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人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题03角度计算的综合压轴题型专训(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题03角度计算的综合压轴题型专训(原卷版+解析)，共71页。
【压轴专训】
1．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，，、、分别平分，外角，外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期中）如图，中，交于点，平分交于点，点为的延长线上一点，交的延长线于点，的延长线交于点，连接，下列结论：
①；
②；
③；
④.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023春·七年级单元测试）△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）如图，点D、E、F分别在三角形ABC的上，连结，若，则的角度为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·福建厦门·七年级校考阶段练习）如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）
A．540°B．180°nC．180°(n-1)D．180°(n+1)
6．（2022春·河南信阳·七年级统考期末）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102°B．108°C．124°D．128°
7．（2022春·安徽芜湖·七年级统考期中）如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为
A．30°B．35°C．36°D．45°
8．（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图，已知，，，则___度．
9．（2022春·山东泰安·六年级东平县实验中学校考阶段练习）如果的两边分别平行于的两边，且比的2倍少，则________．
10．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，∠AEM＝∠DFN＝a，∠EMN＝∠MNF＝b，∠PEM＝∠AEM，∠MNP＝∠FNP，∠BEP，∠NFD的角平分线交于点I，若∠I＝∠P，则a和b的数量关系为_____（用含a的式子表示b）．
11．（2022春·重庆璧山·七年级校联考期中）如图，已知，、的交点为，现作如下操作：
第一次操作，分别作和的平分线，交点为，
第二次操作，分别作和的平分线，交点为，
第三次操作，分别作和的平分线，交点为，
…
第次操作，分别作和的平分线，交点为．
若度，那等于__________度．
12．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，已知，∠ABG为锐角，AH∥BG，点C从点B（C不与B重合）出发，沿射线BG的方向移动，CD∥AB交直线AH于点D，CE⊥CD交AB于点E，CF⊥AD，垂足为F（F不与A重合），若∠ECF＝n°，则∠BAF的度数为_____度．（用n来表示）
13．（2022秋·七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝_____，则三角板BCE有一条边与斜边AD平行．
14．（2022春·重庆·七年级重庆市綦江中学校考阶段练习）如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE=45°，∠ACB=∠DAE，则∠ACD的度数是_____．
15．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，AB∥CD, AC∥BD, CE平分∠ACD，交BD于点E，点F在CD的延长线上，且∠BEF=∠CEF，若∠DEF=∠EDF，则∠A的度数为_____.
16．（2022春·江苏南京·七年级统考期中）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是_______．
17．（2022秋·江苏·七年级专题练习）直线相交于点于点，作射线，且在的内部．
(1)当点在直线的同侧；
①如图1，若，求的度数；
②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由；
(2)若，请直接写出与之间的数量关系．
18．（2023春·七年级单元测试）已知，的平分线与的平分线相交于点F．
(1)在图1中，求证：
①；
②；
(2)如图2，当，时，请你写出与之间的关系，并加以证明；
(3)当，，且时，请你直接写出的度数（用含m，n的式子表示）
19．（2022春·北京·七年级北京市第一六一中学校考期末）如图1，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线于点M，且．点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设，．
图1
图2
(1)求证：；
(2)当点G在点F的右侧时，
①依据题意在图1中补全图形；
②若，则α＝ 度；
(3)当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
20．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，直线、被所截，直线分别交、于、两点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，、分别为夹在、中的两条直线，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，为上一点，连接，为上一点，连接，，平分交于点，，，，，求的度数．
21．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）【问题情景】（1）如图，，，，求的度数；
【问题迁移】（2）如图，已知，ADBC，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动点与点，，三点不重合”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．
22．（2023春·七年级单元测试）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．
(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；
(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是 （直接写出答案）；
(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是 ，∠FMG＝ 度．
23．（2023春·七年级单元测试）已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．
(1)如图1，求证：MNPQ；
(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AGCH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度数．（直接写出答案）
24．（2022春·河北石家庄·七年级校联考期中）如图至图，在中，，点在边所在直线上，作垂直于直线，垂足为点；为的角平分线，的平分线交直线于点．
(1)特例感悟：
如图，延长交于点，若BMDG，．
解决问题：
①______；
②求证：；
(2)深入探究；
如图，当，与反向延长线交于点，用含的代数式表示______；
(3)拓展延伸：
当点在直线上移动时，若射线与射线相交，设交点为，直接写出与的关系式．
25．（2022秋·海南海口·七年级校考期末）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足，，DG平分．
(1)如图1，当点G在点F右侧时，
①试说明：；
②试说明；
(2)如图2，当点G在点F左侧时，（1）中的结论②是否成立，若不成立，请写出正确结论；（不用说理）
(3)如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分，交BC于点M，DN平分，交EF于点N，连接NG，若，，求的度数．
26．（2022春·湖南邵阳·七年级统考期末）对于湘教版数学七年级下册第110页第15题：“如图1，OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC，∠1＋∠2＝90°，那么AB与CD有什么关系？试说明理由．”
小亮同学在做完了该题后，与学习小组的同学在“课后服务”进一步开展了探究活动：
如图，AB∥CD，OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC．
(1)如图1，那么OB与OD有什么关系？试说明理由．
(2)延长BO与CD相交于点E，过点E作EF⊥BE，EF与BD的延长线相交于点F，
①如图2，∠DFE＝28°，小亮发现可以求出∠DEF的大小，请你帮助小亮同学写出求∠DEF的大小的过程．
②如图3，连接OF，点M是EF上一点，∠MOF＝∠MFO，ON平分∠BOM交BD于点N，学习小组的小明同学发现∠FON的大小不变，请你直接写出∠FON的大小是 ．
27．（2022春·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，已知直线AMBG，点C为射线BG上一动点，过点C作CDAB交AM于点D，点E在线段AB上，∠DCE＝90°，点F在线段AD上，∠FCG＝90°，点H在线段BC上，∠AHG＝90°，∠ECF＝60°．
(1)写出一个与∠ADC相等的角 （写一个即可）；
(2)如图2，求∠BCD的度数；
(3)若点F是直线AM上的一点，点H是直线BG上的一点，在点C的运动过程中（点C不与点B、H重合），求∠BAF的度数．
28．（2021春·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）如图，已知直线射线CD，．P是射线EB上一动点，过点P作交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．
(1)若点P，F，G都在点E的右侧．
①求∠PCG的度数；
②若，求∠CPQ的度数．
(2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．
29．（2022秋·八年级课时练习）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
30．（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求的度数．
阅读并补充下面推理过程
解：过点A作
，_________________．
__________________
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求证：提示：过点C作．
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，平分，DE平分，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数。
②如图4，点B在点A的右侧，且，若，则的度数为___________．
31．（2022春·河南安阳·七年级统考期末）猜想说理：
（1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由：
拓展应用：
（2）如图4，若，则 度；
（3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数．
32．（2022春·江苏南通·七年级统考期中）已知，连接，两点．
(1)如图1，与的平分线交于点，则等于__________度；
(2)如图2，点在射线反向延长线上，点在射线上．与的平分线交于点．若，，求的度数；
(3)如图3，图4，，分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点．设，，请直接写出图中的度数（用含，的式子表示）．
专题03 角度计算的综合压轴题型专训
【压轴专训】
1．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，，、、分别平分，外角，外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可．
【详解】解：①设点A、B在直线上，
∵、分别平分的内角，外角，
∴平分的外角，
∴，
∵，且，
∴，
∴，故①正确．
②∵、分别平分的内角、外角，
∴，
∴，故②正确．
③∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确．
④∵
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定等，熟悉各个概念的内容是解题的关键．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期中）如图，中，交于点，平分交于点，点为的延长线上一点，交的延长线于点，的延长线交于点，连接，下列结论：
①；
②；
③；
④.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】如图，①根据直角三角形的性质即可得到；②根据角平分线的定义得，由三角形的内角和定理得，变形可得结论；③根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到；④根据三角形的面积公式即可得到．
【详解】如图，交于，
①，，
，
，
，故①正确；
②平分交于，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
③，，
，
，
，
，故③正确；
④平分交于，
点到和的距离相等，
，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
3．（2023春·七年级单元测试）△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解．
【详解】∵平分∠ABC，平分∠ACD，
∴＝∠ABC，＝∠ACD，
∴＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A，
同理可得＝＝∠A，
∴＝∠A，
∵，
∴＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图，然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．
4．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）如图，点D、E、F分别在三角形ABC的上，连结，若，则的角度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先证明，根据平行线的性质可得，结合，求得，根据同位角相等，两直线平行证得，根据平行线的性质求出∠3的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵ ，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
5．（2022春·福建厦门·七年级校考阶段练习）如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）
A．540°B．180°nC．180°(n-1)D．180°(n+1)
【答案】C
【分析】根据题意，作，，，由两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，作，，，
∵，
∴，，，……
∴，……
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明．
6．（2022春·河南信阳·七年级统考期末）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102°B．108°C．124°D．128°
【答案】A
【分析】先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，∠CFE=∠CFG-∠EFG即可．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，
故选A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
7．（2022春·安徽芜湖·七年级统考期中）如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为
A．30°B．35°C．36°D．45°
【答案】C
【分析】延长BG交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.
