中考07 解直角三角形及其综合应用-【黄金冲刺】2024年考前20天中考数学极限满分冲刺（安徽专用）

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【答案】
【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
连接并延长交于点G，设，在中，，然后根据在中，列方程解题即可．
【详解】解：连接并延长交于点G，设，
则，，，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，即，
解得：，
∴路灯的高度为．
2．（2024·安徽·三模）如图所示，一架航拍飞机飞行到点处，航拍区域，飞机观测到点的俯角为，观测到点的俯角为，已知，两点之间的水平距离为500米，试求此时飞机飞行的高度是多少米？
（参考数据：，，，）
【答案】此时飞机飞行高度为2000米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，作交延长线于，易得，设，则，在中，根据正切的定义求解即可．
【详解】解：如图，作交延长线于，
，
，
设，则，在中，，
，即，
解得，
答：此时飞机飞行高度为2000米．
3．（2024·安徽合肥·二模）随着测量技术的发展，测量飞机可以实现精确的空中测量．如图，为测量我国某海岛两端A、B的距离，我国一架测量飞机在距海平面垂直高度为2千米的点C处，测得端点A的俯角为，然后沿着平行于的方向飞行千米到点D，求某海岛两端A、B的距离．（结果精确到千米，参考数据：，，，）

【答案】千米
【分析】本题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．首先过点作于点，过点作延长线于点，易得四边形为矩形，根据矩形的性质，可得，．由题意可知：以及的距离，然后分别在直角与直角中，利用三角函数即可求得与的长，继而求得海岛两端的距离．
【详解】解：过点作于点，过点作延长线于点，
，
，
四边形为矩形，
，，
在直角中，，，
，
在直角中，，，
，
（千米）．
答：海岛两端的距离约为千米．
4．（2024·安徽宿州·一模）如图，四所学校在同一平面内，校到校的距离千米，校到校的距离千米，测得，，求两校之间的距离．（结果精确到千米，参考数据：，，，，，）
【答案】千米，详见解析．
【分析】本题考查三角函数解直角三角形，熟悉三角函数是本题关键．
过向作垂线， 用三角函数求解，即可求得．
【详解】解：设、的交点为，过向作垂线交点为，过向作垂线交点为，如图，
∵，
∴，，
∴，，
，，
∴，，
∴
∴两校之间的距离为千米
5．（2024·安徽合肥·一模）如图，是一座长为600米的东西走向的大桥，小莉同学研学旅途中乘坐的汽车在笔直的公路上由南向北行驶，在处测得桥头在北偏东方向上，继续行驶500米后到达处，测得桥头在北偏东方向上，求点到公路的距离．（结果保留根号）

【答案】米
【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，延长交于点E，设米，则米，分别在和中，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：如图，延长交于点E，

设米，则米，
在中，，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴，
解得：，
即点到公路的距离为米．
6．（2024·安徽滁州·一模）如图，为测量一座山峰的高度，将此山的某侧山坡划分为和两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长，，坡角，．
(1)求段山坡的高度；
(2)求山峰的高度．（，结果保留整数）
【答案】(1)段山坡的高度为；
(2)山峰的高度为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度与坡角问题．
（1）作于，如图，在中根据正弦的定义可计算出的长，从而得到的长；
（2）先在中利用的正弦计算出，然后计算和的和即可．
【详解】（1）解：作于，如图，
在中，，
，
．
答：段山坡的高度为；
（2）解：在中，，
，
．
答：山峰的高度为．
7．（2024·安徽·二模）如图，小河岸边有一棵大树，大树的一边为河面，一边为河堤．为了测量小河岸边大树的高度，小明从树根部点A沿河堤向上走了到达点C处，测得大树顶端B的仰角为，再继续向上走了到达点D处，此时点D和大树顶端B在一条水平线上，试求大树的高度和河堤的坡比．（结果保留根号）
【答案】大树的高度为；河堤的坡比为
【分析】本题主要查了解直角三角形的实际应用．连接，过点C作于点E，于点F，则，根据平行线分线段成比例可得，从而得到是等腰直角三角形，进而得到，继而得到河堤的坡比为；设，则，在中，根据勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点C作于点E，于点F，则，
根据题意得：，，，
∴，
即，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即河堤的坡比为；
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即，
∴．
8．（2024·安徽·二模）如图，地面上的点到两个山峰M，N有两条索道，，在点处测得点的仰角为，点的仰角为．已知索道的长为2千米．为进一步方便游客，现准备新建一条与地面平行的索道，与索道交于点．求新建索道的长（答案精确到0.01千米，参考数据：，，，，，）
【答案】2.35千米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，分别解，，求得，的长，进而根据即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点．
在中，千米，．
，，
千米，千米．
在中，，，
千米，
（千米）．
答：新建索道的长约为2.35千米．
9．（2024·安徽阜阳·三模）图1是一种可升降的阅读支架放置在桌面上，这种支架的侧面结构如图2所示，可分别绕点转动，测量知C是的中点，且．当转动到，时，求支撑板上的点E到底面的距离是多少？（结果精确到；参考数据：）
【答案】支撑板上的点E到底面的距离是．
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点F，过点C作于点G．即得出，．结合题意可求出，，从而可求出，进而可求，最后根据求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点F，过点C作于点G．
∴四边形为矩形，
∴，，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
∵C是的中点，
∴，
∴，
∴，即支撑板上的点E到底面的距离是．
10．（2024·安徽亳州·二模）某学校办公楼（矩形）前有一旗杆，，旗杆高为，在办公楼底处测得旗杆顶的仰角为，在办公楼天台处测旗杆顶的俯角为，在小明所在办公室楼层处测得旗杆顶的俯角为．（结果保留根号）

