专题23 复数经典问题 -2024年新高考数学艺术生突破90分精讲

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题23 复数经典问题
【考点预测】
一.基本概念
（1）叫虚数单位，满足 ，当时，.
（2）形如的数叫复数，记作.
= 1 \* GB3 ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
= 2 \* GB3 ②两个复数相等（两复数对应同一点）
= 3 \* GB3 ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.
二.基本性质
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数.
（3）.
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.
【典型例题】
例1．（2024·河北唐山·一模）已知i为虚数单位，复数，则=（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】,所以，，.
故选：D
例2．（2024·陕西西安·二模）复数，（，是虚数单位）对应的点在第二象限， 则（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，
故有，解得.
故选：C.
例3．（2024·宁夏石嘴山·一模）若复数为纯虚数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为复数为纯虚数，
所以且，解得，
又，，，，
则.
故选：A．
例4．（2024·全国·模拟预测）已知为虚数单位，且复数，则下列说法中正确的是（ ）.
A．复数为实数B．
C．复数为纯虚数D．
【答案】A
【解析】，故，
故A正确，B、C、D错误.
故选：A.
例5．（2024·浙江·模拟预测）若复数的实部大于0，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，
代入，得，
解得：，
所以.
故选：D.
例6．（2024·浙江金华·模拟预测）若复数z满足，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】设，则，
则有，
即，
化简可得，故.
故选：D.
例7．（2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）已知的两共轭虚根为，，且，则 ．
【答案】3
【解析】由题设，可令，且，
所以，
所以.
故答案为：3
例8．（2024·高三·上海静安·期末）已知， 是虚数单位，的虚部为 .
【答案】
【解析】由题，
所以的虚部为.
故答案为：
例9．（2024·高三·广东·专题练习）已知i为虚数单位，若复数对应的点在复平面的虚轴上，则实数
【答案】
【解析】由，
结合题意，则，解得.
故答案为：.
例10．（2024·全国·模拟预测）设为实数，且，虚数为方程的一个根，则的值为 .
【答案】1
【解析】由题意可知虚数为方程的一个根，也为方程的一个根，
所以，
设，则，
，
所以，
故答案为：.
例11．（2024·高三·上海·阶段练习）关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为的解为
，
设所对应的两点分别为，
则，，
设的解所对应的两点分别为，，
记为,,，
当，即时，因为关于轴对称，
且，，关于轴对称，显然四点共圆；
当，即或时，
此时,,，且，
故此圆的圆心为，半径，
又圆心到的距离，
解得，
综上：,
故答案为：.
例12．（2024·天津南开·一模）i是虚数单位，复数，则的虚部为
【答案】
【解析】.
所以复数的虚部为.
故答案为：.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）若复数满足，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．3D．0
【答案】A
【解析】因为，
所以，所以，
所以复数的虚部.
故选：A
2．（2024·北京·模拟预测）记复数的共轭复数为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C.
3．（2024·河南新乡·二模）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
故，
故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）已知复数（是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】方法一：，.
方法二：.
故选：B.
5．（2024·高三·江西·阶段练习）复数在复平面内对应的点为，为坐标原点，将向量绕点逆时针旋转后得到向量，点对应复数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，设其与实轴正半轴夹角为，则，
故可设，
设与实轴正半轴夹角为，则，
故，
故，则，
，
.
故选：C
6．（2024·陕西西安·一模）i是虚数单位，若复数，则z的共轭复数（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，，
所以.
故选：A
7．（2024·重庆·模拟预测）已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
则.
故选：D.
8．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】，
在复平面内所对应的点为，在第二象限.
故选：B.
9．（2024·山东济南·一模）已知复数，满足，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】设则
所以，，即，
则
故选：B.
10．（2024·全国·二模）若复数满足，为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以的共轭复数，对应的点坐标为位于第四象限.
故选：D
11．（2024·高三·全国·专题练习）已知a为实数，若复数z＝（a2－1）＋（a＋1）i为纯虚数，则＝（ ）
A．1B．0C．1＋iD．1－i
【答案】D
【解析】解析：若z＝（a2－1）＋（a＋1）i为纯虚数，则a2－1＝0，a＋1≠0，则a＝1，则
＝
＝
＝1－i.
