专题15 利用导数解决单调问题-2024年新高考数学艺术生突破90分精讲

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题15 利用导数解决单调问题
【考点预测】
知识点一：单调性基础问题
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
2、已知函数的单调性问题
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．
知识点二：讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；
（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；
（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；
（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；
（5）导数图像定区间；
【方法技巧与总结】
1、求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.
②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
单调递增；单调递增；
单调递减；单调递减.
【典例例题】
例1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得：，即的定义域为；
，
当时，；当时，；
的单调递增区间为．
故选：A．
例2．（2024·云南昆明·一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为增函数B．有两个零点
C．的最大值为2eD．的图象关于对称
【答案】D
【解析】A：，令，得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
B：由选项A知，函数在上单调递减，在上单调递增，
且，所以函数在R上没有零点，故B错误；
C：由选项A知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即函数的最小值为，故C错误；
D：，所以函数图象关于直线对称，故D正确.
故选：D
例3．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】的定义域为，且在定义域内单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立．
令，
，
，
即实数的取值范围为．
故选：B
例4．（2024·高三·北京·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】C
【解析】，
，令得：，
函数的单调递减区间为，函数在上单调递减，
，，
又函数在上连续，或，
或.
故选：C．
例5．（2024·江西上饶·一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的导函数为B．在上单调递减
C．的最小值为D．的图象在处的切线方程为
【答案】C
【解析】A：，因此本选项不正确；
B：由上可知：，
当时，，函数单调递增，因此本选项不正确；
C：由上可知：，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数的最小值为，因此本选项正确；
D：由上可知，因为，
所以的图象在处的切线方程为，因此本选项不正确，
故选：C
例6．（2024·高三·河北·期末）设函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，在上恒成立，
记，则在上恒成立，
在上单调递增，所以只需，解得，
故选：A．
例7．（2024·高二·广西河池·期末）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由.
①当时，函数单调递增，不合题意；
②当时，函数的极值点为，
若函数在区间不单调，必有，解得；
综上所述：实数a的取值范围为.
故选：B.
例8．（2024·高三·甘肃兰州·期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，则函数的定义域是，
又函数在区间上单调递减，
由，得，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：A．
例9．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，其中，讨论的单调性.
【解析】函数，定义域是，
，
时，时，，时，，的减区间是，增区间是；
时，或时，，时，，的增区间是和，减区间是；
时，或时，，时，，的增区间是和，减区间是.
综上所述：时，的减区间是，增区间是；
时，的增区间是和，减区间是；
时，的增区间是，无减区间；
时，的增区间是和，减区间是.
例10．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，当时，求函数的单调区间.
【解析】当时，，该函数的定义域为，
，
由可得，
由可得或，
故当时，函数的增区间为和，减区间为.
例11．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，其中R.讨论的单调性；
【解析】依题意，的定义域为，
由，得 ，
①当时， 恒成立，所以在单调递增；
②当时，令，得，
当时，，所以在单调递减；
当时，，所以在单调递增；
综上，当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高三·山西晋城·开学考试）若在处有极值，则函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得，，解得，
故，
当时，，单减；当时，，单增，
故函数的单调递增区间是.
故选：A
2．（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
且，
令，解得，
所以的单调递增区间为.
故选：D
3．（2024·高三·全国·专题练习）函数f（x）＝2x＋x－2的零点个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】B
【解析】解析：f′（x）＝2x ln 2＋1＞0，所以f（x）在R上单调递增，f（0）＝－1，f（1）＝1，故函数的零点个数为1.故选B.
4．（2024·高二·河南·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】的定义域为，
，
由，可得，
故的单调递减区间为．
故选：C．
5．（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在上恒成立，即，所以，则的取值范围是.
故选：B.
6．（2024·高三·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，知在区间上恒成立，
即在区间上恒成立．
因为，所以，
所以，所以.
故选：C．
7．（2024·全国·模拟预测）若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为函数是上的增函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立．令，,则，
则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以．
故选：C．
8．（2024·安徽池州·模拟预测）关于函数，下列说法错误的是（ ）
A．是奇函数B．是周期函数
C．是的唯一零点D．在上单调递增
【答案】B
【解析】对于A中，函数的定义域为，
且，所以为奇函数，所以A正确；
对于B中，由函数，可得，
则为单调递增函数，所以不存在实数，使得，
所以函数一定不时周期函数，所以B错误；
对于C中，由，得到为单调递增函数，
又由，所以函数有唯一的零点，所以C正确；
对于D中，由，得到为上单调递增函数，所以D正确.
故选：B.
9．（2024·高三·全国·专题练习）设函数，则函数（ ）
A．在区间，内均有一个零点
B．在区间，内均无零点
C．在区间内有一个零点，在区间内无零点
D．在区间内无零点，在区间内有一个零点
【答案】D
【解析】当时，函数图象连续不断，且，
所以函数在上单调递减.
又
所以函数有唯一的零点在区间内.
故选：D
10．（2024·高三·辽宁·阶段练习）已知函数，则“在区间上单调递增”的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】在区间上单调递增等价于在区间上大于等于恒成立，
即在上恒成立，即，
故是的充分不必要条件，故D正确.
故选：D.
11．（2024·高三·北京通州·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A, ,所以在上单调递增，故A错误，
对于B，由于，所以在上单调递增，B错误，
对于C，，故在上单调递减，C正确，
对于D，的图象如下所示：故在单调递减，在单调递增，故D错误，

