2024福建省中考数学复习一次函数与反比例函数专题复习（原卷版+解析版）

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解题思路
①熟练掌握一次函数及反比例函数的图像与性质
②针对反比例函数和一次函数图像共存问题这类型的题型特点就是在题目提供的一次函数和反比例函数当中含有共同的参数，根据分类讨论的形式，由函数的图像特点来判定符合两个函数参数的图形。
③反比例函数和一次函数的交点和不等式问题。这类问题的呈现方式主要以不等式的解集的求解来进行呈现，而满足条件的不等式的左右两边为一次函数或反比例函数的形式来存在，所以我们可以通过这类型不等式的左右两边的函数图像来进行判定是大于小于的情况，从而通过其函数的交点来确定图像的位置，满足的解集
④反比例函数和一次函数的综合题型。既然是综合题型，涉及的不仅仅是函数的图像和焦点的问题，这只是综合类型题型中的一小部分，还有可能结合几何来进行考察，所以在这过程当中我们只需要掌握最基础的部分。剩下的内容就要进行知识点之间的相互配合，只有掌握每一部分涉及内容的基础知识以及方法技巧，那么将知识点融合时他们之间的联系才能够更快地显现出来
模拟预测
1、（2023·福建·中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ）

A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，

∵，，
∴．
∴．
∴．
∵点在第二象限，
∴．
故选：A．
2、（2024·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据题意得，从而可得结论
【详解】解：如图，
，
∵
∴，
∴的面积，
故选：B
3、（2024·福建厦门·模拟预测）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．反比例函数关系D．二次函数关系
【答案】B
【分析】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．
【详解】解：根据题意得：
，
∴，
∴y与x满足的函数关系是一次函数；
故选：B．
4、（2024·福建·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）

A．4B．﹣4C．﹣3D．3
【答案】C
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故选：C．

5、（2024·福建泉州·一模）已知一次函数，函数值y随自变量x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据时，函数值y随自变量x的增大而减小，得到，解答即可．
【详解】∵一次函数，函数值y随自变量x的增大而减小，
∴，
故，
解得，
故选D．
6、（2024·福建泉州·一模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，线段与轴交于点．若，的面积为5，则k的值为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】A
【分析】
本题考查的是反比例函数系数的几何意义．连接，作轴于，轴于，则，利用反比例函数的几何意义求出三角形面积与三角形面积，由，的面积为5，求得，利用求得，再列出方程即可求解．
【详解】
解：连接，作轴于，轴于，则，
，
，
，
，，
，
的面积为5，
，
点在函数的图象上，点在函数的图象上，
，，
的面积为5，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
7、（2024·福建三明·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点不在该反比例函数的图象上，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数上的点的特征．根据点的坐标求出横纵坐标的乘积，进而得到值的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：由图象可知：，，
∴，即：，
∴的值可以为；
故选C．
8、（2024·福建·模拟预测）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（ ）
A．B．当时， C．当时， D．当时，
【答案】D
【分析】由图象可知，电流与电阻之间满足反比例函数关系，设电流与电阻之间的函数关系为，根据点在函数的图象上得，进行计算得电流与电阻之间的函数关系为，当时，则，解得，由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小，则当时，；当时，则，得；当时，则，计算得，由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小，当时，；综上，即可得．
【详解】解：由图象可知，电流与电阻之间满足反比例函数关系，
设电流与电阻之间的函数关系为，
∵点在函数的图象上，
∴，
解得：，
∴电流与电阻之间的函数关系为，故A选项错误，不符合题意；
当时，则，
∴，
由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小，
∴当时，，故B选项错误，不符合题意；
当时，则，
∴，故C选项错误，不符合题意；
当时，则，
∴，
由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小，
∴当时，，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
9、（2024·福建·模拟预测）如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，，根据已知条件分别证明，，四边形，四边形和四边形为矩形，即可得出，，，根据已知条件可以证明，得出，设点A的坐标为：，即可得出，得出，根据勾股定理，结合正方形的面积，列出，最后将代入求出k的值即可．
【详解】解：过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∵轴，轴，
∴，
，，
∴，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
，，
∴，
∴，
，
∵轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
同理可得：四边形和四边形为矩形，
，，，
设点A的坐标为：，
，，
，
，即，
∵正方形的面积为12，
，
在中，由勾股定理得，即，
把代入得：，
解得：．
故答案为：．
10、（2024·福建漳州·模拟预测）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，则关于与的关系，正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为m的两个点A和B，
则，，
∵，
∴，
当取横坐标为正数时，同理可得，
综上所述，
故选：D

