专题06 函数的概念 -2024年新高考数学艺术生突破90分精讲

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题06函数的概念
【知识点梳理】
1、函数的概念
（1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为．
（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．
（3）函数表示法：函数书写方式为，
（4）函数三要素：定义域、值域、对应法则．
（5）同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同．
2、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围； = 2 \* GB3 ②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
3、基本初等函数的值域
（1）的值域是．
（2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
（3）的值域是．
（4）且的值域是．
（5）且的值域是．
4、分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．
【典型例题】
例1．（2024·山东潍坊·高三阶段练习）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据函数定义，在定义域内，对于任意的，只能有唯一确定的与其对应，ABC满足要求，
D选项，在定义域内对于，有两个确定的与其对应，D错误．
故选：D
例2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，且，则实数的值等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】令，解得或由此解得，
故选：D
例3．（2024·全国·模拟预测）设函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，，解得函数满足，解得，
即函数的定义域为.
故选:A
例4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由函数的定义域为，得，
因此函数中，，解得或，
所以函数的定义域为.
故选：D
例5．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，则实数k的取值范围为（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，恒成立，
当时，即，很显然不满足，
当时，有，解得.
综上可得，.
故选：B
例6．（2024·全国·高三专题练习）已知是一次函数，且，则的解析式为
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【解析】设，由题意可得，即
，求出和的值，即可得的解析式．设，则，
即对任意的恒成立，
所以，解得：或，
所以的解析式为或，
故选：A
例7．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）下列各项不能表示同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】ABD
【解析】对于A:定义域为，定义域为，A不能表示同一个函数,A选项正确；
对于B:与解析式不同，B不能表示同一个函数，B选项正确；
对于C:解析式及定义域都相同，C选项是同一函数，C选项不正确；
对于D:定义域为，定义域为，D不能表示同一个函数，D选项正确；
故选:ABD.
例8．（多选题）（2024·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数，若，则实数a的值可以是（ ）
A．1B．C．5D．
【答案】BC
【解析】当时，，解得；
当时，，解得，又，所以舍去．
综上所述，或．
故选：BC
例9．（2024·全国·模拟预测）若函数满足关系式，则 .
【答案】6
【解析】因为，所以，
解得，所以.
故选：6
例10．（2024·北京房山·高三统考期末）函数的定义域是 .
【答案】
【解析】由题意可得、，故且，
故该函数定义域为.
故答案为：.
例11．（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的最值．
(1)的最大值．
(2)的最大值．
【解析】（1）
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是.
（2）设，则，
，
当且仅当，即，即时，等号成立．
故的最大值为.
例12．（2024·全国·高三专题练习）求值域(用区间表示)：
(1)，①；②；
(2)；
(3).
【解析】（1），
①当时，，
∴值域为[7，28]；
②当时，，
∴值域为[3，12]．
（2）令，则，
因为，所以，即，
所以函数的值域为；
（3），
因为，所以
所以函数的值域为(∞，1)∪(1，+∞).
例13．（2024·天津河西·高三统考期中）已知函数.
(1)当时，求的值域；
(2)若的定义域为，求实数的值；
(3)若的定义域为，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，
所以的值域为.
（2）因为的定义域为，
所以-2和1是方程的两个根，
故，解得，检验符合，故,.
（3）当时，，定义域为，符合题意；
当时，，定义域不为，不符合题意；
当时，由题意，在上恒成立，
令，解得，
综上所述，实数的取值范围.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，将换成，可得，
即，
联立方程组，解得，
所以.
故选：B.
2．（2024·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）十九世纪下半叶集合论的创立．奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集．（Cantr）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；…．如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段．操作过程不断地进行下去．以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”．第三次操作后，从左到右第四个区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】第一次操作剩下：；
第二次操作剩下：；
第三次操作剩下：；
即从左到右第四个区间为.
故选：C.
3．（2024·山东滨州·高三校考阶段练习）已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为定义域为，所以的定义域为，解得，
由分母不为，得，即，所以函数定义域为：.
