2024福建省中考数学复习三角形与四边形专题复习（原卷版+解析版）

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三角形、四边形是中考数学几何部分的板块内容，中考数学大部分数学题目的解答都需要运用到三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆的等知识点，并且知识点之间密切相关。三角形四边形作为中考必考的知识点，在考题上既有特别基础的题，也有中等题，还有一些综合题，在复习备考的过程中首先需要掌握知识要点和细节，了解考点、考向和题型，再几何自身情况去做一些有针对性的练习题，对三角形的相关知识点和题型都必须要熟练掌握和灵活运用
解题思路
1、掌握三角形知识点：
①等腰三角形性质
②等边对等角
③三线合一
④中位线平行第三边且等于第三边的一半
⑤直角三角形斜边中线等于斜边的一半
⑥30°角特殊直角三角形三条边的长度比例
2、四边形综合题的线索和处理办法
①若有中点，在等腰三角形中，考虑三线合一；
②若有中点，在直角三角形中，考虑斜边中线；
③若有多个中点，考虑中位线；
④也可试试倍长中线，构造全等三角形；
⑤若有角分线，考虑是否有垂直于角分线的线段，如果有，考虑延长该线段，构成单垂（就是三线合一的图形）
⑥若有角分线，也可在角的另外一边，截取等线段，构造全等三角形
模拟预测
1、（2024·福建·模拟预测）如图，在中，分别是边上的中点，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知得DE是三角形的中位线，从而可得到△ADE∽△ABC，根据面积比是相似比的平方可求得其面积比，从而不难求得S△ADE：S四边形DBCE
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点
∴DE∥BC，DE：BC=1：2
∴S△ADE：S△ABC=()2=()2=
∴S△ADE：S四边形DBCE=1：3
故选C．
2、（2024·福建·模拟预测）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（ ）
A．96B．C．192D．
【答案】B
【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形的面积为，即可求解．
【详解】解：依题意为平行四边形，
∵，，AB＝8，．
∴平行四边形的面积=
故选B
3、（2024·福建南平·二模）已知正方形的边长为6，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．6.5
【答案】B
【分析】本题主要考查了图形的旋转，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握图形的旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
由旋转性质可证明，从而；设，则可得，由勾股定理建立方程即可求得x．
【详解】由旋转的性质可得：，，，，
四边形是正方形，
，，
，
，
即，
，
在和中，
，
，
设，
则，
，
在中，由勾股定理得：
解得：
故选B．
4、（2024·福建龙岩·二模）如图，E是的边的中点，延长交的延长线于点F，若，，则的长是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
由平行四边形的性质得出，证出，由证明，由全等三角形的性质得出，由平行线的性质证出，求出，即可得出的长．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的边的中点，
∴，
在和中，
∴；
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：B．
5、（2024·福建龙岩·二模）如图，依据尺规作图痕迹，若，，则的度数为（ ）
A．50°B．60°C．66°D．80°
【答案】C
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，角平分线的作图，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质．本题先证明，求解，结合角平分线的作图以及三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
由作图可得：是的角平分线，
∴；
∵，
∴
故选：C．
6、（2024·福建漳州·二模）如图，在和中，，相交于点G，E，F分别是的中点，连接．若点F为的内心，，则下面结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据点F为的内心，确定点F为的三条角平分线的交点，即可判断A；根据，得出，确定，即可判断B；根据是的中位线，证明，根据相似三角形的性质和三角形中位线定理即可解出，可判断C；根据勾股定理求出，再根据直角三角形性质得出，即可判断D；
【详解】∵点F为的内心，
∴点F为的三条角平分线的交点，
∴，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵E，F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故C正确，不符合题意；
∴
∵E是的中点，
∴，故D错误，符合题意；
故选：D．
7、（2024·福建龙岩·二模）如图，在矩形中，平分，点P是线段上一定点，点F，G分别是，延长线上的点，且，过点P作交于点H，以下判断不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先根据矩形和角平分线得到，然后证明出，然后得到，，即可证明出，进而判断A选项；根据题意得到和是等腰直角三角形，然后证明出，得到，即可判断B选项；根据等腰直角三角形的性质得到，然后由全等三角形的性质得到，进而得到，即可判断C选项；根据和不一定相等即可判断D选项．
