2024年甘肃省武威市凉州区长城九年制学校联片教研中考数学二模试题（原卷版+解析版）

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1. 实数的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了实数的性质，相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：实数的相反数是，
故选：A．
2. 下列四个说法：（1）的系数是；（2）是多项式；（3）的常数项是3；（4）是同类项，其中正确的是（ ）
A. （1）（3）B. （2）（4）C. （1）（2）D. （3）（4）
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类项、单项式与多项式的相关概念即可完成．
【详解】的系数是，故说法（1）错误；是多项式，故说法（2）正确；的常数项是−3，故说法（3）错误；是同类项，故说法（4）正确；即正确的说法有（2）与（4）两个．
故选：B．
【点睛】本题考查了同类项的识别，单项式的系数与多项式的常数项等知识，掌握同类项的概念、单项式与多项式的相关知识是解答本题的关键．
3. 用代入消元法解方程组，将①代入②可得（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据代入消元法的定义，把①代入②就是把②中的y换成用x表示，即可求解.
【详解】解：
把①代入②得：，
即，
故选：A
【点睛】本题主要考查了代入消元法，解题的关键在于能够熟练掌握代入消元法的定义.
4. 在一扇形统计图中，有一扇形的面积占整个圆面积的，则这个扇形的圆心角为（ ）
A. 15°B. 36°C. 54°D. 72°
【答案】C
【解析】
【分析】扇形面积占整个圆形的15%，用360°乘以15%进行计算即可．
【详解】360°×15%=54°
故选C．
【点睛】每部分占整个部分的分率等于这部分的圆心角占360°的分率．
5. 若一个凸多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的内角和是（ ）
A. 1080°B. 1260°C. 1440°D. 1620°
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形外角和为 ，求出多边形的边数，再利用多边形内角和公式即可求解．
【详解】该多边形的变数为
此多边形内角和为
故选C
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角和的性质与运算公式，掌握多边形外角和为，多边形内角和为是解题关键．
6. 如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去个全等的三角形的面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵大正方形面积为，四个全等的直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，，
∴，，
∴，
∴，即小正方形边长为，
故选：．
【点睛】本题主要考查勾股定理，理解图示的意思，掌握面积法与勾股定理的计算方法是解题的关键．
7. 若关于的方程无解，则的值为（ ）
A. B. 或C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于．
【详解】解：方程去分母得：，
解得：，
当时分母，方程无解，
即，
时方程无解，
，
当时，，
方程也无解．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，解题的关键是得出时，方程无解．
8. 如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．
【详解】解：连接OB，OC，
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，
故选：C．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
9. 如图，在平行四边形中，在上，、交于，若，且．则的长为（ ）

A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质；由平行四边形的性质可得，，可证，由三角形相似的性质，结合，可得，进而求解即可．
【详解】四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
10. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数的图象交于点，．若，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，可得出点的坐标，运用待定系数法即可求出的解析式；设，过点作轴，垂足为，则，
得出，根据相似三角形的性质解出点的坐标，可得反比例函数表达式，联立反比例函数与一次函数即可求解．
【详解】在中，∵，
∴，
∵，∴，
∵A、B两点在函数上，
将、代入得

解得，，
∴
设，过点作轴，垂足为，则，
∴
∴，
又∵，
∴，
即，，即，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
联立，得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查反了，已知正切求边长，相似三角形的性质与判定，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数的性质是解题的关键．
二、填空题：本题共8小题，共22分．
11. 若关于x的方程的解是，则的值是____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了方程解的定义，把代入方程计算即可求出的值．
【详解】解：∵关于x的方程的解是，
∴，
，
．
故答案为：3．
12. 若不等式（a﹣3）x＞1的解集为，则a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得a−3<0，即可求解．
【详解】解：∵(a−3)x>1的解集为x<，
∴不等式两边同时除以(a−3)时不等号的方向改变，
∴a−3<0，
∴a<3．
故答案为：a<3
【点睛】本题考查了不等式的性质熟练掌握在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键 ．
13. 若与的两边分别平行，且，，则的度数为________．
【答案】70°或86°
【解析】
【分析】根据两边互相平行的两个角相等或互补列出方程求出x，然后求解即可．
【详解】解：∵∠1与∠2的两边分别平行，
∴①∠1=∠2，
∴（2x+10）°=（3x-20）°，
解得x=30，
∠1=（2×30+10）°=70°，
或②∠1+∠2=180°，
∴（2x+10）°+（3x-20）°=180°，
解得x=38，
∠1=（2×38+10）°=86°，
综上所述，∠1的度数为70°或86°．
故答案为：70°或86°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记两边互相平行的两个角相等或互补，易错点在于要分两种情况考虑．
14. 已知，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，在第一象限内有一点P，使得是等腰直角三角形，则点P的横坐标为_______．
【答案】，7，6
【解析】
【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点问题及勾股定理，根据坐标轴的特点求出点A、点B坐标，设，根据勾股定理及等腰列式求解即可得到答案；
【详解】解：设，
当时，，故，
当时，，解得：，
故：，
①当时，
，
，
解得：；
②当时，
，
，
解得：；
③当时，
，
，，
解得：；
综上所述：点P的横坐标为，7，6，
故答案为：，7，6．
15. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】首先根据正方形的性质可证得，，，可证得，可得、两个正方形阴影部分的面积是，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是，据此即可解答．
详解】解：连接、，如图：
∵四边形ABCD是正方形，是正方形的中心，
∴，，，
，
，
∴，
在和中
∴，
∴、两个正方形阴影部分的面积是，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证得每个阴影部分的面积为是解决本题的关键．
16. 如图，将绕点顺时针旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，与相交于点，若，，，则的长为_____．

