重庆市开州区云枫教育集团2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份重庆市开州区云枫教育集团2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．的相反数是（ ）
A．3B．-3C．D．
2．81的平方根是（ ）
A．-9B．9C．D．
3．如图，已知，小明把三角板的直角顶点放在直线b上．若，则∠1的度数为（ ）
A．40°B．35°C．50°D．45°
4．估计的值（ ）
A．在2到3之间B．在3到4之间C．在4到5之间D．在5到6之间
5．关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（ ）
A．B．C．D．
6．若点在x轴上，则点M的坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．已知方程组，则的值是（ ）
A．5B．-5C．15D．25
8．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，…，根据这个规律，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是的解；②若，则；③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；以上说法中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11．比较大小：________2．（填“<”或“>”）
12．不等式的解集为________．
13．如图，点E在AD的延长线上，若，则平行的是：________．
14．已知，，那么________．
15．已知线段AB的长为3，且轴，点A的坐标为，则点B的坐标为________．
16．二元一次方程的正整数解是________．
17．将一张矩纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角，则________．
18．对于一个四位自然数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，它的千位数字与百位数字之和等于9，十位数字与个位数字之和也等于9，那么称这个数n为“永恒数”．对于一个“永恒数”，记为．例如：，因为，所以1854是一个“永恒数”，．则________；若一个四位自然数m是“永恒数”，且为整数，则满足条件的四位自然数m的最大值与最小值的差为________．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（本小题8分）
计算或解方程：
（1）；
（2）．
20．（本小题10分）
解下列方程组：
（1）；
（2）．
21．（本小题10分）
阅读下列推理过程，完成下面的证明．
已知：如图，已知，，垂足分别为D、F，．求证：．
证明：∵，（已知）
∴（________）
∴（________）
∴________（________）
又∵（________）
∴________（________）
∴________（________）
∴（________）．
22．（本小题10分）
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为、、（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请画出△ABC先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的，并直接写出、、的坐标；
（2）在x轴上是否存在点D，使的面积等于△ABC面积的，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（本小题10分）
今年春季，蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿，总投入是26万元，其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元．请解答下列问题：
（1）求出茄子和西红柿的种植面积各为多少亩?
（2）假设茄子和西红柿每亩地的利润分别为2.6万元和1.5万元，那么种植场在这一季共获利多少万元？
24．（本小题10分）
如图，在△ABC中，若，．
（1）试说明；
（2）若BE为∠ABC的角平分线，，，求∠A的度数．
25．（本小题10分）
在平面直角坐标系中，O为原点，点，并且a，b满足满足关于x，y的二元一次方程．

图1 图2 图3
（1）如图①，过点A作轴，垂足为B，求三角形AOB的面积；
（2）如图②，将线段OA向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段DC，写出D、C的坐标，并求四边形OACD的面积；
（3）如图③，点E为对角线OC上一动点，轴于点F，连接AE，直接写出的最小值．
26．（本小题10分）
已知，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．

图1 备用图 图2
（1）如图1，若，求的度数．
（2）在（1）的条件下，已知∠BMG的平分线MH交∠GND的平分线NH于点H，求∠MHN的度数．
（3）如图2，若点P是CD下方一点，MT平分∠BMP，NC平分∠TNP，已知，证明：为定值．
答案和解析
1．【答案】D
【解析】解：的相反数是，
故选：D．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
利用平方根的定义计算即可得到结果．
【解答】
解：∵，∴81的平方根是．
故选：C．
3．【答案】C
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
首先根据同位角相等，两直线平行求出，根据求出∠1即可．
