重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题（Word版附解析）

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（分数：150分，时间：120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某中学有三栋教学楼，如图1所示，若某学生要从处到达他所在的班级处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法为
图1
A. 5B. 10C. 15D. 20
2. 展开式中含项的系数为（ ）
A. 30B. 24C. 20D. 15
3. 若函数在时取得极值，则（ ）
A 2B. 3C. 4D. 5
4. 已知是等差数列的前项和，且满足，则（ ）
A. 65B. 55C. 45D. 35
5. 在展开式中，含的项的系数是（ ）
A. 220B. -220C. 100D. –100
6. 设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则使不等式成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，若且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，，若两曲线，有公共点，且在该点处它们的切线相同，则当时，的最大值为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.
9. 给出下面几个问题，其中是组合问题的有（ ）
A. 由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数
B. 五个队进行单循环比赛比赛场次数
C. 由1，2，3组成两位数的不同方法数
D. 由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数
10. 已知X的分布列为
则下列说法正确有（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 为递增数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的图象在处的切线方程为______.
13. 曲线在点处的切线方程为__________．
14. 已知为常数，函数，若关于的方程有且只有2个不同的解，则实数的取值范围是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的公差，且，，的前n项和为．
（1）求的通项公式；
（2）若，，成等比数列，求m的值．
16. 已知函数．
（1）当时，讨论函数单调性；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数取值范围．
17. 从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，.
①直接写出，，的值；
②求与的关系式（），并求（）.
18. 将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量（，2，…，15），得到数组．已知，，．
（1）求样本（，2…，15）的相关系数；
（2）假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，寿命为的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．
（ⅰ）求（）的表达式；
（ⅱ）推导该植物寿命期望的值．
附：相关系数．
19. 组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究.
（1）计算：，并与比较，你有什么发现？写出一般性结论并证明；
（2）证明：
（3）利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：.
X
0
1
2
P
a