12．（2024·福建·模拟预测）若复数z满足，则（ ）
A．B．0C．D．2
【答案】D
【解析】因为，
所以，
则，
故选：D.
13．（2024·辽宁葫芦岛·一模）设，为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则且
C．若，则
D．若，且，则在复平面对应的点在一条直线上
【答案】D
【解析】设、，、、、，
对A：若，则有，
即且，故A错误；
对B：取、，亦有，故B错误；
对C：取，，则有，，故C错误；
对D：设，、，若，
则有，
即有，
整理得，
由，故与不能同时成立，
故在复平面对应的点在直线上，
故D正确.
故选：D.
14．（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】B
【解析】，
所以
,
所以的虚部为.
故选:B.
二、多选题
15．（2024·福建漳州·一模）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】由题意可得：，
则，解得，可得，
故BCD正确，A错误.
故选：BCD.
16．（2024·云南·一模）已知、都是复数，下列正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
【答案】BD
【解析】对于A：令、，则，显然不满足，故A错误；
对于C：令、，则，，
所以，但是，故C错误；
设，，
所以，
则
，
又，
所以，故B正确；
，又，
所以，故D正确.
故选：BD
17．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）设，是关于的方程的两根，其中，.若为虚数单位，则
（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】因为，是关于的方程的两根，其中，且，
所以，
所以，所以，
，所以，
则，故A错误，B正确，C正确；
，故D正确.
故选：BCD
18．（2024·全国·模拟预测）已知复数满足为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．D．是方程的一个根
【答案】BD
【解析】因为，所以，
则的虚部为，故A错误；
由于，则在复平面内对应的点位于第二象限，故B正确；
由于，故C错误；
方程可化为，方程的根为，故D正确．
故选:BD．
19．（2024·辽宁大连·一模）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由可得，
所以，即A正确；
可得，即B正确；
，，显然错误，即C错误；
，而，所以D错误.
故选：AB
20．（2024·吉林白山·二模）已知为复数，则（ ）
A．若，则为实数
B．
C．若，则
D．若，则复数在复平面内所对应的点位于坐标轴上
【答案】ABD
【解析】设，故为实数，故A正确；，故B正确；
令，故，但，故C错误；
若，则，故，即或，故D正确.
故选：ABD
21．（2024·高三·贵州·阶段练习）已知复数，满足，，且，则（ ）
A．B．
C．若，则D．
【答案】ACD
【解析】由题意知复数，满足，，且，
则，故，
即，得，
故，D正确；
，
得，A正确；
由于，
故
，B错误；
由以上D的分析可知，若，则，故，C正确；
故选：ACD
22．（2024·山东枣庄·一模）已知，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABD
【解析】设，则.
对于A：若，且，
可得，所以，正确；
对于B：若，则，即，
得或，所以，正确；
选项C：令、，则，，
所以，但是，错误；
选项D：因为，
所以，
，所以，正确.
故选：ABD
23．（2024·海南省直辖县级单位·一模）若（为虚数单位），则下列说法正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，，则，
所以，故A正确；
对于B，
，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，
所以，故D正确.
故选：ACD.
24．（2024·广东江门·一模）下列说法正确的是（ ）
A．，
B．
C．若，，则的最小值为1
D．若是关于x的方程的根，则
【答案】ACD
【解析】对于A，，设复数，则，，
故，A正确；
对于B，由于，故，B错误；
对于C，，设，由于，则，
故，
由，得，则，
故当时，的最小值为1，C正确；
对于D，是关于x的方程的根，
故，即，
故，D正确，
故选：ACD
25．（2024·全国·模拟预测）已知复数，则下列命题一定成立的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
【答案】AC
【解析】设，则.
对于A：，
若，则，
所以，即，故A一定成立；
对于B：，若，则①，
，同理，
若，则需满足且，与①式不同，故B不一定成立；
选项C：，
，
所以，故C一定成立；
选项D：②，
，与②式不同，故D不一定成立.
