2024福建省中考数学复习方程与不等式专题复习（原卷版+解析版）

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在这类应用题中有时会单独考查函数的应用，大部分都是一次函数的应用，有时也会涉及到二次函数的应用，解决这类题目关键是列出函数关系式，有时是分段函数关系式，需要根据情况合理分段，并分别表示出各段的关系式。这类题目有时会与不等式或不等式组结合考查，根据题意找出不等关系，列出不等式或不等式组，求出自变量的取值范围，解决方案问题或结合函数关系式解决最值问题，对这部分题型不熟练的学生可以进行专题强化训练
解题思路
①各种方程(组)的解法要熟练掌握，方程(组)无解的意义是找不到等式成立的条件。
②运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0的情况，还要关注解方程与方程组的基本思想。(消元降次)主要陷阱是消除了一个带X公因式要回头检验!
③运用不等式的性质3时，容易忘记改不改变符号的方向而导致结果出错。
④关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0导致出错。
⑤关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等的情况。
⑥解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。
⑦不等式(组)的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴
模拟预测
1、（2023·福建·中考真题）根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程
，
故选：B．
2、（2024·福建宁德·一模）已知方程组，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值．熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．
得，，然后求解即可．
【详解】解：，
得，，
解得，，
故选：D．
3、（2024·福建福州·二模）用一条长的绳子围成一个面积为的长方形，设该长方形一边长为，则下列符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该长方形一边长为，则长方形的另一边长为，再根据长方形面积计算公式列出对应的方程即可．
【详解】解：设该长方形一边长为，则长方形的另一边长为，
由题意得，，
故选：C．
4、（2024·福建龙岩·二模）已知关于x的不等式组，至少有两个整数解，且存在以2，a，5为边的三角形，则a的整数解有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，熟练掌握根据不等式组的整数解求参数取值范围和三角形三边关系是解题的关键．先根据不等式组的整数解和三角形三边关系分别求出的取值范围，再根据为整数求出的值即可求解．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
关于x的不等式组，至少有两个整数解，
至少有两个整数解为，
，
存在以2，a，5为边的三角形，
，即，
，
a的整数解只有6，共1个．
故选：B．
5、（2024·福建漳州·一模）《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为54cm，宽为27cm的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是11：20，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少cm？设边框的宽度为xcm，下列符合题意的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可．
【详解】装裱后的长为cm，宽为cm，根据题意，得
．
故选：D．
6、（2024·福建福州·模拟预测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设每个支干长出x个小分支，则主干生出x个小分支，而x个小分支每个又生出x个小分支，所以一共有个，从而可得答案.
【详解】解：设每个支干长出x个小分支，则
故选B
7、（2024·福建·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.
【详解】设合伙人数为人，依题意，得：．
故选B．
8、（2024年福建省泉州市中考一模）现代办公纸张通常以等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可裁成2张纸或4张纸．现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
本题考查了二元一次方程组，能够正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据题目给定的信息，即可列出二元一次方程组．
【详解】解：设可裁成纸张，纸张，
由题意可知，可列二元一次方程组，
故选：D．
9、（2024·福建南平·一模）关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（ ）
A．0B．1或C．D．1
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程即可求得a的值，本题得以解决．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是0，
∴，
解得，，
故选：B．
10、（2024·福建三明·模拟预测）关于的一元二次方程中的满足，则下列选项一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由可得一元二次方程至少有一个实数根为，进而可得判别式．解答的关键是熟知一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
【详解】解：∵，
∴一元二次方程至少有一个实数根为，
∴，
故选：C．
11、（2024·福建福州·模拟预测）冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有2只动物被感染，后来经过两轮感染后共有242只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意易得第一轮后被感染的动物的数量为只，第二轮后被感染的动物的数量为只，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：第一轮后被感染的动物的数量为，第二轮后被感染的动物的数量为
则列方程为，
故选C．
12、（2024·福建·模拟预测）为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意、找到等量关系成为解题的关键．