本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质并准确识图是解题的关键．
4．【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
先估算出的取值范围，进而可得出结论．
本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
5．【答案】B
【解析】解：根据数轴可知：不等式组的解集是，
故选：B．
根据数轴得出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据数轴得出正确信息是解此题的关键．
6．【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了点的坐标的求解，利用x轴上的点纵坐标等于0列式求出a的值是解题的关键．根据x轴上的点纵坐标为0，列式求出a的值，然后计算求出横坐标，从而点M的坐标可得．
【解答】
解：∵在x轴上，
∴，
解得，
∴，
∴M点的坐标为．
故选B．
7．【答案】A
【解析】解：，
则①-②得：
，
故
．
故选：A．
直接利用已知方程组变形进而得出，即可求出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的解，正确将原方程组变形是解题关键．
8．【答案】A
【解析】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得，
故选：A．
设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
9．【答案】C
【解析】解：根据动点的运动方式可知，
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
…，
由此可见，点（n为正整数）的纵坐标为n，且点的横坐标按1，1，0，0循环出现，
因为，，
所以点的坐标为．
故选：C．
根据所给动点的运动方式，依次求出，，，…，的坐标，发现规律即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律，能根据动点的运动方式，发现其对应点坐标的变化规律是解题的关键．
10．【答案】D
【解析】解：①当时，，
①-②，可得，
解得，
把代入②，可得：，
解得，
∴原方程组的解是，
∵，，
∴当时，方程组的解也是的解，
∴选项①符合题意．
②，
①+②，可得，
∵，
∴，
解得，
∴若，则，
∴选项②符合题意．
③假设x，y的值互为相反数，则，
，
①-②，可得，
解得，
把代入②，可得：，
解得，
∴原方程组的解是，
∵，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，
∴选项③符合题意．
综上，可得正确的说法的个数为3个：①、②、③．
故选：D．
①当时，，应用加减消元法，求出方程组的解，再判断出x、y的值是否是的解即可；
②把关于x，y的方程组的两个方程左右两边分别相加，可得，再根据，求出a的值即可；
③首先应用加减消元法，求出关于x，y的方程组的解，然后把求出的x、y的值相加，判断出x，y的值能不能互为相反数即可．
此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
11．【答案】>
【解析】解：∵，
又∵，
∴，
故答案为：>．
先把2写成，然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果．
本题考查了实数的大小比较，是一道基础题．
12．【答案】
【解析】解：去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
故答案为．
本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，按照解一元一次不等式的步骤求得x的解集．
本题主要考查了解一元一次不等式的方法，需要注意在不等式两边都除以同一个负数时，应改变不等号的方向．
13．【答案】
【解析】解：∵，
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：．
根据“内错角相等，两直线平行”求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
14．【答案】3.507
【解析】解：∵，
∴，
故答案为：3.507．
根据算术平方根的性质求解即可．
本题考查了算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题的关键．
15．【答案】或
【解析】解：因为轴，
所以A，B两点的横坐标相等，
则．
又因为，
所以，，
所以点B的坐标为或．
故答案为：或．
根据轴，可得出A，B两点的横坐标相等，再根据AB长为3，可求出点B的坐标．
本题考查坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
16．【答案】和
【解析】解：∵当时，，则；当式，，则，
∴方程的正整数解和．
故答案为：和．
采用列举法求得方程的所有正整数解即可．
本题主要考查的是二元一次方程的解，应用列举法求解是解题的关键．
17．【答案】52°
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：52°．
根据翻折变换的性质求出∠GEF的度数，从而求出∠GEB的度数，再根据平行线的性质求出∠1的度数．
本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
18．【答案】4027245
【解析】解：由题意可知：；
根据“永恒数”的定义
设，
其中，，x，y都为整数，，
∴
∵为整数，
∴是整数，
由于各个数位上的数字互不相同，
∴当m取最大值时，，最大，
当m取最小值时，，时最小，
∴m最大为，
m最小为，
∴，
故答案为：402，7245．