故选：AC
26．（2024·广东韶关·二模）已知复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若是非零复数，且，则D．若是非零复数，则
【答案】BC
【解析】对于A项，若，，显然满足，但，故A项错误；
对于B项，设，则，，故而，故B项正确；
对于C项，由可得：，因是非零复数，故，即，故C项正确；
对于D项，当时，是非零复数，但 ，故D项错误.
故选：BC.
27．（2024·高三·全国·专题练习）（多选）已知复数z1＝2－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2－i|＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．点P1的坐标为（2，－2）
B．z1＝2＋2i
C．|z2－z1|的最大值为＋1
D．|z2－z1|的最小值为2
【答案】ABC
【解析】解析：因为复数z1＝2－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P1，所以点P1的坐标为（2，－2），故A正确；因为z1＝2－2i，所以z1＝2＋2i，故B正确；设z2＝x＋yi（x，y∈R），在复平面内对应的点为P（x，y），设A（0，1），因为|z2－i|＝1，所以点P（x，y）到点A的距离为1，因此点P（x，y）的轨迹是以A（0，1）为圆心，1为半径的圆，|z2－z1|表示圆A上的点到点P1的距离，因此|z2－z1|max＝AP1＋1＝
＋1＝
＋1，|z2－z1|min＝AP1－1＝
－1＝
－1，故C正确，D不正确．故选ABC.
【考查意图】
复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．
28．（2024·湖南邵阳·二模）已知复数满足：(其中为虚数单位)，则下列说法正确的有( )
A．B．
C．的最小值为D．的最大值为
【答案】BC
【解析】设，则，即，
它表示以原点为圆心，半径为1的圆；
设，则由，得，
即，它表示一条直线；
对于选项A：，故选项A错误；
对于选项B：，故选项B正确；
对于选项C和D：表示圆上点与直线上点的连线段的长度，
该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为；该距离无最大值（直线上的点可离圆上的点无穷远）；
故选：BC．
29．（2024·贵州毕节·二模）若复数满足，，则（ ）
A．在复平面内，对应的向量与对应的向量所成角的正切值为2
B．在复平面内，对应的点在第四象限
C．的虚部为2
D．的实部为
【答案】CD
【解析】设，、，
由，即有，即，
由，即有，即，即，
对A：设对应的向量与对应的向量所成角为，
则，即，故A错误；
对B：在复平面内，对应的点为，在第二象限，故B错误；
对C、D：的虚部为2，实部为，故C、D正确.
故选：CD.
30．（2024·高三·江西·开学考试）若、为复数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】对于A选项，取，，则，，
所以，，，所以，，
所以，，，故，A错；
对于B选项，设，，
则，，
，，则，所以，，B对；
对于C选项，不妨取，，则，，，
所以，，故，C错；
对于D选项，设，则，所以，，
所以，，D对.
故选：BD.
31．（2024·江苏·一模）已知复数，下列说法正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若，则
【答案】AC
【解析】选项A，，则，故A正确；
选项B，令，满足条件，但，且均不为，故B错误；
选项C，下面先证明命题“若，则，或”成立.
证明：设，，
若，则有，
故有，即，两式相乘变形得，，
则有，或，或，
①当时，，即；
②当，且时，则，
又因为不同时为，所以，即；
③当，且时，则，同理可得，故；
综上所述，命题“若，则，或”成立.
下面我们应用刚证明的结论推证选项C，
，，
，或，即或，故C正确；
选项D，令，
则，
但，不为，故D错误.
故选：.
32．（2024·高三·重庆·阶段练习）设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（ ）
A．
B．若，则
C．若且，则
D．若，则的最大值为.
【答案】ACD
【解析】对于A中，由，可得，所以A正确；
对于B中，由，因为，可得，所以B错误；
对于C中，由，因为，可得，即
又因为，可得，
联立方程组，可得，解得，所以C正确；
对于D中，由，可得，
因为，可得，即，
表示以为圆心，半径为的圆，
可得，则原点到圆上点的最大距离为，即的最大值为，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题
33．（2024·全国·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则 ．
【答案】
【解析】因为复数，故，
则，故
故答案为：