2024年江西省九江市柴桑区九江五校中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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说明：
1．本试题卷满分120分，考试时间为120分钟．
2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是符合题意的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．
1. 如图，这是小甲同学和小乙同学的对话．
小乙同学提出的问题的答案为（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一个数相反数的求法，求一个数的相反数就是在这个数的前面添加一个负号．直接根据相反数的意义进行解答．
【详解】解∶2024的相反数为，
故选∶B．
2. 以下是化学实验室中常用的几种仪器的示意图，其图案是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据定义逐一分析判断即可．
【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选A．
3. 以下是按一定规律排列的单项式：，依此规律，第个单项式是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查单项式的规律探究，根据系数与次数两个方面总结可得第n个单项式．
【详解】解：按一定规律排列单项式：，
依此规律，第个单项式是，
故选：C．
4. 年月日是世界读书日，小华统计了全班同学年月月月度课外阅读数量（单位：本），并绘制了如图所示的折线统计图，下列判断正确的是（ ）
A. 月度课外阅读数量最多的是月份
B. 月度课外阅读数量比前一个月增加的月份共有个
C. 月度课外阅读数量超过本的月份共有个
D. 月度课外阅读数量最多的比最少的多本
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图，根据折线统计图逐一判断即可求解，看懂折线统计图是解题的关键．
【详解】解：、由折线统计图可知，月度课外阅读数量最多的是月份，故错误，不合题意；
、月度课外阅读数量比前一个月增加的月份有月、月、月，共个月，故错误，不合题意；
、月度课外阅读数量超过本的月份有月、月、月、月，故错误，不合题意；
、月度课外阅读数量最多的为月本，最少的为月本，相差本，故正确，符合题意；
故选：．
5. 在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线的抛物线向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（ ）
A. 向上平移个单位长度B. 向上平移个单位长度
C. 向上平移个单位长度D. 向上平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，利用对称轴求得，可得抛物线解析式为，得到抛物线的顶点坐标为，根据平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点可得平移后的抛物线顶点在轴上，据此即可求解，掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，
∴平移后的抛物线顶点在轴上，
∴抛物线应向上平移个单位长度，
故选：．
6. 如图，在矩形的对称轴上找点，使得均为直角三角形，则符合条件的点的个数是（ ）
A. 1B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的的轴对称性，圆周角定理等知识，由可以判定以为直径的与矩形的对称轴l有两个交点，由圆周角定理的推论以及矩形的轴对称性判定即可．
【详解】解∶设矩形的对称轴l与相交于，与相交于，
当P与或重合时，是直角三角形，
由对称性知，对应的也是直角三角形；
∵，
∴以为直径的与矩形的对称轴l有两个交点，设为，，
∴当P与或重合时，是直角三角形，
由对称性知，对应的也是直角三角形；
故符合题意的点P有4个，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 截至目前，南昌市共开通条轨道交通运营线路，共设个站点，运营里程约为千米．“千米”用科学记数法表示为______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，先进行单位换算，然后根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
【详解】解：千米米米，
故答案为：．
8. 如图，在正八边形的内部作正方形，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角和定理，正多边形的性质，利用正多边形的内角和定理、正多边形的性质求出和的度数即可．
【详解】解∶∵正八边形，正方形，
∴，，
∴，
故答案为∶ ．
9. 若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是一元二次方程的解，一元二次方程的解法，利用方程的解的含义先求解，再解方程即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
解得：，
∴原方程为，
∴，
解得：，；
故答案为：
10. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了行军时的后勤供应情况：人负米六斗，卒自携五日干粮，人食日二升．其大意为在行军过程中，一个民夫可以背负六斗（60升）米，一个士兵可以自己背5天的干粮（5天的干粮为一斗米，即10升米），民夫和士兵每人行军一天都会消耗2升米．在没有其他粮食补充的情况下，若两个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则背负的米最多支持行军______天．（用含的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题本题主要考查了列代数式，两个士兵n个农夫总共可背升米，每天总共消耗升，根据背负的米能除以每天的消耗量等于支持行军的天数即可求解．
【详解】解∶根据题意，得负的米最多支持行军为：(天)，
故答案为∶ ．
11. 如图，在中，为的中点，将沿射线方向平移得到，连接，．若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平移，矩形的判定与性质，正切等知识，利用平移的性质和线段中点定义可得出，，然后证明四边形是矩形，得出，，在中，利用正切的定义求解即可．
【详解】解∶连接，
∵为的中点，
∴，
∵将沿射线方向平移得到，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，，
在中，，，，
∴，
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，点在直线上，点的横坐标为，若线段绕点旋转后，得到点的对应点，且点在第一象限内，则点的坐标为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化—旋转，勾股定理，全等三角形的性质与判定，先求出点A的坐标，设，根据两点距离公式得到，解方程得到或；过点作轴， 过点A、分别作直线的垂线，垂足分别为E、F，由旋转的性质可得，证明，得到，则，同理可得，．
【详解】解：在中，当时，，
∴，
设，
∵，
∴，
解得或，
∴或；
如图所示，过点作轴， 过点A、分别作直线垂线，垂足分别为E、F，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
同理可得，；