【详解】∵在矩形中，平分，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
∴，故A正确；
∵，
∴是等腰直角三角形
∵四边形是矩形
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴，故B正确；
∵是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴，故C正确；
∵和是等腰直角三角形，但是直角边和不一定相等
∴不一定成立，故D选项错误．
故选：D．
8、（2024·福建泉州·二模）如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．点是上一点，且，将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则的长是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】首先根据题意求出，然后根据折叠的性质得到，，，进而求出，，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∵对折矩形纸片使与重合，得到折痕，
∴，，
∵将沿折叠，点的对应点恰好落在上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
9、（2024·福建漳州·一模）如图，在中，．阅读以下作图步骤：
①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；
②作直线，交于点，交于点，连接．
根据以上作图，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了作图—作垂线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，由作图可得垂直平分，从而得出，，，即可判断A；推出，得出为的中点，，从而可以判断B，再由相似三角形的性质即可判断D，利用含角的直角三角形的性质可以判断C，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由作图可得：垂直平分，
，，，故A正确，不符合题意；
，
，
∴，
为的中点，
，，
，，故B、D正确，不符合题意；
当时，，故C不一定正确，符合题意；
故选：C．
10、（2024·福建·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】根据矩形的性质得出，求出，，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可．
【详解】解析：四边形是矩形，，，
，，，
点E、F分别为、的中点，
，，
，
，
，
．
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
解得：，
故选：A．
11、（2023·福建·中考真题）如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为 ．

【答案】10
【分析】由平行四边形的性质可得即，再结合可得可得，最进一步说明即可解答．
【详解】解：∵中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,即．
故答案为：10．
12、（2024·福建漳州·二模）如图，四边形的对角线相交于点，过点O作交于点E，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质和判定、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
连接，在矩形中，，可得垂直平分，所以，在中，根据勾股定理即可得的长．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵在矩形中，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴在中，根据勾股定理，得，
即，
解得：．
故答案为：．
13、（2024·福建泉州·二模）如图，中，，点O是的重心，延长与相交于点D，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形重心，直角三角形斜边中线的性质，根据是的重心，，则，根据三角形斜边中线的性质即可求出．
【详解】解：∵点O是的重心，延长与相交于点D，若，
∴，是的中线，
∴
故答案为：．
14、（2024·福建泉州·二模）如图，在平行四边形中，以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点、，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交边于点．若，则的周长是 ．
【答案】10
【分析】本题考查尺规作图作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键．
首先根据平行线四边形的性质得到，然后由角平分线的作图得到，进而得到，然后求得，进而利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】∵四边形是平行四边形
∴
∴
由题意可得，平分
∴
∴
∴
∵
∴
∴的周长．
故答案为：10．
15、（2024·福建·模拟预测）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ．
【答案】
【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．
【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
根据与的周长比等于相似比可得，
故答案为：．