(1)办公楼的高度；
(2)求小明所在办公室楼层的高度．
【答案】(1)办公楼的高度AB为；
(2)小明所在办公室楼层的高度为．
【分析】（）过点作于点，可得四边形是矩形，再根据锐角三角函数即可求出办公楼的高度；
（）过点作于点，由（）得，，设，则，，由得，求解即可；
本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解题的关键是掌握仰角俯角定义．
【详解】（1）如图，过点作于点，

∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
答：办公楼的高度AB为；
（2）过点作于点，由（）得，，
∴，
设，则，，
由，，
解得，
答：小明所在办公室楼层的高度为．
11．（2024·安徽·一模）如图，，，，四所学校在同一平面内，校到校的距离千米，校到校的距离千米，测得，，求，两校之间的距离（结果精确到千米，参考数据：，，，，，）
【答案】，两校之间的距离是千米
【分析】作，作，根据平行线的判定与性质，求出的度数，根据直角三角形锐角函数，依次求出，，，，，的长，即可求解，
本题考查了，解直角三角形的应用，解题的关键是：熟练掌握锐角三角函数．
【详解】解：设，相交于点，过点作，交于点，过点作，交于点，
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
，，
∴，，
∴（千米），
故答案为：，两校之间的距离是千米．
12．（2024·安徽合肥·一模）某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，）
【答案】
【分析】过点A作于点G，作于点F，先求，再计算，结合计算即可，本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】过点A作于点G，作于点F，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴．
13．（2024·安徽滁州·一模）如图，是一条东西走向的马路，某勘察员在A处测得建筑物Р在他的东北方向上，他沿行走到达B处，再向正北方向走到达C处，此时测得建筑物P在他北偏东方向上，求的长．（参考数据：，，）
【答案】的长为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线是解题的关键．
先在中，设未知数，将铺垫好的边置于中解三角形即可．
【详解】解：作，垂足为H，交BG于点Q，设
在中，
∴

