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人教版七年级数学下册重难点专题提升专题15一元一次不等式含参问题重难点题型专训(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册重难点专题提升专题15一元一次不等式含参问题重难点题型专训(原卷版+解析)，共35页。
【重难点题型】
一元一次不等式含参问题专训
一、单选题
1．（2023·云南昭通·统考一模）若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，则满足所有条件的整数a的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）一元一次不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·山东泰安·九年级校考阶段练习）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程的解满足．若，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·浙江·九年级自主招生）已知不等式组，如果这个不等式组有解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
7．（2023春·七年级单元测试）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（ ）．
A．2B．7C．11D．10
8．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为（）
A．B．C．D．
9．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）若不等式组无解，求的取值范围（ ）
A．B．C．D．
10．（2022秋·重庆·八年级重庆市石柱中学校校考阶段练习）若实数使关于的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于的方程的解为非负整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A．15B．11C．10D．6
11．（2022春·重庆江津·七年级统考期末）若使关于的不等式组有且只有三个整数解，且使关于的方程的解为负数，则符合题意的所有整数之和为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022春·福建泉州·七年级统考期中）对于任意实数、定义一种新运算：ab＝ab－a－b＋2．例如，26＝12－2－6＋2＝6．请根据上述定义解决问题：若m＜（3x）＜5，并且这个关于x的不等式组的解集中只有2个整数解，那么m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2023·黑龙江·校联考一模）若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是__________．
14．（2023春·安徽滁州·七年级校考阶段练习）平面直角坐标系中的点在第四象限，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的整数m有______个．
15．（2023春·山东德州·九年级校考阶段练习）若关于x的不等式组的解集是x＜a，则a的取值范围是_________．
16．（2023春·江苏·七年级专题练习）若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则k的取值范围是_____．
17．（2022春·河南周口·七年级统考期末）已知关于的不等式组的整数解是，0，1，2，若、为整数，则的值为______．
18．（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）若关于的不等式组，有且只有两个整数解，，则整数的值为______．
19．（2022·全国·七年级假期作业）定义一种新运算(其中为实数)，例如：．若关于的不等式组恰好有个整数解，则实数的取值范围_______．
20．（2021春·湖北黄石·七年级统考期末）若关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是______．
三、解答题
21．（2022春·福建泉州·七年级统考期末）已知是关于 x，y 的二元一次方程组．
(1)求方程组的解（用含 a 的代数式表示）；
(2)若 x - 3y = 10，求 a 的值；
(3)若 x，y 之间（不含 x，y）有且只有一个整数，求 a 的取值范围．
22．（2023春·八年级单元测试）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：
试解决下列问题：
(1)填空：①_________（为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为_________；
(2)若关于的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围；
(3)求满足的所有非负实数x的值．
23．（2021秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）根据要求解不等式或答题
（1）；
（2）若关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是？
（3）；
（4）．
24．（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有 ；（直接写出结果）
（2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
（3）若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a的取值范围．
25．（2021秋·江苏苏州·七年级校考阶段练习）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是___________．（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是___________．（写出一个即可）
（3）若方程都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．
26．（2021春·浙江杭州·七年级期中）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是﹣1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）﹣3，0，2.5是连动数的是 ；
（2）关于x的方程2x﹣m＝x+1的解满足是连动数，求m的取值范围 ；
（3）当不等式组的解集中恰好有4个解是连动整数时，求a的取值范围．
27．（2022秋·八年级单元测试）定义一种新运算，规定：当时，；当时，；当时，．
(1)______，______；
(2)若关于的方程，满足，求的取值范围；
(3)若关于的方程组无解，求的取值范围．
28．（2022春·重庆·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）对，定义一种新运算，规定：（其中m，n均为非零常数）．
例如：．
已知，．
(1)求m，n的值；
(2)若关于p的不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围．
29．（2022·全国·七年级假期作业）新定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解中的一个，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
(1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是_____；（填序号）
(2)若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是________；（写出一个即可）
(3)若方程都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围．
30．（2021春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为1＜x＜4，因为1＜3＜4，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的关联方程．
（1）在方程①3x﹣3＝0；②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣9中，不等式组的关联方程是 ．（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是 ． （写出一个即可）
（3）若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，且关于y的不等式组恰好有两个奇数解，求a的取值范围．
2022-2023学年七年级数学下册重难点提升精讲精练《人教版》
