专题02 函数与导数（4考点+22题型）-【查漏补缺】2024年高考数学复习冲刺过关（新高考通用）

这是一份专题02 函数与导数（4考点+22题型）-【查漏补缺】2024年高考数学复习冲刺过关（新高考通用），文件包含专题02函数与导数4考点+22题型原卷版docx、专题02函数与导数4考点+22题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共89页， 欢迎下载使用。

1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
专题02 函数与导数
考点一：函数的概念与性质
知识点1 函数的有关概念
1、函数的三要素：
（1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；
（2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集．
（3）函数的对应关系：.
2、相等函数与分段函数
（1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
（2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。
知识点2 函数的单调性
1、单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。
2、函数的单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
3、函数单调性的性质
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
（1）与（C为常数）具有相同的单调性．
（2）与的单调性相反．
（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反．
（4）若≥0，则与具有相同的单调性．
（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；
当时，与具有相同的单调性．
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘．
（7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，
若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．
知识点3 函数的奇偶性
1、函数的奇偶性
2、函数奇偶性的几个重要结论
（1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称．
（2）如果函数是偶函数，那么．
（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
知识点4 函数的周期性
1、周期函数的定义
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．
知识点5 函数的对称性
1、关于线对称
若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数．
2、关于点对称
若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数．
【题型1 求函数的定义域】
1．（23-24高三下·广东广州·月考）若函数，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由．故选：C.
2．（23-24高三下·重庆·开学考试）（多选）已知函数=，下列结论不正确的是（ ）
A．定义域为 B．定义域为
C．定义域为 D．定义域为
【答案】ABD
【解析】若函数有意义，需满足，即，
则，即的定义域为；故选：ABD
3．（23-24高三上·河北邢台·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，所以的定义域为，
要使有意义，需满足，解得，
所以函数的定义域为.
4．（23-24高三下·北京顺义·月考）函数的定义域是 .
【答案】
【解析】由的解析式可得，解得；所以其定义域为.
【题型2 求函数的值域】
1．（2024·河北唐山·一模）已知函数，则的最小值为（ ）
A．0B．2C．D．3
【答案】C
【解析】由已知得，所以，
当且仅当即等号成立，则的最小值为．故选：C.
2．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，，
显然，则，于是，
所以函数的值域是．故选：C
3．（23-24高三上·河南·期中）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意且，所以函数的定义域为.
设，，则，，
其几何含义表示点与的斜率，为圆弧上一动点，
如图，当为圆弧为右端点时，斜率最小，最小值为，
当与圆弧相切时，直线的斜率存在且最大，设，即，
则圆心到直线的距离，即，如图，显然，所以.
所以函数的值域为．故选：C.
4．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，令，所以；
令函数的值域为，因为，
所以，所以必须能取到上的所有值，
，解得．故选：B
【题型3 函数的单调性及应用】
1．（2024·云南贵州·二模）已知，则的大关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，
当时，，在上递增；
当时，，在上递减,
故.
则，即；
由可知，故．故选：B.
2．（23-24高三下·广东佛山·开学考试）已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数在定义域上是增函数，且，
则有，则，解得，
所以实数的取值范围是．故选：C.
3．（2024·重庆·模拟预测）已知对，，，当时，都有 ，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由已知，且，则 ，即，
设，可知可知在上单调递增，
即恒成立，即，
设，则，
令，解得，
则当时，，单调递增；当时，，单调递减，
则，所以.
4．（2024·吉林·二模）已知函数，则关于的不等式解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由函数知：，解得：或，
所以函数的定义域为：，
因为
，
所以函数是偶函数，
因为当时，
令，则在上单调递增，
且在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
因为，所以，解得：或，
所以不等式解集为．故选：C
【题型4 函数的奇偶性及应用】
1．（2024·山东烟台·一模）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在上的奇函数满足，则，
于是，即函数的周期为4，
而，则，，又当时，，
所以．故选：A
2．（2022·全国·模拟预测）若的最大值和最小值分别为，，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】D
【解析】设，函数定义域为，则，即为奇函数，
其图象关于原点对称，则的最大值与最小值之和为0，
，故．故选：D.
3．（2024·浙江·二模）若函数为偶函数，则实数a的值为（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】A
【解析】的定义域为，，
由于为偶函数，故，
即，
故，解得，故选：A
4．（2024·贵州毕节·二模）已知奇函数与偶函数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为为奇函数，为偶函数，所以， ，
因为 所以 ，
即，所以,
对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于 D， ，故D错误．故选：C.
