广东省云浮市罗定市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题

这是一份广东省云浮市罗定市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）甲乙丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（ ）
A．B．C．35D．53
2．（5分）如图是函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图像，则下列判断正确的是（ ）
A．函数f（x）在区间（﹣2，1）上单调递增
B．函数f（x）在区间（1，3）上单调递减
C．函数f（x）在区间（4，5）上单调递增
D．函数f（x）在区间（﹣3，﹣2）上单调递增
3．（5分）若随机变量ξ满足E（1﹣ξ）＝4，D（1﹣ξ）＝4，则下列说法正确的是（ ）
A．Eξ＝﹣4，Dξ＝4B．Eξ＝﹣3，Dξ＝3
C．Eξ＝﹣4，Dξ＝﹣4D．Eξ＝﹣3，Dξ＝4
4．（5分）设曲线f（x）＝asin（﹣x）﹣ln（x+1）在（0，0）处的切线方程为y＝x，则a的值为（ ）
A．﹣2B．1C．2D．3
5．（5分）已知（1+x）（1﹣2x）8＝a0+a1x+a2x2+…+a9x9，x∈R，则2a1+22a2+…+29a9的值为（ ）
A．29B．29﹣1C．39D．39﹣1
6．（5分）若，，，则（ ）
A．b＞a＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．c＞b＞a
7．（5分）国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A．378B．306C．268D．198
8．（5分）数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就．在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念．二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用．已知对于正整数a，n（n≥2），若存在一个整数x，使得n整除x2﹣a，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余．从1到20这20个整数中随机抽取一个整数a，记事件A＝“a与12互质”，B＝“a是12的二次非剩余”，则P（B|A）＝（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
（多选）10．（6分）设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝）＝ak（k＝1，2，3，4，5），则（ ）
A．15a＝1B．P（0.5＜ξ＜0.8）＝0.2
C．P（0.1＜ξ＜0.5）＝0.2D．P（ξ＝1）＝0.3
（多选）11．（6分）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）存在三个不同的零点
B．函数f（x）既存在极大值又存在极小值
C．若x∈[t，+∞）时，，则t的最小值为2
D．当﹣e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）设随机变量X服从两点分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.2，则P（X＝1）＝ ．
13．（5分）长期熬夜可能影响免疫力．据某医疗机构调查，某社区大约有20%的人免疫力低下，而该社区大约有10%的人长期熬夜，长期熬夜的人中免疫力低下的概率约为40%，现从没有长期熬夜的人中任意调查一人，则此人免疫力低下的概率为 ．
14．（5分）已知函数，且满足，则实数x的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（13分）若x＝1是函数的极大值点．
（1）求a的值；
（2）求函数y＝f（x）在区间[0，4]上的最值．
16．（15分）二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍．求：
（1）展开式中所有二项式系数的和；
（2）展开式中所有的有理项．
17．（15分）玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只．假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1．一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买．求：
（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；
（2）在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率．
18．（17分）已知某闯关游戏，第一关在A，B两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．A情境寻宝成功获得经验值2分，否则得0分；B情境寻宝成功获得经验值3分，否则得0分．
已知某玩家在A情境中寻宝成功的概率为0.8，在B情境中寻宝成功的概率为0.6，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．
（1）若该玩家选择从A情境开始第一关，记X为经验值累计得分，求X的分布列；
（2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．