【详解】解：如图延长BG交CD于G
∵BF∥ED
∴∠F=∠EDF
又∵DF 平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠F，
∵BF∥ED
∴∠CGF=∠EDF=2∠F，
∵AB∥CD
∴∠ABF=∠CGF=2∠F，
∵BF平分∠ABE
∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，
又∵∠F 与∠ABE 互补
∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°，解得∠F=36°
故答案选C.
【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.
8．（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图，已知，，，则___度．
【答案】65°
【分析】过点作∥，根据平行公理得，再依据平行线的性质求角即可．
【详解】解：过点作∥，如图：
，
．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是依据平行公理作辅助线，熟练运用平行线的性质解决问题
9．（2022春·山东泰安·六年级东平县实验中学校考阶段练习）如果的两边分别平行于的两边，且比的2倍少，则________．
【答案】或
【分析】由两个角的两边分别平行，画出图形可得这两个角相等或互补，依此列出方程，解方程即可得出结果．
【详解】解：∵∠1比∠2的2倍少30°，∴∠1=2∠2-30°．
根据∠1的两边与∠2的两边分别平行，分两种情况：
如图①，根据平行可得，∠1=∠3，∠2=∠3，∴∠1=∠2，则
2∠2-30°=∠2，解得∠2=30°，∴∠1=30°；
如图②，根据平行可知，∠1=∠3，∠2+∠3=180°，∴∠1+∠2=180°，则
2∠2-30°+∠2=180°，解得∠2=70°，∴∠1=110°．
综上所述，∠1的度数为30°或110°．
故答案为：30°或110°．
【点睛】此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，注意分类讨论思想的应用．
10．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，∠AEM＝∠DFN＝a，∠EMN＝∠MNF＝b，∠PEM＝∠AEM，∠MNP＝∠FNP，∠BEP，∠NFD的角平分线交于点I，若∠I＝∠P，则a和b的数量关系为_____（用含a的式子表示b）．
【答案】．
【分析】分别过点P、I作ME∥PH，AB∥GI，设∠AME=2x，∠PNF=2y，知∠PEM=x，∠MNP=y，由PH∥ME知∠EPH=x，由EM∥FN知PH∥FN，据此得∠HPN=2y，∠EPN=x+2y，同理知，根据∠EPN=∠EIF可得答案．
【详解】分别过点P、I作ME∥PH，AB∥GI，
设∠AEM＝2x，∠PNF＝2y，则∠PEM＝x，∠MNP＝y，
∴∠DFN＝2x=a，∠MNF＝b=3y
∵PH∥ME，
∴∠EPH＝x，
∵EM∥FN，
∴PH∥FN，
∴∠HPN＝2y，∠EPN＝x+2y，
同理，，
∵∠EPN＝∠EIF，
∴＝x+2y，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
11．（2022春·重庆璧山·七年级校联考期中）如图，已知，、的交点为，现作如下操作：
第一次操作，分别作和的平分线，交点为，
第二次操作，分别作和的平分线，交点为，
第三次操作，分别作和的平分线，交点为，
…
第次操作，分别作和的平分线，交点为．
若度，那等于__________度．
【答案】
【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，则可得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C∠BEC；…据此得到规律∠En∠BEC，最后求得∠BEC的度数．
【详解】如图1，过E作EF∥AB．
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2．
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
如图2．
∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC；
∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3∠ABE2∠DCE2∠CE2B∠BEC；
…
以此类推，∠En∠BEC，
∴当∠En=1度时，∠BEC等于2n度．
故答案为：2n．
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
12．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，已知，∠ABG为锐角，AH∥BG，点C从点B（C不与B重合）出发，沿射线BG的方向移动，CD∥AB交直线AH于点D，CE⊥CD交AB于点E，CF⊥AD，垂足为F（F不与A重合），若∠ECF＝n°，则∠BAF的度数为_____度．（用n来表示）
【答案】n或180﹣n
【分析】分两种情况讨论：当点在线段上；点在延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．
【详解】解：过A作AM⊥BC于M，如图1，
当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，
过A作AM⊥BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝∠B＝n°，
综上所述，∠BAF的度数为n°或180°﹣n°，
故答案为：n或180﹣n．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
13．（2022秋·七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝_____，则三角板BCE有一条边与斜边AD平行．
【答案】或或
【分析】分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．
【详解】解：有三种情形： ①如图1中，当AD∥BC时．
∵AD∥BC， ∴∠D＝∠BCD＝30°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝30°．
②如图2中，当AD∥CE时，
∠DCE＝∠D＝30°，可得∠ACE＝90°+30°＝120°．
③如图2中，当AD∥BE时，延长BC交AD于M．
∵AD∥BE， ∴∠AMC=∠B=45°，
∴∠ACM＝180°-60°-45°＝75°，
∴∠ACE＝75°+90＝165°，
综上所述，满足条件的∠ACE的度数为30°或120°或165°．
故答案为30°或120°或165°．
【点睛】本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考常考题型．
14．（2022春·重庆·七年级重庆市綦江中学校考阶段练习）如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE=45°，∠ACB=∠DAE，则∠ACD的度数是_____．
【答案】##27度
【分析】延长FA与直线MN交于点K，通过角度的不断转换解得∠BCA=45°，然后结合图形，利用各角之间的关系求解即可．
【详解】解：延长FA与直线MN交于点K，
由图可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠FAD=45°-(90°-∠AFD)=∠AFD，
∵MN∥PQ，
∴∠AFD=∠BKA=90°-∠KBA=90°-(180°-∠ABM)=∠ABM-90°，
∴∠ACD=∠AFD=(∠ABM-90°)=∠BCD-45°，
即∠BCD-∠ACD=∠BCA=45°，
∴∠ACD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠EAD=45°-∠BCA=45°-18°=27°，
故∠ACD的度数是27°，
故答案为：27°．
【点睛】本题利用平行线、垂直、角平分线综合考查角度的计算，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
15．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，AB∥CD, AC∥BD, CE平分∠ACD，交BD于点E，点F在CD的延长线上，且∠BEF=∠CEF，若∠DEF=∠EDF，则∠A的度数为_____.
【答案】108
【详解】分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED，然后根据题意和三角形的外角的性质，四边形的内角和求解.
详解：∵CE平分∠ACD
∴∠ACE=∠DCE
∵AB∥CD，AC∥BD,
∴∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠ACD+∠A=180°，∠ACE=∠CED
∵∠EDF=∠DEF =∠ECD+∠CED
∴∠CEF=∠FEB=∠CED+∠DEF
设∠B=x，则∠A=180°-x，∠ACE=∠ECD=∠CED=x，
∴∠EDF=x，∠BEF=x
∴∠CEB=360°-2×∠BEF=360°-3x
∴∠A+∠B+∠BEC+∠ACE=180°-x+x+360°-3x+x=360°
解得x=72°
∴∠A=180°-72°=108°.
故答案为108.
点睛：此题主要考查了平行线的性质和三角形的外角的综合应用，关键是利用平行线的性质和三角形的外角确定角之间的关系，有一定的难度.