专题15 一元一次不等式含参问题重难点题型专训
【重难点题型】
一元一次不等式含参问题专训
一、单选题
1．（2023·云南昭通·统考一模）若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，则满足所有条件的整数a的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】根据题意得出不等式的解集及一元一次方程的解，然后根据题意可进行求解．
【详解】解不等式，得，
解不等式，得，
∵不等式组至少有4个整数解，
∴，
解得，
解关于x的一元一次方程，得，
∵方程有正整数解，
∴，
则，
∴，
其中能使为正整数的a值有1，3，5，15共4个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组及一元一次方程的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键．
2．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）一元一次不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的解集的确定方法，同大取大，确定的取值范围即可．
【详解】解：由不等式，得：，
∵不等式组的解集为：，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查根据不等式组的解集求参数．熟练掌握同大取大，确定的不等式，是解题的关键．
3．（2023春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解有4个，确定m的取值范围即可．
【详解】解：解不等式组，得：，
∵关于x的不等式组的整数解共有4个，
即：，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查根据不等式组的解集，求参数的取值范围．解题的关键是正确的求出不等式组的解集．
4．（2023春·山东泰安·九年级校考阶段练习）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组整数解得个数，构造新的不等式组，再次求解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的不等式组有且只有4个整数解，
∴，
解得
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集和整数解，根据整数解的个数，确定符合题意的最大整数值，用最大整数值为界点值，运用相邻最大整数值构建不等式组是解题的关键．
5．（2022春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程的解满足．若，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先解，用含n的代数式表示出x和y，再根据求出n的取值范围，进而求出x的取值范围，代入即可求出m的取值范围．
【详解】解：由得，
∵，
∴，
∴，
又已知，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式（组）等，解题的关键是根据已知条件求出x的取值范围．
6．（2021·浙江·九年级自主招生）已知不等式组，如果这个不等式组有解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】首先解出不等式组中两个不等式的解集，然后根据不等式组有解，确定的范围即可．
【详解】解：
解得：或
解得：
如果不等式有解，则或
解得或
即：
故选A
【点睛】本题考查了不等式组的解法与解集的确定，熟练确定不等式的解集是解题关键．
7．（2023春·七年级单元测试）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（ ）．
A．2B．7C．11D．10
【答案】D
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出m的范围，由方程有非负整数解，确定出m的值，求出之积即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得，
由解集为，得到，即，
方程去分母得：，即，
由为非负整数，结合且为整数，
∴或，
∴符合条件的所有整数m的积为，
故选D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解不等式得出，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出，解之可得答案．
【详解】解∶，
，
则，
不等式只有2个正整数解，
不等式的正整数解为1、2，
则，
解得∶，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组．
9．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）若不等式组无解，求的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】不等式组无解就是两个不等式的解集没有公共部分．
【详解】由题意，得,
解得．
∴不等式组无解时，．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
10．（2022秋·重庆·八年级重庆市石柱中学校校考阶段练习）若实数使关于的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于的方程的解为非负整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A．15B．11C．10D．6
【答案】C
【分析】先解一元一次不等式组，根据题意可得，再解一元一次方程，根据题意可得且为整数，从而可得且为整数，然后进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组有解且至多有3个整数解，
，
，
，
解得：，
方程的解为非负整数解，
且为整数，
且为整数，
∴且为整数，
或6，
满足条件的所有整数的和为4+6=10，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
11．（2022春·重庆江津·七年级统考期末）若使关于的不等式组有且只有三个整数解，且使关于的方程的解为负数，则符合题意的所有整数之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由不等式组有三个整数解，可得的取值范围，再求方程可得的表达式，根据方程解为负数，进一步求得的取值范围，即可得整数的个数．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴，
∴，
解方程得：，
∵关于的方程的解为负数，
∴，
∴，
∴，，其和为．
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组和一元一次方程的综合应用，根据不等式组的解集情况和一元一次方程的解得出关于的范围是解题的关键．
12．（2022春·福建泉州·七年级统考期中）对于任意实数、定义一种新运算：ab＝ab－a－b＋2．例如，26＝12－2－6＋2＝6．请根据上述定义解决问题：若m＜（3x）＜5，并且这个关于x的不等式组的解集中只有2个整数解，那么m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题干中的定义求出（3x），再由关于x的不等式组的解集中只有2个整数解即可得到答案．
【详解】（3x）
只有两个整数解，
这两个解为2、1，
将x=1与x=0代入2x-1，
．
故选;D．
【点睛】本题考查新定义与一元一次不等式的整数解，正确理解新定义、掌握一元一次不等式的解法时关键．
二、填空题
13．（2023·黑龙江·校联考一模）若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是__________．
【答案】##
【分析】先分别解出两个不等式得，，再根据不等式组有解可得，解这个不等式即可．
【详解】解：
由不等式①得，
由不等式②得，
∵不等式组有解，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用一元一次不等式组有解求字母参数的取值范围，解题关键是列出关于字母参数的不等式．
14．（2023春·安徽滁州·七年级校考阶段练习）平面直角坐标系中的点在第四象限，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的整数m有______个．
【答案】2
【分析】先求出点在第四象限，m的取值范围，再求出关于x的不等式组的解集，根据不等式组有且只有4个整数解，得，综合m的的取值范围，即可得答案．
【详解】解：点在第四象限，
，
解得：，
关于x的不等式组，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
关于x的不等式组有且只有4个整数解，
，
解得：，
符合条件的整数m有：2，3，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，不等式组的解法，不等式组的整数解，解题的关键是熟练地解不等式组．