【题型5 函数的周期性与对称性应用】
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知是定义在R上的偶函数，且周期．若当时，，则（ ）
A．4B．16C．D．
【答案】B
【解析】因为．故选：B.
2．（2024·黑龙江吉林·二模）已知偶函数满足，且当时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数为偶函数，所以，
又，所以，即，
所以函数是以为周期的周期函数，
因为，
所以．故选：D.
3．（2024·河北沧州·一模）已知定义在上的函数满足：，且．若，则（ ）
A．506B．1012C．2024D．4048
【答案】C
【解析】，①
，即，所以，
所以函数的图象关于对称，
令，则，所以，
令，，又，所以，
又，，②
即函数的图象关于直线对称，
且由①和②，得，
所以，则函数的一个周期为4，则，
所以．故选：C
4．（2024·新疆·一模）已知定义在上的函数，满足，且，，则 .
【答案】
【解析】因为，所以，所以，
又，所以，
即，即，所以为偶函数，所以，
所以，所以的周期为，
又，，
所以，，，则，
，
所以，又，
所以
.
【题型6 抽象函数的性质应用】
1．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（ ）
A．B．是偶函数C．是增函数D．是周期函数
【答案】C
【解析】对A，令，则，得，故A错误；
对B，令，得，
由整理可得，
将变换为，则，
故，故，故是奇函数，故B错误；
对C，设，则，
且，
故，则.
又，是奇函数，故是增函数，故C正确；
对D，由是增函数可得不是周期函数，故D错误．故选：C
2．（23-24高三下·河南郑州·月考）（多选）已知函数满足，，则（ ）
A．B．
C．的定义域为RD．的周期为4
【答案】ABD
【解析】令，则，即，A正确，
令，则无意义，即的定义域不为R，C错误；
由可知，
令，则，即，故，B正确；
，
故，即的周期为4，D正确，故选：ABD
3．（2024·全国·一模）（多选）已知函数的定义域为，且满足①；②；③当时，，则（ ）
A．B．若，则
C．D．在区间是减函数
【答案】BC
【解析】由题意得当时，令，则，
因为，所以，
当时，令，则，
又因为，所以，即，
但在时不成立，
若有且，则得，
这时总可以找到，使，所以,
即，此式与矛盾，即，
从而，
对A：，故A错误；
对B：，即，即，故B正确；
对C：，故C正确；
对D：当，为增函数，故D错误；故选：BC.
4．（2024·安徽安庆·二模）（多选）已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（ ）
A．B．
C．函数为减函数D．函数的图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】对A：令，则有，故，故A正确；
对B：令，，则有，故，故B错误；
对C：令，则有，其中，，
令，，即有对、，当时，恒成立，
即函数为减函数，故C正确；
对D：令，则有，又，
故，故函数的图象关于点对称，故D正确．故选：ACD.
考点二：指数、对数、幂函数
知识点1 指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
2、指数函数的图象与性质
3、指数函数的常用技巧
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论；
（2）指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象，
底数与1的之间的大小关系为；
规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。
（3）指数函数与的图象关于轴对称。
知识点2 对数函数及其性质
1、对数函数的概念
（1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．
（2）特殊的对数函数
= 1 \* GB3 ①常用对数函数：以10为底的对数函数.
= 2 \* GB3 ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.
2、对数函数的图象与性质
3、对数函数图象的常用结论
（1）函数y＝lgax与y=lg1ax的图象x轴对称；
（2）对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
知识点3 幂函数及其性质
1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
（2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象(如图)．
2、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
【题型1 指对幂代数式的化简求值】
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由换底公式得，，，
所以．故选：D.
2．（2024·贵州毕节·二模）（多选）已知，则下列式子中正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】由已知可得 ，
所以 , 故A错误;
所以, 故B正确;
由 , 当且仅当 , 即 时取等号,
显然取不到，所以, 故C正确;
,当且仅当,
即 时取等号, 显然取不到所以，故D正确；故选：BCD.
3．（2023·四川德阳·一模）已知,则 ．（用数字作答）
【答案】
【解析】
4．（23-24高三上·河南焦作·月考）（多选）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】，A成立；
，B不成立；
，C成立；
，D不成立．故选：AC
【题型2 指数函数的图象与性质】
1．（2024·云南楚雄·一模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中、为正常数），经过个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据：）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，可得，解得，则，
这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以，
所以，则．故选：B.
