专题04 基本不等式及其应用 -2024年新高考数学艺术生突破90分精讲

这是一份专题04 基本不等式及其应用 -2024年新高考数学艺术生突破90分精讲，文件包含专题04基本不等式及其应用原卷版docx、专题04基本不等式及其应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题04 基本不等式及其应用
【知识点梳理】
1、基本不等式
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；
基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号．
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．
【方法技巧与总结】
1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．
特例：（同号）．
（3）其他变形：
①（沟通两和与两平方和的不等关系式）
②（沟通两积与两平方和的不等关系式）
③（沟通两积与两和的不等关系式）
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知．
（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．
（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立．
【典型例题】
例1．（2024·北京大兴·高三统考期末）已知且，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2024·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若，则
B．若x＞0，y＞0，则
C．若x＜0，则
D．若x＜0，则
例3．（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知正数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
例4．（2024·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．12D．13
例5．（2024·甘肃武威·高三统考期末）若，且，则的最小值为（ ）
A．6B．9C．4D．8
例6．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例7．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知正实数m，n满足，则的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
例8．（2024·山西运城·高三校考期末）某合作社需要分装一批蔬菜．已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成．为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕．由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装．已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗．根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克．则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（ ）
A．10B．15C．30D．45
例9．（2024·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知，向量，则的最大值为 .
例10．（2024·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为 ．
例11．（2024·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最小值为 ．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·全国·高三专题练习）若，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·全国·高三专题练习）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·广东·高三学业考试）已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．（2024·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）若，，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．3D．8
5．（2024·陕西西安·统考一模）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·全国·高三专题练习）下列函数中，最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·陕西商洛·统考模拟预测）设某批产品的产量为（单位：万件），总成本（单位：万元），销售单价（单位：元/件）．若该批产品全部售出，则总利润（总利润销售收入-总成本）最大时的产量为（ ）
A．7万件B．8万件C．9万件D．10万件
8．（2024·全国·高三专题练习）已知，则m，n不可能满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024·全国·高三专题练习）已知，，且，则ab的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
二、多选题
10．（2024·全国·高三专题练习）十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远．若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·全国·高三专题练习）已知，若，则（ ）
A．B．
C．的最小值为8D．的最大值为
12．（2024·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考开学考试）已知，若，则（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最小值为8
13．（2024·山东聊城·高三统考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小值为4
B．若，则的最小值为4
C．若，，，则的最大值为1
D．若，，且满足，则的最小值为
14．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）若，则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
15．（2024·甘肃·高三统考阶段练习）已知，若，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为1
C．的最小值为8D．的最小值为
16．（2024·山东枣庄·高三枣庄八中校考阶段练习）已知正数a，b满足，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为4D．的最小值为2
17．（2024·广东湛江·高三统考期末）下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为2
C．若，则的最大值为2
D．若，则
18．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）设，，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
19．（2024·全国·高三专题练习）若正数，满足，则的最小值为 ．
20．（2024·全国·高三专题练习）函数的最小值为 ．
21．（2024·全国·高三专题练习）函数 的最大值为 .
22．（2024·全国·高三专题练习）已知正数x、y满足，求的最小值为 ；
23．（2024·江苏无锡·高三江苏省江阴长泾中学校考阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为 .
24．（2024·全国·高三专题练习）某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为平方米的泳池，池的深度为米，池的四周墙壁建造单价为每米元，中间一条隔壁建造单价为每米元，池底建造单价每平方米元(池壁厚忽略不计)．则泳池的长设计为 米时，可使总造价最低．