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人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题06实数相关计算30道题专训(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题06实数相关计算30道题专训(原卷版+解析)，共34页。
1．（2022春·重庆荣昌·七年级校考阶段练习）求下列各式中的
(1)；
(2)．
2．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
3．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）计算下列各式：
(1)；
(2)．
4．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）计算：
(1)；
(2)
5．（2023春·河南周口·七年级校联考阶段练习）已知，求的立方根．
6．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考期中）求下列式子中的x
(1)
(2)
7．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
8．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）解答下列问题．
(1)计算：．
(2)解方程：．
9．（2022秋·山东威海·七年级校联考阶段练习）（1）计算：．
（2）已知的立方根是，是16的平方根，c是的小数部分，求的值．
10．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知，求的平方根．
11．（2022秋·江苏·八年级专题练习）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
12．（2022秋·浙江·七年级阶段练习）计算下列各式的值：
(1)；
(2)．
13．（2022春·湖南邵阳·七年级校考期中）（1）a是的小数部分，b是的整数部分，求的值．
（2）已知4是的算术平方根，的立方根为，求的平方根．
14．（2022春·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）已知是的整数部分，是的小数部分．
(1) ， ；
(2)求的值．
15．（2022秋·山东威海·七年级校考阶段练习）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)；
(3)．
16．（2022春·福建福州·七年级校考期中）已知：的平方根是与，且．
(1)求，的值；
(2)求的值；
(3)求的立方根．
17．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）已知4是的算术平方根，的立方根为．
(1)求和的值；
(2)求的平方根．
19．（2022·全国·七年级专题练习）（1）已知某正数的平方根为和，求这个数是多少？
（2）已知m，n是实数，且，求的平方根．
20．（2022春·广西南宁·七年级南宁三中校考期中）已知正数的两个不等的平方根分别是和的立方根为是的整数部分．
(1)求x和b的值；
(2)求a-b+c的平方根．
21．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考期中）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2，于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：
(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．
22．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
(1)求和的值；
(2)利用平方根的定义，求关于的方程的解．
23．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）阅读下列材料：
因为，即，
所以的整数部分为1，小数部分为．
请根据材料提示，进行解答：
(1)的整数部分是_______，小数部分是_______；
(2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值；
(3)已知，其中a是整数，且，请直接写出a，b的值．
24．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分l，差就是小数部分为．解答下列问题：
(1)的整数部分是___________，小数部分是___________；
(2)如果的小数部分为a；的整数部分为b，求的值．
25．（2022秋·浙江杭州·七年级校联考期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分．
(1)求a、b、c的值；
(2)若x是的小数部分，求的值．
26．（2023春·全国·八年级专题练习）对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，，
(1)仿照以上方法计算：_____；=_____；
(2)计算：；
(3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，例如，对10连续求根整数2次，即，这时候结果为1，那么只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是______．
27．（2022秋·福建漳州·八年级漳州三中校联考期中）下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且，
∴设，其中，画出如图示意图，
∵图中，
∴
当较小时，省略，得，得到，即．
(1)的整数部分是_______；
(2)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
28．（2022·全国·七年级专题练习）阅读材料：实数的整数部分与小数部分由于实数的小数部分一定要为正数，所以正、负实数的整数部分与小数部分确定方法存在区别：
①对于正实数，如实数，在整数之间，则整数部分为，小数部分为.
②对于负实数，如实数，在整数之间，则整数部分为，小数部分为.
依照上面规定解决下面问题：
(1)已知的整数部分为，小数部分为，求、的值.
(2)若、分别是的整数部分与小数部分，求的值.
(3)设，是的小数部分，是的小数部分，求的值.