2．（23-24高三上·辽宁大连·期中）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．D．
【答案】B
【解析】函数（且）的图象恒过定点,所以，
,
,当且仅当，即等号成立故选：B.
3．（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，，则在上单调递增．
因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减，
结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4．故选：
4．（2024·山东聊城·一模）若函数的值域为，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】当时，，此时，
故当时，有恒成立，
即在时恒成立，即，即.
【题型3 对数函数的图象与性质】
1．（23-24高三上·上海静安·月考）点，都在同一个对数函数上，则t= .
【答案】9
【解析】设对数函数为，因为在函数上，所以，解得；
因为也在函数上，所以，解得.
2．（23-24高三下·江西·开学考试）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2023年12月18日在甘肃积石山县发生了里氏6.2级地震，2024年1月4日在斐济群岛发生了里氏5.7级地震，若前后这两个地震释放的能量之比是，则的整数部分为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】设前后两次地震释放的能量分别为，
由已知得，两式相减得，
则，
因为，则，即，
所以的整数部分为5．故选：C.
3．（23-24高三上·陕西安康·月考）函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方法一：因为，即，所以，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
当时，，即，因此，故排除A．故选:D.
方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
又，所以排除A．故选：D.
4．（2024·贵州黔东南·二模）若函数的值域为．则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意可得要取遍所有正数，
则需要求，因为，解得；
故．故选：C
【题型4 幂函数的图象与性质】
1．（23-24高三上·新疆克孜勒苏·期中）已知幂函数的图象经过点，则的值等于 .
【答案】
【解析】设幂函数，则，故，即，.
2．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ．
【答案】（不唯一）
【解析】因为在上单调递增，又在区间上单调递减，
所以可以为偶函数，不妨取，
此时，函数定义域为，
且，故为偶函数，
满足在区间上单调递减．
3．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误；
对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误；
对于C：函数的定义域为，又为奇函数，
又在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；
对于D：定义域为，又为奇函数，
且在上函数是上凸递增，故D正确．故选：D
4．（23-24高一上·贵州·月考）（多选）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】AB
【解析】对于幂函数，若函数在上单调递增，则，
若函数在上单调递减，则，所以，D选项错误；
当时，若的图象在的上方，则，若的图象在的下方，则，
所以，C选项错误；
因为当时，指数越大，图象越高，所以，
综上，，AB选项正确．故选：AB
【题型5 指对幂函数比较大小】
1．（2023·陕西·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，即，
又由，即，即，所以，
因为，
根据对数函数为定义域上的单调递增函数，可得，所以，
所以．故选：C.
2．（2024·浙江温州·二模）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对，因为，则，即函数在单调递减，
且时，，则，即，所以，
因为且，所以，
又，所以．故选：B
3．（2024·安徽阜阳·一模）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
，
，
．故选：D．
4．（2024·辽宁·一模）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，，故，，
要比较与的大小，即比较与的大小，
等价于比较与的大小，等价于比较与的大小，
又，
故，即，即，故．故选：B.
【题型6 指对幂函数综合应用】
1．（23-24高三上·贵州贵阳·月考）（多选）已知函数，则所有正确的结论是（ ）
A．函数是增函数 B．函数的值域为
C．曲线关于点对称 D．曲线有且仅有两条斜率为的切线
【答案】ABC
【解析】对于：函数，
函数在上为增函数，则复合函数在上为增函数，
所以函数是增函数，故A正确；
对于：函数，函数在上为增函数且，则，
于是，即，所以，即函数的值域为，故B正确；
对于C：，，
则有，曲线关于点对称，故C正确；
对于D：，其导数，
若，变形可得，
令，则，
因为，所以，又，
于是 ，即关于的一元二次方程无实数根，
所以无解，即曲线不存在斜率为的切线，故D错误．故选：ABC.
2．（23-24高三上·辽宁·月考）（多选）已知函数的值域为，，，，则下列函数的最大值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因为，所以，
当的取值范围为时，的取值范围为，
所以的最大值与的最大值相等，均为，A正确．
因为，
所以的最大值为，B错误．
因为，所以，
当的取值范围为时，的取值范围为，
所以的最大值与的最大值相等，均为，所以的最大值为，C正确．
，因为，，，
所以，所以的最大值一定不是，D错误．故选：AC.
