山东省淄博市高青县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列命题中是假命题的是（ ）
A. 两点之间，线段最短B. 同旁内角互补
C. 等角的补角相等D. 垂线段最短
【答案】B
【解析】
【分析】根据线段、垂线段的公理、平行线的性质以及补角的性质判断即可．
【详解】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
C、等角的补角相等，是真命题；
D、垂线段最短，是真命题；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2. 华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前5位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
最后一个数字可能是中任一个．总共有十种情况，其中解锁只有一种情况．利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：一次解锁该手机密码的概率是．
故选：B．
3. 已知二元一次方程组，则的值是（ ）
A. 9B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据加减法解方程组即可．
【详解】解：，
①-②得，-m-n=-3，
∴m+n=3，
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，正确掌握解方程组的方法是解题的关键．
4. 如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求解的坐标，再利用一次函数的交点坐标即是二元一次方程组的解，从而可得答案．
【详解】解：把代入



关于x，y的方程组的解为
故选：
【点睛】本题考查的是一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系，掌握二元一次方程组的解是两个一次函数的交点坐标是解题的关键．
5. 将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，直角三角板，先得出，再根据平行线的性质得出，进而根据，得出答案．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
故选：C．
6. 在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他整别，这个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0．2左右，则的值约为（ ）
A. 12B. 15C. 18D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
答：a的值为；
故选：B．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
7. 如图，函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】解：当时，，
解得，则点P的坐标为，
所以关于x，y的二元一次方程组中的解为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
8. 如图，a//b，的直角顶点C在直线b上．若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角形内角和可求出∠B，再根据平行可知∠4=∠2，进而求出∠3，再由平行可知∠1=∠3．
【详解】解：如图，过点B作BD∥a，
∵a∥b，
∴BD∥b，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°-∠A=90°-43°=47°，
∵BD∥b，
∴∠4=∠2=25°，
∴∠3=∠ABC-∠4=47°-25°=22°，
∵BD∥a，
∴∠1=∠3=22°．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
9. 我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，列出二元一次方程组，即可求解，本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是：正确理解题意，列出等量关系．
【详解】解：由“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，”可列式：，
由“如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，”可列式：，
根据题意可列二元一次方程组：，
故选：．
10. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于，下面说法正确的是（ ）
①的面积的面积；②；③；④．

A. ①②③④B. ①②③C. ②④D. ①③
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④．
【详解】是中线，
，
的面积的面积等底等高的三角形的面积相等，故正确；

是角平分线，
，
为高，
，
，
，，
，
，，
，故正确；
为高，
，
，
，，
，
是的平分线，
，
，
即，故正确；
根据已知条件不能推出，即不能推出，故错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11. 已知二元一次方程组，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】直接由②-①即可得出答案．
【详解】原方程组为，
由②-①得．
故答案为：1．
【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解．
12. 如图，在中，是的平分线，过点的射线与平行，若，，则______．

【答案】##45度
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，最后利用平行线的性质可得．
【详解】解：，，
，
是的平分线，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13. 已知一组数据有50个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是10，5，7，6，第五组的频率是0.2，则第六组的频数是_________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据频数之和等于总数，总数乘以频率等于频数，进行求解即可．掌握总数乘以频率等于频数，是解题的关键．
【详解】解：∵第五组的频率是0.2，
∴第五组的频数为，
∴第六组频数是；
故答案为：12．
14. 如图所示的折线图形中，______．
【答案】85°##85度
【解析】
【分析】连接BC，根据三角形内角和定理可得∠1+∠2=140°，再由四边形的内角和等于360°，即可求解．
【详解】解：如图，连接BC，
∵∠E+∠1+∠2=180°，∠E=40°，
∴∠1+∠2=140°，
∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，∠A=70°，∠D=65°，
∴ ．
故答案为：85°
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°是解题的关键．
15. 在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】79
【解析】
【分析】根据题意设小长方形的长为x，宽为y，按照大长方形的长和宽的等量关系列出二元一次方程组进行求解，进而求解阴影部分的面积即可.
【详解】设小长方形的长为x，宽为y，
，
解得：，
则，
故答案为：79.
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际问题，准确掌握大小长方形长与宽的等量关系列式求解是解决本题的关键.
三、解答题（共8小题，共90分）
16. 解方程组：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据代入消元法即可求解，（2）先化简方程组，再用代入消元法即可求解.
【详解】（1）解：
由①得：，
将③代入②得：
将代入③得：
是原方程组的解．
（2）解：
由①×6得：
由③得
将④代入②得：
将代入④得：
原方程组的解
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知代入消元法的运用.
17. 如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若．

