广东省深圳市福田区红岭中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷

这是一份广东省深圳市福田区红岭中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）
1．（5分）已知复数z满足，则|z|＝（ ）
A．B．C．1D．
2．（5分）已知a，b是非零常数，则“a＞b”是“”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
3．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l⊥α，l∥m，则m⊥αB．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m
4．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则＝（ ）
A．4B．5C．6D．8
5．（5分）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则函数g（x）＝lnx﹣bx+a的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．（1，2）
6．（5分）在△ABC中，若asinB＝bcsA，且sinC＝2sinAcsB，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
7．（5分）若对于任意x∈[m，m+1]，都有x2+mx﹣1＜0成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f（1﹣x）＝f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，若函数g（x）＝f（x）﹣lga（x+2）（a＞0且a≠1）在（﹣1，7）上恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，）∪（7，+∞）B．（0，）∪（9，+∞）
C．（0，）∪（7，+∞）D．（0，）∪（9，+∞）
二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题选项中有多个选项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）
（多选）9．（6分）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．向量，能作为平面内所有向量的一组基底
B．若点G是△ABC的重心，则
C．若，则或
D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为
（多选）10．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，下列结论正确的是（ ）
A．若P在棱AB上运动，则直线A1D与直线D1P所成的夹角一定为90°
B．若P在棱AB上运动，则三棱锥C1﹣D1PC的体积为
C．若P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足DP＝1，则动点P的轨迹的长度为π
D．若P在△ABC内（包含边界）运动，则直线D1P与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为
（多选）11．（6分）已知函数，则（ ）
A．函数f（x）有3个零点
B．若函数y＝f（x）﹣t有2个零点，则t∈{0}∪（3，7]
C．若关于x的方程f（x）＝t有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝4
D．关于x的方程f2（x）＝4有5个不等实数根
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分）
12．（5分）已知向量＝（1，3），＝（m，﹣2），＝（﹣4，3），且（2）．则实数m的值为 ．
13．（5分）已知sinθ，csθ是关于x的方程x2﹣ax+a＝0的两个根（a∈R），则＝ ．
14．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为18，若存在球O与三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱均相切，则球O的表面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）已知向量与的夹角为30°，，．
（1）求及；
（2）求向量与向量的夹角θ．
16．（15分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求g（x）在上的最大值和最小值；
（3）若关于x的方程g（x）﹣m＝0在上有两个不等实根，求实数m的取值范围．
17．（15分）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求角C；
（2）若△ABC的周长为20，面积为，求边c．
18．（17分）已知直三棱柱ABC﹣A′B′C′满足∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA′＝2，点M，N分别为A′B，B′C′的中点．
（1）求证：MN∥平面A′ACC′；
（2）求证：A′N⊥平面BCN．