3．（2024·陕西·一模）已知函数的定义域为．
（1）当时，求；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，，
所以，即，
①当时，得，解得．
②当时，得，无解．
③当时，得，解得．
∴．
（2）不等式，即，
所以，所以，所以，
当时，恒有，当且仅当时等号成立，
又不等式有解，，即，
∴m的取值范围为．
4．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，，
则，
因为函数是定义在上的奇函数，所以，
故，
当时，，符合上式，
综上，所以的解析式为.
（2）当时，，
因为，所以，所以，所以，
由对称性可知，当时，，
当时，，
综上，，
所以实数的取值范围是．
考点三：函数与方程
知识点1 函数零点与方程的解
1、函数零点的定义
（1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
（2）函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，
也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数．
2、函数零点存在定理
（1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，
那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，
这个c也就是方程f(x)＝0的根．
（2）两个重要推论
推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点．
推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则
知识点2 二分法
1、二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2、求二分法的步骤
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤
= 1 \* GB3 ①确定零点的初始区间，验证
= 2 \* GB3 ②求区间的中点
= 3 \* GB3 ③计算，进一步确定零点所在的区间：
若（此时），则就是函数的零点；
若（此时），则令；
若（此时），则令.
= 4 \* GB3 ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）
【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；
【题型1 函数零点所在区间问题】
1．（2023·吉林长春·一模）方程的根所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则方程根所在区间即为零点所在区间，
与在上均为增函数，在上单调递增；
对于A，，当时，，A错误；
对于B，，，即，
，使得，B正确；
对于CD，当时，，在区间和上无零点，C错误，D错误．故选：B.
2．（2023·河北·模拟预测）已知函数有一个零点，则属于下列哪个区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题知在上单调递增，
∵，，，
又，∴，即在上存在使得．故选：B.
3．（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（ ）
A．B．或.
C．D．或.
【答案】D
【解析】由函数，
若，可得，令，即，解得，符合题意；
若，令，即，可得，
当时，即，解得，此时，解得，符合题意；
当时，即且，则满足，解得且，
若，可得，令，即，
解得或，其中，符合题意；
若，可得，令，即，
解得或，其中，符合题意；
综上可得，实数的取值范围为或．故选：D.
4．（宁夏回族自治区银川一中2023届高三三模数学（理）试题）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由零点存在定理可知，若函数在区间上存在零点，
显然函数为增函数，只需满足，即，解得，
所以实数的取值范围是．故选：D
【题型2 函数零点个数的判断】
1．（2024·山西·模拟预测）方程的实数根的个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【解析】设，．在同一直角坐标系内画出与的大致图象，
当时，；当时，．
根据图象可得两个函数共有11个交点．故选：C．
2．（2024·广东·模拟预测）函数在开区间的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】法一：
，
令，则或，即：或或，
如图所示：
由图像可知，函数共8个零点．
法二：因为，
由，得，或，
所以，或，即，或，，
因为，所以，或共个零点．故选：D
3．（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3B．5C．6D．8
【答案】B
【解析】依题意，函数零点的个数，即为方程解的个数，
令，则，当时，，令，，
函数在上单调递增，于是函数在上单调递增，
又，，则存在，使得；
当时，，解得或，
作函数的大致图象，如图：
又，则，
当时，，由的图象知，方程有两个解；
当时，，由的图象知，方程有两个解；
当，时，，由的图象知，方程有一个解，
综上所述，函数的零点个数为5．故选：B
4．（2024·云南昆明·一模）（多选）已知函数，，则（ ）
A．当时，有2个零点 B．当时，有2个零点
C．存在，使得有3个零点 D．存在，使得有5个零点
【答案】BCD
【解析】由的图象可知，的值域为，
对于选项AC：令，则在上恒成立，
可知在上单调递增，则，
即当且仅当等号成立，
令，若，可得，
令，
当，则，可知；
当，结合图象可知当且仅当，方程有根，解得；
即或，结合图象可知：有1个根；有2个根；
综上所述：当时，有3个零点，故A错误，C正确；
对于选项B：令，若，可得，
令，即，注意到，
由图象可知方程有两个根为一根为，另一根不妨设为，
即或，结合图象可知：
有1个根；有1个根；
综上所述：当时，有2个零点，故B正确；
对于选项D：令，若，可得，
令，即，
令，解得，
由图象可设方程有三个根为，且，
即或或，结合图象可知：
或有1个根；有3个根；
综上所述：当时，有5个零点，故D正确；
故选：BCD.