16．（2022春·江苏南京·七年级统考期中）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是_______．
【答案】①②③
【详解】①∵EG∥BC，
∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，则①正确；
②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，
∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，
∴∠DFB=45°=∠CGE，则②正确；
③∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°．
∵EG∥BC，且EG⊥CG，
∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，则③正确；
④无法证明CA平分∠BCG，则④错误．
故答案为①②③．
17．（2022秋·江苏·七年级专题练习）直线相交于点于点，作射线，且在的内部．
(1)当点在直线的同侧；
①如图1，若，求的度数；
②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由；
(2)若，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)①；②平分，理由见解析
(2)或
【分析】（1）①由，得出，根据平角的定义得出，根据即可求解；
②由平分，得出，根据得出，即可得结论；
（2）分当点在直线的同侧时，当点和点在直线的异侧时两种情况，结合图形分析即可求解．
【详解】（1）解：①∵于点，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的度数为；
②平分，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即平分．
（2）当点在直线的同侧时，如图，
记，则，
∵，
∴，
∴①，
∴②，
得，；
当点和点在直线的异侧时，如图，
记，则，
∵，
∴，
∴①，
∴②，
得，．
综上可知，或．
【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，垂直的定义，与余角补角相关的计算，数形结合是解题的关键．
18．（2023春·七年级单元测试）已知，的平分线与的平分线相交于点F．
(1)在图1中，求证：
①；
②；
(2)如图2，当，时，请你写出与之间的关系，并加以证明；
(3)当，，且时，请你直接写出的度数（用含m，n的式子表示）
【答案】(1)证明见详解；
(2)，证明见详解；
(3)
【分析】（1）①根据平行线的性质可得：，
②根据平行线的性质可得：，
（2）设，，则，，，根据（1）和四边形内角和得等式可得结论；
（3）同（2）将3倍换为n倍，同理可得结论；
【详解】（1）证明：①如图１，过点作
，
，
，
，
证明：②如图１，过点作
，
，
即
（2）解：关系式为，
证明：设，
，时，且平分，平分，
，
由（１）得，
，
，
，
即，
，
（3）解：设则
，，
由（１）可得
，
，
，
，
，
即的度数（用含m，n的式子表示）表示为
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．
19．（2022春·北京·七年级北京市第一六一中学校考期末）如图1，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线于点M，且．点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设，．
图1
图2
(1)求证：；
(2)当点G在点F的右侧时，
①依据题意在图1中补全图形；
②若，则α＝ 度；
(3)当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②50
(3)或；证明见解析
【分析】（1）根据平分和，可证明，即可解答．
（2）①根据题意画图即可；
②依据平行线的性质可得，再根据平分，，即可得到，再根据三角形内角和定理即可解答；
（3）分两种情况解答：当点G在点F的右侧时，由（2）可得结果；当点G在点F的左侧时，进行解答即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①如图1，
②∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
，
∴，
∵，
∴，
解得；
故答案为：50；
（3）解：α和β之间的数量关系为或．
理由如下：
当点G在点F的右侧，由（2）得，
当点G在点F的左侧时，如图2，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
，
∴，
即，
综上所述，α和β之间的数量关系为或．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握这些知识，并熟练利用角的和差关系进行运算是解题的关键．
20．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，直线、被所截，直线分别交、于、两点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，、分别为夹在、中的两条直线，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，为上一点，连接，为上一点，连接，，平分交于点，，，，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）只需要证明即可证明；
（2）先由平行线的性质得到，进而证明，即可证明；
（3）如图所示，过点N作直线，则，设，先证明，再由平行线的性质得到，，由，得到，则，，进而求出，则，根据平行线的性质求出，从而求出，再由平分，得到，最后根据，即可得到 ．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点N作直线，则，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
21．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）【问题情景】（1）如图，，，，求的度数；
【问题迁移】（2）如图，已知，ADBC，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动点与点，，三点不重合”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）与、之间的数量关系为：或
【分析】（1）过点P作PE与AB平行，继而根据的性质进行推导即可得；
（2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（3）画出图形分两种情况点在的延长线上，点在的延长线上，根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【详解】解：（1）过点作，
如图所示：
，
，平行于同一条直线的两条直线平行
，，两直线平行同旁内角互补
，，
，，
．
（2），理由如下：
如图所示，过作交于，
，
，
，，
；
（3）当在延长线时，如图所示：
过作交于，
同（2）可知：，，
；
当在延长线时，如图所示：
同（2）可知：，，
．
综上所述，与、之间的数量关系为：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键．
22．（2023春·七年级单元测试）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．
(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；
(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是 （直接写出答案）；
(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是 ，∠FMG＝ 度．
【答案】(1)∠MAB+∠D＝90°；见解析
(2)∠MAB﹣∠D＝90°
(3)∠MAB＝∠EMD；45
【分析】（1）在题干的基础上，通过平行线的性质可得结论；
（2）仿照（1）的解题思路，过点M作MN∥AB，由平行线的性质可得结论；
（3）利用（2）中的结论，结合角平分线的性质可得结论．
【详解】（1）解：如图①，过点M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）．
∴∠D＝∠NMD．
∵MN∥AB，
∴∠MAB+∠NMA＝180°．
∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°．
∵∠AMD＝90°，
∴∠MAB+∠DMN＝90°．
∴∠MAB+∠D＝90°；
（2）解：如图②，过点M作MN∥AB，
∵MN∥AB，
∴∠MAB+∠AMN＝180°．
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD．
∴∠D＝∠NMD．
∵∠AMD＝90°，
∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．
∴∠AMN＝90°﹣∠D．
∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．
∴∠MAB﹣∠D＝90°．
即∠MAB与∠D的数量关系是：∠MAB﹣∠D＝90°．
故答案为：∠MAB﹣∠D＝90°．
（3）解：如图③，
∵ME⊥AB，
∴∠E＝90°．
∴∠MAE+∠AME＝90°
∵∠MAB+∠MAE＝180°，
∴∠MAB﹣∠AME＝90°．
即∠MAB＝90°+∠AME．
∵∠AMD＝90°，
∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD．
∵MF平分∠EMA，
∴∠FME＝∠FMA＝∠EMA．
∵MG平分∠EMD，
∴∠EMG＝∠GMD＝∠EMD．
∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF，
∴∠FMG＝∠EMD﹣∠EMA＝（∠EMD﹣∠EMA）．
∵∠EMD﹣∠EMA＝90°，
∴∠FMG＝45°．
故答案为：∠MAB＝∠EMD；45．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点M作MN∥AB是解题的关键．
23．（2023春·七年级单元测试）已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．
(1)如图1，求证：MNPQ；
(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AGCH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度数．（直接写出答案）
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)∠CFB=130°
【分析】（1）过C作CEMN，根据平行线的判定和性质即可得到结论；
（2）过B作BRAG，根据平行线的性质得到∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，等量代换即可得到结论；
（3）过E作ESMN，根据平行线的性质得到∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，根据角平分线的定义得到∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，根据四边形的内角和即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，过C作CEMN，
∴∠1=∠MAC，
∵∠2=∠ACB-∠1，
∴∠2=∠ACB-∠MAC，
∵∠ACB-∠MAC=∠CBP，
∴∠2=∠CBP，
∴CEPQ，
∴MNPQ；
（2）如图，过B作BRAG，
∵AGCH，
∴BRHF，
∴∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，
∵∠EBF=90°，
∴∠BEG=∠EBR=90°-∠RBF，
∴∠BEG=90°-∠RBF=90°-（180°-∠CFB），
∴∠CFB-∠BEG=90°；
（3）如图，过E作ESMN，
∵MNPQ，
∴ESPQ，
∴∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，
∵BD和AE分别平分∠CBP和∠CAN，
∴∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，
∴∠CAE=∠AES，
∵∠EBD=90°，
∴∠EBQ+∠PBD=∠EBC+∠CBD=90°，
∴∠QBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠BES，
∴∠AEB=∠AES+∠BES=∠CAE+∠EBC=，
∵∠ACB=80°，
∴∠AEB=140°，
∴∠BEG=40°，
∵∠CFB-∠BEG=90°，
∴∠CFB=130°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，余角的性质，四边形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（2022春·河北石家庄·七年级校联考期中）如图至图，在中，，点在边所在直线上，作垂直于直线，垂足为点；为的角平分线，的平分线交直线于点．
(1)特例感悟：
如图，延长交于点，若BMDG，．
解决问题：
①______；
②求证：；
(2)深入探究；
如图，当，与反向延长线交于点，用含的代数式表示______；
(3)拓展延伸：
当点在直线上移动时，若射线与射线相交，设交点为，直接写出与的关系式．
【答案】(1)①；②见解析
(2)
(3)或
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案；根据平行线的性质得，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论；
由八字模型可得，和中，，再整理可得答案；
分情况讨论，分别画出对应图形，再整理即可．
（1）
解：BMDG，
，
为的角平分线，
，
故答案为：；
证明：由得，，
∵BMDG，
，
，
，
平分，
，
，
；
（2）
由八字模型可得，和中，
,
故答案为：；
（3）
如图，
由八字模型可得，和中，
；
如图，
由四边形的内角和得，
；
如图，
由八字模型可得，，
；
综上，或．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键．
25．（2022秋·海南海口·七年级校考期末）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足，，DG平分．
(1)如图1，当点G在点F右侧时，
①试说明：；
②试说明；
(2)如图2，当点G在点F左侧时，（1）中的结论②是否成立，若不成立，请写出正确结论；（不用说理）
(3)如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分，交BC于点M，DN平分，交EF于点N，连接NG，若，，求的度数．
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2)∠DGE＝∠BDG＋∠FEG，理由见解析；
(3)
【分析】（1）①根据角平分线的定义即可得到∠BDG＝∠ADG，从而可得∠ADG＝∠DGB，则，可得∠DEF＝∠EFG，即可得到∠DBF＝∠EFG，从而证明；②过点G作GHDB交DA于点H，根据平行线的性质求解即可；
（2）过点G作交AD于K，则，可得∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，即可得到∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；
（3）设，则，，由角平分线的定义可得，然后分别求出，，进行求解即可．
（1）
证明：①∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG＝∠ADG，
又∵∠BDG＝∠BGD，
∴∠ADG＝∠DGB，
∴，
∴∠DEF＝∠EFG，
∵∠DBF＝∠DEF，
∴∠DBF＝∠EFG，
∴；
②过点G作GHDB交DA于点H，
由①得，
∴GHDBEF，
∴∠BDG＝∠DGH，∠FEG＝∠EGH，
∴∠DGE＝∠DGH-∠EGH，
∴∠DGE=∠BDG-∠FEG；
（2）
解：过点G作交AD于K，
同理可证，
∴，
∴∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，
∴∠DGE＝∠DGK＋∠KGE，
∴∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；
（3）
解：设，则，，，
∵DN平分∠PDM，
∴，
∴，，
∵DG⊥NG，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，余角的计算，解题的关键是能够熟知平行线的性质与判定条件．
26．（2022春·湖南邵阳·七年级统考期末）对于湘教版数学七年级下册第110页第15题：“如图1，OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC，∠1＋∠2＝90°，那么AB与CD有什么关系？试说明理由．”
小亮同学在做完了该题后，与学习小组的同学在“课后服务”进一步开展了探究活动：
如图，AB∥CD，OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC．