16、（2024·福建·二模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线BP，交AC于点D．若，，则线段AD的长为 ．
【答案】
【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到则DE=DC，再利用勾股定理计算出AC=4，然后利用面积法得到•DE×5+•CD×3=×3×4，最后解方程即可．
【详解】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE=DC，
在Rt△ABC中，，
∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，
∴•DE×5+•CD×3=×3×4，，
即5CD+3CD=12，
∴CD=，
∴，
故答案为：．
17、（2024·福建·模拟预测）如图，正方形纸片的边长为2，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点B折叠到上，折痕为，点B对应点为H，则线段的长度为 ．
【答案】/
【分析】
本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理，解题的关键是
【详解】解：四边形是边长为2的正方形，
，，
由折叠得点与点关于直线对称，，
垂直平分，
，，
四边形是矩形，，
，
，
故答案为：．
18、（2024·福建泉州·二模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、．
(1)求证：、、三点共线；
(2)若，求点到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接BD，证明即可；
（2）先求得DE=BC=2，再结合（1）的结论可得BE，作于点H，根据即可求解．
【详解】（1）连接，
由旋转的性质，可得，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴、、三点共线；
（2）由（1）证得是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
由旋转的性质，可得，
∵、、三点共线，
∴，
作于点H，
在中，，
即，
即，
∴到的距离为．
19、（2023·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；
(2)小明求得用到的几何知识是___________；
(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）．
【答案】(1)①；②
(2)相似三角形的判定与性质
(3)最大宽度为，见解析
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；
（3）测量过程：在小水池外选点，用测角仪在点处测得，在点处测得；用皮尺测得；
求解过程：过点作，垂足为，根据锐角三角函数的定义推得，，，根据，即可求得．
【详解】（1）∵， ，，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
故小水池的最大宽度为．
（2）根据相似三角形的判定和性质求得，
故答案为：相似三角形的判定与性质．
（3）测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得；

（ⅱ）用皮尺测得．
求解过程：
由测量知，在中，，，．
过点作，垂足为．
在中，，
即，所以．
同理，．
在中，，
即，所以．
所以．
故小水池的最大宽度为．
20、（2024·福建漳州·二模）学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课．
【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点C把线段分成和两部分，如果那么称点C为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）．
【知识探究】直角三角形中的黄金分割
活动一：如图5，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点E，F分别落在边上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
活动二：在活动一的条件下，若，求证：点F是线段的黄金分割点．
【答案】活动一：见解析；活动二：见解析
【分析】活动一：作，，如图，四边形是所求作的平行四边形；
活动二：利用平行线分线段成比例定理，得到和，推出，再证明，据此求解即可得到，点F是线段的黄金分割点．
【详解】解：活动一：如图所示，四边形是所求作的平行四边形．
活动二：证明：∵在中，，
∴是菱形，
∴，，，
∴，，
，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴点F是线段的黄金分割点．
21、（2024·福建漳州·二模）如图，和都是等腰直角三角形，点D在边上，．
(1)求证：；
(2)探索的数量关系，并证明；
(3)若平分，且，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)的面积为
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，结合余弦的定义得到，由，得到，即可证明；
（2）过点E作交于点F，利用和都是等腰直角三角形及证明，由，即可得出结论；
（3）过点D 作于点G，根据角平分线的性质及，得到，解直角三角形得到，进而得到，利用勾股定理求出，，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，
∴，

，
，
，
∴；
（2）解：
如图1， 过点E作交于点F，
则．
∵和都是等腰直角三角形，
∴．