【题型3 已知函数零点个数求参数】
1．（2024·辽宁·一模）已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，
当时，函数在上单调递减，且，，当时，
当时，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
可得的大致图象如下所示：
令，则化为，
当时无解，则无解；
当时，解得，由图可知有两解，即有两解；
当时有一解且，又有一个解，即有一解；
当时有两个解，即、，
又有一个解，有两个解，所以共有三个解；
当时有三个解，即，，，
无解，有三个解，有两个解，所以共有五个解；
当时有两个解，即，，
有三个解，有两个解，所以共有五个解；
综上可得的取值范围是．故选：C
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】作出函数的图象如下：
令，则方程有两个不同实根，
当时，方程的根为，此时无实根，不符合题意，舍去；
当时，若方程有两相等实根，
则，解得或，
当时，方程的根，此时无根，不符合题意，舍去；
当时，方程的根，此时有两个不同实根，符合题意；
若方程有两个不同实根，设为，
所以，解得或
同时有或或
所以或或或，解得.
综上或
3．（23-24高三下·重庆九龙坡·月考）设关于的方程有3个互不相同的实根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，设，
由于，
故关于对称，若有3个互不相同的实根，则，其余两根关于对称，
由得，
经检验，当时，，解得或或3，符合题意；
当时，，解得，不符合题意；
故实数的取值范围是.
4．（2024·天津·一模）若函数恰有两个不同的零点，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设，则，则，
令，显然,则有，令，
由对勾函数性质可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
若恰有两个不同的实数根、，且，则，
令，解得或，故，
即有，故.
考点四：导数及其应用
知识点1 导数的概念
1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．
2、导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．
知识点2 导数的运算
1、基本初等函数的导数公式
2、导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．
知识点3 导数与函数的单调性、极值、最值
1、导数与函数单调性的关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．
2、函数极值的定义
（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3、函数最值的定义
（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
【题型1 利用导数求曲线的切线】
1．（23-24高三下·天津·开学考试）函数的图象在处切线的斜率为 .
【答案】
【解析】由题意可知，，，
根据导数的几何意义可知，函数的图象在处切线的斜率为.
2．（2024·福建漳州·一模）若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．3B．C．0D．1
【答案】C
【解析】因为，则，
由题意可得：，解得，所以．故选：C.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）若直线与曲线相切，则切点的横坐标为 ．
【答案】1
【解析】因为，所以，
设函数，则，
所以在定义域上单调递增，
因为，所以方程的解为，则所求切点的横坐标为．
4．（23-24高三下·海南·开学考试）已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为 ．
【答案】
【解析】根据题意得，，设切点坐标为，则，
所以切线的方程为，
将点代入，可得，整理得，
故，解得，故，即切线的斜率为．
【题型2 根据切线情况求参数】
1．（23-24高三下·新疆·月考）已知函数的图象在两个不同点处的切线相互平行，则的取值可以为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】D
【解析】由，则，则，，
依题意可得且、、，
所以，所以，
经验证，当、分别取、时满足题意．故选：D
2．（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】设直线与曲线的切点为且，
与曲线的切点为且，
又，，
则直线与曲线的切线方程为，即，
直线与曲线的切线方程为，即，
则，解得，故，故选：A.
3．（23-24高三下·四川巴中·月考）若曲线上存在垂直于轴的切线，则的范围是
【答案】
【解析】由题意函数的定义域，
求导，因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，
即， 存在零点，
故，即
令，，则，故，
4．（23-24高三上·江苏徐州·月考）若过点可作3条直线与函数的图象相切，则实数不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设切点为，
因为，所以，即，
所以切线方程为，
所以，
即，
令，则，
令，即；令，即或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
由，，且当时，，
所以函数的大致图象如下：
由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点，
此时过点可作3条直线与函数的图象相切，
所以实数的取值范围为．故选：A.
【题型3 利用导数研究函数的单调性】
1．（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
且，
令，解得，所以的单调递增区间为．故选：D
2．（23-24高三上·山东青岛·期末）若函数在上单调递增，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，
当时，，
令得，
令，，
在上恒成立，
故在上单调递减，
又，所以，解得；
当时，，
令得，
令，，
在上恒成立，
故在上单调递减，
其中，故，解得，
由于，即在处连续，综上，.
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数，求导得，
依题意，不等式在上有解，即在上有解，
令，，求导得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
当时，，因此，
所以实数的取值范围是．故选：C
4．（2023·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．m>1
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
且，
令，得，
因为在区间上不单调，
所以，解得：，故选：B.