11、（2024·福建·模拟预测）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数）
【答案】-5（答案不唯一）
【分析】根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知k＜0，进而问题可求解．
【详解】解：由反比例函数的图象分别位于第二、第四象限可知k＜0，
∴实数k的值可以是-5；
故答案为-5（答案不唯一）．
12、（2024·福建南平·二模）如图，点A，D在反比例函数的图象上，垂直y轴，垂足为C，，垂足为B．若四边形的面积为8，，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
设点，可得，，从而得到，再得出轴，
可得点，从而得到，然后根据，即可求解．
【详解】解：设点，
轴，
，，
，
，
，
，轴，
轴，
点，
，
，四边形的面积为8，
，
解得：．
故答案为：．
13、（2024·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点C，D在双曲线的同一支上，直线交轴于点，直线交轴于点．若，则的值是 ．
【答案】4或12
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，平行四边形的性质与判定，勾股定理，设，根据平行四边形对角线中点坐标相同推出，再把代入反比例函数解析式中求出，则，据此求出直线解析式得到，，进而证明，得到四边形是平行四边形，再根据，推出，再分点C和点D在第一象限和第三象限两种情况利用两点中点坐标公式求出点C的坐标即可得到答案．
【详解】解：设，
∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∴，
同理可得直线解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
如图所示，当点C和点D在第三象限时，
∵，
∴，即点E是的中点，
∴，
∴；
如图所示，当C、D在第一象限时，同理可得，如图所示，取中点T，则，即点B为中点，
∴，
∴，
∴；
综上所述，k的值为4或12，
故答案为：4或12．
14、（2024·福建三明·二模）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象及性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
根据反比例函数图象上两个点的横坐标的大小关系和纵坐标的大小关系，确定图象的性质，根据图象的性质确定k的取值范围．
【详解】∵，，
∴第一象限内，函数图象从左到右下降，
∴，
解得：．
故答案为：．
15、（2024·福建漳州·一模）如图，与反比例函数的图象交于，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、勾股定理、圆的面积公式，先求出，再由勾股定理得出的半径，根据反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，得出图中两个阴影部分的面积和是圆的面积，最后由面积公式计算即可．
【详解】解：与反比例函数的图象交于，
，
，
的半径为，
反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，
图中两个阴影部分的面积和是圆的面积，
，
故答案为：．
16、（2024·福建·模拟预测）如图，在中，，射线AB分别交y轴于点D，交双曲线于点B，C，连接，当平分时，与满足，若的面积为4，则 ．
【答案】/
【分析】由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可得出．再根据角平分线的定义即得出，即易证，得出，设，则，从而可求出，，，．过点B作轴于点E，作轴于点G，过点C作轴于点F，作轴于点H，易证，即得出，从而得出．设，则，，，从而可求出，，进而可求出，即可求出，最后由三角形面积公式，代入数据，即可求出k的值．
【详解】解：∵，
∴．
∵，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，即．
又∵，
∴，
∴，
∴．
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图，过点B作轴于点E，作轴于点G，过点C作轴于点F，作轴于点H，
∴，
∴
∴，
∴，即．
设，则，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17、（2024福建宁德模拟预测）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，某班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆
(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．
【答案】(1)购买绿萝38盆，吊兰8盆
(2)369元
【分析】（1）设购买绿萝x盆，吊兰y盆，根据购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设购买绿萝m盆，则吊兰盆，根据绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍，得出关于m的一元一次不等式，求出m取值范围，再设购买两种绿植总费用为W元，列出函数表达式，利用一次函数的性质，即可解决问题．
【详解】（1）设购买绿萝x盆，吊兰y盆，
由题意，得，
解得：，
∵，
∴符合题意，
答：购买绿萝38盆，吊兰8盆．
（2）设购买绿萝m盆，则吊兰盆，
由题意，得，
解得：，
设购买两种绿植总费用为W元，则
，
∵，
∴W随m的增大而增大，
又∵，且m为整数，
∴当时，W取得最小值，
，
答：购买两种绿植总费用的最小值为369元．
18、（2024·福建漳州·二模）在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值：
该段电磁波的波长λ与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长λ关于频率f的函数表达式．
【答案】电磁波的波长λ与频率f满足反比例函数关系，λ关于f的函数表达式为
【分析】设解析式为，用待定系数法求解即可；本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式．
