＝2，ab＝3，求图3中阴影部分的面积．
24．（12分）如图，直线PQ∥MN一副三角尺（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数．
（2）如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（0≤t≤60）
①在旋转过程中，若边BF∥DE，求t的值．
②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D对应点为H，K）请求出当边BG∥HK时t的值．
参考答案与试题解析
一、单选题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵只有选项B的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到；
故选：B．
2．（3分）如图，属于同位角的是（ ）
A．∠1和∠2B．∠1和∠3C．∠1和∠4D．∠2和∠3
【解答】解：由同位角的定义可知，∠1和∠4是同位角，
故选：C．
3．（3分）下列是二元一次方程的是（ ）
A．x2+y＝0B．C．D．
【解答】解：A、该方程含有两个未知数，但是未知数的最高次数是2，不属于二元一次方程，故本选项错误；
B、该方程中符合二元一次方程的定义，故本选项正确；
C、该方程不是整式方程，不属于二元一次方程，故本选项错误；
D、它不是方程，故本选项错误．
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5B．（x2）3＝x5C．x2•x3＝x5D．x6÷x2＝x3
【解答】解：A．x2与x3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．（x2）3＝x6，故本选项不合题意；
C．x2•x3＝x5，故本选项符合题意；
D．x6÷x2＝x4，故本选项不合题意．
故选：C．
5．（3分）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（3x+5y）（5y﹣3x）B．（m﹣n）（n﹣m）
C．（p+q）（﹣p﹣q）D．（2a+3b）（3a﹣2b）
【解答】解：A、5y是相同的项，互为相反项是3x与﹣3x，符合平方差公式的要求；
B、不存在互为相反数的项，不能运用平方差公式进行计算；
C、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；
D、不存在互为相反数的项，不能运用平方差公式进行计算；
故选：A．
6．（3分）如果x2﹣2mx+9是关于x的完全平方式，则m的值为（ ）
A．6B．±6C．±3D．3
【解答】解：∵x2﹣2mx+9＝x2﹣2mx+32是关于x的完全平方式，
∴﹣2mx＝±2⋅x⋅3，
∴m＝±3，
故选：C．
7．（3分）下列四组值中，不是二元一次方程x﹣2y＝1的解的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：x﹣2y＝1，
解得：x＝2y+1，
当y＝1时，x＝2+1＝3±1，选项A合题意；
当y＝﹣0.5时，x＝﹣1+1＝0，选项B不合题意；
当y＝0时，x＝1，选项C不合题意；
当y＝﹣1时，x＝﹣1，选项D不合题意，
故选：A．
8．（3分）若a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值是（ ）
A．2B．0C．4D．6
【解答】解：∵a﹣b＝2，
∴a2﹣b2﹣4b，
＝（a+b）（a﹣b）﹣4b，
＝2（a+b）﹣4b，
＝2a﹣2b，
＝2（a﹣b），
＝2×2，
＝4．
故选：C．
9．（3分）如图，长方形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝30°，则∠BMC的度数为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．105°
【解答】解：∵∠1＝30°，
∴∠AMA1+∠DMD1＝180°﹣30°＝150°．
由折叠得：∠AMB＝∠BMA1，∠DMC＝∠CMD1，
∴∠BMA1+∠CMD1＝75°．
∴∠BMC＝∠BMA1+∠CMD1+∠1＝30°+75°＝105°．
故选：D．
10．（3分）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长（x＞y）．则①x﹣y＝n；②xy＝；③x2﹣y2＝mn；④x2+y2＝中，正确的是（ ）
A．①③④B．②④C．①③D．①②③④
【解答】解：由拼图可知，m＝x+y，n＝x﹣y，
因此①正确；
由于mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，
因此③正确；
由于xy表示一个小长方形的面积，由拼图可知，xy＝＝，
因此②不正确；
由于x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝m2﹣2×
＝，
因此④不正确；
综上所述，正确的有①③，
故选：C．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：x2﹣4＝ （x+2）（x﹣2） ．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
12．（4分）已知二元一次方程2x+y＝5，若用含x的代数式表示y，则y＝ 5﹣2x ．
【解答】解：∵2x+y＝5，
∴移项得：y＝5﹣2x，
故答案为：5﹣2x．
13．（4分）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是 110° ．
【解答】解：∵1＝70°，
∴∠3＝70°，
∵a∥b，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝110°，
故答案为：110°．
14．（4分）已知am＝3，an＝7，则a2m+n＝ 63 ．
【解答】解：∵am＝3，an＝7，
∴a2m+n＝a2m•an
＝（am）2•an
＝32×7
＝9×7
＝63．
故答案为：63．
15．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺．依题意，列方程组得 ．
【解答】解：设绳子长x尺，木长y尺，
根据题意得：，
故答案为：．
16．（4分）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成．在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行．
（1）当∠EFH＝56°，BC∥EF时，∠ABC＝ 124 度；
（2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝70°，此时∠ABC＝ 160 度．
【解答】解：（1）如图2，延长CB、HG相交于点K，
∵BC∥EF，∠EFH＝56°，
∴∠K＝∠EFH＝56°，
∵AB∥KH，
∴∠ABK＝∠K＝56°，
∴∠ABC＝180°﹣56°＝124°，
故答案为：124．
（2）如图3，延长BC，FE相交于点P，根据题意则有BP⊥EP，延长AB交EP延长线于点Q，
∵AB∥FH，∠EFH＝70°，
∴∠Q＝∠EFH＝70°，
∵∠BPQ＝90°，
∴∠ABC＝90°+70°＝160°．
故答案为：160°．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算．
（1）﹣12020﹣2﹣1+（π﹣4）0；