29．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期中）先阅读理解，再回答问题．
∵，且，
∴的整数部分是1，小数部分是．
∵，且，
∴的整数部分是2，小数部分是．
∵，且，
∴的整数部分是3，小数部分是．
利用上面的知识，确定下列各数的整数部分和小数部分∶
(1)
(2)
(3)
30．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）下面是小明探索的近似值的过程：
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知．因此可设，画出如下示意图．
由图中面积计算，
另一方面由题意知
所以
略去，得方程．
解得．即．
(1)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
(2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算___________．（用a、b的代数式表示）
专题06 实数相关计算30道题专训
【30道计算题专训】
1．（2022春·重庆荣昌·七年级校考阶段练习）求下列各式中的
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根的知识求解即可；
（2）根据立方根的知识求解即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2），
，
即，
解得．
【点睛】本题主要考查平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的计算是解题的关键．
2．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，有理数的加减运算，正确掌握运算法则及运算顺序是解题的关键．
3．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）计算下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）分别根据算术平方根的定义，绝对值的性质，立方根的定义计算出各数，再根据实数的加减法则进行计算；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解题的关键．
4．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先乘方，再乘除；
（2）先化简各式，再进行加减运算．
【详解】（1）解：原式=；
（2）原式．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，实数的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
5．（2023春·河南周口·七年级校联考阶段练习）已知，求的立方根．
【答案】
【分析】根据算术平方根和完全平方的非负性求出，，带入求值即可得到答案．
【详解】解：，
，，
，，
，
的立方根为 ．
【点睛】本题考查了算术平方根及完全平方式的非负性，有理数的乘方，立方根的概念，属于基础题，熟练掌握非负性与相关运算法则是解题关键．
6．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考期中）求下列式子中的x
(1)
(2)
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可；
（2）根据等式的性质和立方根的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：
，
，
或，
或；
（2）解：，
，
，
．
【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的关键．
7．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式利用乘方的意义，平方根、立方根定义计算即可得到结果；
（2）原式利用乘方的意义，立方根定义，以及乘法法则计算即可得到结果．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【点睛】本题考查实数的运算，涉及立方根、平方根、乘方运算，掌握实数的运算顺序是关键．
8．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）解答下列问题．
(1)计算：．
(2)解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算立方根和算术平方根，然后计算加减法即可；
（2）根据求平方根的方法解方程即可．
【详解】（1）解；原式
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求立方根，求算术平方根，求平方根的方法解方程，熟知算术平方根，立方根和平方根的定义是解题的关键．
9．（2022秋·山东威海·七年级校联考阶段练习）（1）计算：．
（2）已知的立方根是，是16的平方根，c是的小数部分，求的值．
【答案】（1）；（2）的值为或
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的运算法则求解即可；
（2）根据立方根、平方根和无理数的估算进行求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）∵的立方根是，
∴ ，
∴，
∴，
∵是16的平方根，
∴，
∴，
∴或，
∵c是的小数部分，
又∵，
∴，
∴或，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的运算法则和无理数的估算，正确地计算是解决本题的关键．
10．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知，求的平方根．
【答案】
【分析】根据非负数的性质求出，进而求出，根据平方根的概念解答即可．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
则，
∴，
∵9的平方根是，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查的是非负数的性质、平方根的概念，根据二次根式的被开方数是非负数求出x是解题的关键．
11．（2022秋·江苏·八年级专题练习）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）根据平方根的定义即可得到答案；
（2）根据立方根的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：
，
．
【点睛】本题主要考查了平方根、立方根，熟练掌握平方根的定义、立方根的定义是解题关键．
12．（2022秋·浙江·七年级阶段练习）计算下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先进行化简运算，去绝对值符号运算，再进行加减运算即可；
（2）先算乘方，再算括号里的乘法，括号里的加法，接着算乘法，最后算加法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查求一个数算术平方根，立方根，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