【题型4 构造函数解不等式】
1．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数．若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设函数，可得，
所以函数在上单调递减，
由，可得，即，
可得，所以，即不等式的解集为．故选：D.
2．（23-24高三上·河北·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，有，
令，则，所以在区间上单调递增．
又，得，所以，
所以，解得．故选：A
3．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数的定义域为，其导函数是．若对任意的有，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令函数，，求导得，
因此函数在上单调递减，不等式，
即，解得，所以原不等式的解集为．故选：B
4．（2024·云南楚雄·一模）已知是上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得．
令，则，所以在上单调递增，
又，为奇函数，所以，，
则．故选：B.
【题型5 利用导数研究函数的极值】
1．（23-24高三下·广东·月考）已知函数存在极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，且，
由于函数存在极值点，即在上有变号零点，
由，得，
令，则，则a的取值范围为在上的值域，
且需满足的，即；
对于，当时，，
故，即实数的取值范围是，故选：A
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，令，
若恒成立，易知：当时，当时，
所以是的极小值点，不合题意，故有两个不同零点．
设的两个零点分别为，则，
结合三次函数的图象与性质知： ，
在、上，单调递减，
在、上，单调递增，是的极大值点，符合题意，
此时需，得，所以实数的取值范围为．故选：D.
3．（23-24高三下·山西晋城·开学考试）若在处有极值，则函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得，，解得，
故，
当时，，单减；当时，，单增，
故函数的单调递增区间是．故选：A
4．（2024·广东佛山·二模）若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，，
又函数既有极大值也有极小值，所以函数在上有两个零点，
由，所以方程有两个不同的正实数，
所以，即．故选：B
【题型6 利用导数研究函数的最值】
1．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得，
故当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
故当时，取得最大值，即，此时，
当，，当时，
故最小值为，故选：C
2．（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得．
当时，得或，当时，，
可得函数的单调增区间为，．减区间为，
即时，函数取得极小值，
当时，即，解得或，
故要使函数在区间上存在最小值，
需有，解得，即实数a的取值范围为，故选：A．
3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】设，
因为，则，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以代入，则，
，
令，
则，因为，
则，，，
，所以在上恒成立，
所以在上单调递减，因为，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故，即，
所以的最大值为.
4．（2024·广西南宁·一模）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为，所以，
若，则时，，故在上单调递减，
时，，故在上单调递增，
所以当时，有最小值，满足题意；
若，则当无限趋近于负无穷大时，无限趋向于负无穷大,没有最小值，不符合题意；
综上，，所以实数的取值范围为.
【题型7 利用导数研究不等式成立问题】
1．（2024·山东济南·一模）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以即求直线的纵截距的最小值，
设，所以，
所以在单调递增，所以在的图象上凹，
所以直线与相切，切点横坐标越大，纵截距越小，
令切点横坐标为，所以直线过点，且直线斜率为
所以的直线方程为，
当时，，
即直线与相切时，直线与无交点，
设，所以，
所以在时斜率为，在时斜率为，均小于直线的斜率，
所以可令直线在处与相交，在处与相交，
所以直线方程为，所以截距为．故选：A.
2．（2024·广东广州·一模）已知函数，.
（1）求的单调区间和极小值；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）递增区间为，递减区间为，极小值为1；（2）证明见解析．
【解析】（1）函数，，求导得，
当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以的递增区间为；递减区间为，的极小值为.
（2）证明：当时，令，
求导得，
令，求导得，
函数在上单调递增，则，在上单调递增，
因此，所以.
3．（2024·辽宁抚顺·一模）已知函数．
（1）当时，判断的单调性；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）在上是单调递增函数；（2）
【解析】（1）函数的定义域为，
当时，．
当时，有，得，函数在区间单调递增；
当时，有，得，函数在区间单调递增．
综上：可知在上是单调递增函数．
（2）当时，恒成立，
即恒成立，因此只需．
令，则．
令，则，
所以在区间是单调递增函数；
因为，所以在内存在唯一零点，且，
所以当时，，即，
函数在区间是单调递减函数，
当时，，即，函数在区间是单调递增函数．
又因为，即．（*），
设，当时，，所以在上单调递增，
因为，所以，
由知，所以，且．
所以．
所以，即，故实数的取值范围为．
4．（2024·江西赣州·一模）已知函数.