19．（17分）已知函数f（x）＝（2﹣a）lnx++2ax．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a∈（﹣8，﹣2）时，若存在x1，x2∈[1，2]，使得|f（x1）﹣f（x2）|＞（m+ln2）a﹣2ln2+恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）甲乙丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（ ）
A．B．C．35D．53
【解答】解：根据题意，甲乙丙三名高一学生需要在5门科目中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，
即每人有5种选法，则3人有5×5×5＝53种不同的选法；
故选：D．
2．（5分）如图是函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图像，则下列判断正确的是（ ）
A．函数f（x）在区间（﹣2，1）上单调递增
B．函数f（x）在区间（1，3）上单调递减
C．函数f（x）在区间（4，5）上单调递增
D．函数f（x）在区间（﹣3，﹣2）上单调递增
【解答】解：由函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图像知，
x∈（﹣2，﹣1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x∈（﹣1，2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
x∈（2，4）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x∈（4，5）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
故选：C．
3．（5分）若随机变量ξ满足E（1﹣ξ）＝4，D（1﹣ξ）＝4，则下列说法正确的是（ ）
A．Eξ＝﹣4，Dξ＝4B．Eξ＝﹣3，Dξ＝3
C．Eξ＝﹣4，Dξ＝﹣4D．Eξ＝﹣3，Dξ＝4
【解答】解：∵随机变量ξ满足E（1﹣ξ）＝4，∴1﹣E（ξ）＝4，解得E（ξ）＝﹣3．
∵D（1﹣ξ）＝4，∴（﹣1）2D（ξ）＝4，解得D（ξ）＝4．
故选：D．
4．（5分）设曲线f（x）＝asin（﹣x）﹣ln（x+1）在（0，0）处的切线方程为y＝x，则a的值为（ ）
A．﹣2B．1C．2D．3
【解答】解：由f（x）＝asin（﹣x）﹣ln（x+1），得f′（x）＝﹣acs（﹣x）﹣，
由题意可得，f′（0）＝﹣acs0﹣1＝﹣a﹣1＝1，得a＝﹣2．
故选：A．
5．（5分）已知（1+x）（1﹣2x）8＝a0+a1x+a2x2+…+a9x9，x∈R，则2a1+22a2+…+29a9的值为（ ）
A．29B．29﹣1C．39D．39﹣1
【解答】解：∵（1+x）（1﹣2x）8＝a0+a1x+a2x2+…+a9x9，x∈R，
∴令x＝0，得a0＝1；
令x＝2，得3×（﹣3）8＝a0+2a1+22a2+…+29a9，
∴2a1+22a2+…+29a9＝39﹣1，
故选：D．
6．（5分）若，，，则（ ）
A．b＞a＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．c＞b＞a
【解答】解：，
设，，
∴x∈[e，+∞）时，f′（x）≤0，∴f（x）在[e，+∞）上单调递减，
∴f（e）＞f（3）＞f（4），且a＝f（4），b＝f（3），c＝f（e），
∴c＞b＞a．
故选：D．
7．（5分）国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A．378B．306C．268D．198
【解答】解：由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类：
①选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有CCA＝108种不同的提问方式；
②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有CCA＝90种不同的提问方式；
综上，共有108+90＝198种不同的提问方式．
故选：D．
8．（5分）数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就．在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念．二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用．已知对于正整数a，n（n≥2），若存在一个整数x，使得n整除x2﹣a，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余．从1到20这20个整数中随机抽取一个整数a，记事件A＝“a与12互质”，B＝“a是12的二次非剩余”，则P（B|A）＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，在1﹣20内与12互质的数有1，5，7，11，13，17，19，所以P（A）＝；
事件B＝“a是12的二次非剩余”，即为不是整数，
则符合条件的a值有3，5，6，7，8，10，11，14，15，17，18，19，20；
则P（AB）＝P（a＝5，7，11，17，19）＝，
故P（B|A）＝＝＝．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
【解答】解：对于A，从中任选1个球，有4+5+6＝15种不同的选法，A正确；