13．（2022春·湖南邵阳·七年级校考期中）（1）a是的小数部分，b是的整数部分，求的值．
（2）已知4是的算术平方根，的立方根为，求的平方根．
【答案】（1）；（2）±8．
【分析】（1）先根据算术平方根的性质，得到，可以得到的整数部分和小数部分，从而求出a、b，计算结果；
（2）根据算术平方根、立方根的定义，得到，，求出a，b的值即可；
【详解】解：（1）因为，
所以的小数部分是，
所以，的整数数部分是；
∴
（2）∵4是的算术平方根，，
∴，
∴，
∵的立方根为，
∴，
∴，
∴；
∴，64的平方根为，
∴的平方根为．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根以及无理数的估算，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义．学会正确估算无理数．
14．（2022春·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）已知是的整数部分，是的小数部分．
(1) ， ；
(2)求的值．
【答案】(1)5，
(2)
【分析】（1）根据无理数的估算，得到，从而确定答案；
（2）由（1）中值，代入代数式求值即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
是的整数部分，是的小数部分，
，，
故答案为：5，；
（2）解：由（1）知，，
，
．
【点睛】本题考查无理数估算以及代数式求值，涉及绝对值意义和有理数混合运算，掌握无理数估算的方法，求出值是解决问题的关键．
15．（2022秋·山东威海·七年级校考阶段练习）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)x＝
(2)x＝
(3)
【分析】（1）移项，系数化为1后求平方根即可；
（2）移项，系数化为1后求立方根即可解题；
（3）先求平方根，然后解一元一次方程解题．
【详解】（1），
，
，
；
（2），
，
，
，
；
（3），
，
，，
∴．
【点睛】本题考查平方根，立方根，注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．
16．（2022春·福建福州·七年级校考期中）已知：的平方根是与，且．
(1)求，的值；
(2)求的值；
(3)求的立方根．
【答案】(1)，
(2)
(3)2
【分析】（1）根据一个数的两个平方根互为相反数可得答案；
（2）求出或者的平方即可得出答案；
（3）将的值代入中，求其立方根即可．
【详解】（1）解：的平方根是与，
，
解得，
，
；
（2）的平方根是与，
；
（3）．
【点睛】本题考查了平方根以及立方根，熟知一个数的两个平方根互为相反数是解本题的关键．
17．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）已知4是的算术平方根，的立方根为．
(1)求和的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)．
(2)
【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义，得到，，求出和的值即可；
（2）把和的值代入代数式求出代数式的值，根据平方根的定义即可解答．
【详解】（1）解：∵4是的算术平方根，
∴，
∴，
∵的立方根为，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
64的平方根为，
∴的平方根为．
【点睛】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根，解题关键是熟记平方根、算术平方根、立方根的定义．
19．（2022·全国·七年级专题练习）（1）已知某正数的平方根为和，求这个数是多少？
（2）已知m，n是实数，且，求的平方根．
【答案】（1）49；（2）
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数建立方程求解即可；
（2）根据非负数的性质求出m、n的值，然后代值计算即可．
【详解】解：（1）∵某正数的平方根为和，
∴，
∴，
∴这个数为；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是．
【点睛】本题主要考查了平方根，非负数的性质，熟知一个平方根的定义是解题的关键．
20．（2022春·广西南宁·七年级南宁三中校考期中）已知正数的两个不等的平方根分别是和的立方根为是的整数部分．
(1)求x和b的值；
(2)求a-b+c的平方根．
【答案】(1)的值为的值为
(2)
【分析】根据平方根的意义求出，从而求出的值，根据立方根求出．
的范围在到之间，求出，从而求出的平方根．
【详解】（1）的平方根是和，
，
，
，
的立方根为，
，
故的值为的值为
（2），
【点睛】本题考查的是平方根与无理数大小的比较，正数的平方根有两个，且互为相反数是解题的关键．
21．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考期中）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2，于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：
(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．
【答案】(1)4，﹣4
(2)1
【分析】（1）直接利用二次根式的性质得出的取值范围，进而完成解答；
（2）直接利用二次根式的性质得出、的取值范围，进而完成解答．
【详解】（1）解：∵＜＜，
∴4＜＜5，
∴的整数部分是4，小数部分是：﹣4．
故答案为：4、﹣4．
（2）解：∵＜＜，
∴2＜＜3，
∵的小数部分为a，
∴a＝﹣2，
∵＜＜，
∴3＜＜4，
∵的整数部分为b，
∴b＝3，
∴＝＝1．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的取值范围是解答本题的关键．
22．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
(1)求和的值；
(2)利用平方根的定义，求关于的方程的解．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用一个正数的两个平方根互为相反数，列式计算即可；
（2）利用平方根，解方程即可．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根是与，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：将代入方程，得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平方根的定义以及性质．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．
23．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）阅读下列材料：
因为，即，
所以的整数部分为1，小数部分为．
请根据材料提示，进行解答：
(1)的整数部分是_______，小数部分是_______；
