甘肃省平凉市第四中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的识别，最简二次根式要满足两个条件：被开方数不能含有开得尽方的数或因式；被开方数不能含有分母，当然分母不允许含有二次根式．根据最简二次根式的含义判断即可．
【详解】A. ，是最简二次根式，故该选项正确，符合题意；
B. 不最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
2. 下列各式中，能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将化为最简，再将各选项的二次根式化为最简即可得出答案；
本题考查最简二次根式的知识，注意将各项化为最简后再判断是解题的关键．
【详解】解：，
，
,
，
,
∴能和合并的是
故选：C．
3. 下列不能构成直角三角形三边长的是 （ ）
A 1、2、3B. 6、8、10C. 3、4、5D. 5、12、13
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长，故该选项符合题意；
B、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；
C、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；
D、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意．
故选：A．
4. 如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理即可求解．
【详解】解：A．∵，
∴，
∴不能判定四边形是平行四边形；
B．不能判定四边形是平行四边形；
C．∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
D．不能判定四边形是平行四边形；
故选C．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法和除法，二次根式的加法，以及二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据运算法则逐项分析即可．
详解】解：A．，正确；
B．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
C．，故不正确；
D．，故不正确．
故选：A．
6. 如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．
【详解】解：在中，（米，
故可得地毯长度（米，
故选：．
7. 菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（ ）
A. 8B. 6C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质和勾股定理，求出另一条对角线的长．
【详解】∵一条对角线长是6cm，
∴这条对角线的一半长是3cm，
由勾股定理得，另一条对角线的一半长4cm，
∴另一条对角线的长为8cm，
故选A．
【点睛】本题主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决．
8. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（ ）
A. 0.5kmB. 0.6kmC. 0.9kmD. 1.2km
【答案】D
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得．
【详解】解：根据题意可得，AM=1.2，
∵M为中点，
∴AB=2AM=2.4，
∴CM=
故选：D．
【点睛】题目主要考查直角三角形斜边上的中线的性质，理解题意，熟练掌握运用这个性质是解题关键．
9. 《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则为（ ）尺．
A. 3B. 4C. 5D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意得，，由勾股定理得出，求解即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
尺，
故选：B．
10. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积为41，小正方形的面积为1，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，则的值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义．结合题意，根据小三角形的面积可以得出，再根据勾股定理即可得出，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得，每个小三角形的面积为，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11. 要使式子 有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数即可得出结论．
【详解】解：要使式子有意义，则
，
解得：．
故答案为：．
12. 若，则__________
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，等式的性质．利用算术平方根的性质计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：5．
13. 在Rt△ABC中，已知两边长度分别为3和4，那么第三边的长度为________．
【答案】5或##或5
【解析】
【分析】分两种情况：若4为直角边和若4为斜边，然后勾股定理，即可求解．
【详解】解：若4为直角边，可得3为直角边，第三边为斜边，根据勾股定理得第三边为＝5；
若4为斜边，3和第三边都为直角边，根据勾股定理得第三边为＝，
则第三边长为5或．
故答案为：5或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，能够利用分类讨论思想是解题的关键．
14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为_____．

【答案】4
【解析】
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算， 得BD＝AC＝2OA，即可得到答案．
【详解】∵ABCD是矩形
∴OC＝OA，BD＝AC
又∵OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝2OA＝4
∴BD＝AC＝4
故答案为：4．
【点睛】本题考查了矩形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质，从而完成求解．
15. 如图，A，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则A，两点间的距离为______m．
【答案】40
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
先判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得即可解答．
【详解】解：∵点D，E分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：40．
16. 如图，在中，，，，，， 则的长为______________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的高的定义、直角三角形的面积．根据等面积法即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题一
17. 计算∶
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）根据二次根式的性质化简，再合并即可；
（2）利用二次根式的除法和乘法法则计算即可求解．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
．
18. 用尺规在数轴上作出表示的点．

