山西省太原市2024届高三下学期模拟考试(二)数学试卷(含答案与解析)

这是一份山西省太原市2024届高三下学期模拟考试(二)数学试卷(含答案与解析)，共5页。
（考试时间：下午）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
2．回答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上。
3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，对应的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．某校高二年级学生中有的学生喜欢打篮球，的学生喜欢打排球，的学生喜欢打篮球或排球．在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球，则他也喜欢打排球的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，，则（ ）
A．9B．9或18C．13D．13或37
6．已知圆锥的顶点为，底面圆的直径，，则该圆锥内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知的内角的对边分别是，若，，，则（ ）
A．5B．4或5C．6D．4或6
8．已知函数若方程恰有三个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分：
9．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的周期
C．图象关于点对称D．在区间上递减
10．已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．是递增数列B．是等比数列
C．当是偶数时，D．，使得
11．已知两定点，，动点满足条件，其轨迹是曲线，过作直线交曲线于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．取值范围是
B．当点不共线时，面积的最大值为6
C．当直线斜率时，平分
D．最大值为
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数的单调递增区间是______．
13．（本小题第一空2分，第二空3分）为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本的均值为170，方差为15，女生样本的均值为160，方差为30，则由上述数据计算该校高一年级学生身高的均值是______，方差是______．
14．已知双曲线的右焦点是，动点在上．若过点作的切线与直线相交时，记其交点为，恒成立，则的取值范围为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
一款便携式行李箱的密码是由数字组成的一个五位数，这三个数字的每个数字在密码中至少出现一次，且它们出现的概率相等．
（1）求该款行李箱密码的不同种数；
（2）记表示该款行李箱密码中数字1出现的次数，求的分布列和数学期望．
16．（本小题满分15分）
已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线经过点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若是抛物线上两个动点，在轴上是否存在定点（异于坐标原点），使得当直线经过点时，满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（本小题满分15分）
如图，在多面体中，底面是正方形，平面平面，是边长为8的正三角形，，且，点分别是的中点．
（1）设与平面相交于点，求的值；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
18．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数在上有零点，求实数的取值范围．
19．（本小题满分17分）
已知两个非零向量，将向量绕着它的起点沿逆时针方向旋转弧度后，其方向与向量的方向相同，则叫做向量到的角．已知非零向量到的角为，数量叫做向量与的运算，记作，即．根据此定义，不难证明以下性质：①；②；③．
（1）利用以上性质证明：；
（2）设到的角为，定义．当时，则表示面积；当时，则表示面积的相反数．利用上述定义和性质证明：
①如图，四边形的两边延长相交于点，对角线的中点为，求证：四边形的面积等于的面积的4倍；
②在平面直角坐标系中，记向量，，各顶点坐标分别为，，，求证：面积为．