河北省邢台市威县第三中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．仔细审题，工整作答．保持卷面整洁，
2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若二次根式有意义，则x的值不可以是（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数，求出的取值范围即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴的值不可以是；
故选D．
2. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】关键平行四边形的性质解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】∵平行四边形中，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
3. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A. 4，5，6B. 5，8，13C. 1，1，D. 1，，4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，结合选项中的的边长，利用勾股定理的逆定理逐项验证即可得到答案，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
【详解】解：A、由于，由勾股定理的逆定理可知，4，5，6不能作为直角三角形三边长，不符合题意；
B、由于，由勾股定理的逆定理可知，5，8，13不能作为直角三角形三边长，不符合题意；
C、由于，由勾股定理的逆定理可知，1，1，能作为直角三角形三边长，符合题意；
D、由于，由勾股定理的逆定理可知，1，，4不能作为直角三角形三边长，不符合题意．
故选：C
4. 已知三角形一边长为，这条边上的高为，这个三角形的面积为（ ）
A. 15B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的应用，根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：依题意，这个三角形的面积为
故选：D．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质和运算，根据二次根式的性质和运算法则，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，原计算错误；
B、，原计算错误；
C、，原计算正确；
D、，原计算错误；
故选C．
6. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A. 对顶角相等B. 全等三角形面积相等
C. 如果，那么D. 平行四边形的一组对边平行且相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了判断命题的真假，根据题意写出各命题的逆命题，即可判断．正确的写出各个命题的逆命题是解题的关键．
【详解】A、逆命题为：相等的角都是对顶角，为假命题，故不符合题意；
B、逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，为假命题，故不符合题意；
C、逆命题为：如果，那么，还可以互为相反数，故逆命题为假命题，故不符合题意；
D、逆命题为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，为真命题，故符合题意；
故选：D．
7. 添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A、添加条件，可由一个角是直角的平行四边形是矩形证明是矩形，故A不符合题意；
B、添加条件，可由对角线相等的平行四边形是矩形证明是矩形，故B不符合题意；
C、添加条件，根据平行四边形邻角互补可得，可由一个角是直角的平行四边形是矩形证明是矩形，故C不符合题意；
D、添加条件，不能证明是矩形，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键．
8. 如图，公路互相垂直，公路的中点D与点C被湖隔开，若，，则D，C两点间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及斜边上的中线等于斜边的一半，先根据勾股定理，得出，结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可作答．
【详解】解：∵公路互相垂直，
∴中，，
∵点D是的中点，
∴，
则D，C两点间的距离为．
故选：B．
9. 如图，已知平行四边形中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质等知识，由平行四边形的性质可得，，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
10. 如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分两个正方形的面积分别为和，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，根据阴影部分两个正方形的面积可确定第三个正方形的面积，然后根据勾股定理即可得到结论．掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵阴影部分两个正方形的面积分别为和，，
∴，，
由题意知：四边形是正方形，和都是直角三角形且，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
故选：C．
11. 如图，菱形的对角线相交于点为上的点，顺次连接四点，所得四边形恰好是正方形．若，，则菱形的面积为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查菱形性质、正方形性质、勾股定理及菱形面积公式等知识，先由菱形性质及正方形性质，在等腰中，由勾股定理求出；在中，再由勾股定理得到，从而确定菱形对角线长度，代入菱形面积公式求解即可得到答案，熟练掌握菱形及正方形性质，熟练运用勾股定理求线段长是解决问题的关键．
