培优冲刺05 导数压轴大题-【查漏补缺】2024年高考数学复习冲刺过关（新高考通用）

这是一份培优冲刺05 导数压轴大题-【查漏补缺】2024年高考数学复习冲刺过关（新高考通用），文件包含培优冲刺05导数压轴大题原卷版docx、培优冲刺05导数压轴大题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共115页， 欢迎下载使用。

1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
培优冲刺05 导数压轴大题归类
TOC \ "1-3" \p " " \h \z \u 目录
题型一：不等式证明：三角形不等式
1．（2024·湖南·一模）已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)时；
（ⅰ）若，求的取值范围；
（ⅱ）证明：．
2．（2024·山西朔州·一模）已知函数为的导函数．
(1)若函数在处的切线的斜率为2，求的值；
(2)求证：．
3．（2024·全国·模拟预测）设函数．
(1)讨论的零点个数；
(2)若，求证：．
题型二：三角函数型数列不等式证明
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函数．
(1)判断函数的单调性
(2)证明：①当时，；
②.
2．（2024·天津·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若在的图象上有一点列，若直线的斜率为，
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：．
3．（2024·全国·模拟预测）已知当时，，，.
(1)证明：；
(2)已知，证明：（可近似于3.14）．
题型三：混合型极值点偏移证明
1．（2023·陕西安康·二模）已知函数，（e为自然对数的底数）
(1)当时，恰好存在一条过原点的直线与，都相切，求b的值；
(2)若，方程有两个根，（），求证：．
2．（2023·山西·模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点（），求证：.
3．（2021·陕西宝鸡·模拟预测）已知．
（1）求的单调区间；
（2）当时，若关于x的方程存在两个正实数根，证明：且．
题型四：三个零点型偏移证明
1．（2022·安徽淮南·二模）已知函数．
(1)若，证明：时，；
(2)若函数恰有三个零点，证明：．
2．（2022·河南·模拟预测）已知函数．
(1)若函数有三个零点，求a的取值范围．
(2)若，证明：．
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数．
(1)当时，判断在区间内的单调性；
(2)若有三个零点，且．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
题型五：非对称型偏移证明不等式
1．（22-23高三上·河南·）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若存在，且，使得，求证：.
2．（2022·全国·模拟预测）设函数.
(1)若，求函数的最值；
(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，，且，求证：．
题型六：比大小型证明不等式
1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数.
(1)证明：当时，；
(2)设为正实数且.
（i）若，证明：；
（ii）若，证明：.
2．（2022·河南·三模）已知函数，.
(1)判断函数的零点个数；
(2)比较，，的大小，并说明理由．
3．（23-24高三上·甘肃金昌·阶段练习）已知函数是函数的导函数．
(1)求函数的单调区问；
(2)设，试比较与的大小，并说明理由；
题型七：三角函数型比大小证明不等式
1．（22-23高三天津南开·阶段练习）已知函数.
(1)当，时，求的单调区间；
(2)若在区间内存在极值点.
①求实数的取值范围；
②求证：在区间内存在唯一的，使，并比较与的大小，说明理由．
2．（23-24高三·福建南平·）已知函数.
(1)当时，比较与的大小；
(2)若，比较与的大小．
3．（22-23高三·北京大兴·）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在区间上的单调性；
(3)对任意的，且，判断与的大小关系，并证明结论．
题型八：恒成立型求参
1．（2024·北京顺义·二模）设函数，．曲线在点处的切线方程为.
(1)求a的值；
(2)求证：方程仅有一个实根；
(3)对任意，有，求正数k的取值范围．
2．（23-24高三·上海·）已知函数.
(1)若直线是曲线的切线，求实数的值；
(2)若对任意实数恒成立，求的取值范围；
(3)若，且，求实数的最大值．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数．
(1)求函数的极值；
(2)若恒成立，求的最大值．
题型九：构造新函数求参
1．（2024·辽宁·一模）已知函数
(1)讨论的零点个数;
(2)当时，| 求a的取值范围．
2．（23-24高三·江西宜春模拟）已知函数有两个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：；
(3)求证：．
3．（2024·山东临沂·一模）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若存在，且，使得，求证：.