故选：.
4．（2024·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为，
所以满足，即，
又，即，
所以，解得.
所以函数的定义域为.
故选：D.
5．（2024·陕西汉中·高三校联考阶段练习）函数的定义域为，则的取值范围为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】C
【解析】由函数的定义域为，得对恒成立．
当时，恒成立；
当时，，解得．
综上所述的取值范围为．
故选：C．
6．（2024·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，，不等式恒成立，
当时，恒成立，则，
当时，有，解得，则，因此
所以的取值范围是.
故选：C
7．（2024·宁夏固原·高三校考阶段练习）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为，
所以该函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，
所以，即函数的值域为.
故选：B.
8．（2024·全国·高三对口高考）已知函数的值域是，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，画出图像，如图所示，
令，则，解得或，
令，则，解得（舍去）或，
对于A：当时，结合图像，得，故A错误；
对于B：当时，结合图像，得，故B错误；
对于C：当时，结合图像，得，故C错误；
对于D：当时，结合图像，得，故D正确；
故选：D．
9．（2024·全国·高三对口高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，，
∵，则，
又∵，
令，则，∴，即，，
令，则，，即，，
∴，，.
故选：D.
10．（2024·全国·高三专题练习）一次函数满足：，则( )
A．1B．2C．3D．5
【答案】C
【解析】设，
，
∴，解得，∴，∴．
故选：C．
11．（2024·全国·高三专题练习）已知，则=（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，则 ，则，
所以，
故选：D.
12．（2024·全国·高三专题练习）若满足关系式，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，
在中，，
∴，
故选：B.
13．（2024·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知函数，则的解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，函数，
所以的解析式是.
故选：B
14．（2024·江西上饶·高三婺源县天佑中学校考阶段练习）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（ ）
A．②④B．②③C．①③D．③④
【答案】B
【解析】① ，两个函数对应法则不一样，不是同一函数；
②，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数；
③，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数；
④，两个函数定义域不一样，不是同一函数．
故选：B.
15．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【解析】因为，所以.
故选：A.
16．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】函数，则，
所以.
故选：A
17．（2024·河北唐山·高三统考期末）已知函数满足，则实数m的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【解析】函数，，
所以.
故选：B
18．（2024·江苏徐州·高三统考学业考试）已知函数且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，或，解得，
所以.
故选：B
19．（2024·四川宜宾·统考一模）设函数，则（ ）
A．8B．9C．22D．26
【答案】C
【解析】,
因为，所以,
所以.
故选：.
二、多选题
20．（2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）给定数集，，满足方程，下列对应关系为函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】ABD
【解析】对于A，，，均有唯一确定，符合函数定义，A正确；
对于B，，，均有唯一确定，符合函数定义，B正确；
对于C，，取，，不符合函数定义，C错误；
对于D，，，均有唯一确定，符合函数定义，D正确．
故选：ABD
21．（2024·重庆黔江·高三重庆市黔江中学校校考阶段练习）已知集合，，下列从集合到集合的各个对应关系是函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】选项A，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，故A正确；
选项B，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，故B正确；
选项C，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，故C正确；
选项D，，集合中的1，在集合中没有元素与之对应，故D错误；
故选：ABC
22．（2024·全国·高三专题练习）设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于A：由图象可知定义域不是，不满足；
对于B：定义域为，值域为的子集，故符合函数的定义，满足；
对于C：集合中有的元素在集合中对应两个值，不符合函数定义，不满足；
对于D： 由函数定义可知D满足．
故选：BD．
23．（2024·全国·高三专题练习）若函数，且，则实数的值可能为（ ）
A．B．0C．2D．3
【答案】BCD
【解析】当时，由，得，得，解得或，
当时，由，得，得，解得（舍去）或，
综上，，或，或，
故选：BCD
24．（2024·山东泰安·高三校考阶段练习）已知函数，若，则的值可以为（ ）
A．B．3C．7D．8
【答案】AD
【解析】当时，由，得，解得或（舍去），
当时，由，得，解得，
综上或，
故选：AD
25．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若，则的值可能是（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】AD
【解析】因为函数，且，
所以，解得：；或者，解得：.
