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2024年陕西省渭南市高新区中考二模数学试题 （原卷版+解析版）
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这是一份2024年陕西省渭南市高新区中考二模数学试题 （原卷版+解析版），文件包含2024年陕西省渭南市高新区中考二模数学试题原卷版docx、2024年陕西省渭南市高新区中考二模数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），全卷共6页，总分120分，考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 16的算术平方根是( )
A. 4B. -4C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义，熟悉相关性质是解题的关键．
2. 将一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转一周后得到的几何体可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点线、面、体，根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的关键．
【详解】解：将一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周得到的几何体是圆锥．
故选：A．
3. 如图，点E，F分别在线段，上，于点G，于点H，若，则图中与互余的角有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了余角的概念，直角三角形性质，平行线的性质和判定，根据直角三角形性质，得到，，再结合等量代换，以及平行线的性质，得到，，即可解题．
【详解】解：于点G，
，
于点H，
，，
，
，
，
，
综上所述，图中与互余的角有4个，
故选：D．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，积的乘方计算，平方差公式和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
5. 如图，在等腰中，，点D为边的延长线上一点，连接，点E为的中点，连接，若，，则的面积为（ ）
A. B. C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的中位线的应用，熟练掌握其性质是解题的关键．先利用等腰三角形的性质作高，再证明出为的中点，得到为的中位线，从而能求出的长，最后求出面积即可．
【详解】解：过点A作于点F，
，
，
，
，
为的中点，
为的中点，
为的中位线．
，，
，
．
故选：B．
6. 一次函数（k、b为常数，且））的x与y的部分对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（ ）
A. y随x的增大而增大B. 当时，y的值为
C. 图象不经过第三象限D. 图象与x轴的交点在x轴负半轴上
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，先利用待定系数法求出函数解析式为，据此可得y随x的增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，再求出当时，y的值，当，x的值即可得到答案．
【详解】解：把代入中得：，
∴，
∴一次函数解析式为，
∵，
∴y随x的增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故A说法错误，C说法正确；
当时，，故B说法错误；
当，，
∴图象与x轴的交点坐标为，
∴图象与x轴的交点在x轴负正轴上，故D说法错误；
故选：C．
7. 摩天轮（如图1）与云霄飞车、旋转木马合称“乐园三宝”，将图1中的摩天轮抽象成数学图形如图2所示，A、B、C、D表示摩天轮上的四个轿厢，它们均在表示摩天轮的圆上，连接，已知为圆中最长的弦，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质．取的中点O，连接，可得为圆的直径，点O为圆心，从而证得可证得是等边三角形，进而得到，然后圆内接四边形的性质，即可求解．
【详解】解：取的中点O，连接，
∵为圆中最长的弦，
∴为圆的直径，点O为圆心，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴．
故选：B．
8. 已知在平面直角坐标系中，抛物线（a、c为常数，且）的对称轴为直线，且与y轴交点的纵坐标为，点P为该抛物线上一点，将该抛物线向下平移4个单位长度，点P在平移后抛物线上的对应点为Q，O为坐标原点，若，则点Q的横坐标为（ ）
A. 或1B. C. 或3D. 或1
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，二次函数图象的性质，先根据对称轴计算公式得到，再由与y轴交点的坐标为得到，则抛物线解析式为，设，则，即，根据得到的中点的纵坐标为0，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，则，
∴，
∵与y轴交点的纵坐标为，即与y轴交点的坐标为，
∴，
∴抛物线解析式为，
设，则，即，
∵，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∴的中点的纵坐标为，
∴，
解得或，