(1)如图1，那么OB与OD有什么关系？试说明理由．
(2)延长BO与CD相交于点E，过点E作EF⊥BE，EF与BD的延长线相交于点F，
①如图2，∠DFE＝28°，小亮发现可以求出∠DEF的大小，请你帮助小亮同学写出求∠DEF的大小的过程．
②如图3，连接OF，点M是EF上一点，∠MOF＝∠MFO，ON平分∠BOM交BD于点N，学习小组的小明同学发现∠FON的大小不变，请你直接写出∠FON的大小是 ．
【答案】(1)OB⊥OD，见解析；
(2)①∠DEF＝28°，过程见解析；②45°．
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质即可证明OB⊥OD；
（2）①根据平行线的判定定理证明EF∥OD．得到：∠DEF＝∠EDO，∠DFE＝∠BDO．再利用角平分线的性质得到∠DEF＝∠DFE．即可求出∠DEF＝28°；
②解法一：由①知EF∥OD，证明∠MOF＝∠FOD．利用角之间的关系可得：∠FON＝90°－（∠DON＋∠FOD）＝90°－∠FON，即可求出∠FON＝45°．解法二：作∠EOM的角平分线交EM于点K，证明∠KON＝90°．利用∠MOF＝∠FOD，∠EOD＝90°．得到∠KOF＝（∠EOM＋∠MOD）＝∠EOD＝45°，进一步可得：∠FON＝∠KON－∠KOF＝90°－45°＝45°．
（1）
解：OB⊥OD．
∵AB∥CD，
∴∠ABD＋∠CDB＝180°．
∵OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC，
∴∠ABD＝2∠OBD，∠CDB＝2∠ODB．
∴2∠OBD＋2∠ODB＝180°，
即∠OBD＋∠ODB＝90°．
∴∠BOD＝90°，即OB⊥OD．
（2）
解：①由（1）可知OB⊥OD， 即BE⊥OD．
又EF⊥BE，
∴EF∥OD．
∴∠DEF＝∠EDO，∠DFE＝∠BDO．
又∠EDO＝∠BDO，
∴∠DEF＝∠DFE．
又∵∠DFE＝28°，
∴∠DEF＝∠DFE＝28°．
②∠FON＝45°．
解法1：由①知EF∥OD，
∴∠MFO＝∠FOD．
又∵∠MOF＝∠MFO，
∴∠MOF＝∠FOD．
又∵ON平分∠BOM，即∠MON＝∠BON，
∴∠FON＝∠MON－∠MOF＝∠BON－∠FOD．
又∠BON＝90°－∠DON
∴∠FON＝90°－（∠DON＋∠FOD）
＝90°－∠FON，
∴∠FON＝45°．
解法2：作∠EOM的角平分线交EM于点K，
∵ON平分∠BOM，
可得∠KON＝90°．
由解法1知∠MOF＝∠FOD，
由（1）知OB⊥OE，即∠EOD＝90°．
∴∠KOF＝（∠EOM＋∠MOD）＝∠EOD＝45°
∴∠FON＝∠KON－∠KOF＝90°－45°＝45°．
【点睛】本题考查平行线的判定及性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握平行线的判定及性质，角平分线的性质，理解题意，结合图形求解．
27．（2022春·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，已知直线AMBG，点C为射线BG上一动点，过点C作CDAB交AM于点D，点E在线段AB上，∠DCE＝90°，点F在线段AD上，∠FCG＝90°，点H在线段BC上，∠AHG＝90°，∠ECF＝60°．
(1)写出一个与∠ADC相等的角 （写一个即可）；
(2)如图2，求∠BCD的度数；
(3)若点F是直线AM上的一点，点H是直线BG上的一点，在点C的运动过程中（点C不与点B、H重合），求∠BAF的度数．
【答案】(1)∠DCG
(2)120°
(3)60°或120°
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得；
（2）根据、可得，从而得到；
（3）先计算出，根据得，再根据点F在线段AD上和线段AD的左侧两种情况分别计算出的度数．
（1）
∵，
∴，
故答案为：；
（2）
∵∠ECF＝60°，∠DCE＝90°，
∴∠FCD＝30°，
又∵∠BCF＝∠FCG＝90°，
∴∠BCD＝30°+90°＝120°；
（3）
如图，当点C在线段BH上时，点F在DA延长线上，
∵∠DCE=90°，∠ECF=60°，
∴∠FCD=30°，
∵∠FCG=90°，
∴∠DCG=60°，
∵ADBC，
∴∠BAF＝∠ABC＝60°；
如图，当点C在BH延长线上时，点F在线段AD上，
∵∠ABC＝60°，ADBC，
∴∠BAF＝180°﹣60°＝120°．
综上所述，∠BAF的度数为60°或120°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行，同旁内角互补．
28．（2021春·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）如图，已知直线射线CD，．P是射线EB上一动点，过点P作交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．
(1)若点P，F，G都在点E的右侧．
①求∠PCG的度数；
②若，求∠CPQ的度数．
(2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)存在，或
【分析】（1）①根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义即可得到的度数；②根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，再根据即可得出；
（2）设，则，分两种情况讨论：①当点在点的右侧时，②当点在点的左侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义，得出等量关系，列方程求解即可．
（1）
解：①∵，，
∴，
∵，平分，
∴
∴；
②∵，，
∴，，
∴，
又，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
，
，
∵，
∴．
（2）
解：设，则，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在点的右侧时，
∵，
，
，
∵，
，
∵平分，
，
，
∵，
∴，
∵，
，即，
解得，
∴；
②如图，当点在点的左侧时，
∵，
，
，
∵，
，
∵平分，
，
，
∵，
∴，
∵，
，即，
解得，
∴；
综上，存在这样的情形，使，此时的度数为或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．
29．（2022秋·八年级课时练习）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
【答案】(1)AB∥CD；AB∥CD；AB∥CD，理由见解析
(2)∠BAE+∠MCD＝90°，理由见解析
(3)∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°
【分析】（1）由角平分线的定义得∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，则∠BAC+∠ACD＝180°，可得结论AB∥CD；
（2）过点E作EF∥AB，利用平行线的性质可得答案；
（3）利用平行线的性质和三角形内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠BAE+∠MCD＝90°，理由如下：
过点E作EF∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝∠MCD，
∴∠BAE+∠MCD＝90°；
（3）解：分两种情况分类讨论，
第一种情况如图，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二种情况如图，当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
综上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系，根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法．
30．（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求的度数．
阅读并补充下面推理过程
解：过点A作
，_________________．
__________________
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求证：提示：过点C作．
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，平分，DE平分，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数。
②如图4，点B在点A的右侧，且，若，则的度数为___________．
【答案】(1)∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC
(2)见详解
(3)①55°；②160
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C作CFAB，根据平行线的性质得到∠D+∠FCD＝180°，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）①过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；
②∠BED的度数改变．过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，进而可求∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°．
【详解】（1）如图1，过点A作EDBC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
故答案为：∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC；
（2）如图2，过C作CFAB，
，
∵ABDE，
∴CFDE，
∴∠D+∠FCD＝180°，
∵CFAB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠D+∠BCD＝180°+∠BCF，
∴∠D+∠BCD＝180°+∠B，
即∠D+∠BCD﹣∠B＝180°；
（3）①如图3，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE∠ABC＝25°，∠CDE∠ADC＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝25°+30°＝55°；
②如图4，过点E作EFAB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°，
故答案为：160．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线．
31．（2022春·河南安阳·七年级统考期末）猜想说理：
（1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由：
拓展应用：
（2）如图4，若，则 度；
（3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数．
【答案】（1）；；
（2）
（3）
【分析】（1）根据平行线的性质可直接得到结论；
（2）过点F作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出的度数；
（3）过点E作AB的平行线，过点F作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出度数；通过前面的计算，找出规律．利用规律得到有n个折点的结论；
【详解】解：（1）如图1：，
如图2：，
如图3：，
如图1说明理由如下：
∵，
∴，
∴，
即；
（2）如下图：
过F作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即；
故答案为：；
（3）如下图：，
过E作，过F作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
即；
综上所述：
由当平行线AB与CD间没有点的时候，，
当A、C之间加一个折点F时，；
当A、C之间加二个折点E、F时，则；
以此类推，如图5，，
当、之间加三个折点时，
则；
…
当、之间加n个折点时，
则，
即的度数是．
【点睛】本题是探索型试题，主要考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用平行线的性质及三角形外角的性质等知识求解是解答此题的关键．
32．（2022春·江苏南通·七年级统考期中）已知，连接，两点．
(1)如图1，与的平分线交于点，则等于__________度；
(2)如图2，点在射线反向延长线上，点在射线上．与的平分线交于点．若，，求的度数；
(3)如图3，图4，，分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点．设，，请直接写出图中的度数（用含，的式子表示）．
【答案】(1)90；
(2)；
(3)或
【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，从而可求出；
（2）过E作EF∥AB，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．
（3）分两种情况，过E作EF∥AB，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．
（1）
∵与的平分线交于点，
即
故答案为：
（2）
如图，过点作，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵平分，平分，
∴，
．
∴；
（3）
过点E作如图3，
∵∠与∠的平分线交于点E，∠
∴∠
如图4，
∵AB//CD
∵AB//CD
综上，的度数为或
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键．
【压轴专训】
1．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，，、、分别平分，外角，外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期中）如图，中，交于点，平分交于点，点为的延长线上一点，交的延长线于点，的延长线交于点，连接，下列结论：
①；
②；
③；
④.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023春·七年级单元测试）△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）如图，点D、E、F分别在三角形ABC的上，连结，若，则的角度为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·福建厦门·七年级校考阶段练习）如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）
A．540°B．180°nC．180°(n-1)D．180°(n+1)
6．（2022春·河南信阳·七年级统考期末）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102°B．108°C．124°D．128°
7．（2022春·安徽芜湖·七年级统考期中）如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为
A．30°B．35°C．36°D．45°
8．（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图，已知，，，则___度．
9．（2022春·山东泰安·六年级东平县实验中学校考阶段练习）如果的两边分别平行于的两边，且比的2倍少，则________．
10．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，∠AEM＝∠DFN＝a，∠EMN＝∠MNF＝b，∠PEM＝∠AEM，∠MNP＝∠FNP，∠BEP，∠NFD的角平分线交于点I，若∠I＝∠P，则a和b的数量关系为_____（用含a的式子表示b）．
11．（2022春·重庆璧山·七年级校联考期中）如图，已知，、的交点为，现作如下操作：
第一次操作，分别作和的平分线，交点为，
第二次操作，分别作和的平分线，交点为，
第三次操作，分别作和的平分线，交点为，
…
第次操作，分别作和的平分线，交点为．
若度，那等于__________度．
12．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，已知，∠ABG为锐角，AH∥BG，点C从点B（C不与B重合）出发，沿射线BG的方向移动，CD∥AB交直线AH于点D，CE⊥CD交AB于点E，CF⊥AD，垂足为F（F不与A重合），若∠ECF＝n°，则∠BAF的度数为_____度．（用n来表示）
13．（2022秋·七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝_____，则三角板BCE有一条边与斜边AD平行．
14．（2022春·重庆·七年级重庆市綦江中学校考阶段练习）如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE=45°，∠ACB=∠DAE，则∠ACD的度数是_____．
15．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，AB∥CD, AC∥BD, CE平分∠ACD，交BD于点E，点F在CD的延长线上，且∠BEF=∠CEF，若∠DEF=∠EDF，则∠A的度数为_____.