由（1） 得，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵ 在中，，
；
（3）解：如图2，过点D 作于点G，
∵平分，
∴，
由（1）得，
∴．
∵，
∴．
在中，，


在中，
在中，
∴的面积为 ．
22、（2024·福建南平·二模）已知矩形纸片．
第1步：先将矩形纸片对折，使点A和点B重合，然后展开铺平，确定的中点E；
第2步：将边沿翻折到的位置，点的对应点为；
第3步：连接并延长，交边于点．
(1)当四边形为正方形，如图1．
①用尺规作出点F，G（不写作法，保留作图痕迹）；
②求证：
(2)如图2，连接并延长，交于点，当恰为的中点时，求的值．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）①以点C为圆心，长为半径画弧，以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于F，连接，延长交于G即可；
②根据正方形的性质与折叠的性质得，，再证明，得，设，，则， ，+，根据勾股定理得：，解得，所以， ，即可得出结论．
（2）根据正方形的性质与折叠的性质得，则，再由等腰三角形的性质和直角三角形的性质证得，设，，则，根据勾股定理，解得，代入即可求解．
【详解】（1）解：①如图，点F，G即为所作的点，（答案不唯一）
∵，，，
∴
∴将边沿翻折到的位置；
②四边形是正方形，
，，
由折叠可得，
，，，
，，
连接，
，
，
，
设，，
为的中点，
，
，+，
根据勾股定理得：
，
解得，
，
，
．
（2）解：四边形是正方形，
，，
由折叠可得，
，
，
为的中点， 为的中点，
，，
，
即，
设，，
，
根据勾股定理，
解得，
．
23、（2024·福建福州·二模）如图，在中，D是上一点．
(1)在上确定一点O，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，当时，将绕点O旋转得到，其中，D，E分别是点A，B的对应点，若D是的中点，交于点G，求证：G是的中点．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题主要考查作线段垂直平分线，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质：
（1）连接，作的垂直平分线交于点，此时则点即为所求；
（2）由旋转得，得，，．再证明得，从而得到，故可得结论
【详解】（1）解：如图，O为所求作的点．
（2）证明：∵D是的中点，
∴．
∵绕点O旋转得到，D，E分别是点A，B的对应点，
∴，，，
∴，，．
在与中
∴，
∴，
∴，
即，
∴G是中点
24、（2024·福建三明·二模）如图，已知，，，A为斜边上一点．
(1)求作：以点O为中心，A为一个顶点的正方形（点A，B，C，D按顺时针排列）；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接DN，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握基本作图是解题的关键．
（1）作射线，过O点作AO的垂线，然后以O为圆心,OA长为半径作弧交射线和AO的垂线于点C、B、D，然后依次连接即可得到正方形；
（2）证明，得到，进而证明结论．
【详解】（1）解：如图，四边形即为所作；
（2）证明：∵，，
∴
由作图可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
25、（2024·福建漳州·一模）在数学活动课中，老师组织学生开展“如何通过折纸的方法，确定矩形纸片长边上的一个三等分点”的探究活动．
【操作探究】
“求知”小组经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作，如图1．
第1步：先将矩形纸片沿对角线对折，展开铺平，折痕为；
第2步：将边以某一合适长度向右翻折3次，折痕与交于点K；
第3步：过点K折叠矩形纸片，使折痕，交于点N；
第4步：延长交边于点P，则点P为边的三等分点．
证明过程如下：
由题意，得．
∵，∴．
∴① ．
∴．同理，得．
∴② ．
∴．则点P为边的三等分点．
“励志”小组的操作如下，如图2．
第1步：先将矩形纸片沿对角线对折，展开铺平，折痕为；
第2步：再将矩形纸片对折，使点A和点B重合，展开铺平，折痕为；
第3步：沿折叠矩形纸片，折痕交于点G；
第4步：过点G折叠矩形纸片，使折痕．
【过程思考】
（1）补全“求知”小组证明过程中①②所缺的内容；
（2）“励志”小组经过上述操作，认为点M为边的三等分点．请你判断“励志”小组的结论是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，将矩形纸片对折，使点A和点B重合，展开铺平，折痕为，将边沿翻折到的位置，过点G折叠矩形纸片，使折痕，若点M为边的三等分点，求的值．
【答案】（1）①；②．（2）正确，理由见解析（3）
【分析】（1）根据题意即可填空；
（2）证明得，证明得，可得结论；
（3）设，则．证明四边形是矩形，得，由勾股定理得，设，则，证明得，代入可求出，进一步可求出．
【详解】解：（1）．
∵，
∴．
∴．
∴．
同理，得．
∴．
∴．则点P为边的三等分点．
故答案为①．②．
（2）“励志”小组的结论正确，理由如下：
在矩形中，．
由折叠，得点是边的中点，点是边的中点，
．
，
，
，
，
点是边的三等分点．
（3）由折叠，得．
点为边的三等分点，
．
设，则．
由折叠性质，得．
．
．
．
四边形是矩形．
．
由勾股定理，得
设，则．
，
，
，
，
∴，解得
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，；
（ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程：
由测量知，， ，，，
∴，又∵①___________，
∴，∴．
又∵，∴②___________．
故小水池的最大宽度为___________．