甘肃省民乐县第一中学2023-2024学年高三下学期5月第一次模拟考试数学试卷（原卷版+解析版）

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得如下数据：
已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为（ ）
A. B. C. D.
2. 复数（为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 下列有关命题的说法错误的是（ ）
A. “”的必要不充分条件是“”
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 若命题，则命题
D. 在中，“”是“”的充要条件
4 （ ）
A. B. C. D.
5. 设等差数列的前n项和为，若，则当取得最小值时，n的值为（ ）
A. 11B. 10C. 9D. 8
6. 若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为（ ）
A. 6B. 12C. 16D. 18
7 若，则（ ）
A. B. C. 1D. 0
8. 函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，是异面直线，，是两个不重合的平面，，，那么（ ）
A. 当，或时，
B. 当时，，或
C. 当，且时，
D 当，不平行时，与不平行，且与不平行
10. 下列命题错误的是（ ）
A. 对空间任意一点与不共线的三点，若，其中，，且，则四点共面
B. 已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是
C. 若，共线，则
D. 若，共线，则一定存在实数使得
11. 在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是曲线．则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线的方程为
B. 若直线与曲线相交，则弦最短时
C. 当三点不共线时，若点，则射线平分
D. 过A作曲线的切线，切点分别为，则直线的方程为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是_______.

13. 将3男3女共6人排成一列，要求男生甲与其他男生不相邻，则不同的排法种数有___________种.
14. 已知为坐标原点为椭圆上三点，且，，直线与轴交于点，若，则的离心率为________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在中，角所对的边分别为，已知，角的平分线交边于点，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积.
16. 设函数，曲线在点处的切线斜率为1．
（1）求a的值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求证：．
17. “九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
（1）若，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
（2）设采用3局2胜制时乙获胜的概率为，采用5局3胜制时乙获胜的概率为，若，求的取值范围.
18. 如图，在三棱柱中，平面平面，，过的平面与分别交于点.
（1）证明：四边形为平行四边形；
（2）若，则当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？
19. 已知抛物线，点在抛物线上，且在轴上方，和在轴下方（在左侧），关于轴对称，直线交轴于点，延长线段交轴于点，连接.
（1）证明：为定值（为坐标原点）；
（2）若点的横坐标为，且，求的内切圆的方程.
色差x
21
23
25
27
色度y
15
18
19
20