江苏省连云港市海州区2023-2024学年九年级下册期中数学试题（含解析）

这是一份江苏省连云港市海州区2023-2024学年九年级下册期中数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了本试卷共6页，下列运算正确的是，下列图形中，能折叠成正方体的是，如图，B、C两点分别在函数 和，的绝对值是 等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分150分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．D．
2．下列四个有关环保的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，将数据253000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列图形中，能折叠成正方体的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，B、C两点分别在函数 和（）的图象上，线段轴，点A在x轴上，则的面积为（ ）
A．9B．6C．3D．4
7．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ）

A．寸B．寸C．寸D．寸
8．设a，b为实数，多项式展开后x的一次项系数为p，多项式展开后x的一次项系数为q：若，且p，q均为正整数，则正确选项为（ ）
A．的最大值为，的最小值为；
B．的最大值为，的最小值为；
C．的最大值为，的最小值为；
D．的最大值为，的最小值为．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．的绝对值是 ．
10．如图，若点是线段的中点，且，则的长是 ．
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．
13．已知直线ab，一块直角三角板如图所示放置，若∠1=37°，则∠2= ．
14．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米．
15．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在的延长线上，以A为圆心，为半径画弧，交的延长线于点F，且弧经过点C，则弧的长为 ．
16．平面直角坐标系中，点A坐标为，点C的坐标为且，点B是直线上的动点，且，连接．设与y轴正半轴的夹角是α，则的最大值是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．解不等式组：，
19．解方程：
20．如图，在中，，D为边上一点，以为邻边作平行四边形，连接．

(1)求证：；
(2)若点D是中点，说明四边形是矩形．
21．在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)频数分布表中的________，________，________；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)若该校九年级共有600名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于的学生人数．
22．在一个不透明的盒子中装有4张卡片.4张卡片的正面分别标有数字1,2,3,4,这些卡片除数字外都相同,将卡片搅匀.
(1)从盒子任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数卡片的概率是： ；
(2)先从盒子中任意抽取一张卡片,再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片,求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率(请用画树状图或列表等方法求解).
23．近年来，我市花果山风景区和渔湾风景区受到国内外游客的青睐，通过网上查询，发现两个风景区有三种购票方式，如下表所示：
据预测，“五一”节期间选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有30万、10万和5万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有万人原计划购买甲种门票的游客和万人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．
(1)若丙种门票价格下降10元，求两个景区“五一”节期间的门票总收入；
(2)将丙种门票价格下降多少元时，两个景区“五一”节期间的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
24．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．

25．春暖花开，正是放风筝的好时节．如图是小明在一次放风筝活动中某时段的示意图，他在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成，线段表示小明身高米．当他从点A跑动10米到达点B处时，风筝线与水平线构成，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度（精确到米）．（参考数据：）
26．如图1，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点．