故选：D．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．本题先提公因式再利用公式法解法即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 将边长相等的正五边形和正方形按如图位置摆放，为正五边形和正方形的一条公共边，点C、D分别为正五边形和正方形的一个顶点，连接，则的度数为______．
【答案】81
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边对等角，正五边形内角和定理，先根据正方形的性质得到，再求出，进而求出，据此可得答案．
【详解】解：由正方形的性质可得，
由正五边形的性质可得，，
∴，
∴，
故答案为：81．
11. 如图，、为菱形的对角线，与相交于点O，点E为边上一点，连接，，若，，则的长为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用菱形的性质，得到、，利用勾股定理得到，利用等腰三角形性质得到，再根据求解，即可解题．
【详解】解：、为菱形的对角线，，，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为9，反比例函数（，）的图象经过点A、C，若设点C的坐标为，则的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，先由正方形面积公式得到正方形的边长为3，进而得到点A的坐标是，则，据此求解即可．
【详解】解：正方形的面积为9．
，
点C的坐标是，
点A的坐标是，
A，C是反比例函数（，）的图象上两点，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在四边形中，，，点E为四边形内一点，连接、、，若，则CE的最小值为______．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题是最小值的问题，考差了点到圆的最小距离．利用条件找到圆画出圆即可解决问题．
过点D作交的延长线于点O，则四边形是边长为4的正方形,由，可得到，进而可得到，故点E在四边形内部以点O为圆心，为半径的圆上运动，连接、，交于点，则，，，即，所以当点E在点的位置时，取得最小值．
【详解】解：过点D作交的延长线于点O，
则四边形是边长为4的正方形．
，
，
，
点E在四边形内部以点O为圆心，
为半径的圆上运动，连接、，交于点，
则，，，
即，
∴当点E在点的位置时，取得最小值，最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合计算，熟记特殊三角函数值，掌握平方差公式是解题的关键．先算平方差公式，立方根，以及特殊三角函数值，再计算即可得到答案．
【详解】解：原式．
15. 解不等式，并求出该不等式的最小整数解．
【答案】，最小整数解为1．
【解析】
【分析】本题主要考查了求不等式的最小整数解，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最小整数解即可．
【详解】解：
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
∴原不等式的最小整数解为1．
16. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
．
当，时，原式．
17. 如图，已知四边形，请用尺规作图法在四边形内找一点P，并连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角，作的角平分线和线段的垂直平分线，二者交于点P，点P即为所求．
【详解】解：如图所示，作的角平分线和线段的垂直平分线，二者交于点P，点P即为所求；
易得，则．
18. 如图，点A为和的公共顶点，已知，，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线条和字母）
（1）你添加的条件是______；
（2）根据你添加的条件，写出证明过程．
【答案】（1）
（2）过程见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定；
（1）根据题意添加的条件即可；
（2）根据全等三角形的判定定理即可得到证明．
【小问1详解】
解：．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
即．
在和中，，
，，
∴，
∴．
19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为，，，与关于原点O成中心对称，且点A、B、C的对应点分别为点、、．
（1）点的坐标为______，点的坐标为______；
（2）在图中画出．
【答案】（1），；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称：
（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可；
（2）先求出点的坐标，再描出，最后顺次连接即可．
【小问1详解】
解：∵与关于原点O成中心对称，，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
故答案：，；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求．
20. 中央电视台大型文化节目《典籍里的中国》自播出以来，带动了社会上有关中华典籍传承与解读的热潮．九年级（1）班同学对此深有感触，自主开展了“品读中华典籍·感悟传统文化”项目学习活动，班长根据中国古代典籍的四大部类（经、史、子、集），制作了四张背面完全相同的卡片，其正面内容如图所示，将卡片背面朝上洗匀后，学习委员先从四张卡片中随机抽取一张，记录下卡片正面的内容，放回并洗匀，文艺委员再从四张卡片中随机抽取一张，两人分别以自己抽到的卡片正面内容为准，诵读一篇该部类的经典著作．