【详解】解：由表格可知，
频率f与波长λ乘积为定值300，则电磁波的波长λ与频率f满足反比例函数关系．
设波长关于频率的函数解析式为
把点代入上式中得：，
解得：，
；
19、（2024·福建南平·二模）北方某市对城市居民该冬季的采暖收费标准如下表：（以户为单位）
根据表中所给的数据回答以下问题：
(1)某户用气量为，求此户需缴纳的燃气费用：
(2)设某户这个冬季用气量为，缴纳燃气费用为元，求与的函数表达式：
(3)已知某户该冬季缴纳燃气费用为8970元，求该户用多少立方米的燃气？
【答案】(1)元
(2)
(3)3000立方米
【分析】本题考查一次函数的应用，关键是写出函数解析式．
（1）用1000乘以第一阶梯的电价即可；
（2）根据题意按第一、二阶梯电价写出函数解析式即可；
（3）先根据用户缴纳的燃气费用为8970元，判断用户的燃气量的范围，再计算出燃气量即可．
【详解】（1）解：元．
答：此户需缴纳的燃气费用为2670元，
（2）解： 当时
当时
，
所以与的函数解析式为
，
（3）解：当时，
，
∵
∴当时
当时
解得
答：该用户用了3000立方米的燃气．
20、（2024·福建泉州·二模）小明发现用吸管吹气，能发出不同的音调．通过查阅资料，他得知：用吸管吹气时，吸管内部的空气振动导致声音产生，而吸管的长度影响了空气振动的频率，并最终决定了音调的不同，所以发出不同的音调．
小明和同学动手试验，并按以下步骤操作：①将若干根同规格的吸管剪成不同的长度；②用同样的力气通过吸管吹气，借助仪器记录下吸管中空气振动的频率；③将吸管的长度和相应吸管中空气振动的频率分别记为和，对收集到的数据检查、整理；④将整理所得的数据对应的点在平面直角坐标系中描出，绘制成如图所示的与对应关系的散点图．
(1)表1记录了收集到的四组数据，同学们在仔细检查、整理数据时，发现这四组数据中的一组有错，请直接写出有出错的这组数据______（填写组别代号），不必说明理由；
（表1）
(2)根据散点图，同学们猜想与的对应关系符合初中阶段已学过的一种函数关系，并将由每组数据计算所得的系数（精确到个位）作为与的对应关系中的系数．小明根据表2的数据剪出合适长度的吸管，成功地吹奏出的音．
（表2）
你知道小明剪出的吸管长度是多少（精确到个位）？并说明你的理由．
【答案】(1)D
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式．
（1）根据表中数据，可发现与的乘积为定值，从而可得答案；
（2）根据与都是正数，可得这条曲线是反比例函数的一支，根据，可得与的函数解析式，即可得到结论．
【详解】（1）解：根据表中数据，可发现与的乘积为定值，
所以D组数据是错误的，
故答案为：D．
（2）根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系，
因此可设．
依据表1中三组数据求得：
，
，
．
，
，
当时，．
答：小明剪出的吸管长度是．
21、（2024·福建漳州·一模）甲、乙两家商店以同样的价格出售品质相同的枇杷，枇杷单价均是40元且包邮．在直播带货活动中，甲商店的优惠方案是一律打九折；乙商店的优惠方案如表（a为常数）：
设购买枇杷，，（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买枇杷的费用．
(1)写出，关于x的函数表达式；
(2)在此次活动中，小丽在两家商店分别购买的枇杷，结果费用相同，求a的值；
(3)在（2）的条件下，请你帮助顾客设计一个购买方案，选择哪家商店更合算？
【答案】(1)，
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了一次函数的应用；
（1）根据优惠方案分别列出函数表达式即可；
（2）求出时，，可知，然后根据费用相同得出方程，解方程即可；
（3）分情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别判断出和之间的大小关系，进而可得购买方案．
【详解】（1）解：由题意，得；
当时，，
当时，，
即；
（2）当时，，
若时，，
则，不符合题意，舍去；
，
当时，，
，
，
；
（3）由（2）知，购买的枇杷时，费用相同，
①当时，，，
即，
∴选择甲商店更合算；
②当时，，，
∴，
∴选择甲商店更合算；
③当时，由（2）知，，
∴甲或乙商店一样合算；
④当时，，，
∴，
∴选择乙商店更合算；
∴方案如下：
当顾客购买枇杷小于时，选择甲商店更合算；
当顾客购买枇杷时，甲或乙商店费用相同；
当顾客购买枇杷大于时，选择乙商店更合算．
22、（2024·福建·模拟预测）如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数的图象分别交于点C，D．已知点C的坐标为．
(1)求k的值及点D的坐标．
(2)已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)；
【分析】（1）由C点坐标可得k，再由D点纵坐标可得D点横坐标；
（2）由C、D两点的横坐标即可求得P点横坐标取值范围；
【详解】（1）解：把C（2，2）代入，得，，
∴反比例函数函数为（x＞0），
∵AB⊥x轴，BD=1，
∴D点纵坐标为1，
把代入，得，
∴点D坐标为（4，1）；
（2）解：∵P点在点C（2，2）和点D（4，1）之间，
∴点P的横坐标：；．
23、（2024·福建泉州·一模）某校组织九年级学生，以“运用函数知识探究铜锌混合物中的铜含量”为主题，开展跨学科主题学习活动．已知常温下，铜与稀盐酸不会发生反应，锌与稀盐酸发生反应后不生成固体难溶物．小明按实验操作规程，在放有铜锌混合物样品（不含其它杂质）的烧杯中，逐次加入等量等溶度的稀盐酸，每次加入前，测出与记录前次加入并充分反应后剩余固体的质量，直到发现剩余固体的质量不变时停止加入．记录的数据如下表所示，然后小明通过建立函数模型来研究该问题，研究过程如下：
（ⅰ）收集数据：
（ⅱ）建立模型：在如图的平面直角坐标系中，描出这些数值所对应的点．发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这一个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”，“ 反比例函数”“ 二次函数”）
（ⅲ）求解模型：为使得所描的点尽可能多地落在该函数图象上，根据过程（ⅱ）所选的函数类型，求出该函数的表达式；
（ⅳ）解决问题：根据剩余固体的质量不再变化时，所加稀盐酸的总量求得样品中的铜含量．