15．（2023春·山东德州·九年级校考阶段练习）若关于x的不等式组的解集是x＜a，则a的取值范围是_________．
【答案】
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集可得a的取值范围．
【详解】解：
由①得：，
解得：，
由②得：，
∵关于x的不等式组的解集是，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用一元一次不等式组的解集求参数的值，掌握“一元一次不等式组的解法及确定不等式组的解集的方法”是解题的关键．
16．（2023春·江苏·七年级专题练习）若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则k的取值范围是_____．
【答案】
【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集只有两个整数解求解即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组只有两个整数解，即0，-1，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确求出两个不等式的解集是解题的关键．
17．（2022春·河南周口·七年级统考期末）已知关于的不等式组的整数解是，0，1，2，若、为整数，则的值为______．
【答案】5或6
【分析】先解两个不等式，结合不等式组的整数解得出m、n的取值范围，结合m、n为整数可以确定m、n的值，代入计算可得．
【详解】解：解不等式2x﹣m≥0，得：xm，
解不等式x﹣n＜0，得：x＜n，
∵不等式组的整数解是﹣1，0，1，2，
∴﹣2m≤﹣1，2即﹣4＜m≤﹣2，2∵m，n为整数，
∴n＝3，m＝﹣3或m＝﹣2，
当m＝﹣3时，n﹣m＝3﹣（﹣3）＝6；
当m＝﹣2时，n﹣m＝3﹣（﹣2）＝5；
综上，n﹣m的值为5或6，
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）若关于的不等式组，有且只有两个整数解，，则整数的值为______．
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于的不等式组，进一步求得的整数解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
不等式组只有两个整数解，，
∴不等式组的两个整数解为：2和3，
，
解得：，
，
，
整数的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于的不等式组，难度适中．
19．（2022·全国·七年级假期作业）定义一种新运算(其中为实数)，例如：．若关于的不等式组恰好有个整数解，则实数的取值范围_______．
【答案】
【分析】根据新定义的运算方法，求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出t的范围．
【详解】解：∵，
∴①，
②，
由不等式①，得：，
由不等式②，得：，
∴
∵m恰好有个整数解，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，新定义的混合运算，能求出m的取值范围是解此题的关键．
20．（2021春·湖北黄石·七年级统考期末）若关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是______．
【答案】-18≤a<-15
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而得出a的范围．
【详解】解不等式，得：，
解不等式，得：，
因为不等式组的整数解有6个，
所以，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解.利用不等式组的整数解个数来列出关于a的不等式组是解题的关键．
三、解答题
21．（2022春·福建泉州·七年级统考期末）已知是关于 x，y 的二元一次方程组．
(1)求方程组的解（用含 a 的代数式表示）；
(2)若 x - 3y = 10，求 a 的值；
(3)若 x，y 之间（不含 x，y）有且只有一个整数，求 a 的取值范围．
【答案】(1)；
(2)a=-2；
(3)-≤a≤且a≠0．
【分析】（1）①+②得到x+y=6③，①-③求得x，②-③求得y；
（2）将方程组的解代入，可求a的值；
（3）分a＞0和a＜0两种情况，根据x，y之间（不含x，y）有且只有一个整数，列出不等式组求解即可．
（1）解：，①+②得：3x+3y=18，∴x+y=6③，①-③得：x=3-2a，②-③得：y=3+2a，∴方程组的解为；
（2）解：∵x-3y=10，∴3-2a-3（3+2a）=10，∴a=-2；
（3）解：①当a＞0时，x=3-2a＜3，y=3+2a＞3，∴，∴0＜a≤；②当a＜0时，x=3-2a＞3，y=3+2a＜3，∴，∴-≤a＜0；综上，-≤a≤且a≠0．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据x，y之间（不含x，y）有且只有一个整数，列出不等式组是解题的关键．
22．（2023春·八年级单元测试）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：
试解决下列问题：
(1)填空：①_________（为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为_________；
(2)若关于的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围；
(3)求满足的所有非负实数x的值．
【答案】(1)①3；②3.5≤x＜4.5；
(2)1.5≤a＜2.5；
(3)0，，．
【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π＞的值；
②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；
（2）首先将＜a＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；
（3）利用＜x＞设，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可．
【详解】（1）①由题意可得：＜π＞=3；
故答案为：3，
②∵＜x-1＞=3，
∴2.5≤x-1＜3.5
∴3.5≤x＜4.5；
故答案为：3.5≤x＜4.5；
（2）解不等式组得：-1≤x＜＜a＞，
由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，
故1.5≤a＜2.5；
（3）∵x≥0，为整数，
设=k，k为整数，则x=k，
∴＜k＞=k，
∴k-≤k＜k+，k≥0，
∴0≤k≤2，
∴k=0，1，2，
则x=0，，．
【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键．
23．（2021秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）根据要求解不等式或答题
（1）；
（2）若关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是？
（3）；
（4）．
【答案】（1）-1≤x＜；（2）≤a＜；（3）当m＞2时，x＞；当m＜2时，x＜；（4）1＜x＜4．
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集；
（2）先解每一个不等式，根据范围内有四个整数解，确定a的取值范围；
（3）利用不等式的解法分别从m＞2和m＜2分别求解即可；
（4）根据绝对值的性质分别从x＜-1，-1≤x≤0，0＜x≤2与x＞2四种情况分别化简不等式，再利用不等式的解法分别求解，即可得出原不等式的解集．
【详解】解：（1）
解不等式①得x≥-1，
解不等式②得x＜，
∴不等式组的解集为-1≤x＜．
（2）
由不等式①，得2x-3x＜-9+1，解得x＞8，
由不等式②，得3x+2＞4x+4a，解得x＜2-4a，
∵不等式组有四个整数解，即：9，10，11，12，
∴12＜2-4a≤13，
解得≤a＜；
（3），
移项，得，
合并同类项，得，
当m＞2时，x＞；
当m＜2时，x＜；
（4），
当x＜-1时，原绝对值不等式可化为，
解得x＞4，与x＜-1矛盾，故此不等式无解；
当-1≤x≤0时，原绝对值不等式可化为，
解得x＞与-1≤x≤0矛盾，故此不等式无解；
当0＜x≤2时，原绝对值不等式可化为，
解得x＞1，则1＜x≤2；
当x＞2，原绝对值不等式可化为，
解得x＜4，则2＜x＜4，
故原不等式的解集为1＜x＜4．
【点睛】本题考查了一元一次不等式与不等式组的解法及整数解的确定，熟练掌握一元一次不等式的解法及不等式组的解集的确定方法是解题的关键．
24．（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有 ；（直接写出结果）
（2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
（3）若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a的取值范围．