（1）学习委员诵读的是“经”部类著作的概率为______；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求学习委员和文艺委员诵读的是同一部类经典著作的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．
（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）利用画树状图的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．
【小问1详解】
解：∵有经、史、子、集四部著作，
∴学习委员诵读的是“经”部类著作的概率为．
【小问2详解】
解：将经、史、子、集依次记为A、B、C、D，画树状图如下：
∵由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中学习委员和文艺委员诵读的是同一部类经典著作的结果有4种，
∴学习委员和文艺委员诵读的是同一部类经典著作的概率为：．
21. 陕西省拥有丰富的旅游资源，境内众多国家风景名胜区、世界文化遗产以及自然保护区等，可谓历史悠久，文化灿烂，某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内修建观光索道，设计示意图如图所示，以山脚C为起点，沿途修建两段长度相等的观光索道，最终到达山顶A处，中途设计了一段与地面平行的观光平台，已知索道与地面的夹角为，索道与所在直线所夹的锐角为，点D到地面的竖直高度为1000米，，，图中所有的点都在同一平面内，求山顶A到地面的竖直高度．
【答案】山顶A到地面的竖直高度为2300米．
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数．过点D作于点F，则米，可求出，根据，求出，最后求出结果即可．
【详解】解：过点D作于点F，如图，则米．
在中，，
∴米，
∴（米）．
∵，
∴米．
过点E作于点H，如图，则米．
在中，，米，
∴米，
∴米，
即山顶A到地面的竖直高度为2300米．
22. 2024年是习近平总书记提出总体国家安全观10周年．为了增强市民国家安全意识，某校组织学生到与学校在同一直线上的A、B两个社区开展以“国家安全·全民共守”为主题的国家安全教育宣传活动，同学们从学校出发，先到A社区进行宣传，然后再从A社区到B社区进行宣传，最后从B社区沿原路直接回到学校，在整个过程中同学们离学校的距离y（千米）与出发后的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求同学们从B社区返回到学校的过程中（图中DE段）y与x之间的函数关系式；
（2）同学们从B社区返回到学校的过程中，当x为何值时，离A社区的距离为1千米？
【答案】（1）；
（2）5.25或5.75小时．
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
（1）设y与x之间的函数关系式为（）．根据题意，得，，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列方程解答即可．
【小问1详解】
设y与x之间的函数关系式为（）．
根据题意，得，，
∴，
解得
∴y与x之间的函数关系式为．
【小问2详解】
在中 令，得，解得，
当，得，解得，
∴同学们从B社区返回到学校的过程中，当x为5.25或5.75时，离A社区的距离为1千米．
23. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，4月30日，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某校就学生对我国航天事业的了解程度进行了问卷调查，根据调查问卷的得分情况，将学生的了解程度分为A．非常了解、B．比较了解、C．一般了解、D．甚少了解四组，调查报告如下：
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）补全条形统计图，并填空：所抽取学生对我国航天事业了解程度中位数落在______组；
（2）若A、B、C、D四组的平均得分依次为10分、8分、6分、4分，请你计算所抽取学生对我国航天事业了解程度得分的平均数；
（3）若对该校800名学生进行全员调查，请你估计非常了解的学生有多少名？
【答案】（1）图见解析，B（ 或“比较了解”）
（2）7.5分； （3）估计非常了解的学生有120名．
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、中位数及用样本估计总体，解答本题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）先求出参加调查的学生人数，再求出C组的人数，补全条形统计图，再计算出中位数落在哪一组内即可；
（2）用加权平均数计算公式进行计算即可；
（3）用800乘以A组所占比例即可求解．
【小问1详解】
参加调查的学生人数为：（人），
所以C组的人数有：（人），
补全条形统计图如下：
所以所抽取学生对我国航天事业了解程度的中位数落在B（填“比较了解”也正确）
故答案为：B（ 或“比较了解”）
【小问2详解】
（分），
∴所抽取学生对我国航天事业了解程度得分的平均数为7.5分．
【小问3详解】
（名），
∴估计非常了解的学生有120名．