（3）求三棱锥C﹣MNB的体积．
19．（17分）若函数y＝f（x）对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）＝1成立，则称该函数为“依赖函数”．
（1）判断函数g（x）＝x是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数f（x）＝2x﹣2在定义域[m，n]（n＞m＞0）上为“依赖函数”，求mn的取值范围；
（3）已知函数h（x）＝（x﹣a）2（a≤3）在定义域上为“依赖函数”．若存在实数，使得对任意的t∈R，不等式h（x）≥﹣t2+（s﹣t）x恒成立，求实数s的最大值．
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）
1．（5分）已知复数z满足，则|z|＝（ ）
A．B．C．1D．
【解答】解：由，得：，
所以，即|z|＝1．
故选：C．
2．（5分）已知a，b是非零常数，则“a＞b”是“”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【解答】解：因为＜可得＜0，
当a＞b，即b﹣a＜0，当ab＞0时，＜0成立，所以“a＞b”不是“”的充分条件；
当ab＞0时，因为＜0，所以a＞b，所以“a＞b”不是“”的必要条件；
所以“a＞b”是“”的既非充分也非必要条件，
故选：D．
3．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l⊥α，l∥m，则m⊥αB．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m
【解答】解：若l⊥α，l∥m，
根据两平行直线中的一条与平面垂直，另一条也垂直平面，
所以m⊥α
所以选项A正确；
若l⊥m，m⊂α，则l⊥α或l与α斜交或l与α平行，所以选项B不正确；
若l∥α，m⊂α，则l∥m或l与m是异面直线，所以选项C错误；
若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m异面或l∥m相交，所以选项D错误；
故选：A．
4．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则＝（ ）
A．4B．5C．6D．8
【解答】解：设，，则，
由题意，＝，
，
则
＝＝6．
故选：C．
5．（5分）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则函数g（x）＝lnx﹣bx+a的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．（1，2）
【解答】解：由函数f（x）的图象可知，f（0）＝﹣1，且0＜a＜1，
∴1+b＝﹣1，
∴b＝﹣2，
∴g（x）＝lnx+2x+a，
∴g（）＝ln++a＝﹣2++a，
∵0＜a＜1，0，∴﹣2++a＜0，
即g（）＜0，
g（）＝ln+1+a＝1+a﹣ln2，
∵0＜ln2＜1，∴1﹣ln2＞0，
∴1﹣ln2+a＞0，
即g（）＞0，
∴g（）•g（）＜0，
又∵函数g（x）＝lnx+2x+a在（0，+∞）上连续且单调递增，
∴函数g（x）＝lnx﹣bx+a的零点所在区间为（，）．
故选：B．
6．（5分）在△ABC中，若asinB＝bcsA，且sinC＝2sinAcsB，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
【解答】解：已知asinB＝bcsA，
则sinAsinB＝sinBcsA，
则tanA＝，
即A＝，
又sinC＝2sinAcsB，
则sinAcsB+csAsinB＝2sinAcsB，
即sinAcsB﹣csAsinB＝0，
即sin（A﹣B）＝0，
又﹣π＜A﹣B＜π，
即A＝B，
即A＝B＝C＝，
即△ABC一定是等边三角形，
故选：D．
7．（5分）若对于任意x∈[m，m+1]，都有x2+mx﹣1＜0成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设f（x）＝x2+mx﹣1，依题意，f（x）＜0对任意x∈[m，m+1]恒成立，则只需
解得：．
故选：B．
8．（5分）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f（1﹣x）＝f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，若函数g（x）＝f（x）﹣lga（x+2）（a＞0且a≠1）在（﹣1，7）上恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，）∪（7，+∞）B．（0，）∪（9，+∞）
C．（0，）∪（7，+∞）D．（0，）∪（9，+∞）
【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，
∴当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，函数f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣2﹣x+1，
又对任意x∈R，都有f（1﹣x）＝f（1+x），
∴f（x）＝f（x+4），即函数f（x）的周期为4，
又由函数g（x）＝f（x）﹣lga（x+2）（a＞0且a≠1）在（﹣1，7）上恰有4个不同的零点，得函数y＝f（x）与y＝lga（x+2）的图象在（﹣1，7）上有4个不同的交点，