【答案】（1）-2.5，2；（2）k=-8或-6或-4；（3）2，1，-1，-2，
【分析】（1）根据连动数的定义即可确定；
（2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可；
（3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得．
【详解】解：（1）∵点P是线段AB上一动点，点A、点B对应的数分别是－1，1，
又∵|PQ|＝2，
∴连动数Q的范围为：或，
∴连动数有-2.5，2；
（2），
②×3-①×4得：，
①×3-②×2得：，
要使x，y均为连动数，
或，解得或
或，解得或
∴k=-8或-6或-4；
（3）解得：
，
∵解集中恰好有4个解是连动整数，
∴四个连动整数解为-2，-1，1，2，
∴，
∴
∴a的取值范围是．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键，
25．（2021秋·江苏苏州·七年级校考阶段练习）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是___________．（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是___________．（写出一个即可）
（3）若方程都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．
【答案】（1）①；（2）；（3）
【分析】（1）分别解不等式组和各一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断；
（2）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得；
（3）解一元一次方程得出方程的解，解不等式组得出：，根据不等式组整数解的确定可得答案．
【详解】解：（1）解不等式组得，
解①得：，，故①是不等式组的关联方程；
解②得：，不在内，故②不是不等式组的关联方程；
解③得：，不在内，故③不是不等式组的关联方程；
故答案为：①；
（2）解不等式组得：
因此不等式组的整数解可以为，
则该不等式的关联方程为．
故答案为：．
（3）解方程得，，解方程得，，
不等式组，得：，
由题意，和是不等式组的解，
，
解得，
的取值范围为．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力．
26．（2021春·浙江杭州·七年级期中）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是﹣1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）﹣3，0，2.5是连动数的是 ；
（2）关于x的方程2x﹣m＝x+1的解满足是连动数，求m的取值范围 ；
（3）当不等式组的解集中恰好有4个解是连动整数时，求a的取值范围．
【答案】（1）﹣3，2.5；（2）﹣4＜m＜﹣2或0＜m＜2；（3）1≤a＜2．
【分析】（1）根据连动数的定义逐一判断即得答案；
（2）先求得方程的解，再根据连动数的定义得出相应的不等式组，解不等式组即可求出结果；
（3）先解不等式组中的每个不等式，再根据连动整数的概念得到关于a的不等式组，解不等式组即可求得答案．
【详解】解：（1）设点P表示的数是x，则，
若点Q表示的数是﹣3，由可得，解得：x=﹣1或﹣5，所以﹣3是连动数；
若点Q表示的数是0，由可得，解得：x=2或﹣2，所以0不是连动数；
若点Q表示的数是2.5，由可得，解得：x=﹣0.5或4.5，所以2.5是连动数；
所以﹣3，0，2.5是连动数的是﹣3，2.5，
故答案为：﹣3，2.5；
（2）解关于x的方程2x﹣m＝x+1得：x＝m+1，
∵关于x的方程2x﹣m＝x+1的解满足是连动数，
∴或，
解得：﹣4＜m＜﹣2或0＜m＜2；
故答案为：﹣4＜m＜﹣2或0＜m＜2；
（3），
解不等式①，得x＞﹣3，
解不等式②，得x≤1+a，
∵不等式组的解集中恰好有4个解是连动整数，
∴四个连动整数解为﹣2，﹣1，1，2，
∴2≤1+a＜3，解得：1≤a＜2，
∴a的取值范围是1≤a＜2．
【点睛】本题是新定义试题，以数轴为载体，主要考查了一元一次不等式组，正确理解连动数与连动整数、列出相应的不等式组是解题的关键．
27．（2022秋·八年级单元测试）定义一种新运算，规定：当时，；当时，；当时，．
(1)______，______；
(2)若关于的方程，满足，求的取值范围；
(3)若关于的方程组无解，求的取值范围．
【答案】(1)3；9
(2)
(3)
【分析】（1）根据新定义求值即可；
（2）根据新定义列不等式计算即可；
（3）先根据新定义求出含参数的x的取值范围，再由无解求的取值范围．
（1）
∵3＞-1，
∴
∵9＞6，
∴
（2）
∵
∴
解得
（3）
由可得：
解得
由可得：
解得：
∵关于的方程组无解，
即无解
∴
解得：
【点睛】本题考查一元一次不等式应用，理解新定义，能将所求知识根据新定义转化为一元一次不等式求解是解题的关键．
28．（2022春·重庆·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）对，定义一种新运算，规定：（其中m，n均为非零常数）．
例如：．
已知，．
(1)求m，n的值；
(2)若关于p的不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题目所在定义列出关于m、n的方程组求解即可；
（2）先分别求出，，然后解不等式组，根据不等式组的解集情况求解即可．
(1)
解：由题意得，
∴
(2)
解：由题意得，
，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，正确理解题意是解题的关键．
29．（2022·全国·七年级假期作业）新定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解中的一个，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
(1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是_____；（填序号）
(2)若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是________；（写出一个即可）
(3)若方程都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)③
(2)2
(3)
【分析】（1）解方程和不等式组，根据关联方程的定义可得答案；
（2）解不等式组求出其整数解，再根据关联方程的定义写出以此整数为解的方程可得答案；
（3）解方程和不等式组，再根据关联方程的概念可得答案．
(1)
解方程2x-1=0得x=；解方程x+1=0得x=-3；解方程x-（3x+1）=-5得x=2；
解不等式组，
得，
∴不等式组的关联方程是③；
故答案为：③；
(2)
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
其整数解为2，
则该不等式组的关联方程可以为．（答案不唯一）
(3)
解方程得，
解方程得，
解关于x的不等式组得，
方程都是关于x的不等式组的关联方程，
．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的技能是解题的关键．
30．（2021春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为1＜x＜4，因为1＜3＜4，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的关联方程．
（1）在方程①3x﹣3＝0；②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣9中，不等式组的关联方程是 ．（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是 ． （写出一个即可）
（3）若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，且关于y的不等式组恰好有两个奇数解，求a的取值范围．
【答案】（1）①；（2）x−3＝0；（3）
【分析】（1）分别解不等式组和各一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断；
（2）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得；
（3）解一元一次方程得出方程的解，解不等式组得出：
，根据不等式组整数解的确定可得答案．
【详解】解：（1）解不等式组得−1＜x＜4，
解①得：x＝1，−1＜1＜4，故①是不等式组的关联方程；
解②得：x＝−，不在−1＜x＜4内，故②不是不等式组的关联方程；
解③得：x＝4，不在−1＜x＜4内，故③不是不等式组的关联方程；
故答案为：①；
（2）解不等式组得：＜x＜
因此不等式组的整数解可以为x＝3，
则该不等式的关联方程为x−3＝0．
故答案为：x−3＝0．
（3）解方程得，x＝3，解方程）得，x＝4，
解不等式组，得：，
由题意，x＝3和x＝4是不等式组的解，
∴，
解得-4≤a＜3，
解得＜y＜4
∵关于y的不等式组恰好有两个奇数解，