(2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值；
(3)已知，其中a是整数，且，请直接写出a，b的值．
【答案】(1)3；
(2)0
(3)，
【分析】（1）先估算在哪两个数之间，再确定整数部分，则小数部分=无理数-整数部分；
（2）分别估算和，得出m，n，然后计算代数式的值即可；
（3）先估算的取值范围，从而可确定a，b的值．
【详解】（1），
，
∴的整数部分是3，小数部分是，
故答案为：3；；
（2），
，
∴的整数部分是2，小数部分是，
∴；
，
，
∴的整数部分是4，小数部分是，
∴；
∴；
（3），
，
，
，
的整数部分为4，小数部分为，
∴，．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围，需要记住一些常用数的平方．
24．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分l，差就是小数部分为．解答下列问题：
(1)的整数部分是___________，小数部分是___________；
(2)如果的小数部分为a；的整数部分为b，求的值．
【答案】(1)4，
(2)1
【分析】（1）根据即可求解；
（2）根据，求出a，b的值，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：，
∴
∴的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：4，；
（2）解：∵
∴，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握算术平方根的定义是关键．
25．（2022秋·浙江杭州·七年级校联考期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分．
(1)求a、b、c的值；
(2)若x是的小数部分，求的值．
【答案】(1)a的值为5，b的值为，c的值为3
(2)9
【分析】（1）利用平方根，立方根的意义可得，，从而可得a，b的值，然后再估算出的值的范围，从而求出c的值，即可解答；
（2）利用（1）的结论求出x的值，然后把x的值代入式子中进行计算即可解答．
【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是2，
，，
解得：，，
，
，
的整数部分是3，
，
的值为5，b的值为，c的值为3；
（2）解：的整数部分是3，
的小数部分是，
，
，
的值为9．
【点睛】本题考查了无理数的估算，平方根，立方根的意义，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
26．（2023春·全国·八年级专题练习）对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，，
(1)仿照以上方法计算：_____；=_____；
(2)计算：；
(3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，例如，对10连续求根整数2次，即，这时候结果为1，那么只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是______．
【答案】(1)2；6
(2)131
(3)255
【分析】（1）根据题目所给的定义进行求解即可；
（2）通过计算发现，所求的和中共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5和1个6，将这些数字相加即可得到答案；
（3）根据题目所给定义可知，经过4次操作后结果为1的最小正整数为256，则可得经过3次操作后结果为1的最大正整数为255．
【详解】（1）解：∵，
∴ ；
∵，
∴，
∴，
故答案为：2；6；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：∵，
∴，，，，
∴刚好经过4次操作后的结果为1，
∵，，，
∴刚好经过3次操作后的结果为1，
∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255，
故答案为：255．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，算术平方根，正确理解题意是解题的关键．
27．（2022秋·福建漳州·八年级漳州三中校联考期中）下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且，
∴设，其中，画出如图示意图，
∵图中，
∴
当较小时，省略，得，得到，即．
(1)的整数部分是_______；
(2)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】(1)9
(2)≈9.17；画出示意图，标明数据，写出求解过程见解析
【分析】（1）估算无理数的大小即可；
（2）根据题目所提供的解法进行计算即可．
【详解】（1）∵，即，
∴的整数部分为9，
故答案为：9；
（2）∵面积为84的正方形边长是，且，
∴设，其中，如图所示，
∵图中，
∴，
当较小时，省略，得，得到，即．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解题目所提供的解题方法是正确解答的前提．
28．（2022·全国·七年级专题练习）阅读材料：实数的整数部分与小数部分由于实数的小数部分一定要为正数，所以正、负实数的整数部分与小数部分确定方法存在区别：
①对于正实数，如实数，在整数之间，则整数部分为，小数部分为.
②对于负实数，如实数，在整数之间，则整数部分为，小数部分为.
依照上面规定解决下面问题：
(1)已知的整数部分为，小数部分为，求、的值.
(2)若、分别是的整数部分与小数部分，求的值.
(3)设，是的小数部分，是的小数部分，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先估算，继而求得的值；
（2）先估算，继而求得的值，代入代数式进行计算即可求解；
（3）先估算，的大小，然后根据题意写出的值，代入代数式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）∵，是的小数部分，是的小数部分，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小、代数式求值、实数的混合运算，解决本题的关键是理解阅读材料并运用．
29．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期中）先阅读理解，再回答问题．
∵，且，
∴的整数部分是1，小数部分是．
∵，且，
∴的整数部分是2，小数部分是．
∵，且，
∴的整数部分是3，小数部分是．
利用上面的知识，确定下列各数的整数部分和小数部分∶
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)整数部分是4；小数部分是
(2)整数部分是6；小数部分是
(3)整数部分是11；小数部分是
【分析】先找出规律，再分别作答即可．
【详解】（1）由题意可知：
若，
则（n为正整数）的整数部分为n，小数部分是．
∵，
∴整数部分是4；小数部分是；
（2）∵，
∴整数部分是6；小数部分是；
（3）∵，
∴整数部分是11；小数部分是．
【点睛】本题考查了整式的规律，根据题意得到（n为正整数）的整数部分为n，小数部分是是解题的关键．