f（1）＝1，当a＞1时，由图1可得lga（5+2）＜1，解得a＞7；
当0＜a＜1时，由图2可得lga（7+2）＞﹣1，解得．
故选：C．
二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题选项中有多个选项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）
（多选）9．（6分）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．向量，能作为平面内所有向量的一组基底
B．若点G是△ABC的重心，则
C．若，则或
D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为
【解答】解：对于A，因为，，所以，所以，
所以不能作为平面内所有向量的一组基底，故A错误；
对于B，设BC的中点为M，则，，
所以，故B正确；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，因为，，所以向量在向量上的投影向量为：＝＝，故D正确．
故选：BD．
（多选）10．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，下列结论正确的是（ ）
A．若P在棱AB上运动，则直线A1D与直线D1P所成的夹角一定为90°
B．若P在棱AB上运动，则三棱锥C1﹣D1PC的体积为
C．若P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足DP＝1，则动点P的轨迹的长度为π
D．若P在△ABC内（包含边界）运动，则直线D1P与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为
【解答】解：对于A，连接AD1，A1D，则A1D⊥AD1，AB⊥平面ADD1A1，
又A1D⊂平面ADD1A1，所以A1D⊥AB，
又AB∩AD1＝A，AB⊂平面ABC1D1，AD1⊂平面ABC1D1，
所以A1D⊥平面ABC1D1，
又D1P⊂平面ABC1D1，所以A1D⊥D1P，
所以直线A1D与直线D1P所成的夹角一定为90°，故A正确；
对于B，连接PC，PC1，D1C，
则三棱锥C1﹣D1PC的体积等于三棱锥P﹣CC1D1的体积，
因为AB∥平面CDD1C1，所以点P到平面CDD1C1的距离等于BC，为定值1，
即三棱锥P﹣CC1D1的高为1，底面三角形CD1C1的面积为，
所以，故B正确；
对于C，因为P满足DP＝1，
则动点P的轨迹的长度为以D为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一，
所以P点的轨迹的长度为，故C错误；
对于D，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，
对于平面ABC，DD1为垂线，D1P为斜线，DP为射影，
所以∠DPD1即为直线D1P与平面ABC所成角，
设AC∩BD＝O，则AC⊥BD，
因为P是△ABC内（包括边界）的动点，
所以当P与O重合时，最小，此时，
当P与B重合时，最大，此时，
所以，故D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（6分）已知函数，则（ ）
A．函数f（x）有3个零点
B．若函数y＝f（x）﹣t有2个零点，则t∈{0}∪（3，7]
C．若关于x的方程f（x）＝t有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝4
D．关于x的方程f2（x）＝4有5个不等实数根
【解答】解：根据题意，函数，
由此作出函数的图象，如图所示：
对于A：由图象易知曲线y＝f（x）与x轴有两个交点，故函数f（x）有2个零点，故A错误；
对于B：令y＝f（x）﹣t＝0，可得f（x）＝t，
则函数y＝f（x）﹣t的零点个数即为y＝f（x）与y＝t的图象的交点个数，
若函数y＝f（x）﹣t有两个零点，由图象可知t∈{0}∪（3，7]，B正确；
对于C：若关于x的方程f（x）＝t有四个不等实根，则y＝f（x）与y＝t的图象有四个交点．
不妨设x1＜x2＜x3＜x4，
由图象可得：t∈（1，3），且x1+x2＝﹣2，x3+x4＝6，
所以x1+x2+x3+x4＝4，故C正确；
对于D：因为f2（x）＝4，解得f（x）＝﹣2或f（x）＝2，
结合图象可知：f（x）＝﹣2有一个根，f（x）＝2有四个根，
所以关于x的方程f2（x）＝4有5个不等实数根，D正确．
故选：BCD．
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分）
12．（5分）已知向量＝（1，3），＝（m，﹣2），＝（﹣4，3），且（2）．则实数m的值为 1 ．
【解答】解：向量＝（1，3），＝（m，﹣2），＝（﹣4，3），
∴＝（2+m，4），
∵（2）．
∴（）＝﹣4（2+m）+3×4＝0，
解得实数m＝1．
故答案为：1．
13．（5分）已知sinθ，csθ是关于x的方程x2﹣ax+a＝0的两个根（a∈R），则＝ ．
【解答】解：由题意得：sinθ，csθ是x2﹣ax+a＝0的两个根，
即：Δ＝（﹣a）2﹣4a≥0，
解得：a≥4或a≤0，
由根与系数的关系得：，
所以（sinθ+csθ）2＝1+2sinθcsθ＝a2，
即：a2﹣2a﹣1＝0，
解得：，（舍去），
所以．
故答案为：．