（1）求证：．
（2）若，平分，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
（1）根据两直线平行，同位角相等可得，推得，根据同位角相等，两直线平行即可证明；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角的平分线可得，根据三角形内角和是即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴．
故的度数为．
18. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球． 其中红球3个， 白球5个， 黑球若干个， 若从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）小明从盒子里取出个白球 (其他颜色球的数量没有改变)， 使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出的值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）由白球的概率可求得盒子里的总球数，进而求得黑球数，则可求得黑球的概率；
（2）由红球的概率可得关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【小问1详解】
解：球总数（个），
黑球个数（个） ，
∴任意摸出一个球是黑球概率为；
【小问2详解】
由题意得：，
解得，
经检验：是方程的解，
∴m的值为3．
【点睛】本题考查了求简单事件的概率，清楚所有可能结果数及事件发生时的可能结果数是解题的关键．注意概率公式的变形运用．
19. 为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【答案】（1）参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆
（2）租14辆45座客车较合算
【解析】
【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）由（1）结论求出所需费用比较即可．
【小问1详解】
解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆
依题意得
解得：，
答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；
【小问2详解】
∵要使每位师生都有座位，
∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，
，，
∵
∴租14辆45座客车较合算．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键．
20. 定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”.
（1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：______
（2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值.
【答案】20.
21. ，．
【解析】
【分析】（1）本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解，理解概念即可解题．
（2）本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解和解二元一次方程，根据概率得出的“反对称二元一次方程”，再将m，n代入这两个二元一次方程求解，即可解题．
【小问1详解】
解：由题知，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，
故答案为：．
【小问2详解】
解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，
又二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，
，解得，
，．
21. 阅读并填空．将三角尺（，）放置在上（点P在内），如图①所示，三角尺的两边、恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：若，则______度；______度；
（2）类比探索：求，，关系，并说明理由；
（3）变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在外，三角尺的两边、仍恰好经过点B和点C，求，，的关系，并说明理由．
【答案】（1）90；40
（2），理由见解析
（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查三角形内角和定理的应用．
（1）利用三角形内角和定理即可解决问题．
（2）结论：．利用三角形内角和定理即可证明．
（3）结论：．利用三角形内角和定理即可解决问题．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
故答案为：90，40；
【小问2详解】
解：结论：，
证明：，
，
，
．
故答案为：；
【小问3详解】
解：结论：，
理由是：设交于，如图

，
，即，
，
故答案为：．
22. 小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水杯、大球和小球进行了如下操作.请根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入1个小球水面升高______，放入1个大球水面升高______；
（2）如果小明想在水杯中放入大球、小球共10个，并限定水面高不超过，则至少放入多少个小球？
【答案】（1），
（2）个
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，找准数量关系列不等式是解题的关键．
（1）根据3个小球使水位升高了，2个大球使水位升高了进行解答；
（2）设应该放入x个大球，y个小球，根据图示中的关系列不等式，并解答．
【小问1详解】
解：放入1个小球水面升高，
放入1个大球水面升高，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：放入个小球，则
，
解得：，
∴至少放入个小球．
23. 【问题情境】已知，，平分交于点G．
【问题探究】（1）如图1，，，．试判断与的位置关系，并说明理由；
【问题解决】（2）如图2，，，当时，求的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若，试说明．
【答案】（1），理由见解析（2）（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质:
（1）根据平行线的判定得，再根据平行线的性质、角平分线定义及角的和差计算可得角相等，最后根据内错角相等判定两条直线平行；
（2）根据平行线的判定和性质得的度数，再运用角平分线定义计算求得的度数，进一步求得的度数，最后根据平行线的判定得，即可得出结论；
（3）分析思路同（2），只是把具体角的度数抽象为字母表示，通过列方程即可得出三者之间的关系．
【详解】解：（1），理由如下：
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故与的位置关系是．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
即的度数为．
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
45
60
租金（元/辆）
200
300