阅读以上材料，回答下列问题：
(1)完成小明的研究过程（ⅱ）（描点，并指出函数类型）；
(2)完成小明的研究过程（ⅲ）；
(3)设在研究过程（ⅳ）中，发现最后剩余固体的质量保持不再变化，请你根据前述求得的函数表达式，计算加入稀盐酸的总量至少为多少时，剩余固体均为铜．
【答案】(1)见解析，一次函数；
(2)
(3)至少为
【分析】本题考查了跨学科知识综合，图象的画法，一次函数性质
（1）根据描点法画出图像，结合点的走势，函数特点解答即可；
（2）设该函数表达式是，选择两个点，待定系数法计算解答即可；
（3）当时，即，解答即可．
【详解】（1）描点如下：

结合图象的特点，这一个函数的类型最有可能是一次函数，
故答案为：一次函数．
（2）设该函数表达式是，
将，代入上式，得，
解得．
故函数表达式是．
（3）根据题意，当剩余固体的质量保持不再变化时，剩余固体均为铜，
由（2）可得，当时，即，
解得，
所以当加入稀盐酸的总量至少为时，剩余固体均为铜．
24、（2024·福建福州·一模）阅读材料，用配方法求最值．
已知,为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立.示例：当时，求的最小值；
解：，当，即时，的最小值为5．
(1)若，求最小值；
(2)如图，已知为双曲线上任意一点，过点作轴，轴且，，求四边形的面积的最小值，并求此时的坐标．
【答案】(1)；
(2)27，．
【分析】本题考查了阅读学习，正确理解所展示的解法是解题的关键．
(1)根据阅读材料提供的解题方法，按照例题求解即可．
(2)设，则,表示出四边形的面积，运用解题方法求解即可．
【详解】（1）解：
,
当时，有最小值，此时，
故答案为：．
（2）设，则,
四边形的面积,
,
,
当时，有最小值12，此时
四边形的面积的最小值为，此时.
频率
5
10
15
20
波长
60
30
20
15
阶梯
采暖用气
销售价格
第一阶梯
（含1500）的部分
2.67元
第二阶梯
（含2500）的部分
3.15元
第三阶梯
以上的部分
数据组别
吸管的长度
60
80
100
100
空气振动的频率
1.43
1.08
0.86
0.42
音调

频率
0.26
0.29
0.33
0.35
0.39
0.44
0.49
一次性购买质量
优惠方案
不优惠
超过的部分打七五折
加入稀盐酸的累计总量x（单位：g）
0
20
40
60
80
100
充分反应后剩余固体的质量y（单位：g）
10