∴-1≤＜1
∴-3≤a＜5
综上a的取值范围为．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力．
【重难点题型】
一元一次不等式含参问题专训
一、单选题
1．（2023·云南昭通·统考一模）若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，则满足所有条件的整数a的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）一元一次不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·山东泰安·九年级校考阶段练习）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程的解满足．若，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·浙江·九年级自主招生）已知不等式组，如果这个不等式组有解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
7．（2023春·七年级单元测试）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（ ）．
A．2B．7C．11D．10
8．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为（）
A．B．C．D．
9．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）若不等式组无解，求的取值范围（ ）
A．B．C．D．
10．（2022秋·重庆·八年级重庆市石柱中学校校考阶段练习）若实数使关于的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于的方程的解为非负整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A．15B．11C．10D．6
11．（2022春·重庆江津·七年级统考期末）若使关于的不等式组有且只有三个整数解，且使关于的方程的解为负数，则符合题意的所有整数之和为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022春·福建泉州·七年级统考期中）对于任意实数、定义一种新运算：ab＝ab－a－b＋2．例如，26＝12－2－6＋2＝6．请根据上述定义解决问题：若m＜（3x）＜5，并且这个关于x的不等式组的解集中只有2个整数解，那么m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2023·黑龙江·校联考一模）若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是__________．
14．（2023春·安徽滁州·七年级校考阶段练习）平面直角坐标系中的点在第四象限，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的整数m有______个．
15．（2023春·山东德州·九年级校考阶段练习）若关于x的不等式组的解集是x＜a，则a的取值范围是_________．
16．（2023春·江苏·七年级专题练习）若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则k的取值范围是_____．
17．（2022春·河南周口·七年级统考期末）已知关于的不等式组的整数解是，0，1，2，若、为整数，则的值为______．
18．（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）若关于的不等式组，有且只有两个整数解，，则整数的值为______．
19．（2022·全国·七年级假期作业）定义一种新运算(其中为实数)，例如：．若关于的不等式组恰好有个整数解，则实数的取值范围_______．
20．（2021春·湖北黄石·七年级统考期末）若关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是______．
三、解答题
21．（2022春·福建泉州·七年级统考期末）已知是关于 x，y 的二元一次方程组．
(1)求方程组的解（用含 a 的代数式表示）；
(2)若 x - 3y = 10，求 a 的值；
(3)若 x，y 之间（不含 x，y）有且只有一个整数，求 a 的取值范围．
22．（2023春·八年级单元测试）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：
试解决下列问题：
(1)填空：①_________（为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为_________；
(2)若关于的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围；
(3)求满足的所有非负实数x的值．
23．（2021秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）根据要求解不等式或答题
（1）；
（2）若关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是？
（3）；
（4）．
24．（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有 ；（直接写出结果）
（2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
（3）若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a的取值范围．
25．（2021秋·江苏苏州·七年级校考阶段练习）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是___________．（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是___________．（写出一个即可）
（3）若方程都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．
26．（2021春·浙江杭州·七年级期中）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是﹣1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）﹣3，0，2.5是连动数的是 ；
（2）关于x的方程2x﹣m＝x+1的解满足是连动数，求m的取值范围 ；
（3）当不等式组的解集中恰好有4个解是连动整数时，求a的取值范围．
27．（2022秋·八年级单元测试）定义一种新运算，规定：当时，；当时，；当时，．
(1)______，______；
(2)若关于的方程，满足，求的取值范围；
(3)若关于的方程组无解，求的取值范围．
28．（2022春·重庆·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）对，定义一种新运算，规定：（其中m，n均为非零常数）．
例如：．
已知，．
(1)求m，n的值；
(2)若关于p的不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围．
29．（2022·全国·七年级假期作业）新定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解中的一个，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
(1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是_____；（填序号）
(2)若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是________；（写出一个即可）
(3)若方程都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围．
30．（2021春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为1＜x＜4，因为1＜3＜4，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的关联方程．
（1）在方程①3x﹣3＝0；②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣9中，不等式组的关联方程是 ．（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是 ． （写出一个即可）
（3）若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，且关于y的不等式组恰好有两个奇数解，求a的取值范围．
2022-2023学年七年级数学下册重难点提升精讲精练《人教版》
专题15 一元一次不等式含参问题重难点题型专训
【重难点题型】
一元一次不等式含参问题专训
一、单选题