【答案】见解析
【解析】
【分析】过点作垂线，再作，两直角边长分别为，进而得到斜边长为，再以为圆心，的长为半径画弧与数轴的交点就是表示的点．
【详解】
【点睛】本题主要考查作图，掌握尺规作图的技巧是解题的关键．
19. 如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为15cm，底面半径为，蚂蚁爬行的最短路线长为多少？
【答案】蚂蚁爬行的最短路线长为．
【解析】
【分析】本题主要考查圆柱的侧面展开图和勾股定理．将圆柱的侧面展开，然后利用勾股定理即可求得最短路线．
【详解】解：展开之后如图，此时的长度即为最短路线长，

此时，，
∴ ，
答：蚂蚁爬行的最短路线长为．
20. 如图，学校有一块空地ABCD，准备种草皮绿化已知∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积．
【答案】24m2
【解析】
【分析】连接AC，利用勾股定理和逆定理可以得出△ACD和△ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【详解】解：连接AC，
由勾股定理可知：AC=，
又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴这块地的面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积=×5×12﹣×3×4=24（米2）．
【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是作出辅助线得到直角三角形．
21. 如图，将矩形折叠，使点D落在的F处，折痕为， 求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，再解方程即可得到的长．
【详解】解：四边形为矩形，
，，，
由折叠可知，，，
在中，由勾股定理得，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
即．
22. 如图，四边形 ABCD 和四边形 CDEF 均为平行四边形，连接 AE，BF．求证：AE=BF．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥EF，AB=EF，进而可判定四边形ABFE为平行四边形，利用平行四边形的性质即可证明结论．
【详解】∵四边形 ABCD，CDEF 均为平行四边形，
∴AB ∥ CD，AB=CD，CD ∥ EF，CD=EF，
∴AB ∥ EF，AB=EF，
∴四边形 ABFE 为平行四边形，
∴AE=BF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，灵活运用平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．
四、解答题(共50分)
23. 观察下列等式:①；
②；
③
回答下列问题:
(1)利用你观察到的规律,化简:；
(2)计算:.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】认真观察，发现：实质是利用平方差公式，把分母有理化．
【详解】(1)原式= ；
(2)原式= .
【点睛】此题考查分母有理化，解题关键在于找到运算规律.
24. 已知：如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由E，F，G，H分别是四边形各边的中点，联想到运用三角形的中位线定理来证明．
【详解】解：如下图，连接，
是的中位线，
，，
同理，，，
，，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了三角形中位线，平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．
25. 如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE，CF．求证：四边形AECF是菱形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据题目条件证明△AFD≌△CED（AAS），先证明四边形AECF是平行四边形，再根据，即可证明四边形是菱形．
【详解】证明：在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
又∵AF∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵DE⊥AC，
∴EF⊥AC
∴平行四边形AECF是菱形．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，准确运用对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判断是解题的关键．
26. 如图，已知点E是的边延长线上的一个点，．连接，交于点F，连接．

（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，请判断四边形的形状并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是矩形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据四边形是平行四边形得到，，由，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到结论；
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
27. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：AP＝________ cm；DP＝________ cm；BQ＝________ cm；CQ＝________ cm．
（2）当t为何值时，四边形APQB平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
【答案】（1）t，（12﹣t），（15﹣2t），2t；（2）当t＝5为何值时，四边形APQB是平行四边形；（3）当t＝4时，四边形PDCQ是平行四边形
【解析】
【分析】（1）根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系，即可求出AP，DP，BQ，CQ的长；
（2）当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可；
（3）当PD＝CQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可．
【详解】解：（1）t，（12﹣t），（15﹣2t），2t；
（2）根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．
∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，
解得t＝5．
∴t＝5时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
如图1，∵AD∥BC，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4，
∴当t＝4时，四边形PDCQ是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中，解题的关键是把握“化动为静”的解题思想．