(1)①________，②顶点坐标为________；
(2)如图2，坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及图像的一段，分别记为，．移动该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程；
(3)如图3，是抛物线上一点，为射线上的一点，且两点均在第一象限内，是位于直线同侧的不同两点，，点到轴的距离为，的面积为，且，请问的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
27．下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．
【问题提出】
如图1，在中，，，点D在上，请用尺规作图：在外侧，以为边作．
【问题探究】
小明：如图2，分别以B、C为圆心，以、为半径画弧，两弧交于点E，连接、则即为所求作的三角形．
小亮：如图3，过点B作于点B，过点C作于点C，、相交于点E，则即为所求作的三角形．
（1）小明得出的依据是______ ，小亮得出的依据是______ ．（横线上填序号：①；② ；③；④ ）
【问题再探】
（2）在（1）中的条件下，连接兴趣小组的同学们用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，A组同学会试延长线段至F点，使，连接，从而得以证明如图；B组同学过点D作于点M，过点E作于点N，从而得以证明如图，请你选取A组或B组中的一种方法完成证明过程．
【问题解决】
（3）如图6，已知，，点D在AB上，，，若在射线上存在点E，使，请求出相应的的长．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义即可求解．
【解答】解：2024的相反数是,
故选：B．
2．D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；
故选：D．
【点拨】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．A
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义；科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于10时n是负数，由此进行求解即可得到答案．
【解答】，
故选：A．
4．C
【分析】根据同底数幂相乘法则，整式乘法，积的乘方，合并同类项法则计算判断即可．
【解答】因为，所以A不符合题意；
因为，所以B不符合题意；
因为，所以C符合题意；
因为，所以D不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键．即同底数幂相乘，底数不变，指数相加；多项式乘以多项式，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，并把所得的结果相加；积的乘方，等于积中每一个因式分别乘方，再相乘；合并同类项：系数相加减，相同字母和指数不变．
5．B
【分析】根据正方体的展开图，逐一进行判断即可．
【解答】解：A、不能折叠成正方体，不符合题意；
B、能折叠成正方体，符合题意；
C、不能折叠成正方体，不符合题意；
D、不能折叠成正方体，不符合题意；
故选B．
【点拨】本题考查正方体的展开图．熟练掌握正方体的种展开图，是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查了反比例函数的意义，三角形等积求解；连接、，由等底同高的三角形面积相等得，再由反比例函数的意义得，即可求解；理解“过反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线，连接此点与坐标原点，所围成的三角形面积为．”是解题的关键．
【解答】解：如图，连接、，
轴，
轴，
，
，
；
故选：C．
7．C
【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E，
则DE=10，OE=CD=1，AE=．
在Rt△ADE中，
，即，
解得．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．B
【分析】由题意知，；；则，由，可得，即，，则，对称轴为直线，将代入得，，，由p，q均为正整数，可知，均为正整数，则，可求，且为整数，则当时，的值最小；当或时，的值最大，计算求解即可．
【解答】解：由题意知，；
；
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
对称轴为直线，
将代入得，，
∴，
∵p，q均为正整数，
∴，均为正整数，
∴，
解得，，且为整数，
∴当时，的值最小，为；
当或时，的值最大，为；
∴的最大值为，的最小值为；
故选：B ．
【点拨】本题考查了多项式乘多项式，二次函数的图象与性质，一元一次不等式组的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握多项式乘多项式，二次函数的图象与性质，一元一次不等式组的应用，二次函数的最值是解题的关键．
9．
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，任何一个数的绝对值一定是非负数．
【解答】解：的绝对值是，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，根据点是线段的中点，，计算即可得出答案．
【解答】解：∵点是线段的中点，，
∴，
故答案为： ．
11．
【解答】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
∴．
故答案为：
12．
【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【解答】解：∵由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个区域中所占的比值=，
∴小球停在黑色区域的概率是；
故答案为：
【点拨】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．
13．53°##53度
【分析】作直线ABa，根据两直线平行，内错角相等解题即可．
【解答】作直线ABa，
∵ab
∴ABab，
∵ABa，
∴∠1=∠3，
∵ABb，
∴∠2=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=37°，
∴∠2=90°﹣37°=53°，
故答案为53°．
【点拨】本题考查平行线的性质．正确作辅助线，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
14．10
【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
【解答】解：当时，，
解得，（舍去），．
故答案为10．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
15．
【分析】连接，根据勾股定理求出，求出，再根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：如图，连接，
则，
弧长．
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理，正方形的性质和弧长计算等知识点，注意：一条弧所对的圆心角是，半径为，那么这条弧的长度是．
16．8039##2239
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质以及二次函数的最值问题等知识，正确的作出辅助线证得是解题的关键．设直线与x轴交于G，过A作直线于H，轴于F，根据平行线的性质得到，由三角函数的定义得到，即可得当最小时有最大值；即最大时，有最大值，然后证明，根据相似三角形的性质列出比例式，最后根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，设直线与x轴交于G，过A作直线于H，轴于F，