30．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）下面是小明探索的近似值的过程：
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知．因此可设，画出如下示意图．
由图中面积计算，
另一方面由题意知
所以
略去，得方程．
解得．即．
(1)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
(2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算___________．（用a、b的代数式表示）
【答案】(1)2.25，见解析
(2)
【分析】（1）参照题目的过程解题即可．
（2）把条件的过程中的数字换成对应的字母解题即可．
【详解】（1）解：面积是5的正方形的边长是，
设，如图，面积为5的正方形分成2个小正方形和2个矩形，
∵，
而，
∴，
略去，得方程，解得，
即．
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查用几何方法求无理数的近似值，能够读懂题意是解题关键．
1．（2022春·重庆荣昌·七年级校考阶段练习）求下列各式中的
(1)；
(2)．
2．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
3．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）计算下列各式：
(1)；
(2)．
4．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）计算：
(1)；
(2)
5．（2023春·河南周口·七年级校联考阶段练习）已知，求的立方根．
6．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考期中）求下列式子中的x
(1)
(2)
7．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
8．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）解答下列问题．
(1)计算：．
(2)解方程：．
9．（2022秋·山东威海·七年级校联考阶段练习）（1）计算：．
（2）已知的立方根是，是16的平方根，c是的小数部分，求的值．
10．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知，求的平方根．
11．（2022秋·江苏·八年级专题练习）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
12．（2022秋·浙江·七年级阶段练习）计算下列各式的值：
(1)；
(2)．
13．（2022春·湖南邵阳·七年级校考期中）（1）a是的小数部分，b是的整数部分，求的值．
（2）已知4是的算术平方根，的立方根为，求的平方根．
14．（2022春·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）已知是的整数部分，是的小数部分．
(1) ， ；
(2)求的值．
15．（2022秋·山东威海·七年级校考阶段练习）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)；
(3)．
16．（2022春·福建福州·七年级校考期中）已知：的平方根是与，且．
(1)求，的值；
(2)求的值；
(3)求的立方根．
17．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）已知4是的算术平方根，的立方根为．
(1)求和的值；
(2)求的平方根．
19．（2022·全国·七年级专题练习）（1）已知某正数的平方根为和，求这个数是多少？
（2）已知m，n是实数，且，求的平方根．
20．（2022春·广西南宁·七年级南宁三中校考期中）已知正数的两个不等的平方根分别是和的立方根为是的整数部分．
(1)求x和b的值；
(2)求a-b+c的平方根．
21．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考期中）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2，于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：
(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．
22．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
(1)求和的值；
(2)利用平方根的定义，求关于的方程的解．
23．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）阅读下列材料：
因为，即，
所以的整数部分为1，小数部分为．
请根据材料提示，进行解答：
(1)的整数部分是_______，小数部分是_______；
(2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值；
(3)已知，其中a是整数，且，请直接写出a，b的值．
24．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分l，差就是小数部分为．解答下列问题：
(1)的整数部分是___________，小数部分是___________；
(2)如果的小数部分为a；的整数部分为b，求的值．
25．（2022秋·浙江杭州·七年级校联考期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分．
(1)求a、b、c的值；
(2)若x是的小数部分，求的值．
26．（2023春·全国·八年级专题练习）对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，，
(1)仿照以上方法计算：_____；=_____；
(2)计算：；
(3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，例如，对10连续求根整数2次，即，这时候结果为1，那么只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是______．
27．（2022秋·福建漳州·八年级漳州三中校联考期中）下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且，
∴设，其中，画出如图示意图，
∵图中，
∴
当较小时，省略，得，得到，即．
(1)的整数部分是_______；
(2)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
28．（2022·全国·七年级专题练习）阅读材料：实数的整数部分与小数部分由于实数的小数部分一定要为正数，所以正、负实数的整数部分与小数部分确定方法存在区别：
①对于正实数，如实数，在整数之间，则整数部分为，小数部分为.
②对于负实数，如实数，在整数之间，则整数部分为，小数部分为.
依照上面规定解决下面问题：
(1)已知的整数部分为，小数部分为，求、的值.
(2)若、分别是的整数部分与小数部分，求的值.
(3)设，是的小数部分，是的小数部分，求的值.