综上所述，点C的坐标为或或；
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）如图，在四边形中，，，点在对角线上，连接，．求证：．
【答案】（1）2；（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，实数的运算等知识，解题的关键是：
（1）利用算术平方根的定义，负整数指数幂的意义，过点作的意义化简计算即可；
（2）利用等边对等角，平行线的性质可得出，然后利用相似的判定即可得证．
【详解】（1）解：原式
；
（2）证明：∵
∴，
∵，
∴，
∴
又，
∴．
14. 以下是小贤化简分式的过程：
（1）在化简过程中的横线上依次填入的卡片序号为______．

（2）请在中选择一个合适的数作为的值代入化简的结果求值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）利用分式的运算法则进行计算即可求解；
（）由分式有意义的条件可得且，再把代入化简后的结果中计算即可求解；
本题考查了分式的化简求解，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式
，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由分式有意义的条件得，且，
∴且，
把代入得，原式．
15. 消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，某校组织全体师生开展了消防演练．为了将演练活动做实做细，学校提前制订了消防演练活动方案，并召开了相关专题会议，对各班撤离路线和各岗位值守老师的职责做了明确的要求，同时在各楼层通道等关键位置设置了疏散引导员，以保障秩序稳定，避免发生踩踏等安全事故．该校决定在七年级的甲、乙、丙、丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙、丙是男老师，丁是女老师．
（1）“选取的2位疏散引导员都是女老师”是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率．
【答案】（1）不可能 （2）
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，用树状图或列表法求随机事件的概率，解题的关键是：
（1）根据事件的分类判定即可；
（2）用树状图或列表法表示出所有的结果数，从中找出被选到的2位老师是一男一女的结果数，利用所求情况数与总数之比求概率即可．
【小问1详解】
解∶∵甲、乙、丙是男老师，丁是女老师，
∴“选取的2位疏散引导员都是女老师”是不可能事件，
故答案为∶ 不可能；
【小问2详解】
解∶画树状图，如下，
∴一共有12种等可能性的结果数，其中被选到的2位老师是一男一女的结果数有6种，
∴被选到的2位老师是一男一女的概率为．
16. 如图，这是的方格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，并画出了的外接圆，请仅用无刻度的直尺，在给定的方格中按要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中的上作点，使得，
（2）在图2中的上作点，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理 ，锐角三角函数等知识，解题的关键是∶
（1）取格点D，连接即可；
（2）取格点M，连接交于点即可．
【小问1详解】
解∶如图，点D即为所求，
根据勾股定理得，，，，
∴，，，
∴是直角三角形，
∴；
【小问2详解】
解∶如图，点E即为所求，
根据勾股定理得，，，，
∴，，，
∴是直角三角形，
∴．
17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，且点在反比例函数的图象上，连接．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）求的面积．
【答案】（1），
（2）12
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，解题的关键是：
（1）把，代入，可求出n，m的值，然后把代入求解即可；
（2）求出C的坐标，可判定轴，然后利用三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：把，代入，
得，
解得，，
∴，，，
把代入，得，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：当时，，
∴，
∵，
∴，轴，
又，
∴的面积为．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 某市要新建一座红色文化雕塑，图1是效果图，图2是雕塑正面的大致示意图，在底座中，，，，雕塑主体是五边形，，，，，，．
（1）求的度数．
（2）求点到地面的距离．（参考数据：，，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解他的关键是∶
（1）利用多边形内角和公式求解即可；
（2）过P作于F，过C作于G，交于K，过D作于L，作于H，则可证，，在，，中，利用正弦、余弦定义可求出，，，即可求解，
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过P作于F，过C作于G，交于K，过D作于L，作于H，
，
则，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，四边形是矩形，
∴，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即点到地面的距离为．
19. 某工厂计划生产甲、乙两种型号的新型智能机床共100台，现已知甲、乙两种型号的智能机床的生产成本和售价如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）若该工厂共投入540万元来生产这两种型号的智能机床，并且投入的资金刚好用完，则可以生产甲、乙两种型号的智能机床各多少台？
