2024湖北省沙市中学高三下学期5月模拟预测试题数学含解析

这是一份2024湖北省沙市中学高三下学期5月模拟预测试题数学含解析，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：刘超 审题人：黄华清
考试时间：2024年5月4日
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知z=i−1+2i，则z的虚部为（ ）
A．2 B． −1 C．2i D． −i
2．抛物线过点2,1，则Γ的准线方程为（ ）
A．x=1 B． y=−1 C． x=−2D． y=−2
3．已知向量a=2,4,b=3,−1，则“k=2”是“a+kb⊥a−kb”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
4．已知a∈0,π，sinα+csα=15，tan2α= ( )
A． 127 B． −127 C． 247 D． −247
5．为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，该班成绩的方差为，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A= “取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件B= “取出的重卦中至少有3个阳爻”．则PBA=（ ）
A． 516 B． 1132 C． 4163 D． 1564
7．在边长为4的正三角形中，E，F分别是，的中点，将沿着翻折至，使得，则四棱锥的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
8．在同一平面直角坐标系内，函数y=fx及其导函数y=f'x的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为0,1，则（ ）
A． 函数y=fx⋅ex的最大值为1 B． 函数y=fx⋅ex最小值为1
C． 函数y=fxex的最大值为1 D． 函数y=fxex最小值为1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则（ ）
A． f0=1B． fx在区间4π3,11π6单调递减
C． fx在区间π3,5π6值域为−1,3D． fx在区间π2,2π有3个极值点
10．已知正四棱锥的所有棱长均相等，O为顶点S在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ）
A． 平面SAD⊥平面
B． 侧面内存在无穷多个点P，使得OP//平面
C． 在正方形ABCD的边上存在点Q，使得直线SQ与底面所成角大小为π3
D． 动点M,N分别在棱AB和BC上（不含端点），则二面角S−MN−O的范围是π4,π2
11．已知定义在R上的函数fx在区间−1,0上单调递增，且满足f4−x=fx，f2−x=−fx，则（ ）
A．k=110fk=0 B．f0.9+f1.2<0
C． D．fsin1第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14小题第一空2分，第二空3分，共15分．
12．已知函数fx=3x,x>0fx+2,x≤0，则flg3116=________．
13．已知A−1,0,B−4,0,PB=2PA，若平面内满足到直线l:3x+4y+m=0的距离为1的点P有且只有3个，则实数m=________．
14．有序实数组称为n维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知n维向量，其中．记范数为奇数的a的个数为An，则A4=______；______．（用含n的式子表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数f(x)＝ax＋1－xln x的图象在x＝1处的切线与直线x－y＝0平行．
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2时，f(x1)－f(x2)>m(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))，求实数m的取值范围．
16．（15分）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者才能进入面试．面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得1分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分．
（1）根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分服从正态分布，要求满足为达标．现有1000人参加应聘，求进入面试环节的人数．（结果四舍五入保留整数）
（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列与数学期望．
附：若，则，
17． （15分）如图，在三棱柱中，点D在棱AB上且，，为的中点，平面．
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值．
18．（17分）已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在
直线上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．
19．（17分）已知数列的各项均为正整数，
设集合，记T的元素个数为．
（1）若数列，且，，求数列和集合T；
（2）若是递增的等差数列，求证：；
（3）请你判断是否存在最大值，并说明理由．
高三年级5月模拟考试数学答案
1．B 2． B 3． A 4． C
5．D 【详解】设该班男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为，，两个班的总的平均分为，则
， 故选：D．
6．C 7．C