16．（2022春·江苏南京·七年级统考期中）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是_______．
17．（2022秋·江苏·七年级专题练习）直线相交于点于点，作射线，且在的内部．
(1)当点在直线的同侧；
①如图1，若，求的度数；
②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由；
(2)若，请直接写出与之间的数量关系．
18．（2023春·七年级单元测试）已知，的平分线与的平分线相交于点F．
(1)在图1中，求证：
①；
②；
(2)如图2，当，时，请你写出与之间的关系，并加以证明；
(3)当，，且时，请你直接写出的度数（用含m，n的式子表示）
19．（2022春·北京·七年级北京市第一六一中学校考期末）如图1，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线于点M，且．点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设，．
图1
图2
(1)求证：；
(2)当点G在点F的右侧时，
①依据题意在图1中补全图形；
②若，则α＝ 度；
(3)当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
20．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，直线、被所截，直线分别交、于、两点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，、分别为夹在、中的两条直线，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，为上一点，连接，为上一点，连接，，平分交于点，，，，，求的度数．
21．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）【问题情景】（1）如图，，，，求的度数；
【问题迁移】（2）如图，已知，ADBC，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动点与点，，三点不重合”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．
22．（2023春·七年级单元测试）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．
(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；
(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是 （直接写出答案）；
(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是 ，∠FMG＝ 度．
23．（2023春·七年级单元测试）已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．
(1)如图1，求证：MNPQ；
(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AGCH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度数．（直接写出答案）
24．（2022春·河北石家庄·七年级校联考期中）如图至图，在中，，点在边所在直线上，作垂直于直线，垂足为点；为的角平分线，的平分线交直线于点．
(1)特例感悟：
如图，延长交于点，若BMDG，．
解决问题：
①______；
②求证：；
(2)深入探究；
如图，当，与反向延长线交于点，用含的代数式表示______；
(3)拓展延伸：
当点在直线上移动时，若射线与射线相交，设交点为，直接写出与的关系式．
25．（2022秋·海南海口·七年级校考期末）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足，，DG平分．
(1)如图1，当点G在点F右侧时，
①试说明：；
②试说明；
(2)如图2，当点G在点F左侧时，（1）中的结论②是否成立，若不成立，请写出正确结论；（不用说理）
(3)如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分，交BC于点M，DN平分，交EF于点N，连接NG，若，，求的度数．
26．（2022春·湖南邵阳·七年级统考期末）对于湘教版数学七年级下册第110页第15题：“如图1，OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC，∠1＋∠2＝90°，那么AB与CD有什么关系？试说明理由．”
小亮同学在做完了该题后，与学习小组的同学在“课后服务”进一步开展了探究活动：
如图，AB∥CD，OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC．
(1)如图1，那么OB与OD有什么关系？试说明理由．
(2)延长BO与CD相交于点E，过点E作EF⊥BE，EF与BD的延长线相交于点F，
①如图2，∠DFE＝28°，小亮发现可以求出∠DEF的大小，请你帮助小亮同学写出求∠DEF的大小的过程．
②如图3，连接OF，点M是EF上一点，∠MOF＝∠MFO，ON平分∠BOM交BD于点N，学习小组的小明同学发现∠FON的大小不变，请你直接写出∠FON的大小是 ．
27．（2022春·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，已知直线AMBG，点C为射线BG上一动点，过点C作CDAB交AM于点D，点E在线段AB上，∠DCE＝90°，点F在线段AD上，∠FCG＝90°，点H在线段BC上，∠AHG＝90°，∠ECF＝60°．
(1)写出一个与∠ADC相等的角 （写一个即可）；
(2)如图2，求∠BCD的度数；
(3)若点F是直线AM上的一点，点H是直线BG上的一点，在点C的运动过程中（点C不与点B、H重合），求∠BAF的度数．
28．（2021春·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）如图，已知直线射线CD，．P是射线EB上一动点，过点P作交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．
(1)若点P，F，G都在点E的右侧．
①求∠PCG的度数；
②若，求∠CPQ的度数．
(2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．
29．（2022秋·八年级课时练习）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
30．（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求的度数．
阅读并补充下面推理过程
解：过点A作
，_________________．
__________________
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求证：提示：过点C作．
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，平分，DE平分，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数。
②如图4，点B在点A的右侧，且，若，则的度数为___________．
31．（2022春·河南安阳·七年级统考期末）猜想说理：
（1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由：
拓展应用：
（2）如图4，若，则 度；
（3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数．
32．（2022春·江苏南通·七年级统考期中）已知，连接，两点．
(1)如图1，与的平分线交于点，则等于__________度；
(2)如图2，点在射线反向延长线上，点在射线上．与的平分线交于点．若，，求的度数；
(3)如图3，图4，，分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点．设，，请直接写出图中的度数（用含，的式子表示）．
专题03 角度计算的综合压轴题型专训
【压轴专训】
1．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，，、、分别平分，外角，外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可．
【详解】解：①设点A、B在直线上，
∵、分别平分的内角，外角，
∴平分的外角，
∴，
∵，且，
∴，
∴，故①正确．
②∵、分别平分的内角、外角，
∴，
∴，故②正确．
③∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确．
④∵
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定等，熟悉各个概念的内容是解题的关键．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期中）如图，中，交于点，平分交于点，点为的延长线上一点，交的延长线于点，的延长线交于点，连接，下列结论：
①；
②；
③；
④.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】如图，①根据直角三角形的性质即可得到；②根据角平分线的定义得，由三角形的内角和定理得，变形可得结论；③根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到；④根据三角形的面积公式即可得到．
【详解】如图，交于，
①，，
，
，
，故①正确；
②平分交于，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
③，，
，
，
，
，故③正确；
④平分交于，
点到和的距离相等，
，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
3．（2023春·七年级单元测试）△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解．
【详解】∵平分∠ABC，平分∠ACD，
∴＝∠ABC，＝∠ACD，
∴＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A，
同理可得＝＝∠A，
∴＝∠A，
∵，
∴＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图，然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．
4．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）如图，点D、E、F分别在三角形ABC的上，连结，若，则的角度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先证明，根据平行线的性质可得，结合，求得，根据同位角相等，两直线平行证得，根据平行线的性质求出∠3的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵ ，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
5．（2022春·福建厦门·七年级校考阶段练习）如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）
A．540°B．180°nC．180°(n-1)D．180°(n+1)
【答案】C
【分析】根据题意，作，，，由两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，作，，，
∵，
∴，，，……
∴，……
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明．
6．（2022春·河南信阳·七年级统考期末）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102°B．108°C．124°D．128°
【答案】A
【分析】先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，∠CFE=∠CFG-∠EFG即可．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，
故选A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
7．（2022春·安徽芜湖·七年级统考期中）如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为
A．30°B．35°C．36°D．45°
【答案】C
【分析】延长BG交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.