14．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为18，若存在球O与三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱均相切，则球O的表面积为 16π ．
【解答】解：如图所示，取上下底面的中心O′，O''，D、E、F分别为上底面棱上的切点，
则O为O′O''的中点，设AB＝a，AA1＝2h，
由题意易知a＝2h，
则，
因为，
所以．
故答案为：16π．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）已知向量与的夹角为30°，，．
（1）求及；
（2）求向量与向量的夹角θ．
【解答】解：（1）由题意，
．
（2）由题意得，
所以，
又因为0°≤θ≤180°，
所以θ＝120°．
16．（15分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求g（x）在上的最大值和最小值；
（3）若关于x的方程g（x）﹣m＝0在上有两个不等实根，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象可知A＝2，
∵，
∴T＝π，，
又，
∴，k∈Z，解得 ，k∈Z，
由可得，
∴；
（2）将f（x）向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，
由，可得，
易知函数y＝2sint在上单调递减，在上单调递增，
可得，，即；
（3）由（2）可得y＝2sint在上单调递减，在上单调递增，
可得，，，
因为关于x的方程g（x）﹣m＝0在上有两个不等实根，
即当y＝g（x）与y＝m有两个公共点，
由正弦函数的性质可知．
17．（15分）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求角C；
（2）若△ABC的周长为20，面积为，求边c．
【解答】解：（1），
由正弦定理，得，
，
，又0＜A＜180°，得sinA＞0，
所以，即，
由0＜C＜180°，解得C＝60°；
（2）由（1），得，则ab＝40，
由余弦定理，得，即，
得a2+b2＝c2+40．又a+b+c＝20，
所以（a+b）2＝（20﹣c）2，即a2+2ab+b2＝400﹣40c+c2，
即c2+40+80＝400﹣40c+c2，解得c＝7．
18．（17分）已知直三棱柱ABC﹣A′B′C′满足∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA′＝2，点M，N分别为A′B，B′C′的中点．
（1）求证：MN∥平面A′ACC′；
（2）求证：A′N⊥平面BCN．
（3）求三棱锥C﹣MNB的体积．
【解答】（12分）解：（1）证明：如图，连接AB′，AC′，
∵四边形ABB′A′为矩形，M为A′B的中点，
∴AB′与A′B交于点M，且M为AB′的中点，又点N为B′C′的中点，∴MN∥AC′，
又MN⊄平面A′ACC′，且AC′⊂平面A′ACC′，
∴MN∥平面A′ACC′．
（2）直三棱柱ABC﹣A′B′C′满足∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA′＝2，点M，N分别为A′B，B′C′的中点．
可得A′N⊥B′C′，A′N⊥CC′，B′C′∩CC′＝C′，∴A′N⊥平面BCN
（3）由图可知VCMNB＝VMBCN，
∵∠BAC＝90°，∴BC＝＝2，
又三棱柱ABC A′B′C′为直三棱柱，且AA′＝4，
∴S△BCN＝×2×4＝4．
∵A′B′＝A′C′＝2，∠B′A′C′＝90°，点N为B′C′的中点，∴A′N⊥B′C′，A′N＝．
又BB′⊥平面A′B′C′，∴A′N⊥BB′，
∴A′N⊥平面BCN．
又M为A′B的中点，
∴M到平面BCN的距离为，
∴VCMNB＝VMBCN＝×4×＝．
19．（17分）若函数y＝f（x）对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）＝1成立，则称该函数为“依赖函数”．
（1）判断函数g（x）＝x是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数f（x）＝2x﹣2在定义域[m，n]（n＞m＞0）上为“依赖函数”，求mn的取值范围；
（3）已知函数h（x）＝（x﹣a）2（a≤3）在定义域上为“依赖函数”．若存在实数，使得对任意的t∈R，不等式h（x）≥﹣t2+（s﹣t）x恒成立，求实数s的最大值．
【解答】解：（1）对于函数g（x）＝x的定义域R内存在x1＝0，
则g（x1）g（x2）＝0≠1，故g（x）＝x不是“依赖函数”．
（2）因为f（x）＝2x﹣2在[m，n]递增，
故f（m）f（n）＝1，即2m﹣22n﹣2＝1，m+n＝4，
由n＞m＞0，故n＝4﹣m＞m＞0，得0＜m＜2，
从而mn＝m（4﹣m），
设t（m）＝m（4﹣m）＝﹣（m﹣2）2+4，
当m∈（0，2）时，函数t（m）单调递增，
故mn∈（0，4）；
（3）①若，故h（x）＝（x﹣a）2在上最小值为0，此时不存在x2，舍去；
②若，故h（x）＝（x﹣a）2在上单调递增，
所以，解得a＝1或（舍）．
所以存在，使得对任意的t∈R，有不等式（x﹣1）2≥﹣t2+（s﹣t）x都成立，
即t2+xt+x2﹣（s+2）x+1≥0恒成立，
由Δ＝x2﹣4[x2﹣（s+2）x+1]≤0，
得4（s+2）x≤3x2+4，由，可得，
又在单调递增，
故当x＝3时，，
从而，解得，
综上，故实数s的最大值为．