对于B，若每种颜色选出1个球，有＝120种不同的选法，B正确：
对于C，若要选出不同颜色的2个球，有++＝74种不同的选法，C错误；
对于D，若要不放回地依次选出2个球，有15×14＝210种不同的选法，D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（6分）设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝）＝ak（k＝1，2，3，4，5），则（ ）
A．15a＝1B．P（0.5＜ξ＜0.8）＝0.2
C．P（0.1＜ξ＜0.5）＝0.2D．P（ξ＝1）＝0.3
【解答】解：由题意可得a+2a+3a+4a+5a＝1，即15a＝1，故A正确；
P（0.5＜ξ＜0.8）＝P（ξ＝0.6）＝3a＝，故B正确；
P（0.1＜ξ＜＝P（ξ＝）+P（ξ＝）＝＝0.2，故C正确；
P（ξ＝1）＝×5＝≠0.3，故D不正确．
故选：ABC．
（多选）11．（6分）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）存在三个不同的零点
B．函数f（x）既存在极大值又存在极小值
C．若x∈[t，+∞）时，，则t的最小值为2
D．当﹣e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根
【解答】解：，令f′（x）＝0，解得x＝﹣1或x＝2，
当x＜﹣1或x＞2时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递减，
当﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，故函数在（﹣1，2）上单调递增，
且函数f（x）有极小值f（﹣1）＝﹣e，有极大值，
当x趋近负无穷大时，f（x）趋近正无穷大，当x趋近正无穷大时，f（x）趋近于零，故作函数草图如下，
由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2．
故选：BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）设随机变量X服从两点分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.2，则P（X＝1）＝ 0.6 ．
【解答】解：随机变量X服从两点分布，则P（X＝1）+P（X＝0）＝1，
又P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.2，联立解得P（X＝1）＝0.6．
故答案为：0.6．
13．（5分）长期熬夜可能影响免疫力．据某医疗机构调查，某社区大约有20%的人免疫力低下，而该社区大约有10%的人长期熬夜，长期熬夜的人中免疫力低下的概率约为40%，现从没有长期熬夜的人中任意调查一人，则此人免疫力低下的概率为 ．
【解答】解：设事件A表示“免疫力低下”，事件B表示“长期熬夜”，
则P（A）＝0.2，P（B）＝0.1，P（A|B）＝0.4，
所以P（AB）＝P（A|B）P（B）＝0.04，
所以P（A）＝P（A）﹣P（AB）＝0.2﹣0.04＝0.16，
所以P（A|）＝＝＝．
故答案为：．
14．（5分）已知函数，且满足，则实数x的值为 1 ．
【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣＝+2024x，
则g（﹣x）+g（x）＝﹣﹣2024x++2024x＝0，即g（x）为奇函数，
因为g（x）＝1﹣+2024x＝1﹣+2024x单调递增，
故g（x）在R上单调递增，
由得，g（lnx）+g（）≤0，即g（lnx）≤﹣g（）＝g（1﹣），
所以lnx，即xlnx﹣x+1≤0，
令h（x）＝xlnx﹣x+1，则h′（x）＝lnx，
故x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
故h（x）≥h（1）＝0，
所以由h（x）≤0可得x＝1．
故答案为：1．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（13分）若x＝1是函数的极大值点．
（1）求a的值；
（2）求函数y＝f（x）在区间[0，4]上的最值．
【解答】解：，
则f′（x）＝x2+2（a+1）x﹣（a2+3a﹣3），
（1）由题意知f'（1）＝0即1+2（a+1）﹣（a2+3a﹣3）＝0，解得a＝﹣3或＝2，
验证：a＝﹣3时，f'（x）＝x2﹣4x+3成立，
a＝2时，f'（x）＝x2+6x﹣7，
此时x＝1为极小值点，
则a＝﹣3；
（2）由（1）知，，x∈[3，4]，
f'（x）＝x2﹣4x+3，令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝3，
易知f（x）在[0，1]，[3，4]单调递增，在[1，3]单调递减，
又f（0）＝0，，f（3）＝0，，
则f（x）min＝0，．
16．（15分）二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍．求：
（1）展开式中所有二项式系数的和；
（2）展开式中所有的有理项．
【解答】解：（1）二项式展开式中，通项Tr+1＝＝（r＝0，1，2，…，n），
令r＝2，得第三项的系数为：＝，第五项的二项式系数为，
依题意，得＝4•，解得n＝6或n＝﹣1（舍），
所以展开式中所有二项式系数的和为26＝64；
（2）因为n＝6，
所以当r＝0，3，6时，分别为﹣2，2，6，
所以展开式中所有的有理项为：T1＝x﹣2；
T4＝﹣x2＝﹣x2；
T7＝x6．