【详解】解：如图延长BG交CD于G
∵BF∥ED
∴∠F=∠EDF
又∵DF 平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠F，
∵BF∥ED
∴∠CGF=∠EDF=2∠F，
∵AB∥CD
∴∠ABF=∠CGF=2∠F，
∵BF平分∠ABE
∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，
又∵∠F 与∠ABE 互补
∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°，解得∠F=36°
故答案选C.
【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.
8．（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图，已知，，，则___度．
【答案】65°
【分析】过点作∥，根据平行公理得，再依据平行线的性质求角即可．
【详解】解：过点作∥，如图：
，
．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是依据平行公理作辅助线，熟练运用平行线的性质解决问题
9．（2022春·山东泰安·六年级东平县实验中学校考阶段练习）如果的两边分别平行于的两边，且比的2倍少，则________．
【答案】或
【分析】由两个角的两边分别平行，画出图形可得这两个角相等或互补，依此列出方程，解方程即可得出结果．
【详解】解：∵∠1比∠2的2倍少30°，∴∠1=2∠2-30°．
根据∠1的两边与∠2的两边分别平行，分两种情况：
如图①，根据平行可得，∠1=∠3，∠2=∠3，∴∠1=∠2，则
2∠2-30°=∠2，解得∠2=30°，∴∠1=30°；
如图②，根据平行可知，∠1=∠3，∠2+∠3=180°，∴∠1+∠2=180°，则
2∠2-30°+∠2=180°，解得∠2=70°，∴∠1=110°．
综上所述，∠1的度数为30°或110°．
故答案为：30°或110°．
【点睛】此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，注意分类讨论思想的应用．
10．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，∠AEM＝∠DFN＝a，∠EMN＝∠MNF＝b，∠PEM＝∠AEM，∠MNP＝∠FNP，∠BEP，∠NFD的角平分线交于点I，若∠I＝∠P，则a和b的数量关系为_____（用含a的式子表示b）．
【答案】．
【分析】分别过点P、I作ME∥PH，AB∥GI，设∠AME=2x，∠PNF=2y，知∠PEM=x，∠MNP=y，由PH∥ME知∠EPH=x，由EM∥FN知PH∥FN，据此得∠HPN=2y，∠EPN=x+2y，同理知，根据∠EPN=∠EIF可得答案．
【详解】分别过点P、I作ME∥PH，AB∥GI，
设∠AEM＝2x，∠PNF＝2y，则∠PEM＝x，∠MNP＝y，
∴∠DFN＝2x=a，∠MNF＝b=3y
∵PH∥ME，
∴∠EPH＝x，
∵EM∥FN，
∴PH∥FN，
∴∠HPN＝2y，∠EPN＝x+2y，
同理，，
∵∠EPN＝∠EIF，
∴＝x+2y，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
11．（2022春·重庆璧山·七年级校联考期中）如图，已知，、的交点为，现作如下操作：
第一次操作，分别作和的平分线，交点为，
第二次操作，分别作和的平分线，交点为，
第三次操作，分别作和的平分线，交点为，
…
第次操作，分别作和的平分线，交点为．
若度，那等于__________度．
【答案】
【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，则可得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C∠BEC；…据此得到规律∠En∠BEC，最后求得∠BEC的度数．
【详解】如图1，过E作EF∥AB．
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2．
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
如图2．
∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC；
∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3∠ABE2∠DCE2∠CE2B∠BEC；
…
以此类推，∠En∠BEC，
∴当∠En=1度时，∠BEC等于2n度．
故答案为：2n．
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
12．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，已知，∠ABG为锐角，AH∥BG，点C从点B（C不与B重合）出发，沿射线BG的方向移动，CD∥AB交直线AH于点D，CE⊥CD交AB于点E，CF⊥AD，垂足为F（F不与A重合），若∠ECF＝n°，则∠BAF的度数为_____度．（用n来表示）
【答案】n或180﹣n
【分析】分两种情况讨论：当点在线段上；点在延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．
【详解】解：过A作AM⊥BC于M，如图1，
当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，
过A作AM⊥BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝∠B＝n°，
综上所述，∠BAF的度数为n°或180°﹣n°，
故答案为：n或180﹣n．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
13．（2022秋·七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝_____，则三角板BCE有一条边与斜边AD平行．
【答案】或或
【分析】分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．
【详解】解：有三种情形： ①如图1中，当AD∥BC时．
∵AD∥BC， ∴∠D＝∠BCD＝30°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝30°．
②如图2中，当AD∥CE时，
∠DCE＝∠D＝30°，可得∠ACE＝90°+30°＝120°．
③如图2中，当AD∥BE时，延长BC交AD于M．
∵AD∥BE， ∴∠AMC=∠B=45°，
∴∠ACM＝180°-60°-45°＝75°，
∴∠ACE＝75°+90＝165°，
综上所述，满足条件的∠ACE的度数为30°或120°或165°．
故答案为30°或120°或165°．
【点睛】本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考常考题型．
14．（2022春·重庆·七年级重庆市綦江中学校考阶段练习）如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE=45°，∠ACB=∠DAE，则∠ACD的度数是_____．
【答案】##27度
【分析】延长FA与直线MN交于点K，通过角度的不断转换解得∠BCA=45°，然后结合图形，利用各角之间的关系求解即可．
【详解】解：延长FA与直线MN交于点K，
由图可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠FAD=45°-(90°-∠AFD)=∠AFD，
∵MN∥PQ，
∴∠AFD=∠BKA=90°-∠KBA=90°-(180°-∠ABM)=∠ABM-90°，
∴∠ACD=∠AFD=(∠ABM-90°)=∠BCD-45°，
即∠BCD-∠ACD=∠BCA=45°，
∴∠ACD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠EAD=45°-∠BCA=45°-18°=27°，
故∠ACD的度数是27°，
故答案为：27°．
【点睛】本题利用平行线、垂直、角平分线综合考查角度的计算，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
15．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，AB∥CD, AC∥BD, CE平分∠ACD，交BD于点E，点F在CD的延长线上，且∠BEF=∠CEF，若∠DEF=∠EDF，则∠A的度数为_____.
【答案】108
【详解】分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED，然后根据题意和三角形的外角的性质，四边形的内角和求解.
详解：∵CE平分∠ACD
∴∠ACE=∠DCE
∵AB∥CD，AC∥BD,
∴∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠ACD+∠A=180°，∠ACE=∠CED
∵∠EDF=∠DEF =∠ECD+∠CED
∴∠CEF=∠FEB=∠CED+∠DEF
设∠B=x，则∠A=180°-x，∠ACE=∠ECD=∠CED=x，
∴∠EDF=x，∠BEF=x
∴∠CEB=360°-2×∠BEF=360°-3x
∴∠A+∠B+∠BEC+∠ACE=180°-x+x+360°-3x+x=360°
解得x=72°
∴∠A=180°-72°=108°.
故答案为108.
点睛：此题主要考查了平行线的性质和三角形的外角的综合应用，关键是利用平行线的性质和三角形的外角确定角之间的关系，有一定的难度.
