专题24 立体几何基础提分小题 -2024年新高考数学艺术生突破90分精讲

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1、表面积与体积计算公式
2、斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下:
(1)建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的,建立直角坐标系.
(2)画出斜坐标系.在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形.在已知图形平行于轴的线段,在直观图中画成平行于使(或),它们确定的平面表示水平平面.
(3)画出对应图形.在已知图形平行于轴的线段,在直观图中画成平行于轴的线段,且长度保持不变;在已知图形平行于轴的线段,在直观图中画成平行于轴,且长度变为原来的一般.可简化为“横不变,纵减半”.
(4)擦去辅助线.图画好后,要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线(虚线).被挡住的棱画虚线.
注: 直观图和平面图形的面积比为.
3、外接球与内切球
类型1：正方体或长方体外接球的球心在其体对角线的中点。
类型2：正棱柱或直棱柱(圆柱)的球心在上下底面外心连线中点处。
推论：垂面模型（一条直线垂直于一个平面）可补成直三菱柱或长方体。
公式：,（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理
类型3：正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）的球心在其顶点与底面外心连线线段(或延长线）上。
半径公式：（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理
类型4：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。
类型5：锥体的内切球问题
三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为，建立等式：
第三步：解出
【典型例题】
例1．（2024·高三·江西·阶段练习）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2024·广西来宾·一模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，体积为3，则该正四棱台的高为（ ）
A．1B．C．D．
例3．（2024·山东枣庄·一模）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
例4．（2024·河南·模拟预测）已知四棱锥的侧面都是边长为4的等边三角形，且各表面均与球相切，则球的半径为（ ）
A．B．C．D．
例5．（2024·宁夏银川·一模）已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2024·辽宁辽阳·一模）四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为，高为），则四羊方尊的容积约为（ ）
A．B．C．D．
例7．（2024·全国·模拟预测）一个圆台的上、下底面的半径分别为2和3，高为，则它的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例8．（2024·高一·山东德州·期末）如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（ ）
A．B．C．D．5
例9．（2024·高三·全国·专题练习）下图中小正方形的边长为1，四边形为某图形的直观图，则该图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
例10．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比—热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球舱体积为（ ）．
A．B．C．D．
例11．（2024·高二·云南红河·阶段练习）如图，在直三棱柱的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且．若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则 ．
例12．（2024·高三·河南南阳·期末）《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P－ABCD为一个阳马，其中平面ABCD，若，，，且PD＝AD＝2AB＝4，则几何体EFGABCD的外接球表面积为 ．
例13．（2024·高三·广东佛山·阶段练习）如图，圆台的上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，若圆台的外接球（上下底面圆在同一球面上）的表面积为且其球心在线段上．则圆台的体积为 ．

【过关测试】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）一个底面半径为2的圆锥被与其底面平行的平面所截，截去的小圆锥的底面半径和高均为1，所得圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·高二·北京·期中）一个水平放置的平面图形用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角，其中，则平面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·高一·安徽芜湖·期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′中，，则该平面图形的面积为（ ）

A．B．2C．D．
4．（2024·北京东城·一模）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为，高为.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·高三·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知圆台的体积为，上、下底面圆的半径分别为1，2，则圆台的高为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2024·贵州毕节·二模）已知圆锥的底面圆的面积为，侧面展开图为一个扇形，其面积为，则该圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·陕西铜川·二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的倍，则它的侧面积扩大为原来的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
9．（2024·山东淄博·一模）某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（ ）
A．2B．4C．D．
10．（2024·四川成都·二模）某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·高三·安徽·开学考试）如图，为圆锥底面圆的一条直径，点为线段的中点，现沿将圆锥的侧面展开，所得的平面图形中为直角三角形，若，则圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·高三·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·全国·模拟预测）甲、乙两个圆锥的底面半径相等，均为，侧面展开图的圆心角之和为，表面积之和为．则底面半径的最大值为（ ）
A．B．C．D．
14．（2024·高三·河北张家口·期末）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·高三·天津东丽·阶段练习）在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·高三·四川成都·开学考试）边长为1的正方体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
18．（2024·高一·陕西西安·期末）底面半径为的圆锥侧面展开图的圆心角大小为，则此圆锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
19．（2024·江苏南京·二模）直角三角形中，斜边长为2，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则长为（ ）
A．B．1C．D．
二、多选题
20．（2024·高三·广东深圳·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．平行于同一直线的两直线平行
21．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知一圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，为底面圆的一条直径上的两个端点，则（ ）
A．该圆锥的母线长为2
B．该圆锥的体积为
C．从点经过圆锥的表面到达点的最短距离为
D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为
22．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中不正确的是（ ）
A．各侧面都是正方形的正四棱柱一定是正方体
B．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
C．任意两条直线都可以确定一个平面
D．空间中三条直线，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面
23．（2024·云南红河·二模）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的是（ ）
A．圆锥的轴截面为直角三角形
B．圆锥的表面积大于球的表面积的一半
C．圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为
D．圆锥的体积与球的体积之比为
24．（2024·高二·四川·期中）某正方体的棱长为，则（ ）
A．该正方体的体积为B．该正方体的体对角线长为
C．该正方体的表面积为48D．该正方体内切球的表面积为
三、填空题
25．（2024·高三·上海浦东新·期中）如图，有一底面半径为1，高为3的圆柱.光源点沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心.当光源点沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为 .

26．（2024·辽宁鞍山·二模）已知圆锥的底面半径为2，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为 ．
27．（2024·上海·一模）已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为 ．
28．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）某工厂为学校运动会定制奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，已知奖杯的底座是由金属片围成的空心圆台，圆台上下底面半径分别为1，2，将一个表面积为的水晶球放置于圆台底座上，即得该奖杯，已知空心圆台（厚度不计）围成的体积为，则该奖杯的高（即水晶球最高点到圆台下底面的距离）为 ．

29．（2024·辽宁·一模）已知圆台的上､下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的高为 .
30．（2024·高三·江苏·专题练习）直角三角形中，斜边长为2，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则长为
31．（2024·高三·江苏扬州·期末）某圆台的上下底面半径分别为1和2，若它的外接球表面积为，则该圆台的高为 .
32．（2024·高三·安徽·阶段练习）已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为 ．
表面积
柱体
为直截面周长
椎体
台体
球
体积
柱体
椎体
台体
球