29．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期中）先阅读理解，再回答问题．
∵，且，
∴的整数部分是1，小数部分是．
∵，且，
∴的整数部分是2，小数部分是．
∵，且，
∴的整数部分是3，小数部分是．
利用上面的知识，确定下列各数的整数部分和小数部分∶
(1)
(2)
(3)
30．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）下面是小明探索的近似值的过程：
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知．因此可设，画出如下示意图．
由图中面积计算，
另一方面由题意知
所以
略去，得方程．
解得．即．
(1)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
(2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算___________．（用a、b的代数式表示）
专题06 实数相关计算30道题专训
【30道计算题专训】
1．（2022春·重庆荣昌·七年级校考阶段练习）求下列各式中的
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根的知识求解即可；
（2）根据立方根的知识求解即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2），
，
即，
解得．
【点睛】本题主要考查平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的计算是解题的关键．
2．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，有理数的加减运算，正确掌握运算法则及运算顺序是解题的关键．
3．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）计算下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）分别根据算术平方根的定义，绝对值的性质，立方根的定义计算出各数，再根据实数的加减法则进行计算；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解题的关键．
4．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先乘方，再乘除；
（2）先化简各式，再进行加减运算．
【详解】（1）解：原式=；
（2）原式．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，实数的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
5．（2023春·河南周口·七年级校联考阶段练习）已知，求的立方根．
【答案】
【分析】根据算术平方根和完全平方的非负性求出，，带入求值即可得到答案．
【详解】解：，
，，
，，
，
的立方根为 ．
【点睛】本题考查了算术平方根及完全平方式的非负性，有理数的乘方，立方根的概念，属于基础题，熟练掌握非负性与相关运算法则是解题关键．
6．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考期中）求下列式子中的x
(1)
(2)
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可；
（2）根据等式的性质和立方根的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：
，
，
或，
或；
（2）解：，
，
，
．
【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的关键．
7．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式利用乘方的意义，平方根、立方根定义计算即可得到结果；
（2）原式利用乘方的意义，立方根定义，以及乘法法则计算即可得到结果．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【点睛】本题考查实数的运算，涉及立方根、平方根、乘方运算，掌握实数的运算顺序是关键．
8．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）解答下列问题．
(1)计算：．
(2)解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算立方根和算术平方根，然后计算加减法即可；
（2）根据求平方根的方法解方程即可．
【详解】（1）解；原式
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求立方根，求算术平方根，求平方根的方法解方程，熟知算术平方根，立方根和平方根的定义是解题的关键．
9．（2022秋·山东威海·七年级校联考阶段练习）（1）计算：．
（2）已知的立方根是，是16的平方根，c是的小数部分，求的值．
【答案】（1）；（2）的值为或
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的运算法则求解即可；
（2）根据立方根、平方根和无理数的估算进行求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）∵的立方根是，
∴ ，
∴，
∴，
∵是16的平方根，
∴，
∴，
∴或，
∵c是的小数部分，
又∵，
∴，
∴或，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的运算法则和无理数的估算，正确地计算是解决本题的关键．
10．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知，求的平方根．
【答案】
【分析】根据非负数的性质求出，进而求出，根据平方根的概念解答即可．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
则，
∴，
∵9的平方根是，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查的是非负数的性质、平方根的概念，根据二次根式的被开方数是非负数求出x是解题的关键．
11．（2022秋·江苏·八年级专题练习）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）根据平方根的定义即可得到答案；
（2）根据立方根的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：
，
．
【点睛】本题主要考查了平方根、立方根，熟练掌握平方根的定义、立方根的定义是解题关键．
12．（2022秋·浙江·七年级阶段练习）计算下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先进行化简运算，去绝对值符号运算，再进行加减运算即可；
（2）先算乘方，再算括号里的乘法，括号里的加法，接着算乘法，最后算加法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查求一个数算术平方根，立方根，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
13．（2022春·湖南邵阳·七年级校考期中）（1）a是的小数部分，b是的整数部分，求的值．
（2）已知4是的算术平方根，的立方根为，求的平方根．
【答案】（1）；（2）±8．
【分析】（1）先根据算术平方根的性质，得到，可以得到的整数部分和小数部分，从而求出a、b，计算结果；
（2）根据算术平方根、立方根的定义，得到，，求出a，b的值即可；
