2024年山东省淄博市博山区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷的相应位置．
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试卷上．
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑．
4.答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器．
第Ⅰ卷 （选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分．
1. 面积为9的正方形，其边长等于（ ）
A. 9的平方根B. 9的算术平方根
C. 9的立方根D. 的算术平方根
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：正方形的面积为9，
其边长．
故选：B．
【点睛】本题考查的是算术平方根，解题的关键在于熟练掌握算术平方根的定义，算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．
2. 二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
在数轴上表示如下：

故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
3. 利用公式法求解可得一元二次方程式 的两解为、，且，求a值为何（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用公式法即可求解．
【详解】解：，
这里，，，
△，
，
一元二次方程式 的两解为、，且，
值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．
4. 在下面的调查中，最适合用全面调查的是（ ）
A. 了解一批节能灯管的使用寿命B. 了解某校初四1班学生的视力情况
C. 了解京杭大运河中鱼的种类D. 了解某省初中生每周上网时长情况
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查全面调查与抽样调查的知识，熟练掌握全面调查和抽样调查的适用范围是解题的关键．根据全面调查的适用范围作出判断即可．
【详解】解：A．了解一批节能灯管的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故A选项不符合题意；
B．了解某校初四1班学生的视力情况，应采用全面调查的方式，故B选项符合题意；
C．了解京杭大运河中鱼的种类，应采用抽样调查的方式，故C选项不符合题意；
D．了解某省初中生每周上网时长情况，应采用抽样调查的方式，故D选项不符合题意；
故选：B．
5. 有下列四个算式①；②；③；④．其中，正确的有（ ）．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】由有理数的加减运算法则、乘方的运算法则、除法运算法则，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：①；故①错误；
②；故②错误；
③；故③正确；
④；故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除、乘方的运算法则，解题的关键是正确掌握运算法则进行判断．
6. 如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成．判断拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图．找到从几何体的正面看所得到的图形即可．
【详解】解：拿走图中的“乙”一个积木后，此图形主视图的形状会改变，第二列小正方形的个数由原来的两个变成一个．
故选：B．
7. 若一组数据的方差为2，则数据的方差是（ ）
A. 2B. 5C. 6D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差的定义进行求解，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加3，所以波动不会变，方差不变．
【详解】解：当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，设原平均数为，现在的平均数为，
原来的方差，
现在的方差，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．
8. 若实数，，满足，，则代数式的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：依题意，，
解得：
设
∴
∵
∴有最大值，最大值为
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9. 在中，，下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. 内切圆的半径D. 当时，是直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形三边关系、三角形面积、内切圆半径的计算以及勾股定理逆定理逐一求解即可．
【详解】解：∵，
∴即，故A说法正确；
当时，，
若以为底，高，
∴，故B说法正确；
设内切圆的半径为r，
则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，故C说法错误；
当时，，
∴是直角三角形，故D说法正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形面积，三角形内切圆半径以及勾股定理的逆定理，掌握内切圆半径与圆的面积周长之间的关系是解题的关键．
10. 如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ）

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】结合函数图象逐个分析即可．
【详解】由函数图象可得：
当时，或；故①错误；
当时，有最小值；故②正确；
点在直线上，直线与函数图象有3个交点，故③错误；

将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，满分20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
11. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
分析】将整式变形含有公因式，提取即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因式．
12. 1.如图，直线，直线分别与，交于点E，F，用尺规按以下步骤作图：
（1）以点E为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点M，交射线于点N；
（2）分别以点M，N为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在内交于点P；
（3）作射线交直线于点 G；
若，则_________度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图-基本作图以及平行线的性质，
由作图得平分，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”易得，即可获得答案．
【详解】解：由作图得：平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上，下列结论：①点与点关于点中心对称；②连接，，，则平分；③连接，则点，到线段的距离相等．其中正确结论的序号是____．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查中心对称，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形性质及应用等，解题的关键是掌握中心对称的概念，能熟练应用全等三角形的判定定理．根据中心对称概念，全等三角形判定与性质，点到直线的距离等逐个判断．
【详解】解：①连接，如图：
由图可知，点与点关于点中心对称，故①正确；
②如图：
由可知，
，平分，故②正确；
③取上的格点，，连接，，如图，
由正方形性质可知，
到的距离为的长度，到的距离为的长度，
而，
点，到线段的距离相等，故③正确；
正确结论是①②③；
故答案为：①②③．
14. 若m、n满足，则__________．
【答案】16
【解析】
【分析】先将已知变形为，再将变形为，然后整体代入即可．
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：16．
【点睛】本题考查代数式值，幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法法则是解题的关键．
15. 如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________．
【答案】
【解析】
【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义．
三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
【详解】解：原方程可化为．
方程两边同乘，得．
解得．
检验：当时，．
∴原方程的解是．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均为格点（网格线的交点）．