故选：C
二、多选题
12．（2024·高三·安徽六安·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】A选项，定义域为，
且，故为偶函数，
且时，单调递增，故A正确；
B选项，的定义域为，故不是偶函数，故B项错误；
C选项，时，单调递减，故C项错误；
D选项，的定义域为R，且，
故是偶函数，
且时，，函数单调递增，故D项正确.
故选：AD
13．（2024·山西晋城·一模）若一个函数在区间上的导数值恒大于0，则该函数在上纯粹递增，若一个函数在区间上的导数值恒小于0，则该函数在上纯粹递减，则（ ）
A．函数在上纯粹递增
B．函数在上纯粹递增
C．函数在上纯粹递减
D．函数在上纯粹递减
【答案】BC
【解析】若，则，因为，所以A错误．
若，则，当时，恒成立，所以B正确．
若，则，所以C正确．
若，则在上不恒成立，所以D错误．
故选：BC
14．（2024·高三·江西宜春·期中）下列函数中，是奇函数且在区间上是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】对于A，函数的定义域为R，是增函数，A不对；
对于B，函数的定义域为R，是奇函数，并且在上单调递减，B对；
对于C，函数的定义域为，是奇函数，并且在上单调递减，C对；
对于D，函数的定义域为R，且，是奇函数，对函数求导，
当，函数单调递减，即，解得，所以递减区间是.D不对．
故选：BC
三、填空题
15．（2024·高三·全国·专题练习）若函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x在区间(1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由条件知f′(x)＝
＋2ax＋(2a＋1)≤0，x∈(1，＋∞)恒成立．所以2a(x＋1)＋
＋1≤0在x∈(1，＋∞)上恒成立，所以2a≤－
，所以a≤－
.
16．（2024·江西上饶·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为，
所以，
因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
即时，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立，
即，所以，
故答案为：.
17．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围 ．
【答案】
【解析】存在，使得可得，
构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，
则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
18．（2024·高三·全国·专题练习）下列四个函数：①；②，；③；④．其中，能使恒成立的函数是 ．
【答案】①③
【解析】法1：(图象法)分别画出各个函数的大致图象．
①函数图象如下图所示：
由图象可知该函数是凹函数，符合题意；
②，，图象如下图所示：