24. 如图，内接于，为的直径，点D为劣弧的中点，连接，过点D作的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的直径．
【答案】（1）见解析；
（2）10．
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，直径所对的圆周角相等，弧与圆心角之间的关系：
（1）连接于点F，先证明，进而根据三线合一定理得到，，由切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到，，进而证明四边形为矩形，得到，则．
（2）由矩形的性质得到，．设的半径为R，则．在中，由勾股定理，解得，据此可得答案．
【小问1详解】
证明：连接于点F，如图．
∵点D为中点，
∴．
又∵，
∴，．
∵为的切线，
∴，即．
∵为的直径，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵四边形为矩形，，
∴，．
设的半径为R，则．
在中，，
∴，解得．
∴的直径为10．
25. 跳绳是校园中常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，如图1所示，当绳子甩到最低处时，其形状可近似看作如图2所示的抛物线，抛物线的顶点C在地面上，正在甩绳的两名同学拿绳的手（看作两个点）之间的距离为6米，点O和点A离地面的高度均为1米，以 所在直线为x轴，过点O且垂直于的竖直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知图中所有的点都在同一平面内．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点P为地面上点C右侧一点，米，如果小华从点P处竖直向上跳起，且当绳子甩到最低处时刚好通过她的脚底，那么小华跳起的高度为多少米？
（3）如果小明参与本次跳绳，他到y轴的水平距离为m米，跳起的高度为米，此时绳子甩到最低处，且绳子低于他的脚底，请你求出m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）小华跳起的高度为米；
（3）．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出点P的横坐标为，进而求出当时，y的值即可得到答案；
（3）求出当时，x的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意，得点A的坐标为，顶点C的坐标为．
设抛物线的函数表达式为．
将点代入，得，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：∵米，
∴点P的横坐标为．
当时，，（米），
∴小华跳起的高度为米．
【小问3详解】
解：．
在中，令，得，
解得，，
∴m的取值范围是．
26. 【问题提出】
（1）如图1，点P为菱形的对角线上一点，连接，若，则的长为______；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形中，，，，，点E、F分别在线段上，且，试判断与之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大爷拟将一块矩形土地及周边重新进行规划利用，如图3，在矩形的边的中点H处有一个凉亭，在上取一点E（不与端点重合），下方取一点F，使得，，以为一组邻边构造菱形，将区域规划为休闲垂钓区，菱形区域规划为“民宿”以供游客住宿及餐饮，其他区域为荔枝林和放养鸡地，经测量米，米，王大爷计划沿修建两条休闲通道，根据王大爷的规划要求，，请你帮助王大爷确定点E的位置（即的长度），并计算“民宿”区域（菱形）的面积．
【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3）的长度为40米，“民宿”区域（菱形）的面积为12800平方米．
【解析】
【分析】（1）只需要证明，即可得到；
（2）过点F作交BC的延长线于点G，如图2．由平行线的性质得到，证明是等腰直角三角形，得到，．则，再证明，即可证明．
（3）连接，过点F作于点P，如图3．由矩形的性质得到，米，则为等腰直角三角形，得到，（米）．证明，得到，，进而证明为等腰直角三角形，得到，即可证明A、H、F三点共线．由菱形的性质得到垂直平分，则．进而可得米，则米，求出米，可得米．再求出米，则（平方米）．
【详解】解：（1）∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：3；
（2），理由如下：
过点F作交BC延长线于点G，如图2．
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，即．
又∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（3）连接，过点F作于点P，如图3．
∵在矩形中，米，米，H为的中点，
∴，米，
∴为等腰直角三角形，
∴，（米）．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
又∵，
∴，即A、H、F三点共线．
∵四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴．
∵，
∴，
∴米，
∴米，
∴米，
∴米．
记与的交点为点O，如图3．
∵（米），米，
∴米，
∴（平方米）．
即的长度为40米，“民宿”区域（菱形）的面积为12800平方米．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质等等，解题的关键在于正确作出辅助线构造全等三角形．
x
…
0
1
2
…
y
…