（1）画出线段关于直线对称的线段；
（2）将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；
（3）描出线段上的点及直线上的点，使得直线垂直平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质找到关于直线的对称点，，连接，则线段即为所求；
（2）根据平移的性质得到线段即为所求；
（3）勾股定理求得，，则证明得出，则，则点即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，线段即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，线段即为所求；
【小问3详解】
解：如图所示，点即为所求

如图所示，

∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴
∴，
∴垂直平分．
【点睛】本题考查了轴对称作图，平移作图，勾股定理与网格问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18. 如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．

（1）求证：；
（2）若，求的长和的面积．
【答案】（1）见解析 （2）；的面积为
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到；
（2）根据线段的和差得到；过D作交的延长线于H，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积．
【小问1详解】
证明：在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴；
过D作交的延长线于H，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形面积的计算、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
19. 先化简，再求值：，其中，是方程的两个根．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算进行化简，然后根据一元二次方程根与系数的关系式得出 ，代入化简结果，即可求解．
【详解】解：原式

∵，是方程两个根
∴
∴原式.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
20. 如图，正方形的边长为4，点在上，且，于点，，交于点．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出是解本题的关键．
（1）先求出出，再判断出，进而利用“角角边”证明和全等，根据勾股定理求出，再求出，
（2）先求出；再求出的长，再求解即可得答案．
【小问1详解】
证明：，，
，
，
四边形是正方形，
且，
，
，
，
在和中，
，
，
，
【小问2详解】
在中，，，根据勾股定理得，，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，，
根据勾股定理得，，
．
21. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．

请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了___________名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”女生有___________名，“D烹饪与营养”的男生有___________名．
（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）
（2）图见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用组人数除以所占的百分比求出总数，总数乘以组的百分比，求出组人数，进而求出组女生人数，总数乘以组的百分比，求出组的人数，进而求出组男生人数；
（2）根据（1）中所求数据，补全图形即可；
（3）利用列表法求出概率即可．
【小问1详解】
解：（人），
∴一共调查了20人；
∴组人数为：（人），
∴组女生有：（人）；
由扇形统计图可知：组的百分比为，
∴组人数为：（人），
∴组男生有：（人）；
故答案为：
【小问2详解】
补全图形如下：
【小问3详解】
用表示名男生，用表示两名女生，列表如下：
共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种，
∴．
【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．
22. 如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长；
（3）若，求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由是的直径得到，则，由得到，则，结论得证；
（2）证明，则，可得，解得或3，由即可得到的长；
（3）先证明，则，得到，由得到，则，由同角的余角相等得到，则，得，进一步得到，则，即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得或3，
当时，，
当时，，
∵，即，
∴；
【小问3详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23. 如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．

（1）_______；
（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）把代入即可求解；
（2）过点D作DM⊥OA于点M，设，由，解得，进而求得平移后得抛物线，
平移后得抛物线为，根据二次函数得性质即可得解；
（3）先设出平移后顶点为，根据原抛物线，求得原抛物线的顶点，对称轴为x=1，进而得，再根据勾股定理构造方程即可得解．
【小问1详解】
解：把代入得，
，
解得，
故答案为；
【小问2详解】
解：过点D作DM⊥OA于点M，

∵，
∴二次函数的解析式为
设，
∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，，
∴，
解得m=或m=8（舍去），
当m=时，，
∴，
∵，
∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为，
把代入得，
解得a=3或a=（舍去），
∴平移后得抛物线为
∵过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，
在的对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小，
∴；
【小问3详解】
解：由，设平移后的抛物线为，则顶点为，
∵顶点为在上，
∴，
∴平移后的抛物线为，顶点为，
∵原抛物线，
∴原抛物线的顶点，对称轴为x=1，
∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，
∴，
∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方，
∴∠PCQ与∠CQP都是锐角，
∵是直角三角形，
∴∠CPQ=90°，
∴，
∴化简得，
∴p=1（舍去），或p=3或p=，
当p=3时，，
当p=时，，
∴点P坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E