2024年辽宁省丹东市东港市中考数学二模试题

这是一份2024年辽宁省丹东市东港市中考数学二模试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．的相反数为（ ）
A．2021B．-2021C．D．
2．如图是由四个相同的小正方体堆成的几何体，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．要从甲、乙、丙三名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这三名学生进行了10次数学测试，三人的平均成绩均为90分，甲的方差为0.025，乙的方差为0.04，丙的方差为0.061，则这10次测试成绩比较稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．无法判断
5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，，，点E是AD上一点，连接OE，若，则OE的长为（ ）
A．4B．5C．D．
6．如图，OP平分∠MON，点A是在边OM上，以点A为圆心，大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B，C，再分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD分别交OP，ON于点E，F．若，，则OA的长度为（ ）
A．4B．C．D．6
7．如图，在△ABC中，，点A在反比例函数的图象上，点B，C在x轴上，，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积为4，则k的值为（ ）
A．12B．9C．-10D．-12
8．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，与y轴交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①；②；③点、、是抛物线上的点，则；④；⑤（m为任意实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
9．地球半径大约是6370000m，用科学记数法表示为________m．
10．因式分解：________．
11．在一个不透明的盒子中，有5个完全相同的小球，把它们分别标号为-5、-1、0、1、3，从中随机摸出一个小球，摸出的小球标号为非负数的概率为________．
12．若式子有意义，则x的取值范围是________．
13．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是________．
14．如图，点P是∠AOB内任意一点，，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若，则△PMN周长的最小值是________cm．
15．矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，，点E为边BC中点，动点F从点B出发，沿B→A→D的方向在边BA，AD上以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒，将矩形沿EF折叠，点B的对应点为，当点落在矩形对角线上时（不与矩形顶点重合），则t的值为________秒．
16．如图，，点在边OM上，且，过点作交ON于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作OM的垂线分别交OM、ON于点、，以为边在的右侧作等边三角形；过点作OM的垂线分别交OM、ON于点、，以为边在的右侧作等边三角形，…；按此规律进行下去，则的面积为________．（用含正整数n的代数式表示）
三、解答题：本题共10小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题8分）
先化简，再求代数式的值：，其中．
18．（本小题8分）
如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为，，．先将△ABC沿一个确定的方向平移，得到，点A的对应点的坐标为；再将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到．
（1）画出；
（2）画出．直接写出在旋转过程中，点C所经过的路径长．
19．（本小题10分）
某校开展课外体育活动，开设了以下体育项目：篮球、足球、跳绳和踢毽，要求每名学生必须且只能选择其中的一项．为了解选择各种体育项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
根据以上信息解答下列问题：
（1）这次调查的学生共有________人．
（2）求在扇形统计图中，“足球”所对应的扇形圆心角度数，并补全条形统计图．
（3）若该校共有1500名学生，选择“跳绳”和“踢毽”的大约共有多少人？
20．（本小题10分）
某校为丰富校园文化生活，要举办校园艺术节，现要从两名男生和两名女生中选主持人．
（1）若从四人中随机选一名主持人，则选出的主持人是女生的概率是________．
（2）若从四人中随机选两名主持人，请用画树状图或列表的方法，求选出的两名主持人是一男一女的概率．
21．（本小题10分）
某文具店批发甲、乙两种文具，已知甲文具的单价是乙文具单价的1.5倍．用48元购买乙文具比购买甲文具多4个，求：甲、乙两种文具的单价各为多少元？
22．（本小题10分）
如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，且，以AD为直径的分别交AC，BC于点E，F，过点E作于点H．
（1）求证：EH是切线．
（2）若，，求EH．
23．（本小题10分）
如图，在海岸线MN上有B、C两个观测点，B、C之间距离为20m，海上有一小岛A，在小岛A处分别测得观测点B在小岛A的南偏西48°方向，观测点C在小岛A的南偏西37°方向，求小岛A与海岸线MN的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：，，，）
24．（本小题10分）
某经销商购进一款成本为60元的水杯．按物价部门规定，其销售单价不低于成本，但销售利润率不高于65%．据市场调查发现，水杯每天的销售数量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为70元时，销售数量为160个；当销售单价为80元时，销售数量为140个．
（1）求y与x之间的函数表达式．（不需写出自变量x的取值范围）
（2）若该经销商每天想从这款水杯销售中获利3600元，又想尽量减少库存，这款水杯的销售单价应定为多少元？
（3）设该水杯每天的总利润为W（元），那么销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少元？
25．（本小题12分）
在正方形ABCD中，点M是边CD上一点，点N是边AD上一点，连接BM，CN交于点P，且．

图1 图2 图3
（1）如图1，判断线段BM与CN的数量关系和位置关系，并证明．
（2）如图2，延长CN到点Q，连接DQ，当时，请求出BP，CP，CQ之间满足的数量关系．
（3）如图3在（2）的条件下，连接AC，AQ，当，△ACQ的面积是12时，请直接写出NQ的长．
26．（本小题14分）
如图1，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．

图1 图2