16．（2022春·江苏南京·七年级统考期中）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是_______．
【答案】①②③
【详解】①∵EG∥BC，
∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，则①正确；
②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，
∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，
∴∠DFB=45°=∠CGE，则②正确；
③∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°．
∵EG∥BC，且EG⊥CG，
∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，则③正确；
④无法证明CA平分∠BCG，则④错误．
故答案为①②③．
17．（2022秋·江苏·七年级专题练习）直线相交于点于点，作射线，且在的内部．
(1)当点在直线的同侧；
①如图1，若，求的度数；
②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由；
(2)若，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)①；②平分，理由见解析
(2)或
【分析】（1）①由，得出，根据平角的定义得出，根据即可求解；
②由平分，得出，根据得出，即可得结论；
（2）分当点在直线的同侧时，当点和点在直线的异侧时两种情况，结合图形分析即可求解．
【详解】（1）解：①∵于点，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的度数为；
②平分，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即平分．
（2）当点在直线的同侧时，如图，
记，则，
∵，
∴，
∴①，
∴②，
得，；
当点和点在直线的异侧时，如图，
记，则，
∵，
∴，
∴①，
∴②，
得，．
综上可知，或．
【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，垂直的定义，与余角补角相关的计算，数形结合是解题的关键．
18．（2023春·七年级单元测试）已知，的平分线与的平分线相交于点F．
(1)在图1中，求证：
①；
②；
(2)如图2，当，时，请你写出与之间的关系，并加以证明；
(3)当，，且时，请你直接写出的度数（用含m，n的式子表示）
【答案】(1)证明见详解；
(2)，证明见详解；
(3)
【分析】（1）①根据平行线的性质可得：，
②根据平行线的性质可得：，
（2）设，，则，，，根据（1）和四边形内角和得等式可得结论；
（3）同（2）将3倍换为n倍，同理可得结论；
【详解】（1）证明：①如图１，过点作
，
，
，
，
证明：②如图１，过点作
，
，
即
（2）解：关系式为，
证明：设，
，时，且平分，平分，
，
由（１）得，
，
，
，
即，
，
（3）解：设则
，，
由（１）可得
，
，
，
，
，
即的度数（用含m，n的式子表示）表示为
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．
19．（2022春·北京·七年级北京市第一六一中学校考期末）如图1，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线于点M，且．点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设，．
图1
图2
(1)求证：；
(2)当点G在点F的右侧时，
①依据题意在图1中补全图形；
②若，则α＝ 度；
(3)当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②50
(3)或；证明见解析
【分析】（1）根据平分和，可证明，即可解答．
（2）①根据题意画图即可；
②依据平行线的性质可得，再根据平分，，即可得到，再根据三角形内角和定理即可解答；
（3）分两种情况解答：当点G在点F的右侧时，由（2）可得结果；当点G在点F的左侧时，进行解答即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①如图1，
②∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
，
∴，
∵，
∴，
解得；
故答案为：50；
（3）解：α和β之间的数量关系为或．
理由如下：
当点G在点F的右侧，由（2）得，
当点G在点F的左侧时，如图2，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
，
∴，
即，
综上所述，α和β之间的数量关系为或．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握这些知识，并熟练利用角的和差关系进行运算是解题的关键．
20．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，直线、被所截，直线分别交、于、两点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，、分别为夹在、中的两条直线，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，为上一点，连接，为上一点，连接，，平分交于点，，，，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）只需要证明即可证明；
（2）先由平行线的性质得到，进而证明，即可证明；
（3）如图所示，过点N作直线，则，设，先证明，再由平行线的性质得到，，由，得到，则，，进而求出，则，根据平行线的性质求出，从而求出，再由平分，得到，最后根据，即可得到 ．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点N作直线，则，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
21．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）【问题情景】（1）如图，，，，求的度数；
【问题迁移】（2）如图，已知，ADBC，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动点与点，，三点不重合”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）与、之间的数量关系为：或
【分析】（1）过点P作PE与AB平行，继而根据的性质进行推导即可得；
（2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（3）画出图形分两种情况点在的延长线上，点在的延长线上，根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【详解】解：（1）过点作，
如图所示：
，
，平行于同一条直线的两条直线平行
，，两直线平行同旁内角互补
，，
，，
．
（2），理由如下：
如图所示，过作交于，
，
，
，，
；
（3）当在延长线时，如图所示：
过作交于，
同（2）可知：，，
；
当在延长线时，如图所示：
同（2）可知：，，
．
综上所述，与、之间的数量关系为：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键．
22．（2023春·七年级单元测试）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．
(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；
(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是 （直接写出答案）；
(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是 ，∠FMG＝ 度．
【答案】(1)∠MAB+∠D＝90°；见解析
(2)∠MAB﹣∠D＝90°
(3)∠MAB＝∠EMD；45
【分析】（1）在题干的基础上，通过平行线的性质可得结论；
（2）仿照（1）的解题思路，过点M作MN∥AB，由平行线的性质可得结论；
（3）利用（2）中的结论，结合角平分线的性质可得结论．
【详解】（1）解：如图①，过点M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）．
∴∠D＝∠NMD．
∵MN∥AB，
∴∠MAB+∠NMA＝180°．
∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°．
∵∠AMD＝90°，
∴∠MAB+∠DMN＝90°．
∴∠MAB+∠D＝90°；
（2）解：如图②，过点M作MN∥AB，
∵MN∥AB，
∴∠MAB+∠AMN＝180°．
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD．
∴∠D＝∠NMD．
∵∠AMD＝90°，
∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．
∴∠AMN＝90°﹣∠D．
∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．
∴∠MAB﹣∠D＝90°．
即∠MAB与∠D的数量关系是：∠MAB﹣∠D＝90°．
故答案为：∠MAB﹣∠D＝90°．
（3）解：如图③，
∵ME⊥AB，
∴∠E＝90°．
∴∠MAE+∠AME＝90°
∵∠MAB+∠MAE＝180°，
∴∠MAB﹣∠AME＝90°．
即∠MAB＝90°+∠AME．
∵∠AMD＝90°，
∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD．
∵MF平分∠EMA，
∴∠FME＝∠FMA＝∠EMA．
∵MG平分∠EMD，
∴∠EMG＝∠GMD＝∠EMD．
∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF，
∴∠FMG＝∠EMD﹣∠EMA＝（∠EMD﹣∠EMA）．
∵∠EMD﹣∠EMA＝90°，
∴∠FMG＝45°．
故答案为：∠MAB＝∠EMD；45．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点M作MN∥AB是解题的关键．
23．（2023春·七年级单元测试）已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．
(1)如图1，求证：MNPQ；
(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AGCH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度数．（直接写出答案）
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)∠CFB=130°
【分析】（1）过C作CEMN，根据平行线的判定和性质即可得到结论；
（2）过B作BRAG，根据平行线的性质得到∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，等量代换即可得到结论；
（3）过E作ESMN，根据平行线的性质得到∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，根据角平分线的定义得到∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，根据四边形的内角和即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，过C作CEMN，
∴∠1=∠MAC，
∵∠2=∠ACB-∠1，
∴∠2=∠ACB-∠MAC，
∵∠ACB-∠MAC=∠CBP，
∴∠2=∠CBP，
∴CEPQ，
∴MNPQ；
（2）如图，过B作BRAG，
∵AGCH，
∴BRHF，
∴∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，
∵∠EBF=90°，
∴∠BEG=∠EBR=90°-∠RBF，
∴∠BEG=90°-∠RBF=90°-（180°-∠CFB），
∴∠CFB-∠BEG=90°；
（3）如图，过E作ESMN，
∵MNPQ，
∴ESPQ，
∴∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，
∵BD和AE分别平分∠CBP和∠CAN，
∴∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，
∴∠CAE=∠AES，
∵∠EBD=90°，
∴∠EBQ+∠PBD=∠EBC+∠CBD=90°，
∴∠QBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠BES，
∴∠AEB=∠AES+∠BES=∠CAE+∠EBC=，
∵∠ACB=80°，
∴∠AEB=140°，
∴∠BEG=40°，
∵∠CFB-∠BEG=90°，
∴∠CFB=130°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，余角的性质，四边形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（2022春·河北石家庄·七年级校联考期中）如图至图，在中，，点在边所在直线上，作垂直于直线，垂足为点；为的角平分线，的平分线交直线于点．
(1)特例感悟：
如图，延长交于点，若BMDG，．
解决问题：
①______；
②求证：；
(2)深入探究；
如图，当，与反向延长线交于点，用含的代数式表示______；
(3)拓展延伸：
当点在直线上移动时，若射线与射线相交，设交点为，直接写出与的关系式．
【答案】(1)①；②见解析
(2)
(3)或
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案；根据平行线的性质得，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论；
由八字模型可得，和中，，再整理可得答案；
分情况讨论，分别画出对应图形，再整理即可．
（1）
解：BMDG，
，
为的角平分线，
，
故答案为：；
证明：由得，，
∵BMDG，
，
，
，
平分，
，
，
；
（2）
由八字模型可得，和中，
,
故答案为：；
（3）
如图，
由八字模型可得，和中，
；
如图，
由四边形的内角和得，
；
如图，
由八字模型可得，，
；
综上，或．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键．
25．（2022秋·海南海口·七年级校考期末）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足，，DG平分．
(1)如图1，当点G在点F右侧时，
①试说明：；
②试说明；
(2)如图2，当点G在点F左侧时，（1）中的结论②是否成立，若不成立，请写出正确结论；（不用说理）
(3)如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分，交BC于点M，DN平分，交EF于点N，连接NG，若，，求的度数．
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2)∠DGE＝∠BDG＋∠FEG，理由见解析；
(3)
【分析】（1）①根据角平分线的定义即可得到∠BDG＝∠ADG，从而可得∠ADG＝∠DGB，则，可得∠DEF＝∠EFG，即可得到∠DBF＝∠EFG，从而证明；②过点G作GHDB交DA于点H，根据平行线的性质求解即可；
（2）过点G作交AD于K，则，可得∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，即可得到∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；