（2）x•（x2）3•（x3）2．
【解答】解：（1）﹣12020﹣2﹣1+（π﹣4）0
＝﹣1﹣+1
＝﹣．
（2）x•（x2）3•（x3）2
＝x•x6•x6
＝x13．
18．（6分）解方程组．
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
将①代入②得：6y﹣2y＝8，
解得：y＝2，
将y＝2代入①得：x＝4，
故原方程组的解为；
（2），
①﹣②得：4y＝2，
解得：y＝0.5，
将y＝0.5代入②得：x﹣0.5＝1，
解得：x＝1.5，
故原方程组的解为．
19．（6分）先化简，再求值：（2a﹣3）（2a+3）﹣4a（a﹣2）+9，其中a＝3．
【解答】解：原式＝4a2﹣9﹣（4a2﹣8a）+9
＝4a2﹣9﹣4a2+8a+9
＝8a，
当a＝3时，原式＝8×3＝24．
20．（8分）如图，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，DF∥AC，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明：DE∥AB；
（2）若∠C＝60°，DF平分∠BDE，求∠1的度数．
【解答】（1）证明：∵DF∥AC，
∴∠1+∠A＝180°
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠A＝∠2，
∴DE∥AB；
（2）解：∵DF∥AC，∠C＝60°．
∴∠C＝∠FDB＝60°，
∵DF平分∠BDE，
∴∠FDB＝∠FDE＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠1＝180°﹣∠FDE＝180°﹣60°＝120°．
21．（8分）如图是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上，将△ABC先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，按要求回答问题．
（1）画出平移后的△A′B′C′．
（2）平移后，AB和A′B′两条线段之间的关系 AB＝A′B′且AB∥A′B′ ．
（3）在平移过程中，求出线段AB扫过的面积．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）观察图形，结合平移的性质可知：AA′＝BB′且AA′∥BB′，
故答案为：AB＝A′B′且AB∥A′B′；
（3）∵△ABC先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得△A′B′C′，
∴AB∥A′B′，AB＝A′B′，
∴四边形AA′B′B是平行四边形，
连接AA′，BB′，取格点E，
线段AB扫过的面积为：
S平行四边形AA′B′B＝S△AA′E+S△A′B′E+S△BB′E＝．
22．（10分）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金7600元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【解答】解：（1）设每辆小客车能坐a名学生，每辆大客车能坐b名学生，
依题意得：，
解得：．
答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生．
（2）①依题意得：20x+45y＝400，
∴x＝20﹣y．
又∵x，y均为非负整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用小客车20辆；
方案2：租用小客车11辆，大客车4辆；
方案3：租用小客车2辆，大客车8辆．
②租车方案1所需租金为4000×20＝80000（元），
租车方案2所需租金为4000×11+7600×4＝74400（元），
租车方案3所需租金为4000×2+7600×8＝68800（元）．
∵80000＞74400＞68800，
∴最省钱的租车方案为租用小客车2辆，大客车8辆，最少租金为68800元．
23．（10分）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ；
（2）利用（1）中的结论解决以下问题：已知a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）如图3，由正方形ABCD边长为a，正方形CEFG边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接BD，DF，若a﹣b＝2，ab＝3，求图3中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）图2中正方形的面积可以表示为：（a+6+c）2．
还可以表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
.∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）由（2）知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝100﹣2（ab+ac+bc）＝100﹣76＝24．
（3）S阴影＝SABCD﹣S△DGF﹣S△ABD﹣SFECG＝AB•AD﹣﹣﹣EC•CG＝a2﹣b（a﹣b）﹣﹣b2＝＝（a2﹣b2）﹣＝（a+b）（a﹣b）﹣．
∵a﹣b＝2，ab＝3且（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．．
∵a+b＞0，
∴a+b＝4．
∴S阴影＝×4×2﹣×3＝．
24．（12分）如图，直线PQ∥MN一副三角尺（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数．
（2）如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（0≤t≤60）
①在旋转过程中，若边BF∥DE，求t的值．
②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D对应点为H，K）请求出当边BG∥HK时t的值．
【解答】解：（1）如图①中，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°，
∵CE平分∠ACN，
∴∠ECN＝∠ACN＝75°，
∵PQ∥MN，
∴∠QEC+∠ECN＝180°，
∴∠QEC＝180°﹣75°＝105°，
∴∠DEQ＝∠QEC﹣∠CED＝105°﹣45°＝60°．
（2）①如图②中，
∵BG∥CD，
∴∠GBC＝∠DCN，
∵∠DCN＝∠ECN﹣∠ECD＝75°﹣45°＝30°，
∴∠GBC＝30°，
∴3t＝30，
∴t＝10s．
∴在旋转过程中，若边BG∥CD，t的值为10s．
②如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R．
∵BF∥DE
∴BG∥KR，
∴∠GBN＝∠KRN，
∵∠QEK＝60°+2t，∠K＝∠QEK+∠KRN，
∴∠KRN＝90°﹣（60°+2t）＝30°﹣2t，
∴3t＝30°﹣2t，
∴t＝6s．
如图③﹣1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R．
∵BG∥KR，
∴∠GBN+∠KRM＝180°，
∵∠QEK＝60°+2t，∠EKR＝∠PEK+∠KRM，
∴∠KRM＝90°﹣（180°﹣60°﹣2t）＝2t﹣30，
∴3t+2t﹣30＝180°，
∴t＝42s．
综上所述，满足条件的t的值为6s或42s．