浙江省杭州市钱塘区养正中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市钱塘区养正中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣5x＝1B．3x+2y＝1
C．x2﹣＝1D．ax2﹣3x+1＝0
3．（3分）数据0，1，2的方差是（ ）
A．B．C．1D．2
4．（3分）若一个正多边形的每一个内角的度数都是150°，则这个多边形是（ ）
A．正九边形B．正十边形
C．正十一边形D．正十二边形
5．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝13B．（x+3）2＝13C．（x﹣6）2＝4D．（x﹣3）2＝5
6．（3分）估计（+）的值应在（ ）
A．7和8之间B．8和9之间
C．9和10之间D．10和11之间
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞-1时，方程有两个不相等的实数根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实数根；③当a＞-1时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（3分）如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2B． C．2+﹣2﹣3D．2+2﹣5
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB=6，BC=8，则线段CH的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点，若S四边形AHPE＝3，S四边形PFCG＝5，则S△PBD为（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如果代数式有意义，那么x的取值范围是 ．
12．（3分）规定：a⊗b=（a+b）b,如：2⊗3=（2+3）×3=15，若2⊗x=3，则x= ．
13．（3分）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 °．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和F，连接BE和BF，若AE=CF，AC-AB=9，AC-BC=2，则BE+BF的最小值是 ．
15．（3分）已知，当x分别取1，2，3，…，2024时，所对应y值的总和是 ．
16．（3分）如图是一块长方形菜地ABCD，AB＝am，AD＝bm2．现现将边AB增加1m,边AD增加2m,若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为2Sm2，则S的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（6分）计算：
（1）2﹣+2；
（2）（+2）（﹣2）+．
18．（6分）解下列方程：
（1）2x（x﹣3）＝x﹣4；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
19．（8分）已知a、b分别为等腰三角形的两条边长，且a、b满足a＝6+﹣3，求此三角形的周长．
20．（8分）如图，在▱ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD=10，AE+CF=EF，求EG的长．
21．（10分）为响应习近平提出的“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某校举办了“绿水青山，生态文明”知识竞赛（每一项的满分10分，学生得分均为整数）．在这次竞赛中张山与李仕两位同学表现优秀，他们的四项成绩分布的条形统计图如图所示，根据该图结果解答下列问题．
（1）补充完成下表：
根据（1）题数据，分别从中位数、方差两个角度比较说明两位同学的各自优势？
（3）若实践操作、环保论文、现场抢答、笔试得分按4：1：2：3的比例折合成综合得分，请通过计算说明哪位同学的综合得分更高．
22．（10分）某商场对某种商品进行销售调整．已知该商品进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，现进行降价处理．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求这两次中平均每次下降的百分率．
（2）经调查，该商品每降价0.5元，平均每天可多销售4件．若要使每天销售该商品获利510元，则每件商品应降价多少元？
23．（12分）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0
（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；
（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
24．（12分）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是 ；
（2）当点P运动到如图2所示位置时，请补全图形，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由；
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF=30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．
2023-2024学年浙江省杭州市江干区养正中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．【答案】A
【解答】解：A、是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：A．
2．【答案】A
【解答】解：A、是一元二次方程；
B、含有2个未知数，故此选项不符合题意；
C、是分式方程；
D、若a＝0时，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．【答案】B
【解答】解：由题意可得，
这组数据的平均数是：，
∴这组数据的方差是：，
故选：B．
4．【答案】D
【解答】解：360°÷（180°﹣150°）
＝360°÷30°
＝12．
故选：D．
5．【答案】A
【解答】解：方程x2﹣6x﹣6＝0变形得：x2﹣4x＝4，
配方得：x2﹣4x+9＝13，即（x﹣3）4＝13，
故选：A．
6．【答案】B
【解答】解：原式＝4+2．
∵2.58＝6.25，
∴2＜＜2.5，
∴5＜2＜2，
∴8＜4+5＜9．
故选：B．
7．【答案】C
【解答】解：∵x2﹣2x﹣a＝8，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×3×（﹣a）＝4+4a，
∴①当a＞﹣5时，Δ＝4+4a＞5，故①正确，
②当a＞0时，两根之积＝﹣a＜0，故②错误，
③方程的根为x＝＝1±，
∵a＞﹣6，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确．
故选：C．
8．【答案】D
【解答】解：三个正方形的边长分别为，，2，
图中阴影部分的面积＝（+）×4﹣2﹣3
＝5+2．
故选：D．
9．【答案】D
【解答】解：过点H作HM⊥BC于点M，
∵将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，
∴BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，
∴HM∥BE，
∵H是EG的中点，
∴MH＝BE＝4BG＝3，
∴CM＝BC﹣BM＝2﹣3＝5，
在Rt△CHM中，CH＝＝．