（2）根据市场调查，生产甲种型号智能机床的数量大于乙种型号的智能机床数量的2倍，该工厂应如何制订生产计划才能获得最大利润？最大利润是多少万元？
【答案】（1）生产甲、乙两种型号的智能机床分别为台，台；
（2）生产甲种型号的智能机床台，则生产乙种型号的智能机床台，可获得最大利润，最大利润为万元．
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）设生产甲、乙两种型号的智能机床分别为台，台，根据该工厂共投入540万元来生产这两种型号的智能机床100台列方程组解题即可；
（2）设生产甲种型号的智能机床台，则生产乙种型号的智能机床台，获得的总利润为万元，列出函数关系式，及得到且为整数，根据函数的增减性解答即可．
【小问1详解】
解：设生产甲、乙两种型号的智能机床分别为台，台，则
，
解得：，
答：生产甲、乙两种型号的智能机床分别为台，台；
【小问2详解】
解：设生产甲种型号的智能机床台，则生产乙种型号的智能机床台，则
，
解得：，而，
∴且为整数；
∴最小整数解为，
设获得的总利润为万元，
∴，
∵，
∴当时，最大利润为（万元）；
∴生产甲种型号的智能机床台，则生产乙种型号的智能机床台，可获得最大利润，最大利润为万元．
20. 如图，是的直径，是的切线，交于点，连接．
（1）若，求阴影部分的面积．
（2）是上一点，连接交于点，连接，若，求的长．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）由切线的性质得到，则，由圆周角定理得到，据此利用扇形面积计算公式求解即可；
（2）如图所示，连接，证明，得到，再证明，得到，则．
【小问1详解】
解：∵是的切线，是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，求扇形面积，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等：
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 某校七、八年级开展了“我是厨房小能手”的实践活动，并对每名学生的实践活动进行评分．为了解这次实践活动的效果，现从这两个年级中各抽取20名学生的实践活动成绩（成绩均为整数，满分10分）作为样本，并对样本进行整理和分析，分别得到统计图和统计表如下：
七年级20名学生实践活动成绩扇形统计图 八年级20名学生实践活动成绩折线统计图
七、八年级学生实践活动成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）图1中的值为______，请补全图2．
（2）统计表中的值为______，的值为______，的值为______，的值为______．
（3）请根据统计表，选一个统计量对两个年级抽取的学生本次的实践活动成绩进行评价．
【答案】（1）20，补图见解析
（2）8.5，8，9.0．95
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键．
（1）用1减去其余各组所占百分比即可；设八年级成绩为8分的有x人，9分的有y人，根据平均数可得出，根据中位数可得出，然后根据x、y都是非负整数求出x，y的值，然后补图即可；
（2）根据加权平均数、中位数、众数、方差的定义求解即可；
（3）选择一种统计量比较说明即可．
【小问1详解】
解：，
设八年级成绩为8分的有x人，9分的有y人，
则，
∴，
∴
∵中位数是9，
∴，
∴，
∴，，
补图如下：
；
【小问2详解】
解：，
七年级成绩为7分、8分、9分、10分的人数分别为，，，，
∴从小到大排序后，第10、11个人的得分为8分，8分，
∴中位数，
八年级得9分的人数最多，故众数，
方差，
故答案为：8.5，8，9.0．95；
【小问3详解】
解：从方差看，七年级的方差小于八年级的方差，则七年级的成绩比较稳定，
故七年级的成绩较好．
22. 课本再现
如图1，四边形是菱形，，．
（1）求的长．
应用拓展
（2）如图2，上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．
①直接写出点到距离的最小值；
②如图3，连接，若的面积为6，求的长．
【答案】（1），；（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质可得，，，，再进一步的解答即可；
（2）①证明为等边三角形，可得，求解，如图，过作于，可得，当最小时，最小，可得当时，最小，再进一步解答即可；②证明，可得，，证明，可得，再进一步解答可得答案．
【详解】解：（1）∵四边形是菱形，，．
∴，，，，
∴，
∴；
（2）①∵四边形是菱形，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
由旋转可得：，，
∴，
如图，过作于，
∴，
当最小时，最小，
∴当时，最小，
此时，
∴，
∴，
∴点到距离的最小值为；
②∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，的面积为6，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
23. 综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动，如图1，在正方形中，分别是上一点，且．点从点出发，沿正方形的边顺时针运动；点同时从点出发，沿正方形的边逆时针运动．若两动点的运动速度相同，都为每秒1个单位长度，相遇时两点都停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为，探究与的关系．
初步感知
根据运动的变化，绘制了如图2所示的图象，按不同的函数解析式，图象可分为四段，还有最后一段未画出．
（1）的长为______，的长为______．
（2）的值为______，的最大值为______．
延伸探究
（3）请求出图2中未画出的最后一段图象对应的函数解析式，并将图象补充完整．
（4）求的值，并求出当时，的取值范围．