1．（2023·云南昭通·统考一模）若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，则满足所有条件的整数a的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】根据题意得出不等式的解集及一元一次方程的解，然后根据题意可进行求解．
【详解】解不等式，得，
解不等式，得，
∵不等式组至少有4个整数解，
∴，
解得，
解关于x的一元一次方程，得，
∵方程有正整数解，
∴，
则，
∴，
其中能使为正整数的a值有1，3，5，15共4个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组及一元一次方程的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键．
2．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）一元一次不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的解集的确定方法，同大取大，确定的取值范围即可．
【详解】解：由不等式，得：，
∵不等式组的解集为：，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查根据不等式组的解集求参数．熟练掌握同大取大，确定的不等式，是解题的关键．
3．（2023春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解有4个，确定m的取值范围即可．
【详解】解：解不等式组，得：，
∵关于x的不等式组的整数解共有4个，
即：，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查根据不等式组的解集，求参数的取值范围．解题的关键是正确的求出不等式组的解集．
4．（2023春·山东泰安·九年级校考阶段练习）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组整数解得个数，构造新的不等式组，再次求解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的不等式组有且只有4个整数解，
∴，
解得
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集和整数解，根据整数解的个数，确定符合题意的最大整数值，用最大整数值为界点值，运用相邻最大整数值构建不等式组是解题的关键．
5．（2022春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程的解满足．若，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先解，用含n的代数式表示出x和y，再根据求出n的取值范围，进而求出x的取值范围，代入即可求出m的取值范围．
【详解】解：由得，
∵，
∴，
∴，
又已知，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式（组）等，解题的关键是根据已知条件求出x的取值范围．
6．（2021·浙江·九年级自主招生）已知不等式组，如果这个不等式组有解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】首先解出不等式组中两个不等式的解集，然后根据不等式组有解，确定的范围即可．
【详解】解：
解得：或
解得：
如果不等式有解，则或
解得或
即：
故选A
【点睛】本题考查了不等式组的解法与解集的确定，熟练确定不等式的解集是解题关键．
7．（2023春·七年级单元测试）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（ ）．
A．2B．7C．11D．10
【答案】D
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出m的范围，由方程有非负整数解，确定出m的值，求出之积即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得，
由解集为，得到，即，
方程去分母得：，即，
由为非负整数，结合且为整数，
∴或，
∴符合条件的所有整数m的积为，
故选D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解不等式得出，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出，解之可得答案．
【详解】解∶，
，
则，
不等式只有2个正整数解，
不等式的正整数解为1、2，
则，
解得∶，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组．
9．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）若不等式组无解，求的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】不等式组无解就是两个不等式的解集没有公共部分．
【详解】由题意，得,
解得．
∴不等式组无解时，．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
10．（2022秋·重庆·八年级重庆市石柱中学校校考阶段练习）若实数使关于的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于的方程的解为非负整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A．15B．11C．10D．6
【答案】C
【分析】先解一元一次不等式组，根据题意可得，再解一元一次方程，根据题意可得且为整数，从而可得且为整数，然后进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组有解且至多有3个整数解，
，
，
，
解得：，
方程的解为非负整数解，
且为整数，
且为整数，
∴且为整数，
或6，
满足条件的所有整数的和为4+6=10，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
11．（2022春·重庆江津·七年级统考期末）若使关于的不等式组有且只有三个整数解，且使关于的方程的解为负数，则符合题意的所有整数之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由不等式组有三个整数解，可得的取值范围，再求方程可得的表达式，根据方程解为负数，进一步求得的取值范围，即可得整数的个数．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴，
∴，
解方程得：，
∵关于的方程的解为负数，
∴，
∴，
∴，，其和为．
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组和一元一次方程的综合应用，根据不等式组的解集情况和一元一次方程的解得出关于的范围是解题的关键．
12．（2022春·福建泉州·七年级统考期中）对于任意实数、定义一种新运算：ab＝ab－a－b＋2．例如，26＝12－2－6＋2＝6．请根据上述定义解决问题：若m＜（3x）＜5，并且这个关于x的不等式组的解集中只有2个整数解，那么m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题干中的定义求出（3x），再由关于x的不等式组的解集中只有2个整数解即可得到答案．
【详解】（3x）
只有两个整数解，
这两个解为2、1，
将x=1与x=0代入2x-1，
．
故选;D．
【点睛】本题考查新定义与一元一次不等式的整数解，正确理解新定义、掌握一元一次不等式的解法时关键．
二、填空题
13．（2023·黑龙江·校联考一模）若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是__________．
【答案】##
【分析】先分别解出两个不等式得，，再根据不等式组有解可得，解这个不等式即可．
【详解】解：
由不等式①得，
由不等式②得，
∵不等式组有解，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用一元一次不等式组有解求字母参数的取值范围，解题关键是列出关于字母参数的不等式．
14．（2023春·安徽滁州·七年级校考阶段练习）平面直角坐标系中的点在第四象限，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的整数m有______个．
【答案】2
【分析】先求出点在第四象限，m的取值范围，再求出关于x的不等式组的解集，根据不等式组有且只有4个整数解，得，综合m的的取值范围，即可得答案．
【详解】解：点在第四象限，
，
解得：，
关于x的不等式组，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
关于x的不等式组有且只有4个整数解，
，
解得：，
符合条件的整数m有：2，3，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，不等式组的解法，不等式组的整数解，解题的关键是熟练地解不等式组．
15．（2023春·山东德州·九年级校考阶段练习）若关于x的不等式组的解集是x＜a，则a的取值范围是_________．
【答案】