故选：D．
10．【答案】B
【解答】解：显然EPGD、GPFC、PHBF均为平行四边形，
∴S△DEP＝S△DGP＝S平行四边形DEPG，
∴S△PHB＝S△PBF＝S平行四边形PHBF，
又S△ADB＝S△EPD+S平行四边形AHPE+S△PHB+S△PDB①，
S△BCD＝S△PDG+S平行四边形PFCG+S△PFB﹣S△PDB②，
①﹣②得0＝S平行四边形AHPE﹣S平行四边形PFCG+6S△PDB，
即2S△PBD＝5﹣4＝2．
∴S△PBD＝1．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．【答案】x≥﹣1且x≠0．
【解答】解：由题意可知：，
∴x≥﹣1且x≠0，
故答案为：x≥﹣8且x≠0．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：依题意得：（2+x）x＝3，
整理，得 x5+2x＝3，
所以 （x+6）2＝4，
所以x+5＝±2，
所以x＝1或x＝﹣6．
故答案为：1或﹣3．
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°，
故答案为：30．
14．【答案】17
【解答】解：连接DE，DF，设BD与EF交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE＝BF，
∴BE+BF＝BE+DE≥BD，
∴BE+BF的最小值为BD的长；
∵AC﹣AB＝9，AC﹣BC＝2，
∴AB＝AC﹣5，BC＝AC﹣2，
在Rt△ABC中，
∵AB2+BC8＝AC2，
∴（AC﹣9）6+（AC﹣2）2＝AC7，
解得AC＝5，或AC＝17，
∵当AC＝5时，AB＝4﹣9＜0，
∴AC＝6舍去，
取AC＝17，
∴BD＝17，
即BE+BF的最小值是17，
故答案为：17．
15．【答案】2044．
【解答】解：∵，
∴当x＜5时，，则y＝﹣x+4﹣x+6＝﹣2x+11，
当x≥2时，，则y＝x﹣5﹣x+6＝4，
∴所对应y值的总和是：（﹣2+11）+（﹣4+11）+（﹣8+11）+（﹣8+11）+1×（2024﹣3+1）＝2044，
故答案为：2044．
16．【答案】6+4．
【解答】解：根据题意，得起始矩形的面积S＝ab，
∴2S＝（a+1）（b+5），b＝，
∴2S＝（a+1）（+2），
∴2a2+（5﹣S）a+S＝0，
∵有且只有一个a的值，
∴Δ＝（2﹣S）3﹣8S＝0，
整理得：S5﹣12S+4＝0，
解得：S8＝6+4，S2＝6﹣2（舍去），
∴S的值是6+5．
故答案为：6+6．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．【答案】（1）；
（2）﹣2+．
【解答】解：（1）原式＝4﹣+
＝；
（2）原式＝8﹣4+﹣5
＝﹣2+．
18．【答案】（1）x1＝，x2＝；
（2）x1＝3，x2＝9．
【解答】解：（1）原方程化为2x2﹣2x+4＝0，
Δ＝（﹣8）2﹣4×6×4＝17＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）2（x﹣3）2＝（x+3）（x﹣3），
∴2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝6，
∴（x﹣3）（x﹣9）＝8，
∴x﹣3＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝6，x2＝9．
19．【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得，，
解得，b＝3，
则a＝6，
∵3+5＝6，
∴3、2、6不能组成三角形，
∴此三角形的周长为3+3+6＝15．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝10，
∴OB＝OD＝5，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE+CF＝EF，
∴2AE＝EF＝6OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG＝OB＝7.5．
∴EG的长为2.5．
21．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）张山的成绩为：8、9、7、10，
∴张山成绩的中位数为＝9（分）×[（8﹣9）2+2×（9﹣2）2+（10﹣9）8]＝0.5（分3）；
李仕的成绩为7、9、10，
∴李仕成绩的平均数为＝6（分）；
补全表格如下：
（2）从中位数角度考虑，李仕大于张山；
从方差角度考虑，李仕大于张山；
（3）张山的综合得分为＝8.9（分）；
李仕的综合得分为＝7.7（分），
∴张山的综合得分高．
22．【答案】（1）10%；
（2）2.5元或1.5元．
【解答】解：（1）设这两次中平均每次下降的百分率为x，
依题意得：40（1﹣x）2＝32.8，
解得：x1＝0.4＝10%，x2＝1.6（不合题意，舍去）．
答：这两次中平均每次下降的百分率为10%．
（2）设每件商品应降价y元，则每件的销售利润为（40﹣y﹣30）元＝（48+6y）件，
依题意得：（40﹣y﹣30）（48+8y）＝510，
解得：4y7﹣16y+15＝0，
解得：y1＝6.5，y2＝4.5．
答：每件商品应降价2.7元或1.5元．
23．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：当k≠0时，
∵方程kx2﹣（6k﹣3）x+3k﹣4＝0，
∴Δ＝（4k﹣5）2﹣4k（8k﹣3）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣6）2，
∴Δ＝（2k﹣3）2≥0，
当k＝5时，3x﹣3＝4，
解得x＝1．
∴无论k取何值，方程都有实根；
（2）把x＝﹣1代入方程得k+6k﹣3+3k﹣3＝0，
解得k＝．
故k的值；
（3）解：kx3﹣（4k﹣3）x+5k﹣3＝0，
∴a＝k，b＝﹣（2k﹣3），
∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x＝＝，
∴此方程的两个根分别为x1＝4，x2＝3﹣，
∵方程的两个实根均为正整数，
∴k＝﹣3，k＝﹣1．
24．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）补全图形见解答过程；（1）中的结论仍然成立，理由见解答过程；
（3）OE＝CF+AE，理由见解答过程．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
故答案为：OE＝OF；
（2）解：补全图形如图2所示：
（1）中的结论仍然成立，理由如下：
延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠GCO，
∵点O为AC的中点，
∴AO＝CO，
又∵∠AOE＝∠COG，
∴△AOE≌△COG，
∴OE＝OG，
∵∠GFE＝90°，
∴．
（3）解：OE＝CF+AE．理由如下：
当点P在线段OA的延长线上时，线段CF、OE之间的关系为OE＝CF+AE；
证明如下：延长EO交FC的延长线于点H，如图3所示，
由（2）可知△AOE≌△COH，
∴AE＝CH，OE＝OH，
又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，
∴，
∴OE＝CF+CH＝CF+AE．姓名
平均成绩（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分2）
张山
9

9

李仕

9.5

1.5
姓名
平均成绩（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分2）
张山
9
8
9
0.6
李仕
9
9.6
10
1.5