4
1
…
××学校学生对我国航天事业了解程度调查报告
调查主题
××学校学生对我国航天事业了解程度
调查方式
抽样调查
调查对象
××学校学生
数据收集、整理与描述
调查结论
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），全卷共6页，总分120分，考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 16的算术平方根是( )
A. 4B. -4C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义，熟悉相关性质是解题的关键．
2. 将一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转一周后得到的几何体可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点线、面、体，根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的关键．
【详解】解：将一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周得到的几何体是圆锥．
故选：A．
3. 如图，点E，F分别在线段，上，于点G，于点H，若，则图中与互余的角有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了余角的概念，直角三角形性质，平行线的性质和判定，根据直角三角形性质，得到，，再结合等量代换，以及平行线的性质，得到，，即可解题．
【详解】解：于点G，
，
于点H，
，，
，
，
，
，
综上所述，图中与互余的角有4个，
故选：D．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，积的乘方计算，平方差公式和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
5. 如图，在等腰中，，点D为边的延长线上一点，连接，点E为的中点，连接，若，，则的面积为（ ）
A. B. C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的中位线的应用，熟练掌握其性质是解题的关键．先利用等腰三角形的性质作高，再证明出为的中点，得到为的中位线，从而能求出的长，最后求出面积即可．
【详解】解：过点A作于点F，
，
，
，
，
为的中点，
为的中点，
为的中位线．
，，
，
．
故选：B．
6. 一次函数（k、b为常数，且））的x与y的部分对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（ ）
A. y随x的增大而增大B. 当时，y的值为
C. 图象不经过第三象限D. 图象与x轴的交点在x轴负半轴上
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，先利用待定系数法求出函数解析式为，据此可得y随x的增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，再求出当时，y的值，当，x的值即可得到答案．
【详解】解：把代入中得：，
∴，
∴一次函数解析式为，
∵，
∴y随x的增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故A说法错误，C说法正确；
当时，，故B说法错误；
当，，
∴图象与x轴的交点坐标为，
∴图象与x轴的交点在x轴负正轴上，故D说法错误；
故选：C．
7. 摩天轮（如图1）与云霄飞车、旋转木马合称“乐园三宝”，将图1中的摩天轮抽象成数学图形如图2所示，A、B、C、D表示摩天轮上的四个轿厢，它们均在表示摩天轮的圆上，连接，已知为圆中最长的弦，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质．取的中点O，连接，可得为圆的直径，点O为圆心，从而证得可证得是等边三角形，进而得到，然后圆内接四边形的性质，即可求解．
【详解】解：取的中点O，连接，
∵为圆中最长的弦，
∴为圆的直径，点O为圆心，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴．
故选：B．
8. 已知在平面直角坐标系中，抛物线（a、c为常数，且）的对称轴为直线，且与y轴交点的纵坐标为，点P为该抛物线上一点，将该抛物线向下平移4个单位长度，点P在平移后抛物线上的对应点为Q，O为坐标原点，若，则点Q的横坐标为（ ）
A. 或1B. C. 或3D. 或1
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，二次函数图象的性质，先根据对称轴计算公式得到，再由与y轴交点的坐标为得到，则抛物线解析式为，设，则，即，根据得到的中点的纵坐标为0，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，则，
∴，
∵与y轴交点的纵坐标为，即与y轴交点的坐标为，
∴，
∴抛物线解析式为，
设，则，即，
∵，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∴的中点的纵坐标为，
∴，
解得或，
故选：D．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．本题先提公因式再利用公式法解法即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 将边长相等的正五边形和正方形按如图位置摆放，为正五边形和正方形的一条公共边，点C、D分别为正五边形和正方形的一个顶点，连接，则的度数为______．