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集可得a的取值范围．
【详解】解：
由①得：，
解得：，
由②得：，
∵关于x的不等式组的解集是，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用一元一次不等式组的解集求参数的值，掌握“一元一次不等式组的解法及确定不等式组的解集的方法”是解题的关键．
16．（2023春·江苏·七年级专题练习）若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则k的取值范围是_____．
【答案】
【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集只有两个整数解求解即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组只有两个整数解，即0，-1，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确求出两个不等式的解集是解题的关键．
17．（2022春·河南周口·七年级统考期末）已知关于的不等式组的整数解是，0，1，2，若、为整数，则的值为______．
【答案】5或6
【分析】先解两个不等式，结合不等式组的整数解得出m、n的取值范围，结合m、n为整数可以确定m、n的值，代入计算可得．
【详解】解：解不等式2x﹣m≥0，得：xm，
解不等式x﹣n＜0，得：x＜n，
∵不等式组的整数解是﹣1，0，1，2，
∴﹣2m≤﹣1，2
∴n＝3，m＝﹣3或m＝﹣2，
当m＝﹣3时，n﹣m＝3﹣（﹣3）＝6；
当m＝﹣2时，n﹣m＝3﹣（﹣2）＝5；
综上，n﹣m的值为5或6，
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）若关于的不等式组，有且只有两个整数解，，则整数的值为______．
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于的不等式组，进一步求得的整数解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
不等式组只有两个整数解，，
∴不等式组的两个整数解为：2和3，
，
解得：，
，
，
整数的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于的不等式组，难度适中．
19．（2022·全国·七年级假期作业）定义一种新运算(其中为实数)，例如：．若关于的不等式组恰好有个整数解，则实数的取值范围_______．
【答案】
【分析】根据新定义的运算方法，求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出t的范围．
【详解】解：∵，
∴①，
②，
由不等式①，得：，
由不等式②，得：，
∴
∵m恰好有个整数解，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，新定义的混合运算，能求出m的取值范围是解此题的关键．
20．（2021春·湖北黄石·七年级统考期末）若关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是______．
【答案】-18≤a<-15
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而得出a的范围．
【详解】解不等式，得：，
解不等式，得：，
因为不等式组的整数解有6个，
所以，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解.利用不等式组的整数解个数来列出关于a的不等式组是解题的关键．
三、解答题
21．（2022春·福建泉州·七年级统考期末）已知是关于 x，y 的二元一次方程组．
(1)求方程组的解（用含 a 的代数式表示）；
(2)若 x - 3y = 10，求 a 的值；
(3)若 x，y 之间（不含 x，y）有且只有一个整数，求 a 的取值范围．
【答案】(1)；
(2)a=-2；
(3)-≤a≤且a≠0．
【分析】（1）①+②得到x+y=6③，①-③求得x，②-③求得y；
（2）将方程组的解代入，可求a的值；
（3）分a＞0和a＜0两种情况，根据x，y之间（不含x，y）有且只有一个整数，列出不等式组求解即可．
（1）解：，①+②得：3x+3y=18，∴x+y=6③，①-③得：x=3-2a，②-③得：y=3+2a，∴方程组的解为；
（2）解：∵x-3y=10，∴3-2a-3（3+2a）=10，∴a=-2；
（3）解：①当a＞0时，x=3-2a＜3，y=3+2a＞3，∴，∴0＜a≤；②当a＜0时，x=3-2a＞3，y=3+2a＜3，∴，∴-≤a＜0；综上，-≤a≤且a≠0．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据x，y之间（不含x，y）有且只有一个整数，列出不等式组是解题的关键．
22．（2023春·八年级单元测试）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：
试解决下列问题：
(1)填空：①_________（为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为_________；
(2)若关于的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围；
(3)求满足的所有非负实数x的值．
【答案】(1)①3；②3.5≤x＜4.5；
(2)1.5≤a＜2.5；
(3)0，，．
【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π＞的值；
②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；
（2）首先将＜a＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；
（3）利用＜x＞设，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可．
【详解】（1）①由题意可得：＜π＞=3；
故答案为：3，
②∵＜x-1＞=3，
∴2.5≤x-1＜3.5
∴3.5≤x＜4.5；
故答案为：3.5≤x＜4.5；
（2）解不等式组得：-1≤x＜＜a＞，
由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，
故1.5≤a＜2.5；
（3）∵x≥0，为整数，
设=k，k为整数，则x=k，
∴＜k＞=k，
∴k-≤k＜k+，k≥0，
∴0≤k≤2，
∴k=0，1，2，
则x=0，，．
【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键．
23．（2021秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）根据要求解不等式或答题
（1）；
（2）若关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是？
（3）；
（4）．
【答案】（1）-1≤x＜；（2）≤a＜；（3）当m＞2时，x＞；当m＜2时，x＜；（4）1＜x＜4．
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集；
（2）先解每一个不等式，根据范围内有四个整数解，确定a的取值范围；
（3）利用不等式的解法分别从m＞2和m＜2分别求解即可；
（4）根据绝对值的性质分别从x＜-1，-1≤x≤0，0＜x≤2与x＞2四种情况分别化简不等式，再利用不等式的解法分别求解，即可得出原不等式的解集．
【详解】解：（1）
解不等式①得x≥-1，
解不等式②得x＜，
∴不等式组的解集为-1≤x＜．
（2）
由不等式①，得2x-3x＜-9+1，解得x＞8，
由不等式②，得3x+2＞4x+4a，解得x＜2-4a，
∵不等式组有四个整数解，即：9，10，11，12，
∴12＜2-4a≤13，
解得≤a＜；
（3），
移项，得，
合并同类项，得，
当m＞2时，x＞；
当m＜2时，x＜；
（4），
当x＜-1时，原绝对值不等式可化为，
解得x＞4，与x＜-1矛盾，故此不等式无解；
当-1≤x≤0时，原绝对值不等式可化为，
解得x＞与-1≤x≤0矛盾，故此不等式无解；
当0＜x≤2时，原绝对值不等式可化为，
解得x＞1，则1＜x≤2；
当x＞2，原绝对值不等式可化为，
解得x＜4，则2＜x＜4，
故原不等式的解集为1＜x＜4．
【点睛】本题考查了一元一次不等式与不等式组的解法及整数解的确定，熟练掌握一元一次不等式的解法及不等式组的解集的确定方法是解题的关键．
24．（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有 ；（直接写出结果）
（2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
（3）若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a的取值范围．
【答案】（1）-2.5，2；（2）k=-8或-6或-4；（3）2，1，-1，-2，
【分析】（1）根据连动数的定义即可确定；
（2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可；