故选：AD
26．（2024·云南·高三景东彝族自治县第一中学校考阶段练习）函数的图象是折线段，如图所示，其中点，，的坐标分别为，，，以下说法正确的是（ ）
A．B．的定义域为
C．为偶函数D．满足的的取值集合为
【答案】ACD
【解析】由图像可知，，故A正确．
由于的图象，是将的图象向右平移1个单位得到，
又的定义域为，所以的定义域为，故B错误．
是将的图象向左平移1个单位长度得到，
由图像可知，的图象关于轴对称，所以为偶函数，故C正确．
令，若，即，由图像可知，或，即若，则或，
当时，，当时或，
故的取值集合为，所以D正确．
故选：ACD.
三、填空题
27．（2024·山东·校联考模拟预测）不等式组的解集用区间表示为： ．
【答案】
【解析】∵不等式组 ，
∴，∴不等式组的解集为．
故答案为：．
28．（2024·北京东城·高三统考期末）函数的定义域为 .
【答案】
【解析】，
解得且，
函数的定义域为.
故答案为：.
29．（2024·河北邢台·高三统考期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，所以的定义域为，
要使有意义，需满足，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
30．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，求的定义域 .
【答案】
【解析】∵的定义域为，即，
∴，
故需，
∴．
∴的定义域为．
故答案为：
31．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，求的定义域 .
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，
即，则，
故的定义域为．
故答案为：.
32．（2024·上海·高三上海中学校考期中）函数的值域是 ．
【答案】
【解析】由，
当时，单调递增，所以，
故函数的值域为.
故答案为：.
33．（2024·辽宁·高三大连二十四中校联考开学考试）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】设，则且，根据反比例函数性质，
从而，所以．
故答案为：.
34．（2024·江苏镇江·高三吕叔湘中学校考阶段练习）若，则函数的值域是 .
【答案】
【解析】∵.
当时，，
当且仅当，即时取等号；
故函数的值域为.
故答案为：.
35．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为
【答案】
【解析】设,则,
所以原函数可化为:,
由二次函数性质,当时,函数取最大值,由性质可知函数无最小值．
所以值域为:.
故答案为:.
36．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为
【答案】
【解析】由已知得函数的定义域为，
，
，
又
，
，又，
故答案为：.
37．（2024·山西晋中·高三校考开学考试）若函数满足，则 ．
【答案】/
【解析】因为，
所以有，
，得，
所以，
故答案为：
38．（2024·全国·高三专题练习）设函数的定义域是，且对任意正实数，y，都有恒成立，已知，则 .
【答案】－1
【解析】令，得，
所以，解得，
，解得，
故答案为：.
39．（2024·河南信阳·高三河南宋基信阳实验中学校考阶段练习）已知满足，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
联立，解得.
故答案为：.
40．（2024·河南·高三校联考期末）已知，则 .
【答案】1
【解析】由已知时，，
所以，
又时，，
所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题
41．（2024·全国·高三期末）已知二次函数满足，且．求的解析式；
【解析】由，设，
由，则，
整理得，则，解得．
所以．
42．（2024·宁夏固原·高三校考阶段练习）（1）已知，求函数的解析式；
（2）已知函数是一次函数，若，，求函数的解析式．
【解析】（1），
所以；
（2）设一次函数的解析式为，
则，解得，
所以.
43．（2024·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式．
(1)已知，则的解析式为__________．
(2)已知满足，求的解析式．
(3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式．
【解析】（1）方法一（换元法）：令，则，．
所以，
所以函数的解析式为．
方法二（配凑法）：．
因为，所以函数的解析式为．
（2）将代入，得，
因此，解得．
（3）令，得，
所以，即．