∴
∵
∴
∵
∴
∴
解得：，
答：的长为75m．
14．（2024·安徽蚌埠·二模）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据为我国某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午太阳高度角，夏至正午太阳高度角，圭面上冬至线与夏至线之间的距离，求表高（精确到0.1）．
参考数据：．
【答案】表的长是．
【分析】本题考查了解直角三角形的的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．在中，，中，有，进而即可求解．
【详解】解：在中，，
∴．
同理，在中，有．
∵，
∴．
∴，
∴．
答：表的长是．
15．（2024·安徽安庆·一模）如图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备厢，在打开后备厢的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当后备箱从关闭到完全打开时，箱盖落在的位置（如图2）．此时，，已知厘米，点到地面距离为110厘米．长为40厘米，求此时点离地面的高度．（结果取整数）（参考数据：，，）
【答案】190厘米
【分析】过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，如图所示，在中，解直角三角形得到，结合矩形性质与旋转性质得到，在中，求出，再由矩形的判定与性质即可得到答案．
【详解】解：过点作，垂足为点M，过点作，垂足为点P，过点作，垂足为点N，如图所示：
由题意得：厘米，，
∵，
∴，则，
在中，（厘米），
∵四边形是矩形，
∴，
由旋转所得，则，
在中，（厘米），
∴（厘米），
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴（厘米），
∵点到地面的距离是110厘米，
∴点到地面的距离是厘米厘米,
答：点到地面的距离为190厘米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及点到直线距离、矩形的判定与性质、旋转性质等知识，读懂题意，建立数学模型，运用所学知识求解是解决问题的关键．
16．（2024·安徽宣城·一模）如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为6米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长．（结果精确到0.1m，参考数据：）
【答案】米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，
由题意得：（米，（米，，，
，
，
，
在中，（米，
在中，（米，
（米，
（米，
小李到古塔的水平距离即的长约为米．
17．（2024·安徽合肥·一模）为增强民众生活幸福感，某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装遮阳棚，方便居民使用．如图，在侧截面示意图中，遮阳棚长4米，与水平线的夹角为，且靠墙端离地的高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求的长．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，，，）
【答案】的长为．
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．过点作于点，作于点，易知四边形为矩形，得到，，利用三角函数求出，，推出，，再利用三角函数求出，最后根据，即可解题．
【详解】解：过点作于点，作于点，
由题易知四边形为矩形，
，，
遮阳棚长4米，与水平线的夹角为，
，
，
高为4米，
，
，
又太阳光线与地面的夹角为，
，
．
18．（2024·安徽合肥·一模）华为手机自带测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法．如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与浮雕像垂直于地面，若手机显示，，，求浮雕像的高度．（结果精确到，参考数据，，，）
【答案】浮雕像的高度约为2.0米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，将解直角三角形与实际问题结合，需要构造合适的直角三角形．过点于F点，在中，求出，即可得到，再利用勾股定理即可求出．
【详解】.解：过点于F点，
在中，，，
，，
，
∴在中，
.
答：浮雕像的高度约为．
19．（2024·安徽·一模）数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为．若斜坡的坡比，，且点B，C，E在同一水平线上．．
(1)求点D到水平线的距离；
(2)求砖塔的高度（结果保留根号）．
【答案】(1)点D到水平线的距离为
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键．
（1）作于，则，根据斜坡的坡比，，结合勾股定理求出的长即可得解；
（2）作于，则四边形为矩形，设 ，则 ，则，，根据，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，作于，则，
斜坡的坡比，
，
设 ，则 ，
由题意得：，，
，
解得：，
，
点到水平线的距离为；
（2）解：如图2，作于，
则，
四边形为矩形，
，，
设，则，
，，
，
，
解得：，
，
砖塔的高度为．
20．（2024·安徽六安·一模）合肥徽园，融省内各地精粹，成“安徽之窗”．徽园最大特色，就是不出合肥，看遍安徽．徽园景区中的振风塔，可不是安庆迎江寺内的那个，而是景区仿照安庆振风塔设计建造的，春季，杨柳依依，远远望去，确有几分相似之处．
活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达处，在处测得塔尖的仰角为，请你相关数据求出文峰塔的高度．（结果精确到，参考数据：．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．延长交于点，如图，则，，，，设米，先在中，利用正切的定义表示出的长为，再在中利用正切的定义表示出，接着利用列方程，然后解方程求出，最后计算即可．
【详解】解：延长交于点，如图，则，，，
，
设，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
，
解得，
．
答：文峰塔的高度为．
21．（2024·安徽合肥·二模）如图，无人机在点A处测得大楼顶端D的俯角为，垂直上升8米到达B处，测得大楼底端C的俯角为，已知米，求大楼的高度．
参考数据：，，，，，．
【答案】大楼的高度约为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角问题，正确作出辅助线、构造直角三角形是成为解题题的关键．
如图，过点A，B作的垂线，分别与的延长线交于点E、F，然后在和中解直角三角形求得，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：如图，过点A，B作的垂线，分别与的延长线交于点E，F，
在中，，米，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∵，
∴，
又∵，
∴（米），即大楼的高度约为27.1米．
22．（2024·安徽·一模）数学兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，在距离旗杆水平距离处，无人机垂直上升到处，此时测得点的俯角为点的仰角为，求旗杆的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：）
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点B作于E，则四边形是矩形，可得，解得到，解得到，则．
【详解】解：如图所示，过点B作于E，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：旗杆的高度约为．
23．（2024·安徽宿州·二模）“会当凌绝顶，一览众山小”．每到清明时节，太湖山国家森林公园都会迎来更多的游客，登望江亭，赏月亮湖．某数学兴趣小组要测量望江亭的高度，如图，已知太湖山高度为，太湖山到右侧小山坡的距离为，小山坡的坡长为，坡度，从点D测得望江亭顶点E的仰角为，求望江亭的高度．（注：垂直于水平线，点E，A，B共线，图中所有点都位于同一平面．参考数据：，，）
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．过点D作于点M，N，则，在中，可得到，，在中，可求出的长，即可．
【详解】解：如图，过点D作于点M，N，则，
根据题意得：，，，，
在中，，
可设，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
即望江亭的高度为．
24．（2024·安徽芜湖·二模）图乙为某大桥桥型（图甲）的示意图．拉索与水平桥面的夹角约为，拉索与水平桥面的夹角约为，两拉索顶端的距离为3米，两拉索底端距离为米，求立柱的长（结果精确到米）．（参考数据：，，，，，．）

【答案】立柱的长约为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
设米，则，，，，则，计算求解，然后根据，计算求解即可．
【详解】解：设米，
因为
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴（米）
答：立柱的长约为米．
25．（2024·安徽池州·三模）某学校无人机社团为了提升该小组成员使用无人机的能力，特意组织成员到户外进行实地测量小山的高度．测量时，先将无人机上升到距地面800m高度的处，此时测得山顶点的俯角是；再控制无人机水平移动至点，测得，此时测得山顶点的俯角为，求山顶点距地面的高度．（参考数据：，）
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．作于点，并反向延长交水平面于点，则，，可求，再求，后求，则可求．
【详解】解；如图，作于点，并反向延长交水平面于点，
∴．
在中，，
∴，
在中，，
∴
∵，，
∴
∴，
∴．
∴，
∴．
答：山顶点距地面的高度为602ｍ．