（3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得．
【详解】解：（1）∵点P是线段AB上一动点，点A、点B对应的数分别是－1，1，
又∵|PQ|＝2，
∴连动数Q的范围为：或，
∴连动数有-2.5，2；
（2），
②×3-①×4得：，
①×3-②×2得：，
要使x，y均为连动数，
或，解得或
或，解得或
∴k=-8或-6或-4；
（3）解得：
，
∵解集中恰好有4个解是连动整数，
∴四个连动整数解为-2，-1，1，2，
∴，
∴
∴a的取值范围是．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键，
25．（2021秋·江苏苏州·七年级校考阶段练习）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是___________．（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是___________．（写出一个即可）
（3）若方程都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．
【答案】（1）①；（2）；（3）
【分析】（1）分别解不等式组和各一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断；
（2）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得；
（3）解一元一次方程得出方程的解，解不等式组得出：，根据不等式组整数解的确定可得答案．
【详解】解：（1）解不等式组得，
解①得：，，故①是不等式组的关联方程；
解②得：，不在内，故②不是不等式组的关联方程；
解③得：，不在内，故③不是不等式组的关联方程；
故答案为：①；
（2）解不等式组得：
因此不等式组的整数解可以为，
则该不等式的关联方程为．
故答案为：．
（3）解方程得，，解方程得，，
不等式组，得：，
由题意，和是不等式组的解，
，
解得，
的取值范围为．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力．
26．（2021春·浙江杭州·七年级期中）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是﹣1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）﹣3，0，2.5是连动数的是 ；
（2）关于x的方程2x﹣m＝x+1的解满足是连动数，求m的取值范围 ；
（3）当不等式组的解集中恰好有4个解是连动整数时，求a的取值范围．
【答案】（1）﹣3，2.5；（2）﹣4＜m＜﹣2或0＜m＜2；（3）1≤a＜2．
【分析】（1）根据连动数的定义逐一判断即得答案；
（2）先求得方程的解，再根据连动数的定义得出相应的不等式组，解不等式组即可求出结果；
（3）先解不等式组中的每个不等式，再根据连动整数的概念得到关于a的不等式组，解不等式组即可求得答案．
【详解】解：（1）设点P表示的数是x，则，
若点Q表示的数是﹣3，由可得，解得：x=﹣1或﹣5，所以﹣3是连动数；
若点Q表示的数是0，由可得，解得：x=2或﹣2，所以0不是连动数；
若点Q表示的数是2.5，由可得，解得：x=﹣0.5或4.5，所以2.5是连动数；
所以﹣3，0，2.5是连动数的是﹣3，2.5，
故答案为：﹣3，2.5；
（2）解关于x的方程2x﹣m＝x+1得：x＝m+1，
∵关于x的方程2x﹣m＝x+1的解满足是连动数，
∴或，
解得：﹣4＜m＜﹣2或0＜m＜2；
故答案为：﹣4＜m＜﹣2或0＜m＜2；
（3），
解不等式①，得x＞﹣3，
解不等式②，得x≤1+a，
∵不等式组的解集中恰好有4个解是连动整数，
∴四个连动整数解为﹣2，﹣1，1，2，
∴2≤1+a＜3，解得：1≤a＜2，
∴a的取值范围是1≤a＜2．
【点睛】本题是新定义试题，以数轴为载体，主要考查了一元一次不等式组，正确理解连动数与连动整数、列出相应的不等式组是解题的关键．
27．（2022秋·八年级单元测试）定义一种新运算，规定：当时，；当时，；当时，．
(1)______，______；
(2)若关于的方程，满足，求的取值范围；
(3)若关于的方程组无解，求的取值范围．
【答案】(1)3；9
(2)
(3)
【分析】（1）根据新定义求值即可；
（2）根据新定义列不等式计算即可；
（3）先根据新定义求出含参数的x的取值范围，再由无解求的取值范围．
（1）
∵3＞-1，
∴
∵9＞6，
∴
（2）
∵
∴
解得
（3）
由可得：
解得
由可得：
解得：
∵关于的方程组无解，
即无解
∴
解得：
【点睛】本题考查一元一次不等式应用，理解新定义，能将所求知识根据新定义转化为一元一次不等式求解是解题的关键．
28．（2022春·重庆·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）对，定义一种新运算，规定：（其中m，n均为非零常数）．
例如：．
已知，．
(1)求m，n的值；
(2)若关于p的不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题目所在定义列出关于m、n的方程组求解即可；
（2）先分别求出，，然后解不等式组，根据不等式组的解集情况求解即可．
(1)
解：由题意得，
∴
(2)
解：由题意得，
，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，正确理解题意是解题的关键．
29．（2022·全国·七年级假期作业）新定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解中的一个，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
(1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是_____；（填序号）
(2)若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是________；（写出一个即可）
(3)若方程都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)③
(2)2
(3)
【分析】（1）解方程和不等式组，根据关联方程的定义可得答案；
（2）解不等式组求出其整数解，再根据关联方程的定义写出以此整数为解的方程可得答案；
（3）解方程和不等式组，再根据关联方程的概念可得答案．
(1)
解方程2x-1=0得x=；解方程x+1=0得x=-3；解方程x-（3x+1）=-5得x=2；
解不等式组，
得，
∴不等式组的关联方程是③；
故答案为：③；
(2)
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
其整数解为2，
则该不等式组的关联方程可以为．（答案不唯一）
(3)
解方程得，
解方程得，
解关于x的不等式组得，
方程都是关于x的不等式组的关联方程，
．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的技能是解题的关键．
30．（2021春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为1＜x＜4，因为1＜3＜4，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的关联方程．
（1）在方程①3x﹣3＝0；②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣9中，不等式组的关联方程是 ．（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是 ． （写出一个即可）
（3）若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，且关于y的不等式组恰好有两个奇数解，求a的取值范围．
【答案】（1）①；（2）x−3＝0；（3）
【分析】（1）分别解不等式组和各一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断；
（2）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得；
（3）解一元一次方程得出方程的解，解不等式组得出：
，根据不等式组整数解的确定可得答案．
【详解】解：（1）解不等式组得−1＜x＜4，
解①得：x＝1，−1＜1＜4，故①是不等式组的关联方程；
解②得：x＝−，不在−1＜x＜4内，故②不是不等式组的关联方程；
解③得：x＝4，不在−1＜x＜4内，故③不是不等式组的关联方程；
故答案为：①；
（2）解不等式组得：＜x＜
因此不等式组的整数解可以为x＝3，
则该不等式的关联方程为x−3＝0．
故答案为：x−3＝0．
（3）解方程得，x＝3，解方程）得，x＝4，
解不等式组，得：，
由题意，x＝3和x＝4是不等式组的解，
∴，
解得-4≤a＜3，
解得＜y＜4
∵关于y的不等式组恰好有两个奇数解，
∴-1≤＜1
∴-3≤a＜5
综上a的取值范围为．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力．
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