辽宁省铁岭市昌图县2023-2024学年七年级下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题 （本题共 10小题，共30分）
1. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键．
2. 如图， 直线、相交于点O，若， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．
根据对顶角相等求出，再根据互为邻补角的两个角的和等于列式计算即可得解．
详解】解：，（对顶角相等），
，
与互为邻补角，
．
故选：C．
3. 花粉质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为，将用科学记数法表示为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：B．
4 一副三角尺如图所示放置， 其中，则（ ）度．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行线性质的简单运用．另外，一定要把一副三角尺各角的度数作为常识牢记于心．
利用平行线的性质和三角尺各角的度数进行计算即可．
【详解】解：，
．
．
故选：B．
5. 下列图形中，由能得到的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定；
根据平行线的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：A.由不能得出，不符合题意；
B.由不能得出，不符合题意；
C.由，根据内错角相等，两直线平行可以得出，不能得出，不符合题意；
D.由，根据内错角相等，两直线平行可以得出，符合题意；
故选：D．
6. 如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为，，则的值是（ ）
A. B. C. 27D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多项式的乘法运算及整式的加减运算；由两根铁丝长度相同，求出乙长方形的长，分别计算出，，则可计算．
【详解】解：由于两根铁丝长度相同，乙长方形的长为，
则，，
∴；
故选：D．
7. 如果a＝（﹣0.1）0，b＝（﹣0.1）﹣1，c＝（﹣）﹣2，那么a，b，c的大小关系为（ ）
A. a＜b＜cB. b＜a＜cC. c＜a＜bD. b＜c＜a
【答案】D
【解析】
【分析】根据零指数幂：a0＝1（a≠0），负整数指数幂：（a≠0，p为正整数）进行计算，再比较即可．
详解】解：a＝（﹣0.1）0＝1，
b＝（﹣0.1）﹣1＝﹣10，
c＝，
∵﹣10＜＜1，
∴b＜c＜a，
故选D．
【点睛】此题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，关键是掌握计算公式．
8. 如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中，是（ ）

A. 以点C为圆心、OD的长为半径的弧
B. 以点C为圆心、DM的长为半径的弧
C. 以点E为圆心、DM的长为半径的弧
D. 以点E为圆心、OD的长为半径的弧
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断．
【详解】解：由作图可知作图步骤为：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧DM，分别交OA，OB于M，D．
②以点C为圆心，以OM为半径画弧EN，交OA于E．
③以点E为圆心，以DM为半径画弧FG，交弧EN于N．
④过点N作射线CP．
根据同位角相等两直线平行，可得CP∥OB．
故选C．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9. 如果（x+1）（3x+a）的乘积中不含x的一次项，则a为（ ）
A. 3B. ﹣3C. D. ﹣
【答案】B
【解析】
【分析】先对（x+1）（3x+a）进行化简，然后再根据乘积中不含x的一次项建立方程求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∵乘积中不含x的一次项，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键．
10. 已知 ，若 ，则的值为（ ）
A. 51B. C. 15D.
【答案】A
【解析】
【分析】把和的值代入式子中进行计算，即化简，再根据绝对值和偶次方的非负性，求出a、b值，然后代入化简式计算即可．
【详解】解： ，，
；
，
，，
，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，平方差公式，绝对值和偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
二、填空题 （本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若x2﹣y2=12，x+y=4，则x﹣y=_________．
【答案】3
【解析】
【详解】由题意得：x2﹣y2=(x+y)(x-y)，
∵x2﹣y2=12，x+y=4，
∴x﹣y=3
12. 已知：OA⊥OC，∠AOB：∠BOC＝1：3，则∠BOC的度数为 _____________．
【答案】67.5°或135°
【解析】
【分析】分两种情况进行解答，即OB在∠AOC的内部和外部，设未知数列方程求解即可．
【详解】解：∵OA⊥OC，
∴∠AOC＝90°，
由于∠AOB：∠BOC＝1：3，设∠AOB＝x，则∠BOC＝3x，
当OB在∠AOC的内部时，如图1，
有∠AOB+∠BOC＝∠AOC＝90°，
即x+3x＝90°，
解得x＝22.5°，
∴∠BOC＝3x＝67.5°，
当OB在∠AOC的外部时，如图2，
有∠BOC﹣∠AOB＝∠AOC＝90°，
即3x﹣x＝90°，
解得x＝45°，
∴∠BOC＝3x＝135°，
故答案为：67.5°或135°．
【点评】本题考查垂线，角的计算，通过图形直观得到角的和差关系是解决问题的关键．
13. 某代数式 可以表示为 的形式，则的值为___________________．
【答案】11
【解析】
【分析】此题主要考查了整式的混合运算与化简，根据已知得出是解题关键．
利用，将原式进行化简，得出，值，进而得出答案．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：11．
14. ___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方法则的逆用，熟练掌握幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方法则的逆用是解题的关键．