【答案】（1）；；（2）；；（3），画图见解析；（4），当时，．
【解析】
【分析】（1）当时，，可得，由当时，运动到，可得；
（2）由图象可得：当时，与重合，如图，此时，的面积最大，可得，当时，与重合，如图，此时的运动时间为，可得；
（3）当时，再运动，两点相遇，停止运动，可得函数图象过，且函数图象过，说明是的一次函数，设，再利用待定系数法求解解析式即可；
（4）当时，如图，可得，解方程可得答案，当时，如图，图象在的上方，此时第三段图象上存在，如图，此时，可得，再解方程可得答案．
【详解】解：（1）由函数图象可得：当时，，
∴，而，
∴，
∴；
∴，
由函数图象可得：当时，运动到，
∴，
（2）由图象可得：当时，与重合，如图，

此时，的面积最大，
∴，
当时，与重合，如图，

此时的运动时间为，
∴，，，
∴；
（3）∵时，
∴再运动，两点相遇，停止运动，
∴函数图象过，
而当时，，
∴函数图象过，
由此时三角形的高不变，
∴是的一次函数，设，
∴，
解得：，
∴；
画图如下：

（4）当时，如图，

∴，
∴，
整理得：，
解得：或（舍去），
当时，如图，图象在的上方，

此时第三段图象上存在，如图，此时，

∴，，，，
∴，
整理得：，
解得：或（舍去），
结合图象可得：当时，．
【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，一元二次方程的解法，正方形的性质，利用图象法解二次不等式，二次函数的图象与性质，理解图象的含义是解本题的关键．解：原式
．
型号
生产成本/（万元/台）
售价/（万元/台）
甲
5
6
乙
6
7.2
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
8
0.85
八年级
8.5
9