（1）求的单调区间，
（2）已如．若函数有唯一的零点．证明，.
【答案】（1）减区间为，增区间为；（2）证明见解析．
【解析】（1），令，
当时，即为增函数，
又
当时，单调递减；当时，单调递增．
的减区间为，增区间为
（2）
由（1）可知在单调递增，且，
又
存在唯一的使得
当时单调递减；当时单调递增；
若方程有唯一的实数，则
，消去可得，
令，
则，在上为减函数
且
当时，即奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数
关于原点对称
求函数定义域的依据：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围
1、分式的分母不能为零．
2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中
奇次方根的被开方数取全体实数，即中，.
3、零次幂的底数不能为零，即中.
4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
求函数值域的七种方法
1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．
2、图象法：作出函数图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．
3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．
4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．
5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，
形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法
6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：
将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。另外，此种形式还可使用分离常数法解法。
7、导数法：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数的单调性：
如果定义域时闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处；
如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。
判断函数单调性(单调区间）的常用方法
①定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得出结论。
②图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可以作出，可由图象的升、降判断它的单调性或写出单调区间。
③复合函数法：根据“同增异减”判断，即内、外层函数的单调性相同时，为增函数，内、外层函数的单调性不同时，为减函数。
④导数法：先求导，再利用导数的正负，确定函数的单调性(单调区间）。
⑤性质法：a．在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增一减=增，减一增=减
1、求函数值或函数解析式：利用奇偶性将所求值对应的自变量转化到已知解析式的区间，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可．
2、求参数：由定义或定义的等价关系式 (奇函数)与(偶函数)得到恒等式，再利用系数相等构造方程(组)求解．
函数周期性的常用结论及应用（是不为0的常数）
（1）若，则； （2）若，则；
（3）若，则； （4）若，则；
（5）若，则； （6）若，则（）
1、抽象函数的赋值法：赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种：
（1）……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解；
（2）通过的变换判定单调性；
（3）令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；
（4）换为确定周期性．
2、判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系．有时可能要进行多次尝试．
= 1 \* GB3 ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或;
= 2 \* GB3 ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或.
图象
图像特征
在轴的上方，过定点
当逐渐增大时，图象逐渐上升
当逐渐增大时，图象逐渐下降
性质
定义域
值域
单调性
在上是增函数
在上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
范围
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
图象
a＞1
0＜a＜1
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
当0＜x＜1时，y＜0；
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数
在(0，＋∞)上为减函数
指数幂运算的一般原则
（1）指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；
（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
（3）底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；
（4）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。
1、指数函数的图象需要注意以下几个特征：
（1）指数函数的图象所过的关键点为，，；
（2）函数图象与坐标轴的交点位置；
（3）函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。
2、指数型复合函数的值域
（1）形如（，且）的函数求值域
换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围
（2）形如（，且）的函数求值域
换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
1、对数函数图象的识别及应用方法
（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项；
（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
2、对数型复合函数的值域
（1）形如（，且）的函数求值域
换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域。
（2）形如（，且）的函数的值域
换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域。
对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1,y=1,y=x所分区域．根据a<0，01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
指对幂比较大小的常见方法
1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；
2、作差法、作商法：
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；
3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；
4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；
5、构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律
（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；
（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
6、放缩法：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
函数零点定理是指如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力。
函数零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点．
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
已知零点个数求参数范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝eq \f(1,x)
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
已知，过点，可作曲线的（）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；
第三步：计算切线方程．根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；
对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻
一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。
1、导数法求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
2含参函数单调性讨论依据
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
3、已知函数的单调性求参数
（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；
（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；
（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点
（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点
构造函数法解决函数问题中的常见类型
关系式为“加”型构造：
（1） 构造
（2） 构造
（3） 构造
（4）构造（注意的符号）
（5） 构造
关系式为“减”型构造：
（6） 构造
（7） 构造
（8） 构造
（9）构造（注意的符号）
（10） 构造
误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系
点拨：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号。
1、利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数；
（2）求方程的所有实数根；
（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化．
①如果的符号由正变负，则是极大值；
②如果由负变正，则是极小值．
③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点．
2、根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路：
根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出，然后分析的根的个数：①分类讨论法分析的根的个数并求解参数范围；②参变分离法分析的根的个数并求解参数范围；③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围．
函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为：
（1）求函数在区间上的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；
（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。
1、单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），
（2），
（3），
（4），
2、双变量不等式
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故．