8．C 【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，
则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为y=f'x，
实线部分为，故y'=f'x⋅ex+fx⋅ex=f'x+fx⋅ex>0恒成立，故在R上单调递增，则A，B显然错误，对于C，D，，由图像可知x∈(−∞,0)，y'=f'(x)−f(x)ex>0恒成立，故y=f(x)ex单调递增，当x∈(0,+∞)，y'=f'(x)−f(x)ex<0，y=f(x)ex单调递减，所以函数y=f(x)ex在x=0处取得极大值，也为最大值，f0e0=1，C正确，D错误．故选：C
9．AD
10．BD 【详解】已知所有棱长都相等，不妨设为1． 对于A：过S作直线l∥AD，因为BC∥AD，所以l∥BC， 所以l为平面与平面的交线， 取AD中点E,BC中点F，连接ES,FS，由正四棱锥， 可得SE⊥AD,SF⊥BC，所以， 所以∠ESF为二面角A−l−B的平面角，连接EF，
在△EFS中，cs∠ESF=322+322−12322=13≠0 所以平面与平面不垂直，故A错误；对于B：取SB中点中点H，连接OG,OH,GH，因为OG∥SD,OH∥SA，又OG,OH⊄平面 ，SD,SA⊂平面，所以OG//平面，OH//平面，又OG∩OH=O，所以平面OGH//平面，所以当P∈GH时，OP//平面，这样的点P有无穷多，故B正确；对于C：由已知可知当Q在正方形ABCD各边中点时，SQ与底面ABCD所成角最大，cs∠SEO=1232=33>12所以∠SEO<π3，所以不布存Q使得SQ与底面ABCD成的角为π3，故C错误；对于D：作OI垂直于MN，连接SI，因为平面ABCD，又MN⊂平面ABCD，所以SO⊥MN，又SO∩OI=O，所以MN⊥平面SIO，因为SI⊂平面SIO，所以MN⊥SI，因为则为二面角S−MN−O的平面角，当MN都无限向点B靠拢时，∠SIO→π4；当时，∠SHO→π2，所以二面角S−MN−O范围是π4,π2，故D正确．故选：BD．
11． BCD 12． 8116 13． 5或−5
14．①． 40 ②． 32n+1−12
【详解】根据乘法原理和加法原理得到．奇数维向量，范数为奇数，则xi=1的个数为奇数，即1的个数为1，3，5，…，2n+1，根据乘法原理和加法原理得到A2n+1=C2n+1122n+C2n+1322n−2+C2n+1522n−4+⋯+C2n+12n+120，
32n+1=(2+1)2n+1=C2n+1022n+1+C2n+1122n+C2n+1222n−2+⋯+C2n+12n+120
1=(2−1)2n+1=C2n+1022n+1−C2n+1122n+C2n+1222n−2−⋯−C2n+12n+120
两式相减得到故答案为：2；32n+1−12．
15． 解 (1)f(x)＝ax＋1－xln x的导数为f′(x)＝a－1－ln x，可得f(x)的图象在(1，f(1))处的切线斜率为a－1，由切线与直线x－y＝0平行，可得a－1＝1，即a＝2，所以f(x)＝2x＋1－xln x，f′(x)＝1－ln x，由f′(x)>0，可得0e，则f(x)在(0，e)单调递增，在(e，＋∞)单调递减．
(2)若∀x1，x2∈(0，＋∞)，当x1>x2时，有f(x1)－f(x2)>mxeq \\al(2,1)－mxeq \\al(2,2)，即有 f(x1)－mxeq \\al(2,1)>f(x2)－mxeq \\al(2,2)恒成立，设g(x)＝f(x)－mx2，所以g(x)＝f(x)－mx2在(0，＋∞)为增函数，即有g′(x)＝1－ln x－2mx≥0对x>0恒成立，可得2m≤eq \f(1－ln x,x)对x>0恒成立，令h(x)＝eq \f(1－ln x,x)，则h′(x)＝eq \f(ln x－2,x2)，令h′(x)＝0，可得x＝e2，所以h(x)在(0，e2)单调递减，在(e2，＋∞)单调递增，即有h(x)在x＝e2处取得极小值，且为最小值－eq \f(1,e2)，可得2m≤－eq \f(1,e2)，解得m≤－eq \f(1,2e2)，则实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2e2)))．
16．（本题满分15分）
解：（1）因为服从正态分布，所以．
因为，所以，
所以．
因此，进入面试的人数约为159．
（2）由题意可知，的可能取值为则；
；
． 所以的分布列为：
所以．
17． 【答案】(1)证明见解析；(2)．
【详解】（1）在三棱柱中，，则，
由，得，在中，，
由余弦定理，得，，
于是，由平面平面，得，
而平面，因此平面，又平面，
所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由（1）知，两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，则，
于是，设为平面的一个法向量，
则，取，得，显然为平面的一个法向量，
因此，显然二面角的大小为锐角，
所以二面角的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分

18．（1）． （2）．
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由已知点的坐标为，点的坐标为，
因为点B、F都在直线上，所以，，又，
所以，，，所以椭圆的方程为：，．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）【小问2详解】由题知的斜率存在且不为0．设．因为与圆相切，所以，得．联立与的方程，可得，设，，
则，．
所以，
将代入，可得．
用替换，可得．
四边形的面积．
令，则，可得，
再令，，则，可得，
即四边形面积的最小值为．
19．解:（1）因为，且，所以，均不相等，
所以都是集合T中的元素．因为，
所以．可得，所以数列．
（2）因为为递增的等差数列，设的公差为，
当时，，所以，所以．
（3） 存在最大值，理由如下:
由题意集合中的元素个数最多为个，
即．取，此时，
若存在，则，其中，
故，若，不妨设，
则，而，
故为偶数，为奇数，矛盾、
故，故，故由得到的彼此相异，
故，即的最大值为．因此必有最大值．0
1
2
3
4
5