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．
①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．
②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
答案和解析
1．【答案】D
【解析】解：的相反数是．
故选：D．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可．
本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解答本题的关键．
2．【答案】A
【解析】解：从左边看是个矩形，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
3．【答案】C
【解析】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
根据同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．【答案】A
【解析】解：∵3人的平均成绩均为90分，甲的方差为0.025<乙的方差为0.04<丙的方差为0.061，
∴甲在这10次测试成绩比较稳定．
故选：A．
方差是反映数据离散程度的统计量，方差越小，离散程度越小，就越稳定．
本题考查了方差的意义，掌握方差是反映一组数据离散程度的统计量，方差越小，数据越稳定是关键．
5．【答案】B
【解析】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴，，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴OE是△ADC的中位线，
∴，
故选：B．
根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA，OD，，再利用勾股定理列式求出AD，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，熟记性质与定理是解题的关键．
6．【答案】D
【解析】解：由作法得于F，
∴，
∵OP平分∠MON，
∴，
在Rt△OEF中，，
在Rt△AOF中，，
∴，
∴．
故选：D．
利用基本作图得到，再根据角平分线的定义得到，然后根据含30度的直角三角形三边的关系先求出OF，再求出OA的长．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
7．【答案】D
【解析】解：过点A作轴于点E，
设，，则，
∴，
在△ABC中，，，
∴，
∴，
∵，
∴轴，即：，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
过点A作轴于点E，设，，则，则，，然后证△AEC和△DOC相似，根据相似三角形的性质得，据此可得，然后再根据△BCD的面积为4可求出，据此即可求出k的值．
此题主要考查了反比例函数的图象，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
8．【答案】B
【解析】解：∵对称轴为直线，
∴，
∴，故①正确；
∵时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵抛物线开口向下，且点到对称轴的距离最大，到对称轴的距离最小，
∴，故③错误；
∵，与y轴交点在和之间，
∴，
∴，故④错误；
∵当时，函数有最大值，
∴当m为任意实数时，，
∴（m为任意实数），故⑤正确．
故选：B．
由对称轴为直线可判断①；由时，，且可判断②；由抛物线与对称轴的距离可判断③；由抛物线的顶点位置可判定④；由抛物线的最值即可判断⑤．
本题考查了二次函数的图象与性质，根据图象确定式子的符号及系数的符号，关键是掌握二次函数的图象与性质，注意数形结合．
9．【答案】
【解析】解：将6370000用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．【答案】
【解析】解：标号为-2、-1、0、1、2的小球，非负数有3个，一共有5个数，
故摸出的小球标号为非负数的概率为．
故答案为：．
利用随机事件A的概率事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数进行计算即可．
此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率的计算方法．
12．【答案】且
【解析】解：∵式子有意义，
∴，
解得且，
故答案为：且．
首先根据二次根式有意义的条件可知，再根据分母不为0，可得，零次幂底数不能为0可得，再解可得答案．
此题主要考查了二次根式有意的条件，零次幂，关键是把握，被开方数为非负数．
13．【答案】且
【解析】解：∵一元二次方程有实数根，
∴即，且，即有，解得，
∴a的取值范围是且．
故答案为：且．
由一元二次方程有实数根，则，即，且，即，然后解两个不等式得到a的取值范围．
本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．
14．【答案】6
【解析】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴，，；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
，
∴△COD是等边三角形，
∴．
∴△PMN的周长的最小值．
故答案为：6．
设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．
此题主要考查轴对称-最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
15．【答案】2或
【解析】解：如图1，当点落在矩形对角线AC上时，连接，
图1
由翻折可得，
∵点E为BC中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴F为AB中点，
∴，
∴；
如图2，当点落在矩形对角线BD上时，时，作于点G，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：2或．
如图1，当点落在矩形对角线AC上时，连接，连接，由翻折及点E为BC中点可得，即分别垂直EF，AC，再由平行线分线段成比例即可求解；如图2，当点落在矩形对角线BD上时，时，作于点G，证明，得，代入值即可求解．
本题考查四边形翻折问题，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长的一半．
16．【答案】
【解析】解：由题意是等边三角形，边长为，
是等边三角形，边长为，
是等边三角形，边长为，
是等边三角形，边长为，
…
的边长为，
∴的面积为．
由题意是等边三角形，边长为，是等边三角形，边长为，是等边三角形，边长为，是等边三角形，边长为，…，一次看到的边长为即可解决问题；
本题考查等边三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
17．【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法变成乘法，算乘法，求出a的值，最后代入求出答案．
本题考查了分式的化简求值，实数的混合运算，特殊角的三角函数值和负整数指数幂等知识点，能正确根据实数和分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