【答案】81
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边对等角，正五边形内角和定理，先根据正方形的性质得到，再求出，进而求出，据此可得答案．
【详解】解：由正方形的性质可得，
由正五边形的性质可得，，
∴，
∴，
故答案为：81．
11. 如图，、为菱形的对角线，与相交于点O，点E为边上一点，连接，，若，，则的长为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用菱形的性质，得到、，利用勾股定理得到，利用等腰三角形性质得到，再根据求解，即可解题．
【详解】解：、为菱形的对角线，，，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为9，反比例函数（，）的图象经过点A、C，若设点C的坐标为，则的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，先由正方形面积公式得到正方形的边长为3，进而得到点A的坐标是，则，据此求解即可．
【详解】解：正方形的面积为9．
，
点C的坐标是，
点A的坐标是，
A，C是反比例函数（，）的图象上两点，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在四边形中，，，点E为四边形内一点，连接、、，若，则CE的最小值为______．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题是最小值的问题，考差了点到圆的最小距离．利用条件找到圆画出圆即可解决问题．
过点D作交的延长线于点O，则四边形是边长为4的正方形,由，可得到，进而可得到，故点E在四边形内部以点O为圆心，为半径的圆上运动，连接、，交于点，则，，，即，所以当点E在点的位置时，取得最小值．
【详解】解：过点D作交的延长线于点O，
则四边形是边长为4的正方形．
，
，
，
点E在四边形内部以点O为圆心，
为半径的圆上运动，连接、，交于点，
则，，，
即，
∴当点E在点的位置时，取得最小值，最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合计算，熟记特殊三角函数值，掌握平方差公式是解题的关键．先算平方差公式，立方根，以及特殊三角函数值，再计算即可得到答案．
【详解】解：原式．
15. 解不等式，并求出该不等式的最小整数解．
【答案】，最小整数解为1．
【解析】
【分析】本题主要考查了求不等式的最小整数解，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最小整数解即可．
【详解】解：
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
∴原不等式的最小整数解为1．
16. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
．
当，时，原式．
17. 如图，已知四边形，请用尺规作图法在四边形内找一点P，并连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角，作的角平分线和线段的垂直平分线，二者交于点P，点P即为所求．
【详解】解：如图所示，作的角平分线和线段的垂直平分线，二者交于点P，点P即为所求；
易得，则．
18. 如图，点A为和的公共顶点，已知，，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线条和字母）
（1）你添加的条件是______；
（2）根据你添加的条件，写出证明过程．
【答案】（1）
（2）过程见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定；
（1）根据题意添加的条件即可；
（2）根据全等三角形的判定定理即可得到证明．
【小问1详解】
解：．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
即．
在和中，，
，，
∴，
∴．
19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为，，，与关于原点O成中心对称，且点A、B、C的对应点分别为点、、．
（1）点的坐标为______，点的坐标为______；
（2）在图中画出．
【答案】（1），；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称：
（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可；
（2）先求出点的坐标，再描出，最后顺次连接即可．
【小问1详解】
解：∵与关于原点O成中心对称，，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
故答案：，；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求．
20. 中央电视台大型文化节目《典籍里的中国》自播出以来，带动了社会上有关中华典籍传承与解读的热潮．九年级（1）班同学对此深有感触，自主开展了“品读中华典籍·感悟传统文化”项目学习活动，班长根据中国古代典籍的四大部类（经、史、子、集），制作了四张背面完全相同的卡片，其正面内容如图所示，将卡片背面朝上洗匀后，学习委员先从四张卡片中随机抽取一张，记录下卡片正面的内容，放回并洗匀，文艺委员再从四张卡片中随机抽取一张，两人分别以自己抽到的卡片正面内容为准，诵读一篇该部类的经典著作．