题型十：借助三角函数构造证明不等式
1．（2024·广东湛江·二模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，，且，证明：.
2．（2024·山西吕梁·一模）已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)若对任意恒成立，求正实数的取值集合．
3．（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）设函数.
(1)若最小值为0，求的范围；
(2)在（1）的条件下，令的图象上有一点列，若直线的斜率为，证明：.
题型十一：帕德逼近型证明与求参
1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）帕德近似（Pade apprximatin）是有理函数逼近的一种方法．已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…．又函数，其中.
(1)求实数，，的值；
(2)若函数的图象与轴交于，两点，，且恒成立，求实数的取值范围．
2．（2024·山东菏泽·一模）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为．
(1)求实数a，b的值；
(2)比较与的大小；
(3)若在上存在极值，求的取值范围．
3．（22-23高三·山东济南·）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中．
题型十二：泰勒展开型证明与求参
1．（2023·湖南永州·三模）已知函数，.
(1)若是函数的极小值点，讨论在区间上的零点个数．
(2)英国数学家泰勒发现了如下公式：
这个公式被编入计算工具，计算足够多的项时就可以确保显示值的精确性．
现已知，
利用上述知识，试求的值．
2．（21-22高三·福建福州）英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.
(1)证明：当时，；
(2)设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”．
（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；
（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．
3．（20-21高二下·江苏苏州·阶段练习）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
（2）比较（1）中与的大小．
（3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：．
题型十三：新结构19题：导数与数列
1．（2024·四川成都·三模）已知函数，若数列的各项由以下算法得到：
①任取（其中），并令正整数；
②求函数图象在处的切线在轴上的截距；
③判断是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；
④令，返回第②步；
⑤结束算法，确定数列的项依次为．
根据以上信息回答下列问题：
(1)求证：；
(2)是否存在实数使得为等差数列，若存在，求出数列的项数；若不存在，请说明理由．参考数据：．
2．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)是否存在，且依次成等比数列，使得，，依次成等差数列？请证明；
(3)当时，函数有两个零点，是否存在的关系？若存在，请证明；若不存在，请写出正确的关系．
3．（2024·四川成都·三模）已知函数，若数列的各项由以下算法得到：
①任取（其中），并令正整数；
②求函数图象在处的切线在轴上的截距；
③判断是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；
④令，返回第②步；
⑤结束算法，确定数列的项依次为．
根据以上信息回答下列问题：
(1)求证：；
(2)是否存在实数使得为等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考数据：．
题型十四：新结构19题：高观下导数新定义
1．（2024·湖南·模拟预测）超越数得名于欧拉，它的存在是法国数学家刘维尔（Jseph Liuville）最早证明的．一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根：（，，…，，）．数学家证明了自然对数的底数e与圆周率是超越数．回答下列问题：
已知函数（）只有一个正零点．
(1)求数列的通项公式；
(2)（ⅰ）构造整系数方程，证明：若，则为有理数当且仅当．
（ⅱ）数列中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由．
2．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式：，③导数：定义双曲正弦函数．
(1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围；
(3)无穷数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
3．（2024·天津·一模）意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：.
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围：
(3)（i）证明：当时，；
（ii）证明：.
题型十五：新结构19题：导数与集合
1．（2024·福建·模拟预测）对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知，且的不动点的集合为．以和分别表示集合中的最小元素和最大元素．
(1)若，求的元素个数及；
(2)当恰有一个元素时，的取值集合记为.
（i）求；
（ii）若，数列满足，，集合，．求证：，.
2．（2023·浙江温州·二模）定义：对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”集合分别记为和，即.
(1)证明下面两个性质：
性质1：；
性质2：若函数单调递增，则；
(2)已知函数，若集合中恰有1个元素，求的取值范围．
3．（2023·吉林长春·模拟预测）定义：对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”集合分别记为A和B，即，有如下性质：
性质1：；
性质2：若函数单调递增，则，
已知函数，
(1)讨论集合中元素个数：
(2)若集合中恰有1个元素，求a的取值范围．
题型十六：新结构19题：函数性质定义型
1．（2024·上海虹口·二模）若函数满足：对任意，都有，则称函数具有性质.
