2024福建省中考数学复习二次函数专题复习（原卷版+解析版）

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二次函数综合题是中考的必考题，一方面考查了一次函数、二次函数的图象与性质，几何图形的性质与判定，图形变换等；另一方面考查了方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想等.主要类型包括：线段问题，角度问题，面积问题，全等、相似三角形存在性问题，平行四边形存在性问题，特殊三角形存在性问题等
解题思路
二次函数的综合应用问题常常与几何动点问题，图形周长面积问题，三角形和特殊四边形的存在性问题商品利润及最值问题结合，所以解决二次函数的综合应用问题，需要同学们能够掌握与二次函数相融合的相关知识点，比如存在性问题中，等腰三角形的两圆一线加勾股，直角三角形的两线一圆加K字形相似，特殊四边形中所涉及到的中点坐标公式列方程，面积倍分相等问题中极限思想平行线法等等，在解题思想上面也一定要有化动为静的思想，对于综合问题的化归思想等
模拟预测
1、（2024·福建南平·二模）已知垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，则的值（ ）
A．B．C．D．
2、（2024·福建泉州·二模）抛物线的函数表达式为，若将x轴向上平移1个单位长度，将y轴向左平移2个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
3、（2024·福建漳州·一模）已知抛物线（m为常数，）与x轴交于点A，B（点A在点B左边），与y轴交于点C，连接，抛物线的对称轴与交于点Q，与x轴交于点E，连接，（O为原点），下列结论中错误的是（ ）
A．B．抛物线的对称轴是直线
C．若，则D．若与相似，则m的值为
4、（2024·福建·模拟预测）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
5、（2024·福建南平·一模）水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离与时间的函数关系如图所示（图为抛物线的一部分，其中是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．小球滑行6秒停止B．小球滑行12秒停止
C．小球向前滑行的速度不变D．小球向前滑行的速度越来越大
6、（2024·福建南平·一模）已知抛物线上某些点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：
有以下几个结论：
①抛物线与轴的交点坐标是；
②抛物线的对称轴为直线；
③关于x的方程的根为和；
④当时，的取值范围是．
其中正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
7、（2023·福建·中考真题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
8、（2024·福建·模拟预测）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 ．
9、（2024·福建漳州·二模）在同一平面直角坐标系中，若无论m为何值，直线l：与抛物线W：都有交点，则a的取值范围是 ．
10、（2024·福建三明·二模）点，在二次函数的图象上，若，时，都有，则m的取值范围是 ．
11、（2024·福建龙岩·二模）已知抛物线经过点，，，，且，则m的取值范围是 ．
12、（2024·福建福州·模拟预测）二次函数，当时，的最小值为1，则的取值范围是 ．
13、（2023·福建·中考真题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若，且，求证：三点共线；
(3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
14、（2024·福建·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
15、（2024·福建南平·二模）如图1，抛物线与轴交于点A和点（点A在点的左侧），与轴交于点，，点为抛物线的一个动点（点与A，B均不重合）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若与互余，求点坐标；
(3)如图2，直线分别与轴交于点E，F，求证：．
16、（2024·福建宁德·一模）已知点A为抛物线对称轴右侧上一动点，直线AB：与抛物线有且只有一个交点A，且与轴交于点B，点C的坐标为，直线交抛物线于点，连接，，．
(1)用含k的代数式表示b；
(2)求证：；
(3)在点A运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．
17、（2024·福建福州·二模）已知抛物线，，．
(1)若抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．
①求抛物线的解析式；
②过点B作轴，垂足为D．延长至点E，连接，若，求点E的坐标；
(2)当时，已知点，在抛物线上，直线与直线交于点．若，时，有成立，直接写出a的取值范围．
18、（2024·福建厦门·模拟预测）若一个四边形是菱形，它的三个顶点在某抛物线上，且一条对角线在该抛物线的对称轴上，则称该四边形是该抛物线的“正菱形”．
已知抛物线，其中，顶点为．
(1)判断点是否在抛物线上，并说明理由；
(2)若，，是否存在点，使得四边形是拋物线的“正菱形”？若存在，请求出相应的的值；若不存在，请说明理由．
19、（2024·福建三明·二模）已知抛物线：的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧）．
(1)若点P的坐标为，求证：；
(2)将抛物线绕点旋转，，得到抛物线，抛物线的顶点为Q，与x轴相交于C，D两点（点C在点D左侧）．
①若，且点P在抛物线上，当时，抛物线最低点的纵坐标为，求抛物线的解析式；
②若点B在点M左侧，，且，判断四边形的形状，并说明理由．
20、（2024·福建泉州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为E，在该抛物线第一象限内有一点A，轴，垂足为B．点F坐标分别为，点C是的中点，轴，垂足为E，，垂足为D．
(1)求证：；
(2)求证：B，D，F三点共线；
(3)若，判断四边形是何种特殊的四边形，并说明理由．
21、（2024·福建龙岩·二模）已知抛物线．
(1)对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标．
(2)当时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
①如图（1），若点是轴上的动点，当取最大值时，求的面积；
②小聪研究发现：如图（2），，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，那么在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
22、（2024·福建漳州·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，交y轴负半轴于点C，对称轴在y轴的右边，，点P是直线下方抛物线上的点，连接交于点E，连接，记，的面积分别为，．
(1)当抛物线的对称轴为直线时．
①求抛物线的函数表达式；
②当的值最大时，求此时点P的坐标；
(2)点M，N是x轴下方抛物线上的两点（点M在点N的左边），且点M，N关于对称轴对称，，求b的取值范围．
23、（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，且．对于该抛物线上的任意两点，，，，当时，总有．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点的直线与该抛物线交于另一点，与线段交于点．作，与交于点，求的最大值，并求此时点的坐标；
（3）若直线与抛物线交于，两点，不与，重合），直线，分别与轴交于点，，设，两点的纵坐标分别为，，试探究、之间的数量关系．
24、（2024·福建泉州·一模）已知抛物线经过，两点．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)直线l：（k、t是常数，）与抛物线有且只有一个公共点．
①求直线l所对应的函数表达式；
②将直线l向下平移2个单位得到直线，过点A的直线m：与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线n：与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线上时，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标：若不过定点，请说明理由．
25、（2024·福建南平·一模）已知点在二次函数的图象上．
(1)求关于的函数关系式；
(2)求的最大值；
(3)设直线（为常数且）与抛物线交于点A，，与抛物线（为常数）交于点，．求证：．
26、（2024·福建漳州·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线：上．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)若，
①不管d取任何实数，抛物线上的三个点，，中至少有两个点在x轴的上方，求a的取值范围；
②平移抛物线得到抛物线，过点P，且其顶点为O，过点作直线（不与直线重合）交抛物线于M，N两点（点M在点N左侧），直线与直线交于点H．求证：点H在一条定直线上．
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