（1）学习委员诵读的是“经”部类著作的概率为______；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求学习委员和文艺委员诵读的是同一部类经典著作的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．
（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）利用画树状图的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．
【小问1详解】
解：∵有经、史、子、集四部著作，
∴学习委员诵读的是“经”部类著作的概率为．
【小问2详解】
解：将经、史、子、集依次记为A、B、C、D，画树状图如下：
∵由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中学习委员和文艺委员诵读的是同一部类经典著作的结果有4种，
∴学习委员和文艺委员诵读的是同一部类经典著作的概率为：．
21. 陕西省拥有丰富的旅游资源，境内众多国家风景名胜区、世界文化遗产以及自然保护区等，可谓历史悠久，文化灿烂，某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内修建观光索道，设计示意图如图所示，以山脚C为起点，沿途修建两段长度相等的观光索道，最终到达山顶A处，中途设计了一段与地面平行的观光平台，已知索道与地面的夹角为，索道与所在直线所夹的锐角为，点D到地面的竖直高度为1000米，，，图中所有的点都在同一平面内，求山顶A到地面的竖直高度．
【答案】山顶A到地面的竖直高度为2300米．
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数．过点D作于点F，则米，可求出，根据，求出，最后求出结果即可．
【详解】解：过点D作于点F，如图，则米．
在中，，
∴米，
∴（米）．
∵，
∴米．
过点E作于点H，如图，则米．
在中，，米，
∴米，
∴米，
即山顶A到地面的竖直高度为2300米．
22. 2024年是习近平总书记提出总体国家安全观10周年．为了增强市民国家安全意识，某校组织学生到与学校在同一直线上的A、B两个社区开展以“国家安全·全民共守”为主题的国家安全教育宣传活动，同学们从学校出发，先到A社区进行宣传，然后再从A社区到B社区进行宣传，最后从B社区沿原路直接回到学校，在整个过程中同学们离学校的距离y（千米）与出发后的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求同学们从B社区返回到学校的过程中（图中DE段）y与x之间的函数关系式；
（2）同学们从B社区返回到学校的过程中，当x为何值时，离A社区的距离为1千米？
【答案】（1）；
（2）5.25或5.75小时．
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
（1）设y与x之间的函数关系式为（）．根据题意，得，，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列方程解答即可．
【小问1详解】
设y与x之间的函数关系式为（）．
根据题意，得，，
∴，
解得
∴y与x之间的函数关系式为．
【小问2详解】
在中 令，得，解得，
当，得，解得，
∴同学们从B社区返回到学校的过程中，当x为5.25或5.75时，离A社区的距离为1千米．
23. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，4月30日，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某校就学生对我国航天事业的了解程度进行了问卷调查，根据调查问卷的得分情况，将学生的了解程度分为A．非常了解、B．比较了解、C．一般了解、D．甚少了解四组，调查报告如下：
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）补全条形统计图，并填空：所抽取学生对我国航天事业了解程度中位数落在______组；
（2）若A、B、C、D四组的平均得分依次为10分、8分、6分、4分，请你计算所抽取学生对我国航天事业了解程度得分的平均数；
（3）若对该校800名学生进行全员调查，请你估计非常了解的学生有多少名？
【答案】（1）图见解析，B（ 或“比较了解”）
（2）7.5分； （3）估计非常了解的学生有120名．
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、中位数及用样本估计总体，解答本题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）先求出参加调查的学生人数，再求出C组的人数，补全条形统计图，再计算出中位数落在哪一组内即可；
（2）用加权平均数计算公式进行计算即可；
（3）用800乘以A组所占比例即可求解．
【小问1详解】
参加调查的学生人数为：（人），
所以C组的人数有：（人），
补全条形统计图如下：
所以所抽取学生对我国航天事业了解程度的中位数落在B（填“比较了解”也正确）
故答案为：B（ 或“比较了解”）
【小问2详解】
（分），
∴所抽取学生对我国航天事业了解程度得分的平均数为7.5分．
【小问3详解】
（名），
∴估计非常了解的学生有120名．
24. 如图，内接于，为的直径，点D为劣弧的中点，连接，过点D作的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的直径．
【答案】（1）见解析；
（2）10．
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，直径所对的圆周角相等，弧与圆心角之间的关系：
