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四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2024届高三第一次诊断性考试理科数学试题
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这是一份四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2024届高三第一次诊断性考试理科数学试题，文件包含四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2024届高三第一次诊断性考试理科数学试题原卷版docx、四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2024届高三第一次诊断性考试理科数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题.（每题5分）
1. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A B. C. D.
3. 命题“若，则或”的否命题是（ ）
A. 若，则或B. 若，则且
C. 若，则或D. 若，则且
4. 第一组样本点为（-5，-8.9），（-4，-7.2），（-3，-4.8），（-2，-3.3），（-1，-0.9）第二组样本点为（1，8.9），（2，7.2），（3，4.8），（4，3.3），（5，0.9）第一组变量的线性相关系数为，第二组变量的线性相关系数为，则（ ）
A. B. C. D.
5. 设，，，则
A. B. C. D.
6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架如图所示，小红欲从A处行走到最后再到处，则小红行走路程最近的路线共有（ ）条.
A. 10B. 12C. 13D. 14
9. 已知函数的定义域为，有下面三个命题，命题p：存在且，对任意的，均有恒成立，命题：在上是严格减函数，且恒成立；命题：在上是严格增函数，且存在使得，则下列说法正确的是（ ）
A. 、都是p的充分条件B. 只有是p的充分条件
C. 只有是p的充分条件D. 、都不是p的充分条件
10. 椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为，第二、三次听到回音的时间间隔为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
12. 如图，可导函数在点处切线为，设，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 是的极大值点D. 是的极小值点
二、填空题.（每题5分，共20分）
13. 如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则______是正多面体.（写出所有正确的序号）
14. 已知，则不等式的解集为____________.
15. 如图，四边形由和拼接而成，其中，，若与相交于点，，，，且，则的面积______．
16. 设，，为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点，，的距离之和最小，则称点为，，的一个“中位点”，例如，线段上的任意点都是端点，的中位点，现有下列命题：
①若三个点、、共线，在线段上，则是，，的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点、、、共线，则它们中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是_______（写出所有真命题的序号）．
三、必考题
17. 已知数列首项，前n项和为，且．
（1）证明数列是等比数列；
（2）令，求函数在点处的导数并比较与的大小．
18. 如图，正四面体ABCD的边长等于2，点A，E位于平面BCD的两侧，且，点P是AC的中点．
（1）求证：平面
（2）求BP与平面所成的角的正弦值
19. 天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分. 为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格. 经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为. 某学校共有2000名学生.为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动.学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立.
参考数据：，，
（1）设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
（2）请估计符合该项指标的学生人数（四舍五入结果取整数）.以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值.
20. 在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．
（1）求动点的轨迹的方程．
（2）已知点问：在上是否存在点使得为等边三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请说明这样的点有几组（不必说明点的坐标）．
21. 已知函数，其中．
（1）当时，若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，讨论的零点个数．
四．选考题.（请考生从22题和23题任意选择一题作答，若都做，则按22题评分）
22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求．
23 已知实数a，b，c满足．
（1）若，求证：；
（2）若a，b，，求证：．
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题.（每题5分）
1. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A B. C. D.
3. 命题“若，则或”的否命题是（ ）
A. 若，则或B. 若，则且
C. 若，则或D. 若，则且
4. 第一组样本点为（-5，-8.9），（-4，-7.2），（-3，-4.8），（-2，-3.3），（-1，-0.9）第二组样本点为（1，8.9），（2，7.2），（3，4.8），（4，3.3），（5，0.9）第一组变量的线性相关系数为，第二组变量的线性相关系数为，则（ ）
A. B. C. D.
5. 设，，，则
A. B. C. D.
6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架如图所示，小红欲从A处行走到最后再到处，则小红行走路程最近的路线共有（ ）条.
A. 10B. 12C. 13D. 14
9. 已知函数的定义域为，有下面三个命题，命题p：存在且，对任意的，均有恒成立，命题：在上是严格减函数，且恒成立；命题：在上是严格增函数，且存在使得，则下列说法正确的是（ ）
A. 、都是p的充分条件B. 只有是p的充分条件
C. 只有是p的充分条件D. 、都不是p的充分条件
10. 椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为，第二、三次听到回音的时间间隔为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
12. 如图，可导函数在点处切线为，设，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 是的极大值点D. 是的极小值点
二、填空题.（每题5分，共20分）
13. 如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则______是正多面体.（写出所有正确的序号）
14. 已知，则不等式的解集为____________.
15. 如图，四边形由和拼接而成，其中，，若与相交于点，，，，且，则的面积______．
16. 设，，为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点，，的距离之和最小，则称点为，，的一个“中位点”，例如，线段上的任意点都是端点，的中位点，现有下列命题：
①若三个点、、共线，在线段上，则是，，的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点、、、共线，则它们中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是_______（写出所有真命题的序号）．
三、必考题
17. 已知数列首项，前n项和为，且．
（1）证明数列是等比数列；
（2）令，求函数在点处的导数并比较与的大小．
18. 如图，正四面体ABCD的边长等于2，点A，E位于平面BCD的两侧，且，点P是AC的中点．
（1）求证：平面
（2）求BP与平面所成的角的正弦值
19. 天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分. 为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格. 经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为. 某学校共有2000名学生.为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动.学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立.
参考数据：，，
（1）设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
（2）请估计符合该项指标的学生人数（四舍五入结果取整数）.以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值.
20. 在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．
（1）求动点的轨迹的方程．
（2）已知点问：在上是否存在点使得为等边三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请说明这样的点有几组（不必说明点的坐标）．
21. 已知函数，其中．
（1）当时，若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，讨论的零点个数．
四．选考题.（请考生从22题和23题任意选择一题作答，若都做，则按22题评分）
22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求．
23 已知实数a，b，c满足．
（1）若，求证：；
（2）若a，b，，求证：．
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