由汽车及骑车师生速度间的关系可得出汽车的速度为，再利用“时间、路程、速度”的关系以及等量关系“他们同时达到”列出关于x的分式方程即可．
【详解】解：∵汽车的速度是骑车师生速度的3倍，且骑车师生的速度为，
∴汽车的速度为，
根据题意得：．
故选：B．
13、（2024·福建·模拟预测）如果是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（ ）
A．7B．5C．3D．1
【答案】B
【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握是解答本题的关键；
根据根与系数的关系可得，再将所求式转化，代入数据计算即可．
【详解】是一元二次方程的两个实数根，
故选：B．
14、（2023·福建·中考真题）已知，且，则的值为 ．
【答案】1
【分析】根据可得，即，然后将整体代入计算即可．
【详解】解：∵
∴，
∴，即．
∴．
15、（2024·福建·模拟预测）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令，
等式两边都乘以x，得．①
等式两边都减，得．②
等式两边分别分解因式，得．③
等式两边都除以，得．④
等式两边都减m，得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ．
【答案】④
【分析】根据等式的性质2即可得到结论．
【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，
∴第④步等式两边都除以，得，前提必须为，因此错误；
故答案为：④．
16、（2024·福建福州·二模）某家商店的账目记录显示，卖出26支A型牙刷和14盒B型牙膏，收入是264元．若以同样的价格卖出同款的39支牙刷和21盒牙膏，则收入应是 ．
【答案】396元
【分析】本题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，设一支A型牙刷收入x元，一盒B型牙膏收入y元，根据26支A型牙刷和14盒B型牙膏，收入264元建立方程通过变形就可以求出的值．
【详解】解：设一支A型牙刷收入x元，一盒B型牙膏收入y元，由题意，得
，
化简得：，
则，
所以，收入应该是396元，
故答案为：396元．
17、（2024·福建厦门·模拟预测）有一条长的卷尺．若在刻度4处折叠（如图1所示），折叠后，在重叠部分刻度为2和6的位置用剪刀剪开（如图2所示），可将该卷尺剪成三段．若小桐将该卷尺在刻度30处折叠，并在整数刻度处剪开，她剪下的三段卷尺中的两段，其中一段是另一段的3倍，则剪开处的刻度可以是 ．（写出其中一种即可）
【答案】12和48或25和35或9和51（写出其中任意一组即可）
【分析】设在重叠部分刻度为和的位置用剪刀剪开，则剪下的三段卷尺的长分别为，，，任取两段，根据其中一段是另一段的3倍，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再取其符合题意的值代入中，即可求出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设在重叠部分刻度为和的位置用剪刀剪开，则剪下的三段卷尺的长分别为，，
①取 ，，则或，
解得：（不符合题意，舍去）或，
，
剪开处的刻度可以是12和48；
②取，，则或，
解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）；
③取，，则或，
解得：，，
当时，；
当时，，
剪开处的刻度可以是9和51，25和35．
故答案为：9和51，12和48，25和35（任写一种即可）．
18、（2024·福建龙岩·二模）定义新运算：，若，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义下的运算，异分母的加法，解题的关键是正确理解题目所给新运算的运算顺序和运算法则．根据题目所给的运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
则．
故答案为：．
19、（2024·福建漳州·一模）已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了解含字母系数的二元一次方程组，先将两式相加求出，再整体代入得出答案．
【详解】，
，得，
即．
∵，
∴，
解得．
故答案为：1．
20、（2024·福建·模拟预测）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= ．
【答案】/-0.125
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．
【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0时，
∴m=不合题意，
故答案为：．
21、（2024·福建泉州·一模）若实数满足，则的值为 ．
【答案】/0.25
【分析】本题考查解分式方程．
将，整理得，代入中即可求解．
【详解】解：，
，
将代入中得．
故答案为．
22、（2024·福建·模拟预测）《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是 步．
【答案】6
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【详解】解：根据勾股定理得：斜边为=17，
设内切圆半径为r，由面积法
r= 3（步），即直径为6步，
故答案为：6．
23、（2024·福建·模拟预测）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是平方步，其中长与宽和为步，问长与宽各多少步？若设长为步，则可列方程是 （方程化为一般形式）．
【答案】
【分析】设长为步，则宽为步，根据题意列出一元二次方程，最后化为一般形式即可求解．
【详解】设长为步，则宽为步，根据题意，可列方程为，
整理得：
故答案为： ．
24、（2024·福建宁德·一模）福安葡萄享有“北有吐鲁番，南有闽福安”的美誉，某农场分别种植甲、乙两种葡萄，去年甲种葡萄总产量3万千克，乙种葡萄总产量2万千克，原计划甲、乙两种葡萄都按元/千克出售，实际因成熟时间不同，甲种葡萄8折出售，乙种葡萄加价3元出售，实际总收入与计划总收入相同．
(1)求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价分别是多少元？
(2)今年农场改进技术，两种葡萄品质提升、产量增加，农场准备在去年实际售价的基础上，单价都增加元（）后全部出售给某经销商，该经销商提供了以下两种收购方案：
方案一：甲、乙两种葡萄都按产量万千克收购；
方案二：甲、乙两种葡萄都按总价万元收购．
通过计算甲、乙两种葡萄的总平均单价，说明农场选用哪种方案合算．
【答案】(1)甲种葡萄的实际销售单价是8元，乙种葡萄的实际销售单价是元
(2)农场选择方案一合算，见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式．熟练掌握一元一次方程的应用，列代数式是解题的关键．