【详解】解：（1）因为，
所以的小数部分是，
所以，的整数数部分是；
∴
（2）∵4是的算术平方根，，
∴，
∴，
∵的立方根为，
∴，
∴，
∴；
∴，64的平方根为，
∴的平方根为．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根以及无理数的估算，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义．学会正确估算无理数．
14．（2022春·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）已知是的整数部分，是的小数部分．
(1) ， ；
(2)求的值．
【答案】(1)5，
(2)
【分析】（1）根据无理数的估算，得到，从而确定答案；
（2）由（1）中值，代入代数式求值即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
是的整数部分，是的小数部分，
，，
故答案为：5，；
（2）解：由（1）知，，
，
．
【点睛】本题考查无理数估算以及代数式求值，涉及绝对值意义和有理数混合运算，掌握无理数估算的方法，求出值是解决问题的关键．
15．（2022秋·山东威海·七年级校考阶段练习）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)x＝
(2)x＝
(3)
【分析】（1）移项，系数化为1后求平方根即可；
（2）移项，系数化为1后求立方根即可解题；
（3）先求平方根，然后解一元一次方程解题．
【详解】（1），
，
，
；
（2），
，
，
，
；
（3），
，
，，
∴．
【点睛】本题考查平方根，立方根，注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．
16．（2022春·福建福州·七年级校考期中）已知：的平方根是与，且．
(1)求，的值；
(2)求的值；
(3)求的立方根．
【答案】(1)，
(2)
(3)2
【分析】（1）根据一个数的两个平方根互为相反数可得答案；
（2）求出或者的平方即可得出答案；
（3）将的值代入中，求其立方根即可．
【详解】（1）解：的平方根是与，
，
解得，
，
；
（2）的平方根是与，
；
（3）．
【点睛】本题考查了平方根以及立方根，熟知一个数的两个平方根互为相反数是解本题的关键．
17．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）已知4是的算术平方根，的立方根为．
(1)求和的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)．
(2)
【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义，得到，，求出和的值即可；
（2）把和的值代入代数式求出代数式的值，根据平方根的定义即可解答．
【详解】（1）解：∵4是的算术平方根，
∴，
∴，
∵的立方根为，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
64的平方根为，
∴的平方根为．
【点睛】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根，解题关键是熟记平方根、算术平方根、立方根的定义．
19．（2022·全国·七年级专题练习）（1）已知某正数的平方根为和，求这个数是多少？
（2）已知m，n是实数，且，求的平方根．
【答案】（1）49；（2）
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数建立方程求解即可；
（2）根据非负数的性质求出m、n的值，然后代值计算即可．
【详解】解：（1）∵某正数的平方根为和，
∴，
∴，
∴这个数为；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是．
【点睛】本题主要考查了平方根，非负数的性质，熟知一个平方根的定义是解题的关键．
20．（2022春·广西南宁·七年级南宁三中校考期中）已知正数的两个不等的平方根分别是和的立方根为是的整数部分．
(1)求x和b的值；
(2)求a-b+c的平方根．
【答案】(1)的值为的值为
(2)
【分析】根据平方根的意义求出，从而求出的值，根据立方根求出．
的范围在到之间，求出，从而求出的平方根．
【详解】（1）的平方根是和，
，
，
，
的立方根为，
，
故的值为的值为
（2），
【点睛】本题考查的是平方根与无理数大小的比较，正数的平方根有两个，且互为相反数是解题的关键．
21．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考期中）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2，于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：
(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．
【答案】(1)4，﹣4
(2)1
【分析】（1）直接利用二次根式的性质得出的取值范围，进而完成解答；
（2）直接利用二次根式的性质得出、的取值范围，进而完成解答．
【详解】（1）解：∵＜＜，
∴4＜＜5，
∴的整数部分是4，小数部分是：﹣4．
故答案为：4、﹣4．
（2）解：∵＜＜，
∴2＜＜3，
∵的小数部分为a，
∴a＝﹣2，
∵＜＜，
∴3＜＜4，
∵的整数部分为b，
∴b＝3，
∴＝＝1．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的取值范围是解答本题的关键．
22．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
(1)求和的值；
(2)利用平方根的定义，求关于的方程的解．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用一个正数的两个平方根互为相反数，列式计算即可；
（2）利用平方根，解方程即可．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根是与，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：将代入方程，得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平方根的定义以及性质．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．
23．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）阅读下列材料：
因为，即，
所以的整数部分为1，小数部分为．
请根据材料提示，进行解答：
(1)的整数部分是_______，小数部分是_______；
(2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值；
(3)已知，其中a是整数，且，请直接写出a，b的值．
【答案】(1)3；
(2)0
(3)，
【分析】（1）先估算在哪两个数之间，再确定整数部分，则小数部分=无理数-整数部分；
（2）分别估算和，得出m，n，然后计算代数式的值即可；
（3）先估算的取值范围，从而可确定a，b的值．
【详解】（1），
，
∴的整数部分是3，小数部分是，
故答案为：3；；
（2），
，
∴的整数部分是2，小数部分是，
∴；
，
，
∴的整数部分是4，小数部分是，
∴；
∴；
（3），
，
，
，
的整数部分为4，小数部分为，
∴，．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围，需要记住一些常用数的平方．