【详解】解：菱形的对角线相交于点，
，
四边形恰好是正方形，
在等腰中，，，，则由勾股定理可得，解得，
在中，，，，则由勾股定理可得，
，，
菱形的面积为，
故选：B．
12. 如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别交于点，在上找点（点在点下方），使以点为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（ ）
A. 甲、乙、丙B. 只有甲、乙C. 只有甲、丙D. 只有乙、丙
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，结合题中所给方案，分情况，依照平行四边形的判定与性质即可得证．熟练掌握平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：甲方案：如图所示：
在平行四边形中，，，
，
在和中，
，
，
，
，
在四边形中，由对角线相互平分可知，四边形为平行四边形；
乙方案：如图所示：
在平行四边形中，，，
，
在和中，
，
，
，
，则，
在和中，
，
，
在四边形中，由一组对边平行且相等可知，四边形为平行四边形；
丙方案：如图所示：
在平行四边形中，，，
，，
在和中，
，
，
平分；平分；
，
在和中，
，
，
在四边形中，由对角线相互平分可知，，四边形为平行四边形；
综上所述，甲、乙、丙三种方案均可使以点为顶点的四边形为平行四边形，
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使该矩形成为正方形，则添加的条件可以是____________（只需写一个，不添加辅助线）．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键，本题补充一组邻边相等即可得到结论．
详解】解：∵矩形，
∴补充，
∴矩形是正方形；
故答案为：．
14. 已知，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用，二次根式的运算，将因式分解为，把已知条件整体代入，运用二次根式的运算即可求解．熟练掌握因式分解和二次根式的计算是解题的关键．
【详解】∵，
∴
．
故答案为：
15. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查网格中求线段长，涉及勾股定理，由题中条件及网格可知在中，，，，由勾股定理代值求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，，，
在中，，则由勾股定理可得，
故答案为：．
16. 如图，在矩形中，，，分别是边的中点，是对角线上的两个动点，且，当四边形中的时，的长为______．
【答案】3或17
【解析】
【分析】根据题意，分两种情况，如图所示，利用矩形性质及三角形全等的判定与性质证得四边形是矩形，结合矩形性质代值求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
在矩形中，，则，，
分别是边中点，
，
，
，
在和中，
，
；
在和中，
，
；
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
；
如图所示：
在矩形中，，则，，
分别是边的中点，
，
，
，
在和中，
，
；
在和中，
，
；
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，则，
；
综上所述，的长为3或17，
故答案为：3或17．
【点睛】本题考查求线段长，涉及矩形判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握矩形判定与性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算下列各小题．
（1）；
（2）．
【答案】（1）12 （2）
【解析】
【分析】（1）关键二次根式乘除的混合运算计算即可；
（2）根据二次根式混合运算计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
）
．
18. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且四边形为正方形．
（1）求证：；
（2）已知四边形的周长为16，求平行线与之间的距离．
【答案】（1）详见解析
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，平行四边形的性质，证明即可；
（2）利用平行线间的距离的定义计算即可．
本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质，平行线间的距离，熟练掌握性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴.
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵四边形为正方形，
∴，
∴平行线与之间的距离为的长.
∵四边形的周长为16，
∴，
∴平行线与之间的距离为为4.
19. 如图，社区有一块面积为的正方形空地，空地的B处有一个凉亭，，为两条小路，现在内种植月季花，其余地方种植郁金香，测得，．
（1）求正方形空地的边的长；
（2）求的大小；
（3）求郁金香的种植面积．
【答案】（1）
（2）
（3）郁金香的种植面积为
【解析】
【分析】（1）根据算术平方根的意义计算即可．
（2）利用勾股定理的逆定理计算即可．
（3）利用面积公式计算即可．
本题考查了正方形的性质，算术平方根，勾股定理的逆定理，直角三角形的面积．熟练掌握算术平方根，勾股定理的逆定理，正方形的性质是解题的关键．
【小问1详解】
∵正方形的面积为，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，，．
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴郁金香的种植面积为.