∴
∵轴，
∴，
在中，，
∵随的增大而减小，
∴当最小时有最大值；即最大时，有最大值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴当时，取最大值，
此时，
取最大值，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查实数的混合运算，先进行乘方，零指数幂，开方运算，再进行加减运算即可．
【解答】解：原式．
18．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
19．无解
【分析】方程两边都乘，去分母，得到，解得，将代入，得到是原方程的增根，原方程无解．
【解答】方程两边都乘，
得出，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的增根，
即原方程无解．
【点拨】本题主要考查了解分式方程，解决问题的关键是熟练掌握解分式方程的一般方法，注意验根后得出答案．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等，结合等边对等角，得到，利用证明即可；
（2）根据三线合一，结合平行四边形的性质，得到四边形为平行四边形，，即可得证．
【解答】（1）证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，点是中点，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为矩形．
【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定等知识点，掌握相关判定和性质，是解题的关键．
21．(1)14，0.15，40
(2)见解析
(3)225名
【分析】（1）先根据运动时间在的频数除以频率求出总人数n，然后根据频数与频率的关系即可求出a、b；
（2）根据（1）中求出的数据即可解答；
（3）利用样本估计总体的思想解答．
【解答】（1）解：本次调查的总人数是（人），即；
∴，，
故答案为：14，0.15，40；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）被抽到的40人中，运动时间不低于120分钟的有（人），占频率，
以此估计全年级600人中，大概有（人）学生的平均每天体育运动时间不低于120 min．
【点拨】本题考查了条形统计图、频数与频率以及利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计的相关知识是解题关键．
22．(1) ；(2).
【分析】（1）共4张卡片，奇数卡片有2张，利用概率公式直接进行计算即可；（2）画出表格，数出总情况数，数出抽取的2张卡片标有数字之和大于4的情况数，再利用概率公式进行计算即可
【解答】(1)共4张卡片，奇数卡片有2张，所以恰好抽到标有奇数卡片的概率是
(2)表格如下
一共有12种情况，其中2张卡片标有数字之和大于4的有8种情况，所以
答：从盒子任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数卡片的概率是，抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率为.
【点拨】本题主要考查利用画树状图或列表求概率问题，本题关键在于能够列出表格
23．(1)两个景区“五一”节期间的门票总收入为3760万元
(2)当丙种门票价格降低15元时，景区六月份的门票总收入有最大值，为万元
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据题目中的数量关系列出函数解析式是解题的关键．
（1）将丙种门票价格下降10元后，甲，乙，丙购票方式的门票收入相加即可；
（2）设丙种门票价格降低元，两个景区“五一”节期间的门票总收入为万元，根据题意列出关于的函数关系式，再利用配方法即可求出答案．
【解答】（1）解：由题意，丙种门票价格下降10元，
得：门票收入：(万元)，
答：两个景区”五一“节期间的门票总收入为3760万元；
（2）设丙种门票价格降低元，两个景区“五一”节期间的门票总收入为万元，
由题意，得，
化简，得，
，
∴当时，取最大值，最大值为万元，
答：当丙种门票价格降低15元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值为万元．
24．（1）相切，证明见解析；（2）6.
【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出r=3，由tan∠E=，推出，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：（1）相切，理由如下，
如图，连接OC，

∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，
∴（8﹣r）2=r2+42，
∴r=3，AB=2r=6，
∵tan∠E=，
∴，
∴CD=BC=6，
在Rt△ABC中，AC=．
【点拨】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识解决问题是关键．
25．风筝原来的高度为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据题意可得：米，米，然后设米，则米，米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：米，米，
设米，
∴米，
∵米，
∴米，
在中，，
∴米，
在中，，
∴米，
∴，
解得：，
∴(米)，
在中，(米)，
(米)，
∴风筝原来的高度的长约为米．
26．(1)，
(2)
(3)的为定值，定值为
【分析】（1）将点的坐标代入抛物线表达式即可得出的值，从而得出抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可；
（2）求出点移动的最短路程为顶点移动到的距离，结合勾股定理计算即可；
（3）由得出，证明即可得解．
【解答】（1）解：二次函数的图象与轴相交于点和点，
，
解得：，
二次函数解析式为：，
顶点坐标为；
（2）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
原抛物线的顶点坐标为，
∴点移动的最短路程为顶点移动到的距离，
∴最短距离为
（3）解：的为定值，定值为4；
∵，，点到轴的距离为，
∴，
∵，
∴，
∵和有同底，
∴点到直线的距离相等，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的为定值，定值为4．

【点拨】本题考查了二次函数综合应用，涉及到全等三角形的判定与性质、解直角三角形、二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握并灵活应用以上知识点是解此题的关键．
27．（1）①，③；（2）见解析；（3）或
【分析】（1）由全等三角形的判定和可得出结论；
（2）选A组同学，延长线段至F点，使，连接，则是的中线，证明，由全等三角形的性质得出，
选B组同学，过点D作于点M，过点E作于点N，证明≌，得出，则可得出结论；
（3）过点C作交于E，于H，连接并延长交于F，由（2）可知：，求出，求出的长，根据三角形面积公式求出，则可得出答案．
【解答】（1）解：由小明的作图可知，，，
在和中，
，
∴由小亮的作图可知，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
；
故答案为：①，③；
（2）选A组同学证明如下：延长线段至F点，使，连接，则是的中线，
，
，
，
，
，，，
即
在和中，
，
∴，
，
；
选B组同学的则证明如下：过点D作于点M，过点E作于点N，
，
≌，
，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，，
又，
；
（3）解：过点C作交于E，于H，连接并延长交于F，
由（2）可知：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当时，，
，
此时，，
，
综上所述，的长为或
【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
运动时间t/min
频数
频率
4
0.1
7
0.175
a
0.35
9
0.225
6
b
合计
n
1
购票方式
甲
乙
丙
可游玩景点
花果山
渔湾
花果山和渔湾
门票价格
90元/人
40元/人
120元/人