24．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分l，差就是小数部分为．解答下列问题：
(1)的整数部分是___________，小数部分是___________；
(2)如果的小数部分为a；的整数部分为b，求的值．
【答案】(1)4，
(2)1
【分析】（1）根据即可求解；
（2）根据，求出a，b的值，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：，
∴
∴的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：4，；
（2）解：∵
∴，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握算术平方根的定义是关键．
25．（2022秋·浙江杭州·七年级校联考期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分．
(1)求a、b、c的值；
(2)若x是的小数部分，求的值．
【答案】(1)a的值为5，b的值为，c的值为3
(2)9
【分析】（1）利用平方根，立方根的意义可得，，从而可得a，b的值，然后再估算出的值的范围，从而求出c的值，即可解答；
（2）利用（1）的结论求出x的值，然后把x的值代入式子中进行计算即可解答．
【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是2，
，，
解得：，，
，
，
的整数部分是3，
，
的值为5，b的值为，c的值为3；
（2）解：的整数部分是3，
的小数部分是，
，
，
的值为9．
【点睛】本题考查了无理数的估算，平方根，立方根的意义，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
26．（2023春·全国·八年级专题练习）对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，，
(1)仿照以上方法计算：_____；=_____；
(2)计算：；
(3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，例如，对10连续求根整数2次，即，这时候结果为1，那么只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是______．
【答案】(1)2；6
(2)131
(3)255
【分析】（1）根据题目所给的定义进行求解即可；
（2）通过计算发现，所求的和中共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5和1个6，将这些数字相加即可得到答案；
（3）根据题目所给定义可知，经过4次操作后结果为1的最小正整数为256，则可得经过3次操作后结果为1的最大正整数为255．
【详解】（1）解：∵，
∴ ；
∵，
∴，
∴，
故答案为：2；6；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：∵，
∴，，，，
∴刚好经过4次操作后的结果为1，
∵，，，
∴刚好经过3次操作后的结果为1，
∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255，
故答案为：255．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，算术平方根，正确理解题意是解题的关键．
27．（2022秋·福建漳州·八年级漳州三中校联考期中）下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且，
∴设，其中，画出如图示意图，
∵图中，
∴
当较小时，省略，得，得到，即．
(1)的整数部分是_______；
(2)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】(1)9
(2)≈9.17；画出示意图，标明数据，写出求解过程见解析
【分析】（1）估算无理数的大小即可；
（2）根据题目所提供的解法进行计算即可．
【详解】（1）∵，即，
∴的整数部分为9，
故答案为：9；
（2）∵面积为84的正方形边长是，且，
∴设，其中，如图所示，
∵图中，
∴，
当较小时，省略，得，得到，即．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解题目所提供的解题方法是正确解答的前提．
28．（2022·全国·七年级专题练习）阅读材料：实数的整数部分与小数部分由于实数的小数部分一定要为正数，所以正、负实数的整数部分与小数部分确定方法存在区别：
①对于正实数，如实数，在整数之间，则整数部分为，小数部分为.
②对于负实数，如实数，在整数之间，则整数部分为，小数部分为.
依照上面规定解决下面问题：
(1)已知的整数部分为，小数部分为，求、的值.
(2)若、分别是的整数部分与小数部分，求的值.
(3)设，是的小数部分，是的小数部分，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先估算，继而求得的值；
（2）先估算，继而求得的值，代入代数式进行计算即可求解；
（3）先估算，的大小，然后根据题意写出的值，代入代数式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）∵，是的小数部分，是的小数部分，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小、代数式求值、实数的混合运算，解决本题的关键是理解阅读材料并运用．
29．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期中）先阅读理解，再回答问题．
∵，且，
∴的整数部分是1，小数部分是．
∵，且，
∴的整数部分是2，小数部分是．
∵，且，
∴的整数部分是3，小数部分是．
利用上面的知识，确定下列各数的整数部分和小数部分∶
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)整数部分是4；小数部分是
(2)整数部分是6；小数部分是
(3)整数部分是11；小数部分是
【分析】先找出规律，再分别作答即可．
【详解】（1）由题意可知：
若，
则（n为正整数）的整数部分为n，小数部分是．
∵，
∴整数部分是4；小数部分是；
（2）∵，
∴整数部分是6；小数部分是；
（3）∵，
∴整数部分是11；小数部分是．
【点睛】本题考查了整式的规律，根据题意得到（n为正整数）的整数部分为n，小数部分是是解题的关键．
30．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）下面是小明探索的近似值的过程：
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知．因此可设，画出如下示意图．
由图中面积计算，
另一方面由题意知
所以
略去，得方程．
解得．即．
(1)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
(2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算___________．（用a、b的代数式表示）
【答案】(1)2.25，见解析
(2)
【分析】（1）参照题目的过程解题即可．
（2）把条件的过程中的数字换成对应的字母解题即可．
【详解】（1）解：面积是5的正方形的边长是，
设，如图，面积为5的正方形分成2个小正方形和2个矩形，
∵，
而，
∴，
略去，得方程，解得，
即．
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查用几何方法求无理数的近似值，能够读懂题意是解题关键．
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