20. 如图，已知矩形的对角线交于点分别为线段的中点．
（1）若，，求的周长；
（2）若为边的中点，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）22 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意，根据三角形中位线的判定与性质得到长，再由矩形性质结合三角形周长求解即可得到答案；
（2）根据三角形中位线的判定与性质，结合平行四边形的判定即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵分别为线段的中点，
∴，，即为的中位线，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴的周长为；
【小问2详解】
证明：由（1）可知，，且，
∵矩形的对角线交于点，
∴点为中点，
又∵为边的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及三角形中位线的判定与性质、矩形的性质、三角形周长定义、平行四边形的判定等知识，熟练掌握三角形中位线的判定与性质是解决问题的关键．
21. 已知实数：，，．
（1）计算：；
（2）淇淇想在数轴上标出表示（1）中计算结果的点，她先作了一个边长为1的正方形，使正方形的两个顶点对应数轴上的数0，1，如图所示，请你将淇淇的作图过程补充完整（注意保留作图痕迹）；
（3）在算式“”中，当“□”表示“×”“＋”时算式的结果分别为a，b，试比较a，b的大小．
【答案】（1）
（2）图见解析 （3）a＞b
【解析】
【分析】（1）根据公式计算即可；
（2）以原点为顶点，构造正方形的对角线，计算对角线长为，再以原点为原点为圆心，以对角线长为半径，画弧，与数轴交于一点，该点表示的数即为所求；
（3）分别计算，后比较大小即可．
本题考查了二次根式的化简，数轴上点表示数，实数大小比较，熟练掌握性质和大小比较的原则是解题的关键．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
以原点为顶点，构造正方形的对角线，计算对角线长为，再以原点为原点为圆心，以对角线长为半径，画弧，与数轴交于一点，画图如下：
该点表示的数即为所求．
【小问3详解】
当“□”表示“×”时，
；
当“□”表示“＋”时，
；
∵，，且，
∴.
22. 如图，在四边形中，对角线，交于点，且，．
（1）直接写出与的数量关系和位置关系；
（2）当时，四边形是什么特殊四边形？并说明理由；
（3）在（2）的基础上，过点作于点，连接，若，，求的长．
【答案】（1），
（2）四边形为菱形，见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定与性质以及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识；
（1）根据题意得出四边形为平行四边形，即可求解；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证；
（3）根据勾股定理求得，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【小问1详解】
解：，，
四边形为平行四边形．
∴，
∴与的数量关系为：，与的位置关系为：；
小问2详解】
四边形为菱形；
理由如下：，，
四边形为平行四边形．
又，
四边形为菱形；
【小问3详解】
由（2）知四边形是菱形，
，
．
，
．
在中，，
在中，．
，
为的中点，
在中．
23. 如图，已知为火车道，为公路，A为火车站（点A在射线上），P为村庄（点P在射线上），且．公路与公路垂直，垂足为D，经测量，．
（1）原来P村村民需沿才能到达火车站，现修通公路，求P村村民沿公路到达火车站，比原来少走多少路；
（2）求的长；
（3）若在，上修建一个仓库F，使火车站A到仓库F的距离为，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理，计算，结合，计算即可；
（2）设，则，在中，利用勾股定理解答即可；
（3）分点F在点D的两侧，计算即可．
本题考查了勾股定理，分类思想，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【小问1详解】
∵公路与公路垂直，垂足为D，，．
∴，
∵，
∴,
故少走了．
【小问2详解】
设，则，
在中，
，
∴，
解得，
故．
【小问3详解】
∵公路与公路垂直，垂足为D，，，．
∴，．
如图，当点F在上时，
；
当点F在上时，；
故的长为或．
24. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F．
（1）若，，求的长；
（2）求证：四边形为平行四边形；
（3）若，，，动点P，Q分别从B，C两点同时出发，沿和各边运动，点P沿运动，点Q沿运动，点P的运动速度为1个单位长度/秒，点Q的运动速度是点P的2倍，点Q到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，直接写出t为何值时，四边形是平行四边形．
【答案】（1），
（2）见详解 （3）t的值为或
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据角平分线的意义及平行四边形的性质可证，则，因此；
（2）由等腰三角形的判定及平行四边形的性质可证，而，故得证；
（3）、为边长为1的等边三角形， 则①当点P在上，点Q在上时，可得；②当点P在上，点Q在上时，可得，分别求解即可．
【小问1详解】
解：∵平分，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
证明：∵平分，
∴与（1）同理可得．
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形为平行四边形；
【小问3详解】
解：∵，，，
∴为边长为1的等边三角形，同理也为边长为1的等边三角形．
①当点P在上，点Q在上时，如图．
当时四边形为平行四边形，
∵，，
∴，
∴；
②当点P在上，点Q在上时，如图．
当时，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∴此时四边形为平行四边形，
∴，
∴，
综上所述，t的值为或．