根据直接进行求解即可；根据“永恒数”的定义，设，求出的值，根据为整数，分情况求出m的最大值与最小值即可得出结果．
本题考查了新定义的实数运算，整式运算，理解新定义并将其转化为整数的运算是解题的关键．
19．【答案】解：（1）原式
；
（2）由原方程可得，
则，
解得：或-3．
【解析】（1）利用二次根式的性质，算术平方根的定义及绝对值的性质计算即可；
（2）利用平方根的定义解方程即可．
本题考查实数的运算及平方根，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键．
20．【答案】解：（1），
①+②得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为；
（2）原方程组整理得，
①-②得：，
解得：，
将代入②得：，
解得：，
故原方程组的解为．
【解析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
21．【答案】垂直的定义同位角相等，两直线平行∠1两直线平行，同旁内角互补已知∠3同角的补角相等DG内错角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等
【解析】解：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
又∵（已知），
∴（同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴．（两直线平行，同位角相等），
故答案为：①垂直的定义；②同位角相等，两直线平行；③∠1；④两直线平行，同旁内角互补；⑤已知；⑥∠3；⑦同角的补角相等；⑧DG；⑨内错角相等，两直线平行；⑩两直线平行，同位角相等．
根据平行线的性质与判定条件结合垂直的定义，同角的补角相等进行证明即可．
本题主要考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，同角的补角相等等等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
22．【答案】解：（1）如图，即为所求．
的坐标为，的坐标为，的坐标为．
（2）△ABC的面积为
，
∵的面积等于△ABC面积的，
∴的面积为，
设点D的坐标为，
∴，
解得或-1，
∴点D的坐标为或．
【解析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）由题意可得，的面积为，设点D的坐标为，则可列方程为，解方程即可得出答案．
本题考查作图-平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
23．【答案】解：（1）设茄子和西红柿的种植面积各为x亩，y亩，
由题意得，，
解得，
答：茄子和西红柿的种植面积各为11亩，4亩；
（2）（万元），
答：种植场在这一季共获利34.6万元．
【解析】（1）设茄子和西红柿的种植面积分别为x亩，y亩，根据蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿，总投入是26万元，其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元列出方程组求解即可；
（2）根据（1）所求，列式计算即可．
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式．
24．【答案】解：（1）∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
（2）由（1）得，．
∵BE为∠ABC的角平分线，
∴．
∴．
【解析】（1）根据平行线的性质，由，得，进而推断出．根据平行线的判定，得．
（2）根据角平分线的定义，得．再根据三角形内角和定理求得．
本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形内角和定理是解决本题的关键．
25．【答案】解：（1）∵是关于x，y的二元一次方程，
∴，
解得，
又∵，
∴，
又∵轴，
∴，
∴，，
∴；
（2）∵，
且线段OA向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段DC，
∴，，
过点C作AB的垂线交BA的延长线于点M，过点D作轴于点E，且交MC的延长线于点N，如图，
；
（3）显然的最小值为点A的纵坐标，
∴的最小值为5．
【解析】（1）根据二元一次方程定义求出a，b，得到点A的坐标，以及点B的坐标，从而确定OB，AB的值，根据三角形面积公式求出三角形AOB的面积；
（2）根据平面直角坐标系中点的平移的规定得到点C，点D的坐标；再利用割补法即可求出四边形OACD的面积；
（3）根据垂线段最短即可直接写出的最小值．
本题考查二元一次方程的定义，坐标系中图形面积计算，平移，垂线段最短，掌握相关概念，以及割补法求图形的面积的方法是解题的关键．
26．【答案】（1）解：如图所示，过点G作，
图1
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（2）如图所示，过点H作，
图1
∵，，，
∴
∵MH平分∠BMG，NH平分∠GND，
∴
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）如图所示，将MP与CD的交点记作K，
图2
∵MT平分∠BMP，且，
∴，，
∵NC平分∠TNP，
∴，
设，
∴，
由（1）同理可得，，
∵，
∴，
∴在△KPN中，，
∴，即为定值．
【解析】（1）过点G作，利用平行线的性质求解；
（2）分别过点G和H作，，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取∠MHN的值；
（3）根据角平分线的定义求出，，，设，求出，，相减即可证明．
本题主要考查平行的常见模型，对于平行的辅助线添加，可过转折点处作已知直线的平行线，再利用平行的性质求解．关于度数的定值问题，可以借助代数式求证．