18．【答案】解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
∵，
∴的长．
【解析】（1）将向右平移5个单位，再向下平移5个单位，得到点A的对应点的坐标为；将点B、C也按照相同的平移方式平移即可得到对应点，顺次连接即可得；
（2）将△ABC的三顶点绕原点O顺时针旋转90°得到对应点，首尾顺次连接即可得；根据弧长公式求解可得．
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，也考查了平移变换．
19．【答案】100
【解析】解：（1）这次调查的学生共有：（人），
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，“足球”所对应的扇形圆心角度数为：；
篮球人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）（人），
答：选择“跳绳”和“踢建”的大约共有660人．
（1）用其他三项的人数和除以其所占百分比之和可得总人数；
（2）用360°乘“足球”的人数占被调查人数的比例即可得；根据各项目的人数之和等于总人数求得篮球的人数即可补全条形图；
（3）用总人数乘样本中“跳绳”和“踢建”的人数所占比例即可得．
本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵现要从两名男生和两名女生中选主持人，
∴若从四人中随机选一名主持人，则选出的主持人是女生的概率是，
故答案为：；
（2）树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的两名主持人是一男一女的结果有8种，
∴选出的两名主持人是一男一女的概率为．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的两名主持人是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．【答案】解：设乙文具单价是x元，则甲文具的单价是1.5x元，
根据题意，得．
解得．
经检验是原方程的根，且符合题意．
故．
答：甲文具单价是6元，乙文具的单价是4元．
【解析】设乙文具单价是x元，则甲文具的单价是1.5x元，根据“用48元购买乙文具比购买甲文具多4个”列出方程并解答．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22．【答案】（1）证明：连结OE，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵OE为的半径，
∴EH是切线；
（2）解：过O点作于M点，连结AF，如图，
∵AD为的直径，
∴，
在Rt△ADF中，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
而，
∴OM为△ADF的中位线，
∴，
∵，
∴四边形OEHM为矩形，
∴．
【解析】（1）连结OE，如图，利用等腰三角形的性质证明，则可判断，然后根据平行线的性质得到，从而根据切线的判定方法得到结论；
（2）过O点作于M点，连结AF，如图，先利用圆周角定理得到，则在Rt△ADF中利用余弦的定义求出，再利用勾股定理计算出，接着证明OM为△ADF的中位线得到，然后证明四边形OEHM为矩形，从而得到．
本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
23．【答案】解：过点A作，垂足为D，设米，
∵，
∴，
解得：，
答：小岛到海岸线的距离约为57.1米．
【解析】先过点A作，垂足为D，设米，根据，然后代值计算即可求出小岛到海岸线的距离．
本题考查的是解直角三角形的应用--方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义、一元一次方程的解法是解题的关键．
24．【答案】解：（1）设y与x之间的函数表达式为，
根据题意，得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为．
（2）由题意得，
∴，
解得：，，
∵想尽量减少库存，
∴，
答：这款水杯的销售单价应定为90元．
（3）由题意得，
因为销售单价不低于成本，
∴，
因为销售利润率不高于65%，
∴，
∴，
∴，
∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，W随x的增大而增大，
∴当时，W取得最大值，（元）．
答：当销售单价定为99元时，该经销商销售该水杯的总利润最大，最大利润是3978元．
【解析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，结合减少库存，列方程可解；
（3）由题意得二次函数，得到对称轴，可求得答案．
本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，难度
中等略大．
25．【答案】解：（1），，
证明：在正方形ABCD中，，．
∵
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴，；
（2），理由如下：
如图2，作于点F，
图2
∴，
∵，
∴，
∴．
由（1）得，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
（3）如图3，设正方形ABCD的边长为2a．
图3
∵，，，，△ACQ的面积是12，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵
∴，
设，则，
∴
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴．
【解析】（1）根据正方形的边相等、角相等及，证明，得，，再导出，从而得到，；
（2）作于点F，得到等腰直角三角形DFQ，再证明，推得；（3）由题意可得，可知N为AD的中点，，设正方形的边长为2a，这样AQ、CQ都可以用含a的代数式表示，由相似三角形的性质可以推得，由△ACQ的面积是12列方程求出a的值，再转化为NQ的长．
此题是四边形综合题，考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及解直角三角形、二次根式的化简等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造特殊角和含有特殊角的直角三角形．
26．【答案】解：（1）∵抛物线与x轴交于点，，
∴设抛物线解析式为，
则，
即：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）令，解得：或-2，故点，
函数的对称轴为：，故点；
由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：，
设点，
∵，则点，
①将点M的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
故点M的坐标为或；
②点，点B、D的坐标分别为、，
则，，，
当∠BMD为直角时，
由勾股定理得：，
解得：或；
当∠MBD为直角时，
同理可得：，
当∠MDB为直角时，
同理可得：，
故点M的坐标为：或或或．
【解析】（1）抛物线的表达式为：，即，即可求解；
（2）①将点M的坐标代入抛物线表达式，即可求解；②分∠BMD为直角、∠MBD为直角、∠MDB为直角三种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理的运用等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．