由图象可知，该函数是先凸后凹，不符合题意；
③；函数图象如下图所示：

由图象可知，该函数是凹函数，符合题意；
④，函数图象如下图所示：

由图象可知：该函数是凸函数，不符合题意，
故答案为：①③
法2：利用二阶导数判断．
①，所以该函数是凹函数，
②，
显然当时，，
当时，，因此当时，函数先凸后凹，
③，是凹函数，
④，
是凸函数，
故答案为：①③.
19．（2024·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为，
，
由得或（因为，故舍去），
所以在区间上单调递增．
故答案为：
四、解答题
20．（2024·河北·模拟预测）已知函数在处的切线为轴．
(1)求的值；
(2)求的单调区间．
【解析】（1）因为，所以，
依题意且，
所以，解得.
（2）由（1）可得函数的定义域为，
又，
令，则，所以（）在定义域上单调递增，
又，所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
21．（2024·广东·一模）已知，函数.
(1)求的单调区间.
(2)讨论方程的根的个数.
【解析】（1）因为（）.
所以：.
由，又函数定义域为，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增.
（2）因为，所以：当时，，方程无解；
当，函数在上递减，在递增，
所以，所以方程无解.
综上可知：方程的根的个数为.
22．（2024·江西南昌·一模）已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)求的最大值.
【解析】（1），令，得，即，
所以的单调递减区间为；
（2）当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，即的最大值为.
23．（2024·广东韶关·二模）已知函数在点处的切线平行于轴．
(1)求实数；
(2)求的单调区间和极值．
【解析】（1）由可得：，
由题意，，解得；
（2）由（1）得，，则，
当时，，则在上是减函数；
当时，，在上是增函数.
故时，函数有极小值为，无极大值.
故函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为，无极大值.
24．（2024·高三·贵州安顺·期末）已知函数
(1)求的单调增区间；
(2)方程在有解，求实数m的范围.
【解析】（1）的定义域为R，
，
当时，；时，；
故单调增区间为，；
（2）由（1）知，函数在区间，上单调递增，
在区间上单调递减，
∵，，，，
∴，，
故函数在区间上的最大值为4，最小值为1，
∴，
∴.
25．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性.
【解析】函数的定义域为，
求导得，
①当，即时，由，得，由，得，
因此在上单调递增，在上单调递减；
②当，即时，由，得或，由，得，
因此在，上单调递增，在上单调递减；
③当，即时，恒成立，因此在上单调递增；
④当，即时，由，得或，由，
得，
因此在，上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
26．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，，证明：函数在上单调递减.
【解析】证明：因为，，
所以，
因为，所以，
所以在上单调递减.
27．（2024·高三·河南郑州·阶段练习）已知函数在处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)证明：在上单调递增.
【解析】（1）因为，
所以，
依题意可得，即，解得，
所以.
（2）证明：由（1）可得，则，
令，，则，
所以在上单调递增，又，
所以当时，即当时，
所以在上单调递增.
28．（2024·高三·河南·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，
∴，由，得，由，得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2）原条件等价于：在上存在实数解．
化为在上存在实数解，
令，
则，
∴在上，，得，故在上单调递增，
∴的最小值为，
∴时，不等式在上存在实数解．
29．（2024·高二·安徽滁州·开学考试）已知函数在处有极值.
(1)求、的值；
(2)求出的单调区间，并求极值.
【解析】（1）因为，该函数的定义域为，，
则，解得，此时，，
经检验，，合乎题意.
因此，，.
（2）因为，该函数的定义域为，，
令，可得，列表如下：
所以，函数的递减区间为，递增区间为，
函数的极小值为，无极大值.
30．（2024·高三·吉林长春·期末）已知函数．
(1)，求函数的最小值；
(2)若在上单调递减，求的取值范围．
【解析】（1）因为，
所以，
令，则有，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
因此当时，则有，
因此当时，则有，
当时， 显然，
于是有当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增，
所以；
（2）由，
因为在上单调递减，
所以在上恒成立，
由，
设，则有，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
要想在上恒成立，
只需，因此的取值范围为.
31．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数.判断函数的单调性.
【解析】的定义域为R，且.
由于，所以在R上恒成立，
所以，函数在R上单调递增.
32．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，其中，若为增函数，求的取值范围．
【解析】因为，又为增函数，
所以在上恒成立，所以，
设，则，令，解得，
所以，当时，此时单调递增；
当时，此时单调递减，
所以，
所以．
33．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性.
【解析】由题可知的定义域为，，
当时，，函数在上单调递减；
当时，令得，
∴当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
34．（2024·高三·江苏·阶段练习）已知函数，．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：在上单调递增．
【解析】（1）因为，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）由（1）知，，
因为，，
所以，
所以
设，则导函数，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以在上单调递增
35．（2024·高二·贵州遵义·期末）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；
【解析】（1）时，，定义域为，
，
令，解得，令，解得，
故在处取得极小值，，
的极小值为，无极大值.
（2）在区间上为减函数，
∴在区间上，
，
令，只需，
显然在区间上为减函数，
，
36．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性．
【解析】由题设且，
当时在上递减；
当时，令，
当时在区间上递减；
当时在上递增．
所以当时，的减区间为，无增区间；
当时，的增区间为，减区间为.
减
极小值
增