【答案】
【解析】
【分析】如图，过点作于点，证明，得到，，再证明，得到，由及旋转可得到，由勾股定理得到，即可求出长．
【详解】如图，过点作于点，

由旋转可知：，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，通过题意构造辅助线是解题的关键．
17. 如图，在矩形中，， ，以点A为圆心，的长为半径画弧交边于点E，则图中阴影部分的面积是___________．（结果保留π）
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积的计算及矩形的性质，用矩形的面积减去扇形的面积即可求得阴影部分的面积．
【详解】在矩形中，，，
，
，
在中
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
18. 如图，矩形纸片，，点，分别在，上，把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长交线段于点，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用矩形判定及性质证得，根据折叠性质则可得出是的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质证明相似三角形判定推出，，即可求得结果．
【详解】解：过作于，设交于，如图：

四边形是矩形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. （1）计算： （2）求不等式组的整数解．
【答案】（1）-1；（2）0或1.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据绝对值、零次幂、特殊角三角函数值的意义进行计算即可求出答案；
（2）先求出每个不等式的解集，再找出它们的公共部分，最后再确定整数解.
试题解析:(1)原式==-1；
（2）解不等式（1）得：；
解不等式（2）得：；
所以不等式组织的解为：.
故它的整数解为0或1.
考点: 1.实数的混合运算；2.解一元一次不等式组.
20. 在平面直角坐标系中，已知的位置如图所示．
（1）请作出向右平移5个单位后得到的（其中点，，分别是点A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）写出点B关于x轴的对称点的坐标．
【答案】（1）图见详解；
（2）；
【解析】
【分析】（1）本题考查画平移图形，根据平移的方向及单位长度直接画即可得到答案；
（2）本题考查求关于坐标轴对称点的坐标，根据关于轴对称横坐标不变，纵坐标互为相反数直接求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：由题意可得， 如图所示，
【小问2详解】
解：由图像可得，，
∵点是点B关于x轴的对称的点，
∴．
21. 如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且．

（1）求证：．
（2）连接AD，求证：AD⊥BC．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟记全等三角形的判定方法与等腰三角形的三线合一是解本题的关键．
（1）先证明，再证明即可；
（2）先证明，再利用等腰三角形的性质可得结论．
【小问1详解】
证明：是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
≌
；
【小问2详解】
如图，连接，

，
，
是等腰三角形，
是中点，
是底边上的中线，
也是底边上的高， 即．
22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）首先根据平行线的性质得到∠AFE=∠DBE，再根据线段中点的定义得到AE=DE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AF=BD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到∠ADC=90°，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEB，
∴（AAS）；
（2）证明：∵，
∴AF=BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD=CD，
∴AF=CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，
∴，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF为矩形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明与矩形证明，熟练掌握相关概念是解题关键.
23. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
（1）若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表加以说明．
【答案】（1）小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是
（2）正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是，用树状图说明见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解，即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
解：小明任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：；
【小问2详解】
画树状图得：
共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24. 在淘宝一年一度的“双十一”活动中，某电商在2014年销售额为2500万元，要使 2016年“双十一”的销售额达到3600万元，平均每年“双十一”销售额增长的百分率是多少？
【答案】20%
【解析】
【详解】试题分析：增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均增长率为x，根据“在2014年销售额为2500万元，要使 2016年“双十一”的销售额达到3600万元”，即可得出方程．
解：设平均每年“双十一”销售额增长的百分率是x，根据题意得
2500（1+x）2=3600，
（1+x）2=，
1+x=±，
x1==20%，x2=﹣（不合题意，舍去），
答：平均每年“双十一”销售额增长的百分率是20%．
考点：一元二次方程的应用．
25. 点A，B，C都在上，且，若，的半径为5，连接，求的长．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的基本性质，解题的关键是利用所判定的垂直，结合垂径定理得到．连接，，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理求解即可．解题的关键是掌握垂径定理和勾股定理．
【详解】解：如图，连接，，

∴，
∵，
∴垂直平分，即，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴．
26. 如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆AB的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为4米，∠DCE＝45°，求旗杆AB的高度？
【答案】旗杆的高度为11米．
【解析】
【分析】延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E，根据勾股定理求出ED的长，再由同一时刻物高与影长成正比得出EF的长，根据DE//AB可知△EDF∽△ABF，由相似三角形的对应边成比例即可得出AB的长．
【详解】延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E，
∵CD米，∠DCE=45°，
∴DE=CE=CD=4，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴，解得EF=2DE=8，
∴BF=10+4+8=22，
∵DE⊥BC，AB⊥BC，
∴△EDF∽△BAF，
∴，即，
∴AB=11米．
答：旗杆的高度为11米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点是直线下方拋物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）
（2），
（3）；；
【解析】
【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线中求出b，c即可；
（2）设交于，可得，求出直线AB的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可；
（3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可．
【小问1详解】
解：将点，代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为：；
【小问2详解】
如图，设交于，
∵，，
∴OA＝OB＝4，
∴，
∵PC∥OB，PD∥OA，
∴，，
∴，
设直线AB的解析式为，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为，
设，则，，
∴，
∴当时，取得最大值，此时；
小问3详解】
由题意得：平移后抛物线解析式为，，
∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴设，，
分情况讨论：
①当为对角线时，
则，
解得：，此时，
∴；
②当为对角线时，
则，即，
此时，
∴；
③当为对角线时，
则，即，
此时，
∴，
综上所述，点的坐标为：，，．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程．