（1）连接于点F，先证明，进而根据三线合一定理得到，，由切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到，，进而证明四边形为矩形，得到，则．
（2）由矩形的性质得到，．设的半径为R，则．在中，由勾股定理，解得，据此可得答案．
【小问1详解】
证明：连接于点F，如图．
∵点D为中点，
∴．
又∵，
∴，．
∵为的切线，
∴，即．
∵为的直径，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵四边形为矩形，，
∴，．
设的半径为R，则．
在中，，
∴，解得．
∴的直径为10．
25. 跳绳是校园中常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，如图1所示，当绳子甩到最低处时，其形状可近似看作如图2所示的抛物线，抛物线的顶点C在地面上，正在甩绳的两名同学拿绳的手（看作两个点）之间的距离为6米，点O和点A离地面的高度均为1米，以 所在直线为x轴，过点O且垂直于的竖直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知图中所有的点都在同一平面内．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点P为地面上点C右侧一点，米，如果小华从点P处竖直向上跳起，且当绳子甩到最低处时刚好通过她的脚底，那么小华跳起的高度为多少米？
（3）如果小明参与本次跳绳，他到y轴的水平距离为m米，跳起的高度为米，此时绳子甩到最低处，且绳子低于他的脚底，请你求出m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）小华跳起的高度为米；
（3）．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出点P的横坐标为，进而求出当时，y的值即可得到答案；
（3）求出当时，x的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意，得点A的坐标为，顶点C的坐标为．
设抛物线的函数表达式为．
将点代入，得，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：∵米，
∴点P的横坐标为．
当时，，（米），
∴小华跳起的高度为米．
【小问3详解】
解：．
在中，令，得，
解得，，
∴m的取值范围是．
26. 【问题提出】
（1）如图1，点P为菱形的对角线上一点，连接，若，则的长为______；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形中，，，，，点E、F分别在线段上，且，试判断与之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大爷拟将一块矩形土地及周边重新进行规划利用，如图3，在矩形的边的中点H处有一个凉亭，在上取一点E（不与端点重合），下方取一点F，使得，，以为一组邻边构造菱形，将区域规划为休闲垂钓区，菱形区域规划为“民宿”以供游客住宿及餐饮，其他区域为荔枝林和放养鸡地，经测量米，米，王大爷计划沿修建两条休闲通道，根据王大爷的规划要求，，请你帮助王大爷确定点E的位置（即的长度），并计算“民宿”区域（菱形）的面积．
【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3）的长度为40米，“民宿”区域（菱形）的面积为12800平方米．
【解析】
【分析】（1）只需要证明，即可得到；
（2）过点F作交BC的延长线于点G，如图2．由平行线的性质得到，证明是等腰直角三角形，得到，．则，再证明，即可证明．
（3）连接，过点F作于点P，如图3．由矩形的性质得到，米，则为等腰直角三角形，得到，（米）．证明，得到，，进而证明为等腰直角三角形，得到，即可证明A、H、F三点共线．由菱形的性质得到垂直平分，则．进而可得米，则米，求出米，可得米．再求出米，则（平方米）．
【详解】解：（1）∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：3；
（2），理由如下：
过点F作交BC延长线于点G，如图2．
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，即．
又∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（3）连接，过点F作于点P，如图3．
∵在矩形中，米，米，H为的中点，
∴，米，
∴为等腰直角三角形，
∴，（米）．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
又∵，
∴，即A、H、F三点共线．
∵四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴．
∵，
∴，
∴米，
∴米，
∴米，
∴米．
记与的交点为点O，如图3．
∵（米），米，
∴米，
∴（平方米）．
即的长度为40米，“民宿”区域（菱形）的面积为12800平方米．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质等等，解题的关键在于正确作出辅助线构造全等三角形．
x
…
0
1
2
…
y
…
4
1
…
××学校学生对我国航天事业了解程度调查报告
调查主题
××学校学生对我国航天事业了解程度
调查方式
抽样调查
调查对象
××学校学生
数据收集、整理与描述
调查结论
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