17．（15分）玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只．假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1．一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买．求：
（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；
（2）在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率．
【解答】解：（1）设A表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”事件，Bi表示“箱中恰好有i件残次品”事件，
i＝0，1，2，由题设可知，P（B0）＝0.8，P（B1）＝0.1，P（B2）＝0.1，且P（A|B0）＝1，
P（A|B1）＝＝，P（A|B2）＝＝，
所以P（A）＝P（B0）P（A|B0）+P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）＝0.8×1+0.1×+0.1×＝，
即顾客买下该箱玻璃杯的概率为，
（2）因为P（B0|A）＝＝＝，
所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是．
18．（17分）已知某闯关游戏，第一关在A，B两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．A情境寻宝成功获得经验值2分，否则得0分；B情境寻宝成功获得经验值3分，否则得0分．
已知某玩家在A情境中寻宝成功的概率为0.8，在B情境中寻宝成功的概率为0.6，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．
（1）若该玩家选择从A情境开始第一关，记X为经验值累计得分，求X的分布列；
（2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知，随机变量X的可能取值为0，2，5，
所以P（X＝0）＝1﹣0.8＝0.2，
P（X＝2）＝0.8×（1﹣0.6）＝0.32，
P（X＝5）＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为：
（2）由（1）可得，从A情境开始第一关，
则E（X）＝0×0.2+2×0.32+5×0.48＝3.04；
若从B情境开始第一关，记Y为经验值累计得分，
则Y的可能取值为0，3，5，
所以P（Y＝0）＝0.4，
P（Y＝3）＝0.6×（1﹣0.8）＝0.12，
P（Y＝5）＝0.8×0.6＝0.48，
所以E（Y）＝0×0.4+3×0.12+5×0.48＝2.76，
因为E（X）＞E（Y），
所以应该从A情境开始第一关．
19．（17分）已知函数f（x）＝（2﹣a）lnx++2ax．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a∈（﹣8，﹣2）时，若存在x1，x2∈[1，2]，使得|f（x1）﹣f（x2）|＞（m+ln2）a﹣2ln2+恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）已知f（x）＝（2﹣a）lnx++2ax，函数定义域为（0，+∞），
可得f′（x）＝﹣+2a＝，
当a≥0时，ax+1＞0，
令f′（x）＝0，
解得，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当a＜0时，令f′（x）＝0
解得或，
若a＝﹣2，
此时则f′（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，
所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递减：
若﹣2＜a＜0，
此时＜﹣，
当时，f′（x）＜0，f（x）在区间（0，）上单调递减；
当x∈（，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）在区间（，﹣）上单调递增；
当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在区间（﹣，+∞）上单调递减，
若a＜﹣2，
此时＞﹣，
当x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，f（x）在区间（0，﹣）上单调递减；
当x∈（﹣，）时，f′（x）＞0，f（x）在区间（﹣，）上单调递增；
当时，f′（x）＜0，f（x）在区间 上单调递减，
综上：当a≥2时，f（x）在 上单调递减，f（x）在 上单增；
当a＝﹣2时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
若﹣2＜a＜0，f（x）在区间（0，）上单调递减；在区间（，﹣）上单调递增；
在区间（﹣，+∞）上单调递减，
若a＜﹣2，f（x）在区间（0，﹣）上单调递减；在区间（﹣，）上单调递增；
在区间 上单调递减；
（2）因为a∈（﹣8，﹣2），
所以﹣∈（，），
此时f（x）在区间[1，2]上单调递减，
所以f（x）≤f（1）＝1+2a，f（x）≥f（2）＝（2﹣a）ln2++4a，
此时|f（x1）﹣f（x2）|max＝f（1）﹣f（2）＝+（a﹣2）ln2+ln（﹣a），
即对a∈（﹣8，﹣2）恒成立，
不妨设，函数定义域为（﹣8，﹣2），
可得，
令φ'（a）＝0，
解得a＝﹣e2，
当a∈（﹣8，﹣e2）时，φ'（a）＞0，φ（a）单调递增；
当a∈（﹣e2，﹣2）时，φ'（a）＜0，φ（a）单调递减，
所以，
即． X
0
2
5
P
0.2
0.32
0.48