先逆用幂的乘方，将化成，再逆用同底数幂相乘法则化成，然后逆用积的乘方法则将原式化成，计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
15. 如图，C岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，则的大小是___________度．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得：，根据平行线的性质可得，即可求出，再根据三角形的内角和定理求解．
【详解】解：由题意得：，
∵，
∴，
即，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了方位角、平行线的性质以及三角形的内角和定理等知识，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是关键．
三、解答题(本题共8小题，共75分)
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合计算，幂的混合计算：
（1）先根据单项式乘以多项式的计算法则和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案；
（2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘除即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 求值：，其中，．
【答案】
【解析】
【分析】先根据乘法公式展开，再合并同类项，计算除法，最后代入求出即可．
【详解】解：
当、时，
原式．
【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及代数式的求值是解题的关键．
18. 完成下列填空：
如图，已知，，．试说明：．
解：因为，（已知），
所以（__________）
所以________________（________）．
所以（_________）．
又因为（已知），
所以________（等量代换）．
所以（________）．
【答案】垂直的定义；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．根据平行线的判定与性质即可完成推理过程．
【详解】解：因为，（已知），
所以（垂直的定义），
所以（同位角相等，两直线平行），
所以（两直线平行，同位角相等）．
又因为（已知），
所以（等量代换）．
所以（内错角相等，两直线平行）．
19. 如图，．

（1）若，求的度数；
（2）若，求证：．
【答案】（1）；
（2）证明见详解；
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质：
（1）根据得到求解即可得到答案；
（2）连接，根据得到，根据得到，即可得到证明；
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∵，，
∴．
20. 某市有一块长 ，宽 的长方形地块，如图所示，城市规划部门计划在中间正方形地上修建泳池，其余部分（阴影）进行绿化，已知中间正方形的边长为
（1）绿化的面积是多少平方米?（用含字母a、b的式子表示）
（2）求出当 时的绿化面积．
【答案】（1）平方米
（2）2720平方米
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，代数式求值：
（1）绿化面积大长方形面积中间空白部分正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果；
（2）将a与b的值代入计算即可求出对应的值．
【小问1详解】
解：
平方米．
答：绿化面积是平方米；
【小问2详解】
解：当，时，
（平方米)．
答：绿化面积是平方米．
21. 如图，点E在上，点F在上，、分别交于点G、H，已知，．
（1）与平行吗？请说明理由；
（2）若，且，求的度数．
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，能够灵活运用平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据对顶角相等并结合题意得到，即可判定；
（2）根据邻补角的定义并结合题意推出，根据平行线的性质求解即可．
【小问1详解】
解： ，理由如下：
，，，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
，
，，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
，
．
22. （1）知识探究：，，，……，上述括号按顺序填写为_____、______、_____；
（2）发现规律：试写出第n个等式，并证明此等式成立；
（3）拓展应用：计算．
【答案】（1）0，1，2；（2），证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）计算出各个式子的值即可；
（2）根据（1）中式子的特点，可以写出第个等式，然后再计算，即可说明第个等式成立；
（3）先设，则，然后错位相减，即可得到所求式子的值．
【详解】解：（1），，，，
故答案为：0，1，2；
（2）第个等式是，
理由：
，
第个等式是；
（3）设，则，
，
即．
23. 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线 m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角．
（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线沿直线m进入潜望镜，最后沿直线n射出，求证：．
（2）显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线n和光线m平行， 且 则
（3）请你猜想：图3中， 当两平面镜 、的夹角 时，可以使任何入射光线m经过平面镜、的两次反射后，与反射光线n平行，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质，关键是对性质定理和判定定理的熟练掌握和灵活运用．
（1）先由得出，再根据已知得出，从而得出；
（2）先由，求出，再根据，得出；
（3）根据平行线的性质得出，根据平角定义求出，由，，得出，根据三角形内角和定理得出结论．
【小问1详解】
证明：∵（已知），
（两直线平行，内错角相等），
，（已知），
（等量代换），
，
即：，
∴（内错角相等，两直线平行）．
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
故答案为：96；
【小问3详解】
解：
理由：∵，
，
，
，，
，
．