（1）根据题意，得，计算求解，进而可求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价；
（2）由题意知，方案一的平均单价为． 方案二的平均单价为，比较大小，然后作答即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
解得，
∴甲种葡萄的实际销售单价为（元），
乙种葡萄的实际销售单价为（元）．
答：甲种葡萄的实际销售单价是8元，乙种葡萄的实际销售单价是元．
（2）解：由题意知，方案一的平均单价为．
方案二的平均单价为，
∵．
∴农场选择方案一更合算．
25、（2024·福建三明·二模）随着电动汽车的迅猛发展，我国已成为全球最大的电动汽车市场，在很多高速公路服务区里既有加油站同时又配有充电桩．
(1)在某个服务区，电动汽车的充电桩数量是燃油汽车加油枪数量的1.5倍，统计发现：在1个小时内，平均每个充电桩可以为2辆电动汽车充电，平均一个加油枪可以为10辆燃油汽车加油，这样在这1小时内可以为104辆汽车提供充电、加油服务．那么这个服务区的充电桩和加油枪分别有多少个？
(2)一般情况下，在高速公路上行驶时电动汽车平均每公里所耗电费比燃油汽车平均每公里所耗油费少0.6元．若两位车主在服务区分别花60元给电动汽车充电、花300元给燃油汽车加油，电动汽车可行驶的里程与燃油汽车可行驶的里程相等，那么电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为多少元？
【答案】(1)这个服务区的充电桩有个，加油枪分别有个
(2)电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为元
【分析】本题考查二元一次方程 组的应用，分式方程的应用，找出等量关系并列出方程是解题的关键．
（1）基本关系：电动汽车的充电桩数量=燃油汽车加油枪数量×1.5，充电桩的数量×2+加油枪数量，据此列方程组求解即可；
（2）根据电动汽车可行驶的里程与燃油汽车可行驶的里程相等建立分式方程，求解即可．
【详解】（1）解：设这个服务区的充电桩有个，加油枪分别有个，根据题意列方程，
，
解得：，
答：这个服务区的充电桩有个，加油枪分别有个．
（2）解：电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为元，则燃油汽车平均每公里所耗油费元，根据题意列方程，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为元．
26、（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地．
(1)求小美每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【答案】(1)小美每分钟跑360米
(2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟
【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键．
（1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可；
（2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，
根据题意，得，
解得：，
经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意，
则，
答：小美每分钟跑360米．
（2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，
根据题意，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟．
27、（2024·福建·模拟预测）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元
(2)当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；
（2）设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，列出关于的函数关系式，求出函数的最值即可．
【详解】（1）解：设种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元，
根据题意得，，
解得，
故种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）解：设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，
根据题意得，
，
∵，
∴当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方程组是解题的关键．
28、（2024·福建南平·一模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，此方程总有实数根；
(2)若直角三角形的一边长为3，另两边长恰好是这个方程的两根，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程解法，以及根的判别式，勾股定理：
（1）先通过因式分解解方程，从而可得到两个因式的积为，从而可求解；
（2）由（1）求出方程的两个根为，，可得该三角形斜边只能为k，再由勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：证明：∵，，，
∴

所以无论为何值，此方程总有实数根；
（2）解：解方程
由（1）得
所以
解得，，
因为直角三角形的另两边长恰好是这个方程的两根，
所以这个直角三角形的三边长分别是3、3、k，
所以该三角形斜边只能为k
∴．
29、（2024·福建·模拟预测）（2013年四川绵阳12分）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．
（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
【答案】（1）四月份的销量为125辆；（2）该商城应购进34辆A型车和13辆B型车．
【分析】(1)、首先设平均增长率为x，然后根据增长率的问题列出一元二次方程，从而求出x的值，得出四月份的销量；
(2)、设购进A型车y辆，则购进B型车辆，根据A型车和B型车之间的关系得出y的取值范围，根据题意列出利润与x的函数关系式，根据函数的增减性得出答案.
【详解】解：（1）设平均增长率为x，根据题意得：
64（1+x）2=100
解得：x=0.25=25%或x=﹣2.25（舍去）．
四月份的销量为：100（1+25%）=125辆．
答：四月份的销量为125辆．
（2）设购进A型车y辆，则购进B型车辆，
根据题意得：，
解得：30≤y≤35．
利润，
∵50＞0，
∴W随着y的增大而增大．
当y=35时，不是整数，故不符合题意，
当y=34时，=13，符合题意．
答：为使利润最大，该商城应购进34辆A型车和13辆B型车