大题02 数列（精选30题）-【三轮冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用）

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1．（2024·江苏南通·二模）设数列的前项和为，若，.
(1)求，，并证明：数列是等差数列；
(2)求.
2．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列满足，（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：．
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足且．
(1)求数列的通项公式．
(2)求数列的前100项和．
4．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
5．（2024·浙江杭州·二模）已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，令，求证：．
6．（2024·浙江·二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，数列满足.
(1)求，，，并求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前和.
7．（2024·重庆·模拟预测）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若且，记，讨论数列的单调性．
8．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
9．（2024·福建三明·三模）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围；
(3)记，求证：．
10．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
11．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
12．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，证明：．
13．（2024·全国·模拟预测）已知数列的各项均不小于1，前项和为是公差为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)求数列的前项和．
14．（2024·安徽·模拟预测）已知数列的首项，且满足．
(1)求的通项公式；
(2)已知，求使取得最大项时的值．（参考值：）
15．（2024·辽宁·一模）已知为数列的前n项和，满足，且成等比数列，当时，．
(1)求证：当时，成等差数列；
(2)求的前n项和．
16．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列满足：，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零且数列满足：，求数列的前项和．
17．（2024·湖南·二模）记为数列的前项和，已知.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求最小的正整数，使得对一切都成立.
18．（2024·河北石家庄·二模）已知数列满足
(1)写出;
(2)证明:数列为等比数列;
(3)若，求数列的前项和.
19．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
20．（2024·湖北·二模）已知各项均不为0的数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若对于任意成立，求实数的取值范围．
21．（2024·湖北·模拟预测）数列中，，，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，且满足，，求．
22．（2024·全国·模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
23．（2024·湖北黄石·三模）已知等差数列的前项和为，，，等比数列满足，是，的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列前项的和.
24．（2024·山东菏泽·一模）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求证：．
25．（2024·山东聊城·二模）已知数列满足为常数，若为等差数列，且．
(1)求的值及的通项公式；
(2)求的前项和．
26．（2024·福建·模拟预测）已知数列的前n项和为，，数列满足，且均为正整数.
(1)是否存在数列，使得是等差数列？若存在，求此时的；若不存在，说明理由；
(2)若，求的通项公式.
27．（2024·河北邢台·二模）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求证：．
28．（2024·江苏南通·二模）已知数列的前n项和为，，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前n项和；
(3)是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由.
29．（2024·辽宁·二模）已知数列的各项是奇数，且是正整数的最大奇因数，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求数列的通项公式.
30．（2024·山东·二模）记为数列的前项和，．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．