(1)设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由；
(2)设函数具有性质，求实数的取值范围；
(3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数．
2．（2023·上海闵行·二模）已知关于的函数，与在区间上恒有，则称满足性质．
(1)若，，，，判断是否满足性质，并说明理由；
(2)若，，且，求的值并说明理由；
(3)若，，，，试证：是满足性质的必要条件．
3．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知为实数，．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”．
(1)若，判断是否为的“正向数组”，并说明理由；
(2)证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有；
(3)已知对任意，都是的“正向数组”，求的取值范围．
\l "_Tc164957837" 题型一：不等式证明：三角形不等式················································································································ PAGEREF _Tc164957837 \h 1
\l "_Tc164957838" 题型二：三角函数型数列不等式证明 ·················································································································· PAGEREF _Tc164957838 \h 2
\l "_Tc164957839" 题型三：混合型极值点偏移证明························································································································· PAGEREF _Tc164957839 \h 3
\l "_Tc164957840" 题型四：三个零点型偏移证明····························································································································· PAGEREF _Tc164957840 \h 3
\l "_Tc164957841" 题型五：非对称型偏移证明不等式···················································································································· PAGEREF _Tc164957841 \h 4
\l "_Tc164957842" 题型六：比大小型证明不等式 ································································································································ PAGEREF _Tc164957842 \h 4
\l "_Tc164957843" 题型七：三角函数型比大小证明不等式············································································································ PAGEREF _Tc164957843 \h 5
\l "_Tc164957844" 题型八：恒成立型求参············································································································································ PAGEREF _Tc164957844 \h 6
\l "_Tc164957845" 题型九：构造新函数求参 ·········································································································································· PAGEREF _Tc164957845 \h 6
\l "_Tc164957846" 题型十：借助三角函数构造证明不等式············································································································ PAGEREF _Tc164957846 \h 7
\l "_Tc164957848" 题型十一：帕德逼近型证明与求参 ······················································································································· PAGEREF _Tc164957848 \h 8
\l "_Tc164957849" 题型十二：泰勒展开型证明与求参····················································································································· PAGEREF _Tc164957849 \h 9
\l "_Tc164957851" 题型十三：新结构19题：导数与数列············································································································ PAGEREF _Tc164957851 \h 11
\l "_Tc164957852" 题型十四：新结构19题：高观下导数新定义··································································································· PAGEREF _Tc164957852 \h 12
\l "_Tc164957853" 题型十五：新结构19题：导数与集合············································································································ PAGEREF _Tc164957853 \h 13
\l "_Tc164957854" 题型十六：新结构19题：函数性质定义型········································································································ PAGEREF _Tc164957854 \h 14
利用导数证明具有正余弦型的三角函数型不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．
（4）借助正余弦函数的有界性，可以适当的放缩，转化为较容易的函数不等形式来证明
利用导数证明不等式有如下方法，
方法一，等价转化是证明不等式的常见方法，其中利用函数的对称性，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略；
方法二，比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可，
方法三，利用不等式 的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立．
极值点偏移问题的一般题设形式：
1．若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
2．若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；
3．若函数存在两个零点且，令，求证：；
4．若函数中存在且满足，令，求证：.
极值点偏移问题，解题关键为将双变量消元为单变量，常构造差函数或以两变量之差，之商构造函数以达到消元目的．
对于极值点偏移问题，首先找到两极值点的相应关系,然后构造商数或加数关系；
通过要证明的不等式，将两极值点变形后构造相应的函数，
利用导数求解出构造函数的最值，从而证明不等式或等式成立．
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．
三角函数的放缩
（1）的放缩：当时，；当时，.
（2）的放缩：当时，.
帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．
给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：
，
且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）
常见泰勒展开
；
；
截取片段：
，当且仅当时,等号成立；
进而：当且仅当时,等号成立
3、关于的放缩
①切线放缩及其变形：；
②当时，；当时，；
③当时，；当时，；
④对数平均不等式：.
对新定义的题型要注意一下几点：
（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点
（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件
（3）含有参数是要注意分类讨论的思想．
导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．