（3）设，则，，由角平分线的定义可得，然后分别求出，，进行求解即可．
（1）
证明：①∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG＝∠ADG，
又∵∠BDG＝∠BGD，
∴∠ADG＝∠DGB，
∴，
∴∠DEF＝∠EFG，
∵∠DBF＝∠DEF，
∴∠DBF＝∠EFG，
∴；
②过点G作GHDB交DA于点H，
由①得，
∴GHDBEF，
∴∠BDG＝∠DGH，∠FEG＝∠EGH，
∴∠DGE＝∠DGH-∠EGH，
∴∠DGE=∠BDG-∠FEG；
（2）
解：过点G作交AD于K，
同理可证，
∴，
∴∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，
∴∠DGE＝∠DGK＋∠KGE，
∴∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；
（3）
解：设，则，，，
∵DN平分∠PDM，
∴，
∴，，
∵DG⊥NG，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，余角的计算，解题的关键是能够熟知平行线的性质与判定条件．
26．（2022春·湖南邵阳·七年级统考期末）对于湘教版数学七年级下册第110页第15题：“如图1，OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC，∠1＋∠2＝90°，那么AB与CD有什么关系？试说明理由．”
小亮同学在做完了该题后，与学习小组的同学在“课后服务”进一步开展了探究活动：
如图，AB∥CD，OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC．
(1)如图1，那么OB与OD有什么关系？试说明理由．
(2)延长BO与CD相交于点E，过点E作EF⊥BE，EF与BD的延长线相交于点F，
①如图2，∠DFE＝28°，小亮发现可以求出∠DEF的大小，请你帮助小亮同学写出求∠DEF的大小的过程．
②如图3，连接OF，点M是EF上一点，∠MOF＝∠MFO，ON平分∠BOM交BD于点N，学习小组的小明同学发现∠FON的大小不变，请你直接写出∠FON的大小是 ．
【答案】(1)OB⊥OD，见解析；
(2)①∠DEF＝28°，过程见解析；②45°．
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质即可证明OB⊥OD；
（2）①根据平行线的判定定理证明EF∥OD．得到：∠DEF＝∠EDO，∠DFE＝∠BDO．再利用角平分线的性质得到∠DEF＝∠DFE．即可求出∠DEF＝28°；
②解法一：由①知EF∥OD，证明∠MOF＝∠FOD．利用角之间的关系可得：∠FON＝90°－（∠DON＋∠FOD）＝90°－∠FON，即可求出∠FON＝45°．解法二：作∠EOM的角平分线交EM于点K，证明∠KON＝90°．利用∠MOF＝∠FOD，∠EOD＝90°．得到∠KOF＝（∠EOM＋∠MOD）＝∠EOD＝45°，进一步可得：∠FON＝∠KON－∠KOF＝90°－45°＝45°．
（1）
解：OB⊥OD．
∵AB∥CD，
∴∠ABD＋∠CDB＝180°．
∵OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC，
∴∠ABD＝2∠OBD，∠CDB＝2∠ODB．
∴2∠OBD＋2∠ODB＝180°，
即∠OBD＋∠ODB＝90°．
∴∠BOD＝90°，即OB⊥OD．
（2）
解：①由（1）可知OB⊥OD， 即BE⊥OD．
又EF⊥BE，
∴EF∥OD．
∴∠DEF＝∠EDO，∠DFE＝∠BDO．
又∠EDO＝∠BDO，
∴∠DEF＝∠DFE．
又∵∠DFE＝28°，
∴∠DEF＝∠DFE＝28°．
②∠FON＝45°．
解法1：由①知EF∥OD，
∴∠MFO＝∠FOD．
又∵∠MOF＝∠MFO，
∴∠MOF＝∠FOD．
又∵ON平分∠BOM，即∠MON＝∠BON，
∴∠FON＝∠MON－∠MOF＝∠BON－∠FOD．
又∠BON＝90°－∠DON
∴∠FON＝90°－（∠DON＋∠FOD）
＝90°－∠FON，
∴∠FON＝45°．
解法2：作∠EOM的角平分线交EM于点K，
∵ON平分∠BOM，
可得∠KON＝90°．
由解法1知∠MOF＝∠FOD，
由（1）知OB⊥OE，即∠EOD＝90°．
∴∠KOF＝（∠EOM＋∠MOD）＝∠EOD＝45°
∴∠FON＝∠KON－∠KOF＝90°－45°＝45°．
【点睛】本题考查平行线的判定及性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握平行线的判定及性质，角平分线的性质，理解题意，结合图形求解．
27．（2022春·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，已知直线AMBG，点C为射线BG上一动点，过点C作CDAB交AM于点D，点E在线段AB上，∠DCE＝90°，点F在线段AD上，∠FCG＝90°，点H在线段BC上，∠AHG＝90°，∠ECF＝60°．
(1)写出一个与∠ADC相等的角 （写一个即可）；
(2)如图2，求∠BCD的度数；
(3)若点F是直线AM上的一点，点H是直线BG上的一点，在点C的运动过程中（点C不与点B、H重合），求∠BAF的度数．
【答案】(1)∠DCG
(2)120°
(3)60°或120°
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得；
（2）根据、可得，从而得到；
（3）先计算出，根据得，再根据点F在线段AD上和线段AD的左侧两种情况分别计算出的度数．
（1）
∵，
∴，
故答案为：；
（2）
∵∠ECF＝60°，∠DCE＝90°，
∴∠FCD＝30°，
又∵∠BCF＝∠FCG＝90°，
∴∠BCD＝30°+90°＝120°；
（3）
如图，当点C在线段BH上时，点F在DA延长线上，
∵∠DCE=90°，∠ECF=60°，
∴∠FCD=30°，
∵∠FCG=90°，
∴∠DCG=60°，
∵ADBC，
∴∠BAF＝∠ABC＝60°；
如图，当点C在BH延长线上时，点F在线段AD上，
∵∠ABC＝60°，ADBC，
∴∠BAF＝180°﹣60°＝120°．
综上所述，∠BAF的度数为60°或120°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行，同旁内角互补．
28．（2021春·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）如图，已知直线射线CD，．P是射线EB上一动点，过点P作交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．
(1)若点P，F，G都在点E的右侧．
①求∠PCG的度数；
②若，求∠CPQ的度数．
(2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)存在，或
【分析】（1）①根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义即可得到的度数；②根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，再根据即可得出；
（2）设，则，分两种情况讨论：①当点在点的右侧时，②当点在点的左侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义，得出等量关系，列方程求解即可．
（1）
解：①∵，，
∴，
∵，平分，
∴
∴；
②∵，，
∴，，
∴，
又，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
，
，
∵，
∴．
（2）
解：设，则，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在点的右侧时，
∵，
，
，
∵，
，
∵平分，
，
，
∵，
∴，
∵，
，即，
解得，
∴；
②如图，当点在点的左侧时，
∵，
，
，
∵，
，
∵平分，
，
，
∵，
∴，
∵，
，即，
解得，
∴；
综上，存在这样的情形，使，此时的度数为或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．
29．（2022秋·八年级课时练习）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
【答案】(1)AB∥CD；AB∥CD；AB∥CD，理由见解析
(2)∠BAE+∠MCD＝90°，理由见解析
(3)∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°
【分析】（1）由角平分线的定义得∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，则∠BAC+∠ACD＝180°，可得结论AB∥CD；
（2）过点E作EF∥AB，利用平行线的性质可得答案；
（3）利用平行线的性质和三角形内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠BAE+∠MCD＝90°，理由如下：
过点E作EF∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝∠MCD，
∴∠BAE+∠MCD＝90°；
（3）解：分两种情况分类讨论，
第一种情况如图，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二种情况如图，当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
综上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系，根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法．
30．（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求的度数．
阅读并补充下面推理过程
解：过点A作
，_________________．
__________________
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求证：提示：过点C作．
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，平分，DE平分，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数。
②如图4，点B在点A的右侧，且，若，则的度数为___________．
【答案】(1)∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC
(2)见详解
(3)①55°；②160
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C作CFAB，根据平行线的性质得到∠D+∠FCD＝180°，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）①过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；
②∠BED的度数改变．过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，进而可求∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°．
【详解】（1）如图1，过点A作EDBC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
故答案为：∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC；
（2）如图2，过C作CFAB，
，
∵ABDE，
∴CFDE，
∴∠D+∠FCD＝180°，
∵CFAB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠D+∠BCD＝180°+∠BCF，
∴∠D+∠BCD＝180°+∠B，
即∠D+∠BCD﹣∠B＝180°；
（3）①如图3，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE∠ABC＝25°，∠CDE∠ADC＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝25°+30°＝55°；
②如图4，过点E作EFAB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°，
故答案为：160．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线．
31．（2022春·河南安阳·七年级统考期末）猜想说理：
（1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由：
拓展应用：
（2）如图4，若，则 度；
（3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数．
【答案】（1）；；
（2）
（3）
【分析】（1）根据平行线的性质可直接得到结论；
（2）过点F作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出的度数；
（3）过点E作AB的平行线，过点F作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出度数；通过前面的计算，找出规律．利用规律得到有n个折点的结论；
【详解】解：（1）如图1：，
如图2：，
如图3：，
如图1说明理由如下：
∵，
∴，
∴，
即；
（2）如下图：
过F作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即；
故答案为：；
（3）如下图：，
过E作，过F作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
即；
综上所述：
由当平行线AB与CD间没有点的时候，，
当A、C之间加一个折点F时，；
当A、C之间加二个折点E、F时，则；
以此类推，如图5，，
当、之间加三个折点时，
则；
…
当、之间加n个折点时，
则，
即的度数是．
【点睛】本题是探索型试题，主要考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用平行线的性质及三角形外角的性质等知识求解是解答此题的关键．
32．（2022春·江苏南通·七年级统考期中）已知，连接，两点．
(1)如图1，与的平分线交于点，则等于__________度；
(2)如图2，点在射线反向延长线上，点在射线上．与的平分线交于点．若，，求的度数；
(3)如图3，图4，，分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点．设，，请直接写出图中的度数（用含，的式子表示）．
【答案】(1)90；
(2)；
(3)或
【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，从而可求出；
（2）过E作EF∥AB，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．
（3）分两种情况，过E作EF∥AB，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．
（1）
∵与的平分线交于点，
即
故答案为：
（2）
如图，过点作，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵平分，平分，
∴，
．
∴；
（3）
过点E作如图3，
∵∠与∠的平分线交于点E，∠
∴∠
如图4，
∵AB//CD
∵AB//CD
综上，的度数为或
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键．
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